數(shù)值計算答案解析石瑞民

./習(xí)題一1、取3.14,3.15,,作為的近似值,求各自的絕對誤差,相對誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。解：所以,有三位有效數(shù)字絕對誤差：,相對誤差：絕對誤差限：,相對誤差限：所以,有兩位有效數(shù)字絕對誤差：,相對誤差：絕對誤差限：,相對誤差限：所以,有三位有效數(shù)字絕對誤差：,相對誤差：絕對誤差限：,相對誤差限：所以,有七位有效數(shù)字絕對誤差：,相對誤差：絕對誤差限：,相對誤差限：3、下列各數(shù)都是對準(zhǔn)確數(shù)四舍五入后得到的近似數(shù),試分別指出它們的絕對誤差限和相對誤差限,有效數(shù)字的位數(shù)。解：m=-1所以,n=3,有三位有效數(shù)字絕對誤差限：,相對誤差：m=0所以,n=4,有四位有效數(shù)字絕對誤差限：,相對誤差：m=2所以,n=4,有四位有效數(shù)字絕對誤差限：,相對誤差：m=4所以,n=4,有四位有效數(shù)字絕對誤差限：,相對誤差：4、計算的近似值,使其相對誤差不超過。解：設(shè)取位有效數(shù)字,由定理1.1知,由…,所以,由題意,應(yīng)使,即所以,n=4,即的近似值取4位有效數(shù)字近似值6、在機(jī)器數(shù)系下中取三個數(shù),,,試按和兩種算法計算的值,并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解：所以,比精確,且與相同；因此,在做三個以上的數(shù)相加時,需要考慮相加的兩個同號數(shù)的階數(shù)盡量接近。8、對于有效數(shù),,,估計下列算式的相對誤差限。,,解：,m=1;所以同理或或或所以,所以,所以,綜合得：,,9、試改變下列表達(dá)式,使其結(jié)果比較精確〔其中表示x充分接近0,表示充分大。〔1,〔2,〔3,〔4,〔5,答案：〔1；〔3,〔4法一：用得出結(jié)果為：法二：或12、試給出一種計算積分近似值的穩(wěn)定性遞推算法解：顯然,In>0,n=1,2,…當(dāng)n=1時,得,當(dāng)n≥2時,由分部積分可得：,n=2,3,…另外,還有：由遞推關(guān)系In=1-nIn-1,可得計算積分序列{}的兩種算法：①n=2,3…②,下面比較兩種算法的穩(wěn)定性①若已知的一個近似值,則實際算得的的近似值為所以,由此可以看出的誤差放大n倍傳到了,誤差傳播速度逐步放大②由計算若已知的一個近似值是,則實際計算的的近似值為所以,由此可以看出的誤差將縮小n倍傳到了,誤差傳播速度逐步衰減。綜上可看出,計算積分的一種穩(wěn)定性算法為習(xí)題二1、利用二分法求方程[3,4]內(nèi)的根,精確到,即誤差不超過。解：令,,說明在[3,4]內(nèi)有根,利用二分法計算步驟得出,滿足精度要求所以,,共用二分法迭代11次。2、證明在[0,1]內(nèi)有一個根,使用二分法求誤差不大于的根。證明：令,所以,由零點定理知,在[0,1]內(nèi)有一根根據(jù)計算得出：,此時共迭代15次。4、將一元非線性方程寫成收斂的迭代公式,并求其在附近的根,精確到。解：令令=0,得到兩種迭代格式①,不滿足收斂定理。②,滿足收斂定理由方程寫出收斂的迭代公式為取初值為,得出近似根為：5、為方程在附近的一個根,設(shè)方程改寫為下列等價形式,并建立相應(yīng)的迭代公式：〔1,迭代公式；〔2,迭代公式〔3,迭代公式解：〔1利用局部收斂定理判斷收斂性,判斷初值附近的局部收斂〔2局部收斂〔3不滿足局部收斂條件但由于,所以比收斂的慢取第二種迭代格式取初值,迭代9次得7、用牛頓法求解在初始值臨近的一個正根,要求。解：令由牛頓迭代法知：迭代結(jié)果為：012321.888891.879451.87939滿足了精度要求,8、用牛頓法解方程,導(dǎo)出計算C的倒數(shù)而不用除法的一種簡單迭代公式,用此公式求0.324的倒數(shù),設(shè)初始值,要求計算結(jié)果有5位有效數(shù)字。解：,由牛頓迭代公式迭代結(jié)果為：012333.0843.0864183.086420滿足精度要求所以,0.324的倒數(shù)為3.086411、用快速弦截法求方程在附近的實根,〔取=1.9,要求精度到。解：,迭代結(jié)果：0123421.91.8810941.879411601.87939滿足精度要求12、分別用下列方式求方程在附近的根,要求有三位有效數(shù)字〔1用牛頓法,取〔2用弦截法,取〔3用快速弦截法,取解：求出的解分別為：習(xí)題三1、用高斯消元法解下列方程組〔1〔2解：〔1等價的三角形方程組為,回代求解為〔2等價的三角形方程組為,回代求解為2、將矩陣作分解。解：,3、用緊湊格式分解法解方程組解：,,.4、用列主元的三角分解法求解方程組解：,,,5、用追趕法解三角方程組,其中,.解：,,6．用改進(jìn)的Cholesky分解法解方程組解：,,, 7、用改進(jìn)的cholesky分解法解方程組解：,,8、設(shè),求。解：9、設(shè),求解：,,10、設(shè),,計算,及,并比較和的大小。解：,=10,=911、給定方程〔1寫出Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式；〔2證明Jacobi迭代法收斂而Gauss-Seidel迭代法發(fā)散；〔3給定,用迭代法求出該方程的解,精確到。解：〔1Jacobi迭代公式Gauss-Seidel迭代公式〔3用Jacobi迭代得,13、已知,考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的收斂性。14、方程組,其中,利用迭代收斂的充分必要條件確定使Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收斂的a的取值范圍。解:Jacobi迭代矩陣為當(dāng)?shù)?Gauss-Seidel迭代矩陣為：當(dāng)?shù)?15、設(shè)方程組分別用Gauss-Seidel迭代法和w=1.25的SOR法求解此方程,準(zhǔn)確到4位有效數(shù)字〔取解：Gauss-Seidel迭代法共迭代17次,此時近似解為SOR法w=1.25時,迭代11次,此時的近似解為16、用SOR方法解方程組〔分別取松弛因子w=1.03,w=1,w=1.1精確解,要求當(dāng)時,終止迭代,并且對每一個w值確定迭代次數(shù)。解：當(dāng)w=1.03時,迭代5次,當(dāng)w=1時,迭代6次,當(dāng)w=1.1時,迭代6次,習(xí)題四1、設(shè),寫出的一次插值多項式,并估計插值誤差。解：,其中2、給定函數(shù)表-0.10.30.71.10.9950.9950.7650.454選用合適的三次插值多項式來近似計算。解：⑴、求,選用插值節(jié)點為,,,用lagrange插值多項式為：解得⑵、求,選用插值節(jié)點,,,,解得：4、給定數(shù)據(jù)〔2.02.12.22.41.142141.4491381.483201.54917〔1試用線性插值計算的近似值,并估計誤差?！?試用二次Newton插值多項式計算的近似值,并估計誤差。解：〔1取,,〔2寫出二次Newton插值差商表一階差商二階差商2.01.142142.11.4491380.349242.21.483200.34062-0.04315、給出函數(shù)值x01234y01646880試求各階差商,并寫出Newton插值多項式和差值余項。解：y一階差商二階差商三階差商四階差商001161624630738821-3-5/240-88-109/3-25/2-7/66、給定數(shù)據(jù)表0.1250.250.3750.5000.6250.7500.796180.773340.743710.704130.656320.60228試用三次牛頓差分插值公式計算和。解：⑴、求,取,,,h=0.125差分表為一階差分二階差分三階差分0.1250.796180.250.77334-0.022840.3750.74371-0.02963-0.006790.50.70413-0.03958-0.00995-0.00316由公式由牛頓插值公式有⑵、求,取,,,h=0.125一階差分二階差分三階差分0.3750.743710.50.70413-0.039580.6250.65632-0.04781-0.008230.750.60228-0.05404-0.006230.002求解得9、給出sinx在[0,pi]的等距節(jié)點函數(shù)表,用線性插值計算sinx的近似值,使其截斷誤差為,問該函數(shù)表的步長h應(yīng)取多少才能滿足要求？解：設(shè)插值節(jié)點為,〔i=0,1……h(huán),由F<x>=sinx,,所以,即所以步長h應(yīng)取為0.02才能滿足要求。14、已知實驗數(shù)據(jù)如下192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式,并計算均方差。解：設(shè)擬合多項式為,則正規(guī)方程組為即：所以,經(jīng)驗公式為：均方誤差為0.00301915、觀測物體的直線運(yùn)動,得出以下數(shù)據(jù)時間t<s>00.91.93.03.95.0距離S<m>010305080110求運(yùn)動方程。解：設(shè)擬合多項式為,則正規(guī)方程組為即：a=-0.5834,b=11.0814,c=2.2488所以擬合多項式為。習(xí)題五1、分別用梯形公式和辛普森公式計算下列積分,并比較結(jié)果。〔1〔n=8解：用復(fù)合梯形公式用辛普森公式精確值：由上可看出復(fù)合辛普森公式更精確?！?〔n=4解：用復(fù)合辛普森公式用辛普森公式,精確解為：所以辛普森公式的精度較高。3、用復(fù)合梯形公式求積分,問將積分區(qū)間[a,b]分成多少等分,才能保證誤差不超過？解：由復(fù)合梯形公式的余項知,取求得6、分別用下列計算方法積分,并比較計算結(jié)果的精度〔積分準(zhǔn)確值I=1.098612……?！?復(fù)合梯形法,N=16〔2復(fù)合拋物線法,n=8解：<1><2>精確值：I=2.079441,所以,復(fù)合拋物線精度更高。7、試確定下列求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指明所構(gòu)造出的求積公式具有的代數(shù)精度。