行列式的計(jì)算方法

./引言2一、行列式的定義與性質(zhì)3〔一〕行列式的定義與相關(guān)公式3〔二〕n級(jí)行列式的性質(zhì)：5二、行列式的計(jì)算6〔一〕行列式的基本計(jì)算方法61、定義法:62、三角形法：73、降階法:124、換元法：145、遞推法：156、數(shù)學(xué)歸納法：177、目標(biāo)行列式法：19〔二〕行列式的輔助計(jì)算方法201、加邊法：202、析因子法：213、連加法：224、拆項(xiàng)法:235、乘積法：24結(jié)束語(yǔ)25參考文獻(xiàn)：26行列式的計(jì)算方法摘要行列式是線性代數(shù)理論中極其重要的組成部分,是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)基本的概念。行列式產(chǎn)生于解線性方程組中,并且也是最早應(yīng)用于解線性方程組中,并且在其他學(xué)科分支都有廣泛的應(yīng)用,可以說(shuō)它是數(shù)學(xué)、物理學(xué)以與工科許多課程的重要學(xué)習(xí)工具。行列式也為解決實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)了許多方便。本文針對(duì)行列式這一數(shù)學(xué)工具,進(jìn)行系統(tǒng)討論,從不同的角度理解了行列式的定義,重點(diǎn)證明了行列式性質(zhì),介紹一些展開(kāi)定理,總結(jié)了行列式的幾種計(jì)算方法,如定義法、三角形法、降階法、換元法、遞推法、數(shù)學(xué)歸納法與目標(biāo)行列式法。輔助方法有：加邊法、析因子法、乘積法、連加法、拆項(xiàng)法等,并結(jié)合例題說(shuō)明行列式計(jì)算的技巧性和靈活性。關(guān)鍵詞行列式,計(jì)算方法,線性方程組。TheCalculationofDeterminantLiuHui<CollegeofMathematicsandPhysicsBohaiUniversityLiaoningJinzhou121000China>AbstractThedeterminantistheextremelyimportantconstituentinthelinearalgebratheory,itisabasicconceptofhighermathematics.Thedeterminantisevolvedfromandsolvedthelinearequationgroup,andisappliedtosolveinthelinearequationgroupfirst,moreoverallhasthewidespreadapplicationinotherdisciplinebranches,wecansaythatitisanimportantstudytoolwhichinmathematics,thephysicsaswellastheengineeringcoursemanycurricula.Thedeterminantalsobroughtaboutconvenientforthesolutionactualproblem.Thisarticleinviewofthedeterminantthismathematicalinstrument,carriesonthesystemdiscussion,hadunderstoodfromthedifferentangletothedeterminantdefinition,hadproventhenatureofthedeterminantonemphasis,introducedsomeexpansiontheorem,summarizedseveralcomputationalmethodsofthedeterminant,suchasdefiningthelaw,triangularlaw,lowerthestepslaw,changeyuansoflaw,isitpushawaylaw,mathematicalinductionandgoaldeterminantlawtopass,Thehouseholdermethodisasfollows,addthelaw,analysethefactorlaw,productlaw,eventheaddition,dismantlealawandsoon,andunionsamplequestionshowingdeterminantcomputationskillandtheflexibility.KeywordsOrderdeterminat;Computingtechnology;Lineshapeequationgroup.引言行列式是線性代數(shù)中重要的一部分,它的產(chǎn)生和最早的應(yīng)用都是在解線性方程組中,雖然相對(duì)整個(gè)線性代數(shù)領(lǐng)域來(lái)說(shuō),它只是一小部分,但是它的作用不可忽視,有著重要的地位。因?yàn)樵谝恍?shù)學(xué)問(wèn)題中,往往會(huì)涉與到行列式問(wèn)題,而行列式的計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。不過(guò)它現(xiàn)在的應(yīng)用X圍已拓展得很廣泛,成為很多學(xué)科的重要工具。國(guó)際上一些知名的數(shù)學(xué)家如:克蘭姆<cramer>,拉普拉斯<laplace>,X得蒙<vandermonde>等都對(duì)行列式有著深入的研究,并為行列式的計(jì)算奠定了理論基礎(chǔ)。行列式的解題方法靈活多樣,技巧性強(qiáng),有些問(wèn)題只靠一種方法還不能解決,所以本文就行列式的多種基本方法和輔助方法進(jìn)行歸納總結(jié)以與進(jìn)行例證說(shuō)明。這些方法與技巧也許不能包含所有解法,但隨著知識(shí)的發(fā)展我們相信還會(huì)有更新的,更好的方法來(lái)解決行列式的計(jì)算問(wèn)題。一、行列式的定義與性質(zhì)〔一〕行列式的定義與相關(guān)公式在高等代數(shù)〔線性代數(shù)〕教科書中,對(duì)行列式都有如下介紹:1、二級(jí)行列式的定義2、三級(jí)行列式的定義3、級(jí)行列式的定義也就是說(shuō)級(jí)行列式等于所有取自不同行不同列的幾個(gè)元素的乘積的代數(shù)和。這里是1,2…的一個(gè)排列,當(dāng)是偶排列時(shí),式取正號(hào),當(dāng)是奇排列時(shí)式取負(fù)號(hào)。定義法是計(jì)算行列式的根本方法,對(duì)任何行列式都適用即級(jí)行列式等于所有取自不同行不同列的個(gè)元素乘積的代數(shù)和。4、將行列式按行〔或列〕展開(kāi)其中=1、2、…、,是元素的代數(shù)余子式。5、降階定理,其中、、C、D都是數(shù)域上的方陣。6、,其中、都是數(shù)域上的方陣。7、,其中、、C都是數(shù)域上的方陣。8、分塊矩陣乘法公式:其中、是數(shù)域P上的方陣,、為、的階。9、非零矩陣k左乘行列式的某一行加到另一行上,則新的分塊行列式與原來(lái)相等。10、,其中是數(shù)域P上的方陣。11、X德蒙行列式〔二〕n級(jí)行列式的性質(zhì)：性質(zhì)1：行列互換,行列式不變。性質(zhì)2：一個(gè)數(shù)乘以行列式的某一行,等于該這個(gè)數(shù)乘以此行式性質(zhì)3：如果某一行是兩組數(shù)的和,那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和,而這個(gè)行列式除這一行外全與原來(lái)行列式的對(duì)應(yīng)的行一樣。性質(zhì)4：如果行列式中有兩行相同,那么行列式為為零。所謂兩行相同就是說(shuō)兩行的對(duì)應(yīng)元素相等。性質(zhì)5：如果行列式中兩行成比例,那么行列式為零。性質(zhì)6：對(duì)換行列式中兩行的位置,行列式反號(hào)。性質(zhì)7：把一行的倍數(shù)加到另一行,行列式不變。性質(zhì)8：若行列式D的所有元素都加上同一個(gè)數(shù),則其代數(shù)余子式之和不變。即：,則,其中是中的。性質(zhì)9：若行列式某一行元素都等于1,則行列式等于其所有代數(shù)余子式之和。性質(zhì)10：設(shè),則的代數(shù)余子式之和等于二、行列式的計(jì)算〔一〕行列式的基本計(jì)算方法1、定義法:應(yīng)用級(jí)行列式的定義計(jì)算其值的方法,稱為定義法。由行列式計(jì)算的定義知,也就是說(shuō)n級(jí)行列式等于所有取自不同行不同列的幾個(gè)元素的乘積的代數(shù)和。這里是1,2…n的一個(gè)排列,當(dāng)是偶排列時(shí),式取正號(hào),當(dāng)是奇排列時(shí)式取負(fù)號(hào)。定義法是計(jì)算行列式的根本方法,對(duì)任何行列式都適用。例1：計(jì)算行列式解：這是一個(gè)四級(jí)行列式,展開(kāi)式應(yīng)有4！=24項(xiàng),但由于出現(xiàn)很多零元素,所以不為零的項(xiàng)只有這一項(xiàng),而,故。注：對(duì)于一個(gè)級(jí)行列式,按定義展開(kāi)后共有！項(xiàng),計(jì)算它就需要做！〔-1〕個(gè)乘法,當(dāng)較大時(shí),！是一個(gè)相當(dāng)大的數(shù)字,直接從定義來(lái)計(jì)算行列式幾乎是不可能的,因此,定義法一般很少用。2、三角形法：將行列式化為上三角形或下三角形行列式來(lái)計(jì)算的一種方法。〔1〕提公因式法〔Ⅰ〕行列式各行〔列〕元素的和都相同,這一類行列式的計(jì)算方法是把每一行〔列〕加到第一行〔列〕上,然后提取公因數(shù),便可轉(zhuǎn)化為〔1〕的形式或直接化為三角形的形式。例2：計(jì)算行列式分析：這是一個(gè)四級(jí)行列式,用定義法我們知道它的值是個(gè)項(xiàng)的和,能準(zhǔn)確的找出項(xiàng)也是一件麻煩的事情,觀察行列式我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它每行〔列〕的和都是,因此經(jīng)過(guò)變換提公因數(shù)后會(huì)出現(xiàn)全為的一行〔列〕,在化三角形法中,我們最愿意看到的就是一行〔列〕,故解：把所有列都加到第一列,提公因數(shù),得：由此可見(jiàn),用提公因數(shù)的方法計(jì)算某些行列式,可以減少計(jì)算量,降低出現(xiàn)錯(cuò)誤的可能性。我們?cè)賮?lái)看一個(gè)高階行列式的例子。例3：計(jì)算：分析：觀察行列式的特點(diǎn),行列式每行的和都為,故可提出公因數(shù)使第一列全變?yōu)?則便形成〔1〕的形式,同樣可以化為三角形。解：把各列都加到第一列,提出公因數(shù),得:再將第一列的倍分別加到第列,得〔2〕提因式法〔Ⅱ〕有些行列式,雖然各行〔列〕元素的和不相同,但第行〔列〕乘以適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到第一行〔列〕后,也可以提出公因數(shù)或直接化為三角形。例4：計(jì)算分析：這是一個(gè)三階行列式用前面介紹的定義法便可求出結(jié)果,即:雖然是三階行列式,但計(jì)算量也是相當(dāng)大的,仔細(xì)觀察行列式會(huì)發(fā)現(xiàn),行列式三行的和都是的倍數(shù),且后兩列的元素分別相差,因此可以進(jìn)行變換,然后提出公因數(shù),使計(jì)算簡(jiǎn)便。解：把第二、三列都加到第一列上,并用第二列減去第三列,則得〔3〕比例相加法行列式對(duì)角線以下〔上〕的元素與行列式中某一行〔列〕的對(duì)應(yīng)元素成比例。這樣的行列式,只要把行列式的某一行〔列〕乘的適當(dāng)倍數(shù)加到其它行〔列〕,即可化為三角形。例5：計(jì)算分析：觀察行列式的特點(diǎn),主對(duì)角線下方的元素與第一行元素對(duì)應(yīng)相同,故用第一行的倍加到下面各行便可使主對(duì)角線下方的元素全部變?yōu)榱?。解：將的第一行的倍分別加到第行上去,可得:例6：計(jì)算分析：觀察行列式的特點(diǎn),次對(duì)角線的上方的元素與最后一列的元素對(duì)應(yīng)成比例,故用最后一列元素的倍數(shù)加到前面的列上就可使次對(duì)角線上方的元素都化為零。解：將最后一列分別乘的后依次加到第列,可得：逐行相加法。有的行列式的行〔列〕乘的適當(dāng)?shù)谋稊?shù),逐行〔列〕相加后,可化為前面的幾種形式,進(jìn)而化為三角形或直接化為三角形。例7：計(jì)算分析：觀察行列式的特點(diǎn),主對(duì)角線上方的元素按列〔行〕成等差數(shù)列,而主對(duì)角線下方的元素按行〔列〕成常數(shù)列,故用逐行〔列〕相加法后,可使一部分元素變?yōu)榱?而一部分全變?yōu)橄嗤?從而更有利于化為三角形。一般的,若行列式對(duì)角線兩側(cè)的元素有一定的規(guī)律,如：成等差數(shù)列,成等比數(shù)列或相等時(shí),用逐行〔列〕相加法可使行列式變的簡(jiǎn)單易算。解：從D的第二行起,每行乘以〔－1〕后加到上一行,則得從第一行開(kāi)始,每行都減去下一行,又得以上的四種方法都是利用化三角形的方法來(lái)解求行列式,由定義法引申出的化三角形法是求解行列式的常用方法。由于對(duì)角線上元素相乘時(shí)要注意前面的符號(hào),為了書寫結(jié)果簡(jiǎn)單,通常我們?cè)敢饫弥鲗?duì)角線元素的乘積來(lái)表示結(jié)果,但若化為次對(duì)角線乘積更簡(jiǎn)便的方法,只要注意結(jié)果的符號(hào),化為次對(duì)角線元素的乘積也是完全正確可行的。3、降階法:利用行列式的性質(zhì)將行列式的階數(shù)降低,然后再計(jì)算行列式的值的方法,稱為降階法。降價(jià)法可以將一個(gè)階行列式化為個(gè)階行列式計(jì)算。若繼續(xù)使用按行〔列〕展開(kāi)法,可以將階行列式降階直至化為許多個(gè)階行列式計(jì)算,這是計(jì)算行列式的又一基本方法。即在較高階行列式的計(jì)算過(guò)程中,如果行列式中某一行〔或列〕中元素較多,或者可以通過(guò)采用行列式的性質(zhì)使某一行〔列〕的大多數(shù)元素化為零,則可通過(guò)展開(kāi)定理,將行列式按該行〔列〕展開(kāi),從而使較高階的行列式計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)較低階的行列式計(jì)算問(wèn)題,反復(fù)使用多次,直到將原行列式化為易于計(jì)算出的較低階的行列式。例8：計(jì)算n〔n≥2〕階行列式解：按第一行展開(kāi),得再將上式等號(hào)右邊的第二個(gè)行列式按第一列展開(kāi),則可得到例9：計(jì)算階行列式,解：將按第一行展開(kāi),得右端兩個(gè)階行列式再按第行展開(kāi)得對(duì)用相似的方法推導(dǎo)下去,則4、換元法：將行列式的元素進(jìn)行變換,然后再計(jì)算行列式之值的方法稱為換元法。例10：計(jì)算行列式解：把視為中每個(gè)元素加上x(chóng)所得,因此例11：求證D==,其中f<x>=<-x><-x>…<-x>ab.證明：作行列式D<x>D<x>=可見(jiàn)D〔-a〕=f<a>,D<-b>=f<b>,又根據(jù)行列式的性質(zhì)可知是x的一次多項(xiàng)式,所以可令D<x>=cx+d又因?yàn)镈<0>=d=D,所以D<-a>=-ca+D=f<a>;D<-b>=-cb+D=f<b>,所以D<x>=.5、遞推法：利用行列式的性質(zhì),把一個(gè)階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式〔比如,-1階或-1階與-2階等〕的線性關(guān)系式,這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式與某個(gè)低階初始行列式〔比如二階或一階行列式〕的值,便可遞推求得所給階行列式的值。有時(shí)要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性,這種計(jì)算行列式值的方法稱為遞推法。例12:計(jì)算行列式解：第1列只有兩個(gè)非零元素,不妨按第1列展開(kāi),得,由此遞推得注：按此方法解題時(shí),往往會(huì)得到一個(gè)一般的遞推公式:,此時(shí)可先計(jì)算出D1、D2、D3等,找出遞推規(guī)律,再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,進(jìn)而計(jì)算出行列式的值。例13：計(jì)算行列式解：按第一行展開(kāi)得：…<1>按遞推關(guān)系…<2>由<1>式又可推導(dǎo)出：,按逆推關(guān)系得…<3>由<2><3>解得6、數(shù)學(xué)歸納法：利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟,處理行列式的方法,稱為數(shù)學(xué)歸納法。利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值,再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想值的嚴(yán)格證明,通常采用第二形數(shù)學(xué)歸納法較多。一般用于證明行列式的正確性。例14：證明：當(dāng)時(shí),有：結(jié)論顯然成立。現(xiàn)假定結(jié)論對(duì)小于等于時(shí)成立。即有：將按第列展開(kāi),得：=故當(dāng)對(duì)時(shí),等式也成立。例15：證明行列式證明：當(dāng)時(shí),,結(jié)論成立。假設(shè)對(duì)于時(shí),結(jié)論成立,當(dāng)時(shí),從第行開(kāi)始,逐行減去上面相鄰行的倍得按第一行展開(kāi)得提取各列公因子得到的階行列式,由數(shù)學(xué)歸納的假設(shè)知其值為于是稱上述行列式為X德蒙行列式。在計(jì)算行列式中,如果有行列式可以化成X德蒙行列式則可以直接利用X德蒙行列式的計(jì)算結(jié)果,會(huì)使計(jì)算簡(jiǎn)便。7、目標(biāo)行列式法：將行列式化成一些已知其計(jì)算方法的行列式來(lái)計(jì)算的方法稱為目標(biāo)行列式法,常見(jiàn)的有化數(shù)字行列式為三角行列式計(jì)算。又如X德蒙行列式有些行列式構(gòu)造相似X德蒙行列式,則以X德蒙行列式為目標(biāo),轉(zhuǎn)化計(jì)算。例16：計(jì)算行列式D=解：=--=VV=〔二〕行列式的輔助計(jì)算方法1、加邊法：有時(shí)為了便于計(jì)算行列式,特意把行列式加邊升階進(jìn)行計(jì)算,這種方法稱之為加邊階法。加邊后必須是保值的,而且要使所得的高一階行列式較易計(jì)算。要根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加的行和列。加邊法適用于某一行〔列〕有一個(gè)相同的字母外,也可用于其列〔行〕的元素分別為-1個(gè)元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是：特殊情況取或當(dāng)然加法不是隨便加一行一列就可以了。那么加法在何時(shí)才能應(yīng)用呢？關(guān)鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子。例17：計(jì)算行列式解：加一行一列使將第一行的<>倍,加到其余各行,得顯然如果a=b原行列式如果a≠b,將其余各列都乘以,加到第一列,得2、析因子法：對(duì)于元素均為個(gè)位數(shù)的n級(jí)行列式D。證明D可被某整數(shù)整除。一般證法為將第1列乘上第二列乘上,…,第n-1列乘上10,都加到第n列上,由第n列可被某數(shù)整除而證D可被整除。例18：已知2196、2394、1800、1998能被18整除。不計(jì)算行列式D的值。證明D可被18整除。D=證明：將1、2、3列分別乘上、、10加到第4列上得D=行列式的第4列可被整除18,所以18整除D又因,2×9=18。D的3、4兩列分別可被9、2整除,由行列式性質(zhì)知D可被18整除。3、連加法：若行列式中某列〔行〕加上其余乘上某因子的各列〔行〕,使該列〔行〕元素均相等或出現(xiàn)較多零,從而簡(jiǎn)化行列式計(jì)算的方法稱為連加法。例19、計(jì)算行列式D=解：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是各列元素之和都是x+<n-1>a,先把第2行至第n行元素同時(shí)加到第1行,并提出公因式,得D=[x+<n-1>a]=[x+<n-1>a]=[x+<n-1>a].4、拆項(xiàng)法:由行列式的性質(zhì)知道,若行列式的某行〔列〕的元素都是兩個(gè)數(shù)之和,則該行列式可拆成兩個(gè)行列