高中物理競(jìng)賽-話(huà)題17：巧用質(zhì)心和質(zhì)心系求解問(wèn)題

PAGEPAGE3話(huà)題17：巧用質(zhì)心和質(zhì)心系求解問(wèn)題應(yīng)用質(zhì)心和質(zhì)心系解答競(jìng)賽題是一中重要的解題方法。特別是系統(tǒng)所受外力為零時(shí)，質(zhì)心做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，抓住這個(gè)特點(diǎn)來(lái)求解有關(guān)力學(xué)問(wèn)題往往能化難為易，化繁為簡(jiǎn)。下面舉例說(shuō)明。例1、如圖，一水平放置的圓環(huán)形剛性套槽固定在桌面上。槽內(nèi)嵌著三個(gè)大小相同的剛性小球，它們的質(zhì)量分別為、、，其中，小球與槽壁剛好接觸，而它們之間的摩擦可以忽略不計(jì)。開(kāi)始時(shí)三球處在槽中、、的位置，彼此之間距離相等，、靜止。以初速度沿槽運(yùn)動(dòng)，為圓環(huán)的內(nèi)半徑和小球半徑之和。設(shè)各球間的碰撞皆為彈性碰撞。求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期。解：此題的常規(guī)解法是逐一應(yīng)用動(dòng)量守恒，找出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。從而求出周期。該方法比較麻煩。如果注意到三個(gè)小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在圓的切線(xiàn)方向不受力。故可以認(rèn)為系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期，即質(zhì)心運(yùn)動(dòng)一個(gè)圓周。設(shè)質(zhì)心的速率為，所以周期例2、在光滑水平面上有兩個(gè)質(zhì)量均為的物體和，上有一勁度系為的輕彈簧。物以速度向靜止的物體運(yùn)動(dòng)，并開(kāi)始?jí)嚎s彈簧，求：從開(kāi)始?jí)嚎s彈簧到最大壓縮量過(guò)程中物體的位移。解：先求出彈簧的最大壓縮量。當(dāng)兩物體速度相等時(shí)，彈簧壓縮量最大。此時(shí)兩物體速度為設(shè)最大壓縮量為。由動(dòng)量守恒和能量守恒得：由得：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相對(duì)于地面來(lái)說(shuō)。、兩物體都做復(fù)雜的變加速運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在以質(zhì)心為參考系來(lái)研究、兩物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。注意到系統(tǒng)不受外力，質(zhì)心做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。其中質(zhì)心位于兩物體的中點(diǎn)處，質(zhì)心速度。在質(zhì)心系中，、兩物體相對(duì)質(zhì)心的初速度：，；由于質(zhì)心位于兩物體連線(xiàn)的中點(diǎn)處。故可以將彈簧等效為兩根一樣的彈簧串聯(lián)，勁度系數(shù)都為，兩物體在兩彈簧的作用下相對(duì)質(zhì)心做對(duì)稱(chēng)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，兩物體相對(duì)質(zhì)心的振動(dòng)周期都為，且。當(dāng)彈簧壓縮量最大時(shí)，兩物體相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的距離都是由于兩物體振動(dòng)的起始位置都是平衡位置，故運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；所以，物體對(duì)地的位移：例3用長(zhǎng)為的不可伸長(zhǎng)的彈性輕繩系上同樣的小球使它們靜止在光滑的水平面上，開(kāi)始彈性輕繩松弛彼此相距，現(xiàn)使其中一個(gè)小球沿垂直于兩球球心連線(xiàn)方向，以速度運(yùn)動(dòng)。求經(jīng)過(guò)時(shí)兩球的速度為多少？解：系統(tǒng)不受外力，系統(tǒng)的質(zhì)心做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度?，F(xiàn)以質(zhì)心為參考系，兩球最初開(kāi)始相對(duì)質(zhì)心以速率向左和向右運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)，彈性繩第一次拉直。拉直的瞬間，遵循彈性碰撞的規(guī)律，在垂直于彈性繩方向上的分速度不變。由于兩球質(zhì)量相同，沿彈性繩方向分速度大小不變，方向反向。如此反復(fù)，這相當(dāng)于小球在以繩長(zhǎng)為直徑的“圓筒”中發(fā)生彈性碰撞，“碰撞”前后小球速度類(lèi)似“光反射”定律。碰后兩球以沿各自方向勻速運(yùn)動(dòng)，到再次拉直，又“碰撞”，如次循環(huán)?？傻弥獌汕蜓剡呴L(zhǎng)的正三角形邊勻速運(yùn)動(dòng)。在質(zhì)心系中，經(jīng)過(guò)，球運(yùn)動(dòng)了的路程。由：?？傻媒?jīng)過(guò)，兩球相對(duì)質(zhì)心位置如圖所示，即和位置，速度方向如圖。球?qū)Φ氐乃俣龋?，。方向與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方向成角。故；球?qū)Φ氐乃俣龋?，方向與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方向成，故例4、質(zhì)量為的粒子以速度運(yùn)動(dòng)，與質(zhì)量為的靜止粒子發(fā)生彈性碰撞，設(shè)。求粒子在碰撞后，相對(duì)于原運(yùn)動(dòng)方向最大偏角。解：選質(zhì)心為參考系，質(zhì)心速度，且質(zhì)心速度不變。在質(zhì)心系中，的初動(dòng)量；粒子的初動(dòng)量：；在質(zhì)心系中，碰后兩個(gè)粒子動(dòng)量分別，。由動(dòng)量守恒和能量守恒有：得：；可知粒子在質(zhì)心系中速度大小保持不