新高考二輪復(fù)習(xí)真題導(dǎo)數(shù)講義第34講 估值問題（解析版）

第34講估值問題

L對關(guān)于X的方程χ3+χτ=O有近似解，必修一課本里研究過，二分法，.現(xiàn)在結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種方法，牛

3

頓切線法'.對曲線/(χ)=χ+χ-ι,估計(jì)零點(diǎn)的值在Ao=I附近，然后持續(xù)實(shí)施如下‘牛頓切線法’的步驟：

在(x(>j(??))處作曲線的切線，交X軸于點(diǎn)(40);

在(x1J(XJ)處作曲線的切線，交X軸于點(diǎn)(如。)；

在卜2，/(%))處作曲線的切線，交X軸于點(diǎn)(三⑼；

得到一個(gè)數(shù)列{x,,},它的各項(xiàng)就是方程Y+χ7=O的近似解,按照數(shù)列的順序越來越精確.請回答下列問題:

(I)求占的值；

(2)設(shè)X"+ι=g(x,,),求g(x“)的解析式(用X”表示X-1);

(3)求該方程的近似解的這兩種方法，‘牛頓切線法’和‘二分法'，哪一種更快？請給出你的判斷和依據(jù).(參

照值：關(guān)于X的方程/+X-1=0有.解X=0.6823278???)

【詳解】

(1)因?yàn)閥(x)=x3+xT,故可得/'(x)=3χ2+1,

則/(1)=1，/'(1)=4,

故可得了(X)在(?,∕(?))處的切線方程為y-1=4(χ-ι),

3

整理得y=4x-3,令y=0,則X=：.

4

根據(jù)題意，則玉=：3.

(2)由(1)中所求，

可得/(x,,)=￡+x”T/(S)=3看+1,

故可得/(x)在NJ(Xj)處的切線方程為

廣￡-七+ι=(3*+ι)(χ-χ,3

又因?yàn)?x,,τ,0)滿足切線方程,

故可得T；：-?+l=網(wǎng)+1)除-X.),

2x；：+l

解得X,,M

34+1，

故小)=∣?*

(3)根據(jù)(1)和(2)中所求,

3

用牛頓法經(jīng)過1次運(yùn)算，可得近似解％=a=0?75,

用牛頓法經(jīng)過2次運(yùn)算，可得近似解出≈0.6860...

用牛頓法經(jīng)過3次運(yùn)算，可得近似解天?0.68233…

經(jīng)過3次運(yùn)算，牛頓法求得的近似解精確到J'0.0001;

若采用二分法，選定初始區(qū)間為(()/)，

因?yàn)?(0)?∕(l)<0,經(jīng)過一次運(yùn)算，近似解為0.5，

因?yàn)榻?jīng)過二次運(yùn)算，近似解為0.75，

因?yàn)槌?∕'(0?75)<0,經(jīng)過三次運(yùn)算，近似解為0.625,

經(jīng)過3次運(yùn)算，二分法求得的近似解才精確到0.1.

不難發(fā)現(xiàn)，牛頓法相對二分法要更加快速

2.已知函數(shù)/(x)=XTn(Or+l)(αWO).

(1)若f(x)≥0,求。的值；

(2)已知某班共有"人，記這"人生日至少有兩人相同的概率為P("),〃≤365,將一年看作365天.

(i)求尸(")的表達(dá)式；

(H)估計(jì)P(60)的近似值(精確至IjOQl).

奐??*fr∕吉S"243156

落為雙恒：e73*0.00783'e73≈0.03487,73≈().118()1?

【詳解】

(1)由題得，當(dāng)4>0時(shí)，/(x)的定義域?yàn)?-)+8)：

當(dāng)4<o時(shí)，/(X)的定義域?yàn)椴贰?-￡|,

又/(0)=0,且f(x)20,

所以X=0是/(?)的極小值點(diǎn)，故/'(O)=0.

W/'(X)=I,于是l-α=0,解得α=l.

OX:+1

下面證明當(dāng)〃=1時(shí)，/U)≥0.

1γ

當(dāng)4=1時(shí)，AX)=X-In(X+1),r(X)=I-------=——，χ>-l,

x+1x+1

所以當(dāng)x>0時(shí)，/(X)>0,/(χ)單調(diào)遞增；當(dāng)-l<χ<0時(shí)，/'U)<0,/(χ)單調(diào)遞減，

所以/(x)≥/(0)=0,即a=l符合題意.

綜上，d=??

365×364×363××(365-n+l)

(2)(?)由于〃人生日都不相同的概率為

365ji

365×364X363χX(366-n)

故〃人生日至少有兩人相同的概率為P(〃)=l-

365”

2×365^-^73

J?!

即rnf<戶

由參考數(shù)值叫<整石<(H)O79

于是P(60)=1-Z>1-0.∞79=0.9921

故P(60)≈≈0.99.

3.己知函數(shù)/(x)=e*-e"-2χ.

(1)討論/(χ)的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)="2x)-W(X),當(dāng)χ>0時(shí)，g(x)>。,求方的最大值；

(3)已知1.4142<√∑<1.4143,估計(jì)∣n2的近似值(精確到0.001)

【詳解】

(1)因?yàn)閞(x)=e'+[-2≥0,當(dāng)且僅當(dāng)χ=0時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)；

e

(2)因?yàn)?(x)=/(2x)-砌'(x)=e2*-e-2*-4"(e"-eT)+(助-4)x,

所以g'(x)=2[e2'+e^2x-2b(e'+e^')+(4b-2)]=2(ex+e^x-2)(ex+e^x-2b+2).

當(dāng)叢2時(shí),g'(x)≥0,等號(hào)僅當(dāng)X=O時(shí)成立,所以g(x)在R上單調(diào)遞胤而g(0)=0,所以對任意X>0,g(x)>O;

當(dāng)方>2時(shí)，若X滿足2<e*+eT<2b-2,即0<χ<ln(b—1+一2/?)時(shí)，g'(x)<O,而g(0)=0,

因此當(dāng)O<x≤lng-1+麻豆)時(shí)，g(x)<O,

綜上，方的最大值為2.

(3)由(2)知，g(lnΛ∕2)=——2>∕2?÷2(2?-1)In2,

當(dāng)b=2時(shí)，g(ln√2)=∣-4√2+61n2>0,In2>8^~3>0,6928：

當(dāng)b=乎+1時(shí)，InS7+招-2b)=M也,?(l∏√2)=-∣-2√2+(3√2+2)ln2<0,

In2<生乎<0.6934,所以In2的近似值為0?693?

X2-1

4.已知函數(shù)/(%)=-------k?nx(x≥?).

X

(1)若/(χ)≥o恒成立，求出的取值范圍；

(2)若取芯=2,236,試估計(jì)in*的范圍.(精確到0.01)

4

試題解析：

(I)f'(x)=χ2~k^+l;

X

①當(dāng)-2≤%≤2時(shí)，公_4<0,--京+1>0恒成立，所以xe[l,+oo)時(shí)，

∕,(x)≥0,/(x)單調(diào)遞增，/(XR/(1)=0恒成立.

②當(dāng)上<—2或左>2時(shí)，?'(x)=O,解得為=A二四三X,="正三

22

IIXl+j?-k,x,x2-I

(i)當(dāng)&<-2,則與v(),wvθ,故xe[l,+∞)時(shí)，∕,(x)≥0>

F(X)單調(diào)遞增，/(x)≥/⑴=0恒成立.

(H)當(dāng)k>2,則為當(dāng)x∈(l,x2)時(shí),/'(X)<0.f(x)單調(diào)遞減；

/(x)</⑴=0恒成立.這與/(x)20恒成立矛盾.

綜上所述，k的取值范圍是(-8,21

(2)由(1)得/(χ)=1≥21nx(x≥l)恒成立，取X=A>1，

得2%戶V\g-#=>ln9v^-2=^=0.22361?

V4?4V542√510

又由(1)可知火>2時(shí)，αi<Mnx在(11+"7H)時(shí)恒成立,

X2

令k+加-4=∣5t解得火=噸，取女=為5>2，

2V41010

即有《二叵InX在(1,、F)上恒成立，

X10V4

取X=舟得A-A<凈n即lnj>∣=0?2222

0.2222<In-<0.22361(精確到0.01),取ln*=0.223?

44

5.已知函數(shù)f(x)=Inx+—.

(I)若函數(shù)g(x)=/(X)-以在口,+8)內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若函數(shù)/2@)=/(幻-(1+協(xié)/+加在［1,2］內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)｝的取值范圍；

(3)已知ln2=0,6931,試估算In5的近似值，(結(jié)果精確到0.001)

【詳解】

解：(I)由題,g(x)=lnx+χ2-mc(x>0),

“、1C

g(x)=-+2x-a,

X

■g(χ)在［L+∞)內(nèi)為增函數(shù)，

g'(x)≥0在xv［l,+8)上恒成立,即ɑ≤(2x+m,

VXImin

令f(x)=L2x,則t(X)=-y+2>0,所以f(x)在［1,+8)內(nèi)為增函數(shù)，

XX

所以avr(x)niM=r(l)=3.

(2)由題,〃(x)=Inx-bx2+Zzx,

/.h,(x)=--2hx+b,

X

①當(dāng)b≤0時(shí)，*中，2］,則//。)=’+僅1—2》)>0,二3)在口,2］內(nèi)為增函數(shù)，

X

ZI(I)=O,則當(dāng)x∈(1,2］時(shí),h(x)>∕z(l)=0,

.?.A(X)在［1,2］內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意；

②當(dāng)/>>0時(shí),設(shè)0(X)=〃&),則”。)=-4-2)<0,；.爾)在［1,2］內(nèi)為減函數(shù)，

X"

,

且W⑴=h(Y)=?-blφ(2)="(2)=；-3b,

(i)當(dāng)0<h≤Lxw(l,2)時(shí)43〉〃'⑵='—3A20,??∕(R)在［1,2］內(nèi)為增函數(shù)，

62

"⑴=0,則當(dāng)％∈α,2］時(shí)/(%)>〃⑴=0,.??g)在［1,2］內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意;

(Ji)當(dāng)Lb<l時(shí),"⑴=l-b>0/'⑵=--3b<0,

62

3?€(1,2),使得Λ,(?)=O,Pl∣JΛ(x)在(1,X。)內(nèi)為增函數(shù),Λ(Λ)在(刈2)內(nèi)為減函數(shù)，

則〃(X(J)>Λ(D=O,則h(x)在(1,2］內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)A(2)=In2-2?！?,

解得一?-≤?<1；

2

(Hi)當(dāng)方≥1,xe(1,2)時(shí),∕z'(x)<〃'⑴=l-?≤0,.?.MX)在［1,2］內(nèi)為減函數(shù)，

,/⑴=0,則當(dāng)Xe(1,2］時(shí),∕ι(x)<Λ(1)=O,.?.A(x)在［1,2］內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意,

綜上所述,b∈竽,1).

(3)由(I)可知,當(dāng)4=3時(shí),g(x)=lnx+χ2-3χ在(1,?HΛ)內(nèi)為增函數(shù)，

所以g(x)>g⑴=-2,即In尤>-F+3x-2在(1，+∞)內(nèi)恒成立，

由(2)可知,當(dāng)方=1時(shí),〃(X)=InX——+x在(1,2］內(nèi)為減函數(shù)，

所以Λ(Λ-)<人(1)=0,即InX</一*在0,?內(nèi)恒成立，

綜上,有-X2+3x-2<lnx<x2-x,即(x—1)(2—x)<Inx<MX-I)在0,2］內(nèi)恒成立,

19210β

令X=Wl=Lo24,則有(1.024-l)x(2-1.024)<In考I<1.024x(1.024-1),

27

可得0.0234<ln—<0.0246,即0.0234<71n2-31n5<0.0246,

則0.0234<7×0.6931-31n5<0.0246，

解得1.6090<In5<1.6094,

所以ln5的近似值約為1.609.

6.設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)=(l+x)r+1-(r+l)x-1(x>-1)的最小值;

r+1r+1r+1

產(chǎn)-(n-l)(n+l)n

(2)證明:—<nr<

r+1r+1

(3)設(shè)χ∈R,記岡為不小于X的最小整數(shù)，例如[2]=2,［π］=4,［-∣］=-1.令

S=?T+?2+V83+-??+V125?求［S］的值?

4444

3

(參考數(shù)據(jù):80‰34417j81‰350.5,124≈618.3,126^≈631.7)-

【解析】

(1)由題意得f'(X)=(r+1)(l+x)r-(r+1)=(r+1)［(l+x)r-1］,

令f'(x)=0,解得x=0.

當(dāng)-1VXVo時(shí),f'(x)<0,Λf(X)在(-2,0)內(nèi)是減函數(shù)；

當(dāng)x>0時(shí)，f'(×)>0,Λf(×)在(0,+8)內(nèi)是增函數(shù).

故函數(shù)f(X)在x=0處，取得最小值為f(O)=0.

(2)由(1),當(dāng)x∈(-1,+8)時(shí)，有f(X)≥f(O)=0,

即(l+x)r+1>l+(r+l)X,且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)X=O時(shí)成立，

故當(dāng)x>-l且XH0,有(l+x)m>l+(r+l)X,①

在①中，令x」(這時(shí)x>-：!且XHO),得(14)"i>ι+?

nnn

上式兩邊同乘N+'得(n+l)r+1>nr+1+nr(r+l),

即<(n+l)M-n田②

r+1

當(dāng)n>l時(shí)，在①中令X=-1(這時(shí)x>-1且XW0),

r+1一/_?r+1

類似可得------⑺-1-----③

r+1

且當(dāng)n=工時(shí)，③也成立.

r+1/1Xr+1/1?r+lr+l

綜合②，③得工一一(n-l)_<y(n1+l)工,④

r+1r+1

(3)在④中，令n分別取值81,82,83,125,

?

44444444

得?∣(8p-803)<?1<-∣(823-81^5)'-∣(823-813)<^82<1(833-823),

4444

-∣(833~823)〈加5<∣￠843"833)'…

4444

-∣(125^-124^)<V125<^(126^-125^A

4444

將以上各式相加，并整理得2(1253-8Q3)??S<C~(12θ3-813).

4444

代入數(shù)據(jù)計(jì)算,可得_1(125^3-so?)≈210.2,I(126^-8p)≈210.9

由⑶的定義，得⑶=211.

ZTT

7.已知函數(shù)/(x)=∕n(l+%)------j(q>0)?

x+?

(1)若x=l是函數(shù)"兀)的一個(gè)極值點(diǎn)，求”的值;

(2)若/(x)..0在［O,+∞)上恒成立，求α的取值范圍;

(3)證明：(理嚴(yán)°<J(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

2020e

【解答】解：(1)因?yàn)?(x)=Λι(x+l)-0-(α>0),所以尸(χ)=X+1二，(?>0),

x+1(x+1)

因?yàn)閄=I是函數(shù)/⑺的一個(gè)極值點(diǎn)，故/(1)=0,即。=2,當(dāng)。=2時(shí)，當(dāng)經(jīng)驗(yàn)得％=1是函數(shù)/(x)

的一個(gè)極值點(diǎn)，所以。=2.

(2)因?yàn)?(x)..0在［0,+∞)上恒成立，所以/(χ).??0.

當(dāng)Oea,1時(shí)，/(χ)=±tl二g..0在［0,+8)上恒成立，即/(X)在［o,+8)上為增函數(shù)

(χ+l)^

所以/(^).,=/(0)=0成立，即°<知1為所求?

當(dāng)α>l時(shí)，令r*)=x+l一，>0,則x>4-l,令八X)=X+l-∕<o,則O<x<α-1,

(X+1)-(X+1)^

即/(x)在(OM-I)上為減函數(shù),在(α-l,+∞)上為增函數(shù).當(dāng)∈(0,α-l)時(shí)，/(x)</(0)=0,這與/(x)..0

矛盾.綜上所述，0的取值范圍是(0，1］.

(3)耍證(至12)202。<1,只需證2020.兩邊取自然對數(shù)得.,2020勿蟲竺

2020>e>1,

2020e20192019

上式等價(jià)于歷20上20>,1，只需要證明勿20衛(wèi)20-一1—>0,只需要證明

2019202020192020

1IY

ln(l+)------------->0,由。=1時(shí)，/(x)=∕n(x+l)---------在(0,+oo)單調(diào)遞煙.

20191+2019x+l

1

又>(),/(0)=0,

l÷2019

1

2019二歷2020__L

/(x)=∕π(l+---)->/(0)=0,從而原命題成立.

20191+120192020

2019

8.已知函數(shù)Fa)=加(1+1).....—,其中)∈(0,1］.

l+αT

(1)討論函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上的單調(diào)性;

,20212Q2o42021.2020

(2)求證:(---嚴(yán)g<e<(z-------)

20202020

1a~x1-2α

【解答】W-：(1)/(X)=-^----------7=------------------7°(zX-----?—)x

x÷l(Or+1)2(x÷l)(0v+1)2a1

當(dāng):融1,0<x<l時(shí)，f?x)>0,所以/(X)在［0，1］單調(diào)遞增,

當(dāng)匕聯(lián)>10。2+2。一1<0=0<。<及一1,

由O<x<l,得尸(X)V0,所以/(x)在［O,(單調(diào)遞減,

1[O/

當(dāng)也一l<α<]時(shí)，當(dāng)0<x<——時(shí)，∕,(x)<0,

I—2〃

當(dāng)——CX<1時(shí)，∕r(x)>0,

a

所以/(X)在(0,4)單調(diào)遞減，在(空,1)單調(diào)遞增.

a"a

(2)不等式(幽)23<0<(些嚴(yán)o,

20202020

即0+-L-)≡o+o?4<e<0+L)2。加心，

20202020

為此先證明：(1+-!-)n+0?4<e<(l+?+05(n∈NJ,

nn

n+05

由(1+J)"+°4<e<(i+l)?<=>(n+0?4)∕n(l+!)<1<(〃+0.5)∕n(l+-)

nnnn

1

由

/X霜當(dāng)

(l=

Xz2-f(x)在(0,。單調(diào)遞增，/(x)..∕(O)=O，

X

即Zn(l+x)..：

1+0.5X

+05

令X=L,則有(n+O.5)∕”(1+J)>1,?(l+i)"?>e.

nnn

由(1)知,當(dāng)。=0.4,/(x)在((M)單調(diào)遞減，f(x),"(O)=O,

即ln(y÷x)?-----------,

l+0.4x

令％=’,則有(〃+0.4)歷(1+')>1,故(l+')"+°4Ve.

nnn

綜上，對WneN.,(l+3"+g<e<(l+3"°?5恒成立，

nn

r；r-U20210θ9θ420212O^>O5

所以(i-----<e<(----------).

20202020

9.已知函數(shù)/(x)=ln(?+x)--------(g>0).

%+1

(1)若函數(shù)在X=I處的切線與X軸平行，求4的值；

(2)若/(x)..0在［0,+8)上恒成立，求〃的取值范圍;

(3)證明：(黑產(chǎn)”<%是自然對數(shù)的底數(shù)).

【解答】解：(1)f(x)=ln(?+x)......—,(〃>0),

x÷l

.?.r(x)∕+J,,f'(1)=0,即a=2：

(x+l)2

(2)f(x)..0在［O,+0o)上恒成立，.?./(x)m,n..O.

當(dāng)0<a,1時(shí)，r*)..0在［0,+8)上恒成立，即/(X)在［o,+∞)上為增函數(shù),

.?.∕‰=/(O)=O成立,即O<w,1,

當(dāng)。>1時(shí)，令r(x)..O,則x>4-l,令尸(X)V0,貝IJQ,x<α-l,

即/(x)在［O,α-l)上為減函數(shù),在(α-l,÷∞)上為增函數(shù),

???∕ω,,,,,,=∕ω-D??0'X∕(0)=0>∕(6z-l),則矛盾.

綜上，α的取值范圍為(O,I］.

(3)要證(至3)237<J,只需證(也產(chǎn)7>e

2017e2016

兩邊取自然對數(shù)得，2017/?—2017>1,即證妨2絲017，>—1!—

201620162017

2017111

即證/〃上U———>0,即證加(1+，)——!—>0,

2016201720161+2016

X

由(2)知。=1時(shí)，/(x)=∕π(l+x)---------在［0,+8)單調(diào)遞增.

x+1

又一!—>0,/(0)=0,

1+2016

所以/(?)=∕n(l+?)------］—>?(θ)=0，

201620161+2016

所以(2竺產(chǎn)"<1成立.

2017e

∩γj

10.已知函數(shù)/(x)=ln(↑+x)--------(a>0).(注：［加(1+x)］z=-------)

x+11+x

(1)若X=I是函數(shù)/(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求α的值；

(2)若/(x)..0在［0,+8)上恒成立，求”的取值范圍;

201420l5

（3）證明：（■)<A.

2015e

【解答】解：(l)函數(shù)/(x)=∕"(l+x)—旦(α>0).

x+1

,函數(shù)?。?占a(x+↑)-axx+1-a

(α>0)?

(X+1)2(X+1)2

?.?X=1是函數(shù)/（x）的一個(gè)極值點(diǎn),

2—

Λft(1)=3^ci二0

4

.?,α=2：...(2分)

(2)/(x)..0^F.[O,e)上恒成立,

???∕(x),"M??0，…(3分)

當(dāng)0<4,l時(shí)，r（x）..0在10,+8）上恒成立，即/（X）在［0,+8）上為增函數(shù)，.??（4分）

Jj(X)*=/(O)=O成立，

.?.0<0,,1...(5分)

當(dāng)α>l時(shí),令T(X)>0,則x>α-l,令廣(X)V0,則Q,x<α-1,...(6分)

即/（x）在［0,〃一1）上為減函數(shù)，在（α-1,8。）上為增函數(shù),

???∕‰=∕(?-n??θ,

又/(0)=0>(a-1),則矛盾.

綜上，α的取值范圍為（0,1］…（8分）

證明：（）要證：（期）刈,只需證(")23

35>e.

2015e2014

2015

兩邊取自然對數(shù)得，2015//1>1,...(9分)

2014

,20151

即hn歷---->-----,

20142015

,20151八

h即πIn----------------->0,

20142015

即加

(1+—^—)------!—>0,...(II分）

20141+2014

X

由(2)知〃=1時(shí)，/(x)=∕∕t(l÷x)---------在[0,+8)單調(diào)遞增.

x+1

又——-->0,/(0)=0,

1+2014

/(」一)=妨(1+」一)----i—>/(0)=0...(13分)

20142014l÷2014

??.(網(wǎng)產(chǎn)5<工成立..?(14分)

2015e

11.設(shè)函數(shù)/(x)=(1-㈤加(l+x)-X,其中4為實(shí)數(shù).

(1)當(dāng)%時(shí)，求/(X)在區(qū)間［O,1］上的最小值；

/八十、T20212020∣

(2)求證：(----)2>e?

2020

1—∩γ

【解答】解：(1)ff(x)=-aln(x+i)+----------1,

x÷l

√,/、a-4(l+X)-(I-OV)0r+2α+l

fz(X)=--------+---------------；-------=................-，

l+x(l+x)2(l+x)2

,,∣CL,,—5時(shí)，乂IX∈［0?1］上，.?.f(X)>0?

那么f'(x)在［0，1］上單調(diào)遞增，f?x)min=尸(0)=0，

即∕,(x).?0.

所