2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)練習(xí)：橢圓（附答案解析）

2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)：3.1橢圓

一.選擇題（共5小題）

%V

I.已知橢圓-7+?7=l（α>b>0）,Fi,尸2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)

P，使得IPFlI-IPF21=26,則該橢圓離心率的取值范圍為（）

A.（OfB.[?.1）C.（0rD.[-^/1）

X2V2

2.已知橢圓>7++=1,尸是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若橢圓內(nèi)一點(diǎn)A（1,1）,

43

則∣R1∣+∣PF1的最小值為（）

-1

A.3B.√10C.√5÷∣D.√5+1

X2V2

3.橢圓C：—÷—=1的短軸長為（）

94

A.2B.3C.4D.6

%V

4'在橢圓版+F=1'（m>D的左、右焦點(diǎn)分別為八放，過上垂直于X軸的直

線交橢圓于A,3兩點(diǎn)，且SMBO=|，則橢圓的離心率為（）

%V

5.已知M是橢圓C萬+全=1上的一點(diǎn)，則點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和是（）

A.6B.9C.14D.10

二.填空題（共5小題）

X乙2V乙2

6.設(shè)橢圓-7+七=l（α>b>O）的兩個焦點(diǎn)分別為為、Fi,P為橢圓上一點(diǎn)，PF2垂直于

X軸，若△尸1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是e=.

7.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,對稱軸是坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在X軸上，焦距為2遍，且經(jīng)過

點(diǎn)（點(diǎn)，√2）,該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

X2y2

8.已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為為，∕?的橢圓-+-=1上，則上門1+仍b2|=___.

1679

9.己知a,放分別是橢圓c：3+1=ι的上，下焦點(diǎn)，若橢圓C上存在四個不同點(diǎn)p,

使得aPF1F2的面積為√L則C的離心率的取值范圍是.

10.已知點(diǎn)P是橢圓C；薨+哈=1上一點(diǎn)，AB是圓M：x2-8x+）2=0的直徑，則易.而

的取值范圍為.

≡.解答題(共3小題)

11.我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星，它的運(yùn)行軌道是以地球的中心尸2為一個焦點(diǎn)的橢圓，

橢圓長軸的兩個端點(diǎn)4、8分別為近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)，如圖所示.衛(wèi)星在近地點(diǎn)A與地球

表面的距離為439千米，在遠(yuǎn)地點(diǎn)B與地球表面的距離為2384千米，地球中心與A、B

在同一直線上.己知地球的半徑R為6371千米，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求衛(wèi)星軌

道的方程.

%2y21

12.已知橢圓E：熊+京■=l(α>b>O)的離心率e=2，過橢圓的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的直線

與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為b，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

?χ2y2

13.已知橢圓/+~=l(α>b>O)焦點(diǎn)為Fi(-2,0),Fi(2,0)且過點(diǎn)(-2,3),

橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)Fi,F2的距離之差為2.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求^PFιF2的面積.

2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)：3.1橢圓

參考答案與試題解析

一.選擇題(共5小題)

2V42,

1.已知橢圓丁+77=l(Q>b>0),Fi,放分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)

P，使得IPFIl-∣PF2∣=2b,則該橢圓離心率的取值范圍為()

A.(0，B.[?.1)C.(0,-^]D.[-?/1)

【解答】解：由題意可得-2CWlPFIl-IPF2∣W2C,

由題意可得2bW2c,而廬=〃2-02,e=￡,

a

所以可得：e≥*,而e∈(0,1),

故選：D.

12y2

2.已知橢圓一+二=1,尸是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若橢圓內(nèi)一點(diǎn)A(1,1),

43

則∣∕?∣+∣Pf]的最小值為()

A.3B.√TθC.√5+∣D.√5+1

【解答】解：由橢圓的方程可得2a=4,焦點(diǎn)尸(-1,0),

因為A在橢圓內(nèi)部，設(shè)右焦點(diǎn)產(chǎn)，則尸(1,0),

則∣∕?∣+∣PF∣=∣%∣+2"-IP尸|22"+|%|-∣P斤|=2"TA尸|=4-1=3,

當(dāng)且僅當(dāng)P,A,尸三點(diǎn)共線時取等號，

故選：A.

X2y2_

3.橢圓C：—÷—=1的短軸長為()

94

A.2B.3C.4D.6

X2V2

【解答】解：因為橢圓C—÷V=

94

所以?2=4,

所以h=2,

所以橢圓的短軸長為28=4,

故選：C.

X2V2、

4.在桶圓--+—-~-=1,(機(jī)>1)的左、右焦點(diǎn)分別為尸1,Fi,過b2垂直于X軸的直

mzmz-l

線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，且S-BO=*則橢圓的離心率為（）

11√21

A.-B?—C.—D.一

3226

【解答】解：由橢圓的方程可得〃2=z√,廬=〃?2-1,

所以c?2=J-從=1,可得C=1,

C2y∩2

設(shè)A的坐標(biāo)為（c,γo）,則一+W=L

a2b2

,2

所以述1=0，

1b28

所以SMOB=5?c?2∣γo∣=c?-=-，

/a3

可得α=3,

所以離心率e=E=熱

故選：A.

X2y2.

5.已知M是橢圓C萬十會=1上的一點(diǎn)，則點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和是（）

A.6B.9C.14D.10

%2y2

【解答】解：由橢圓C：—+y=1,得“2=9,即4=3.

X2y2

TM是橢圓C：3+1=1上的一點(diǎn)，橢圓兩焦點(diǎn)分別為Q、Fi,

由橢圓定義可得：IwI+1MF2∣=20=6.

故選：A.

二.填空題（共5小題）

X2V2.

6.設(shè)橢圓一^+/=l（a>b>O）的兩個焦點(diǎn)分別為尸1、Fz,P為橢圓上一點(diǎn)，尸尸2垂直于

azDz

X軸，若△為PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是《=_&一1_.

%2y2

【解答】解：*.,橢圓~?+77=l（a>b>O）的兩個焦點(diǎn)分別為尸1、Fι,PF2垂直于X軸，

αzDz

,2

???∣PF2∣=??,

?.?△F1PF2為等腰直角三角形，

J.2ac^a2-c2,S∣Je2+2e-1=0,解得e=√Σ—1或e=—√Σ-1（舍去）,

Λ√2-1.

故答案為：√2-l.

7.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)0,對稱軸是坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在X軸上，焦距為2遍，且經(jīng)過

22

點(diǎn)(√5,√Σ),該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是——+—=1—.

%2y2

【解答】解：設(shè)橢圓方程為：—+μ=l(α>6>0),由題意可得：

3.2_12c%2y2

滔屋=,解得：fɑ-L即橢圓的方程為：-+v=1.

1α2=h2+60=393

X2V2

故答案為：—+—=1.

93

X2V2

8.已知點(diǎn)尸在焦點(diǎn)為尸I,尺的橢圓77+i=1上，則IP乃∣+∣P尸21=8.

169

X2V2

【解答】解：點(diǎn)P在焦點(diǎn)為為，放的橢圓77+-=1上，

則甲尸ι∣+∣PF2∣=2α=8.

故答案為：8.

9.己知Q,尸2分別是橢圓C：3+1=1的上，下焦點(diǎn)，若橢圓C上存在四個不同點(diǎn)P,

使得4PF1F2的面積為VL則C的離心率的取值范圍是一(空，等)

【解答】解：:?橢圓C；哈+*=1，

Λ2c=2√3—m,

?.?橢圓C上存在四個不同點(diǎn)P,使得aPF1F2的面積為VL

Λ∣×2√3-m×√m>√2,解得l<"i<2,

故C的離心率的取值范圍是(空，等).

故答案為：亭?).

10.已知點(diǎn)P是橢圓C；第+哈=1上一點(diǎn)，AB是圓M：x2-8x+)2=0的直徑，則易.而

的取值范圍為[-12,841.

【解答】解：將/-8X+)2=0轉(zhuǎn)化為(χ-4)2+√=16,即圓心M(4,0)是橢圓C的

右焦點(diǎn)，

PA-PB=(PM+MA)?(PM+MB)=PM2-MA2=PM2-16,

又是橢圓C;∣∣+喧=1上一點(diǎn)，

Λ∣PM∣∈[2,10],

故后?麗的取值范圍為[-12,84].

故答案為：[-12,84].

三.解答題(共3小題)

11.我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星，它的運(yùn)行軌道是以地球的中心Fi為一個焦點(diǎn)的橢圓，

橢圓長軸的兩個端點(diǎn)A、B分別為近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)，如圖所示.衛(wèi)星在近地點(diǎn)A與地球

表面的距離為439千米，在遠(yuǎn)地點(diǎn)B與地球表面的距離為2384千米，地球中心與A、B

在同一直線上.已知地球的半徑R為6371千米，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求衛(wèi)星軌

道的方程.

【解答】解：以衛(wèi)星軌道的中心為原點(diǎn)。，線段AB所在直線為X軸,

A方向為X軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系,

X2V2

設(shè)橢圓的方程為一j+77=1,Fi(c,0),

設(shè)A',"是直線AB與地球表面的兩個交點(diǎn),

則Q-C=A∕72=A4'+/?=6371+439=6810,

a+c=BF2=ABf+R=6371+2384=8755,

α=7782.5,C=972.5

b=7782.52-972.52=7721.5,

X2y2X2y2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1,即+

7782.529+7721.52760567306.2559621550

12.已知橢圓E-.后%+標(biāo)V=l(a>b>O)的離心率—e=]1,過橢圓的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的直線

與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為√5,求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

1C1

【解答】解：由？=亍得一=一，即α=2c,=√5c,

202

又三角形的面積為5ɑb=V3,.*.a=2,b=V3,

X2y2

所以橢圓E的方程為一+'=1.

43

X2y2

13.已知橢圓=+三=I(Q>b>0)焦點(diǎn)為Fi(-2,0),Fi(2,0)且過點(diǎn)(-2,3),

αzDz

橢圓上一點(diǎn)尸到兩焦點(diǎn)為，尸2的距離之差為2.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求4PFιb2的面積.

X