2023屆高考數(shù)學試題一輪總復習題型練習第10講　冪函數(shù)與二次函數(shù)講義

第10講鬲函數(shù)與二次函數(shù)

考點1：幕函數(shù)的圖象與性質

考點2:二次函數(shù)的解析式

幕函數(shù)與二次函數(shù)ψ

Z二次函數(shù)圖像的識別

考點3:二次函數(shù)的圖象和性質R

一、二次函數(shù)的單調性與最值

走港峨帶?自主劇II

1.事函數(shù)

⑴定義

形如的函數(shù)稱為塞函數(shù)，其中底數(shù)X是自變量，α為常數(shù).常見的五類基函數(shù)為y=x，y

?

-JC，y=x3，y-χ2，y—xl.

(2)性質

①事函數(shù)在(0'+℃)上都有定義；

②當?>0時，基函數(shù)的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，+8)上單調遞增；

③當α<0時，基函數(shù)的圖象都過點(1，1)，且在(0，+8)上單調遞減.

2.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：J(χ)-；

②頂點式：Kx)=；

③零點式：KX)=.

(2)二次函數(shù)的圖象和性質

fl,x)=ax2+bxj(x)=ax1+bx

解析式

+c(α>0)+c(α<0)

?J://Jlv

圖象

∕θ∣；V

定義域(-∞，+co)(—8，+θθ)

4ac-h2、(4ac-b2

值域,+oo00

L^^^^JC，

在上單調遞減：一在上單調遞增：

單調性

在___________上單調遞增在_________上單調遞減

奇偶性當___________時為偶函數(shù)，當厚0時為非奇非偶函數(shù)

頂點—

圖象關于直線一方成軸對稱圖形

對稱性X=

考點探究?題型突破

A考點1******

［名師點睛］

1.對于察函數(shù)圖像的掌握，需記住在第一象限內三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x=l,y=l,y=

X所分區(qū)域.根據(jù)α<O,O<α<l,α=1,a>?的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

2.在比較霖值的大小時，可結合森值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調性進行比較.

3.在區(qū)間(0,1)上，黑函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越靠近X軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1,+8)上,

黑函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越遠離X軸(簡記為“指大圖高”).

［典例］

1.(2022?全國?高三專題練習)若寨函數(shù)F(X)=J(〃?，"GN*,m,〃互質)的圖像如圖所示，則(？?????？)

A.in,〃是奇數(shù)，且一Vl

n

B.爪是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，且%>1

n

C.，〃是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，且‘<1

n

D.巾是奇數(shù)，〃是偶數(shù)，且

n

2.(2022?全國?高三專題練習)基函數(shù)/(χ)=("∕+5wι-5)χ/τm(wiGZ)是偶函數(shù)，且在(0,+∞)上是

減函數(shù),則m的值為(???????)

A.-6B.1C.6D.1或-6

3.(2022?全國?高三專題練習)己知基函數(shù)/(x)=(,"-l)丁的圖象過點(也8).設α=∕(2°3),?=∕(θ.32),

c=/(Iog20.3),則a,b,c的大小關系是(???????)

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

02/25

[舉一反三]

1.(2022?北京?二模)下列函數(shù)中，與函數(shù)P=V的奇偶性相同，且在(O,4W)上有相同單調性的是(???????)

C.y=sin*D.尸乂兇

2.(2022?全國?高三專題練習)已知基函數(shù)y=Ax)經(jīng)過點(3,右)，則√(x)(???????)

A.是偶函數(shù)，且在(O,+oθ)上是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在(0,+oo)上是減函數(shù)

D.是非奇非偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)

3.(2022?全國?高三專題練習)函數(shù)/(x)=xα^2與g(x)=均單調遞減的一個充分不必要條件是(???????)

A.(0,2)B.[0,l)C.[1,2)D.(1,2]

4.(多選)(2022?廣東潮州?二模)已知幕函數(shù)的圖象經(jīng)過點(4,2),則下列命題正確的有(???????).

A.函數(shù)f(x)的定義域為R

B.函數(shù)/(x)為非奇非偶函數(shù)

C.過點尸(0,；[且與"χ)圖象相切的直線方程為y=

D?若…>。，則/叫小)>D

5.(2022?海南?文昌中學高三階段練習)已知幕函數(shù)/(x)=x"(αeR)過點A(4,2),則/(；)=.

6.(2022?北京通州?一模)基函數(shù)f(x)=x"'在(0,+e)上單調遞增，g(x)=x"在(0,+⑹上單調遞減，能夠

使y=∕(x)-g(x)是奇函數(shù)的一組整數(shù)m,n的值依次是.

7.(2022?重慶?二模)關于X的不等式(X-I)29999?χ9及≤χ+1,解集為.

8.(2022?全國?高三專題練習)如圖是基函數(shù)y=x%(αi>0,i=l,2,3,4,5)在第一象限內的圖象，

其中α∕=3,ot2=2,α3=l,%=；,%=：，已知它們具有性質：

①都經(jīng)過點(0,0)和(1,1)；?????②在第一象限都是增函數(shù).

請你根據(jù)圖象寫出它們在(1,+∞)上的另外一個共同性質：.

yl

9.(2022?廣東深圳?高三期末)已知函數(shù)/(x)的圖像關于原點對稱，且在定義域內單調遞增，則滿足上述

條件的幕函數(shù)可以為/(X)=.

10.(2022?北京?高三專題練習)已知尋函數(shù)MX)=(∕-5m+l)x*為奇函數(shù).

(1)求實數(shù)〃?的值；

［典例］

1.(2022?全國?高三專題練習)己知二次函數(shù)KX)滿足/(2)=-1,Λ-l)=-l,且7(x)的最大值是8,二

次函數(shù)的解析式是

2.(2022?全國?高三專題練習)已知/(x)為二次函數(shù)，/(0)=0,/(2X+1)-∕(X)=X12+3X+2,求/(x)的

解析式.

［舉一反三］

1.(2022?全國?高三專題練習)若函數(shù)y=41+2過定點P,以P為頂點且過原點的二次函數(shù)"x)的解析

04/25

式為()

A./(X)=-3X2+6XB.f(x)--2x2+4x

C.f(x)-3x2-6xD./(x)=2xi-4χ

2.(2022?全國?高三專題練習)己知/(x)為二次函數(shù)，且〃X)=X2+∕'(x)-1,則/(X)=(???????)

A.χ2—2χ+1B.χ2+2.x+1

C.2X2-2X+1D.2X2+2X-?

3.(2022?全國?高三專題練習)己知/S)是二次函數(shù)且滿足/(0)=l"(x+D-/(X)=2x,則函數(shù)/(χ)的解

析式為.

?考點3二次函數(shù)的圖象與性質

【名師點睛1

二次函數(shù)最值問題的類型及求解策略

(1)類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱軸動、區(qū)間固定；③對稱軸定、區(qū)間變動.

(2)求解策略：抓住“三點一軸”數(shù)形結合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配

方法，根據(jù)函數(shù)的單調性及分類討論的思想即可完成.

［典例］

1.(2022?全國?高三專題練習)函數(shù)"x)=αx2+=+c(α≠0)和函數(shù)g(x)=c?3(力(其中F(x)為/(x)的

2.(2022?全國?高三專題練習)二次函數(shù)/(x)=Y+2OV-I在區(qū)間(-∞,1)上單調遞減的一個充分不必要條

件為(9999999)

A.a≤0B.a≤—C.a<-?D.a≤-2

2

3.(2022?全國?高三專題練習)函數(shù))，=——在1-2,上單調遞增，則實數(shù)。的取值范圍是_______,

x~-ax-aL2

4.(2022?湖南長沙?高三階段練習)己知函數(shù)/O)=/,g(x^2a?x-??,α為常數(shù).若對于任意x/,x2∈［0,

2］,且X∕<X2,都有/(xA∕(X2)<gα)-g(X2),則實數(shù)。的取值范圍是.

［舉一反三］

1.(2022?全國?高三階段練習)已知函數(shù)/(力=如2+版+。，其中”>0,60)<0,4+/7+乙=0,則(？?????？)

A.Vxe(0,1),都有/(x)>0B.Vxe(0,1),都有"x)<0

C.3x0e(0,1),使得“ΛO)=OD.Bx0∈(0,1),使得/(%)>0

2.(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)y=οr2+fex+c,如果α>b>c且α+b+c=O,則它的圖象可能是

(9999999)

C.

3.(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)八r)=2χ2一日一8在［.2,1］上具有單調性，則實數(shù)攵的取值范圍是

O

A.七-8B.k≥4C.七-8或Λ≥4D.-8<?<4

4.(2022?山東濟南?二模)若二次函數(shù)/(x)=dχ2+法+c(α<0),滿足/⑴=/(3),則下列不等式成立的是

(9999999)

A./(1)<∕(4)<∕(2)B./(4)<∕(1)<∕(2)

C./(4)<∕(2)<∕(1)D.A2)<∕(4)<f(l)

5.(多選)(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)段)=辦2+2編；+4(〃>0),若也〈必則(???????)

A.當Xl+X2>-2時,fiXl)<fiX2)

B.當Xl+X2=-2時，危/)書九2)

C.當X∣+X2>-2時，√U∕)次X2)

06/25

D.犬χ∕)與兒⑵的大小與“有關

6.(多選)(2022?全國?高三專題練習)若函數(shù)y=d-4χ-4的定義域為［0,α),值域為［-8,-4］,則正整數(shù)

。的值可能是(???????)

A.2B.3C.4D.5

7.(2022?全國?高三專題練習)如果函數(shù)/(x)=d+(α+6)x-l在區(qū)間(-∞,1)上為增函數(shù)，則實數(shù)”的取值

范圍是.

8.(2022?天津?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=∕-2x在定義域卜1,句上的值域為［T3］,則實數(shù)”的取值

范圍為—.

9.(2022?全國?高三專題練習)已知二次函數(shù)/(X)=加+?r+c,滿足/(0)=2,/(x+l)-∕(x)=2x-l.

⑴求函數(shù)〃x)的解析式；

⑵若函數(shù)g(x)=√(x)-M在區(qū)間［-1,2］上是單調函數(shù)，求實數(shù)〃7的取值范圍.

10.(2022?全國?高三專題練習)己知函數(shù)/(X)=依2-2x+4k.

(?)若函數(shù)/U)在區(qū)間12,4］上單調遞減，求實數(shù)%的取值范圍；

(II)Vxe［2,41,f(x)≥O恒成立，求實數(shù)Jl的取值范圍.

11.(2022?全國?高三專題練習)設函數(shù)/(X)=++fex+l(a,。eR),滿足/(T)=0,且對任意實數(shù)X均有

/U)>0.

(1)求/(x)的解析式；

(2)當L2'2」時，若g(χ)=∣∕3一娟是單調函數(shù)，求實數(shù)上的取值范圍

第10講幕函數(shù)與二次函數(shù)

考點1：幕函數(shù)的圖象與性質

考點2:二次函數(shù)的解析式

幕函數(shù)與二次函數(shù)?

二次函數(shù)圖像的識別

考點3：二次函數(shù)的圖象和性質?Z-

-------------------------二二次函數(shù)的單調性與最值

走進教材,自主回顧-

1.一函數(shù)

⑴定義

形如y=d（aGR）的函數(shù)稱為基函數(shù)，其中底數(shù)X是自變量，α為常數(shù).常見的五類基函數(shù)為y=x，），

1

-X1，y-xi`y-χ2.，j—x^'.

（2）性質

①基函數(shù)在（0，+8）上都有定義；

②當ɑ>0時，幕函數(shù)的圖象都過點（1，1）和（0，0），且在（0，+oo）上單調遞增：

③當α<0時，基函數(shù)的圖象都過點（1-1），且在（0，+oo）上單調遞減.

2.二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：*x）=0rz+fer+c（存0）;

②頂點式：ZLr）=（心—，〃）2+"（〃和）；

③零點式：/U）=α（χ-x∣）（χ-。）（g0）.

（2）二次函數(shù)的圖象和性質

fix)=ax2+bxj(x)=ax1+bx

解析式

+c(a>0)+c(α<0)

hv

圖象Λ∣iV

定義域(一∞，+∞)(—8，+∞)

4ac-b2λ(^ac-b2r

值域'+叼Cco'

在（一8，一9上單調遞減;在（一8，一9上單調遞增；

單調性

在［—昱，+8）上單調遞增在［一5’+℃）上單調遞減

奇偶性當/7=（）時為偶函數(shù)，當b≠0時為非奇非偶函數(shù)

(b4ac-b2?

頂點

?~2a，4a)

圖象關于直線X=-4成軸對稱圖形

對稱性

--------------------------------------------------------1

考點探究?題型突破

考點1

08/25

［名師點睛］

1.對于嘉函數(shù)圖像的掌握，需記住在第一象限內三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x=l,y=?,y=

X所分區(qū)域.根據(jù)α<O,O<α<l,α=l,α>l的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

2.在比較累值的大小時，可結合嘉值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調性進行比較.

3.在區(qū)間(0,1)上，嘉函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越靠近X軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1,+oo)上,

察函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越遠離X軸(簡記為“指大圖高”).

［典例］

1.(2022?全國?高三專題練習)若基函數(shù)f(χ)=［("?，n∈N?m,〃互質)的圖像如圖所示，則(???????)

n

B.機是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，且%>1

n

C.巾是偶數(shù)，”是奇數(shù)，且

n

D."是奇數(shù)，”是偶數(shù)，且‘>1

n

【答案】C

【解析】

/77

由圖知’幕函數(shù)"X)為偶函數(shù)，且一<1,排除B,D；

n

當，"，〃是奇數(shù)時，事函數(shù)yu)非偶函數(shù)，排除A；

故選：c.

2.(2022?全國?高三專題練習)累函數(shù)/(x)=(wj2+5，〃—5)x"-""(mWZ)是偶函數(shù)，且在(0，+∞)上是

減函數(shù),則"，的值為(???????)

A.-6B.1C.6D.1或-6

【答案】B

【解析】

幕函數(shù)/(x)=Q"2+5"2-5)χm'M(WIGZ)是偶函數(shù)，且在(O,+∞)上是減函數(shù)，

?m3+5m-5=1

且加-3機為偶數(shù)

[m2-3m<0

...，〃=1或7n=-6

當m=l時，M-3加=一2滿足條件；當加=—6時，m2—3m=54，舍去

因此：m=}

故選：B

2

3.(2022?全國?高三專題練習)已知易函數(shù)/(X)=5L1)X”的圖象過點(，”，8).設a=/。。'),?=∕(θ.3),

c=∕(log203),則a,b,C的大小關系是(???????)

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

【答案】D

【解析】

因幕函數(shù)F(X)=On-1)，'的圖象過點(肛8),則加-1=1,且M=8,

于是得加=2,n=3,函數(shù)/(X)=/,函數(shù)/S)是R上的增函數(shù)，

2a3203

而Iog20.3<0<0.3<1<2,則有/(Iog20.3)</(0.3)</(2),

所以c<b<a.

故選：D

［舉一反三］

L(2022?北京?二模)下列函數(shù)中，與函數(shù)>=丁的奇偶性相同，且在(0,+∞)上有相同單調性的是(???????)

A.y=(g)B?y=lnx

C.y=SinxD.y=x∣X

【答案】D

【解析】

由y=/為奇函數(shù)旦在(0,+8)上遞增，

A、B：y=(；)、y=lnx非奇非偶函數(shù)，排除；

C：y=sinx為奇函數(shù)，但在(0,物)上不單調，排除；

—犬X<0

D:y=∕ω=2'一，顯然Ar)=-/⑶且定義域關于原點對稱，在(。,E)上遞增，滿足.

√,x>0

10/25

故選：D

2.(2022?全國?高三專題練習)己知累函數(shù)y="r)經(jīng)過點(3,√3),則於)(???????)

A.是偶函數(shù)，且在(0,+◎上是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在(0,+oo)上是減函數(shù)

D.是非奇非偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)

【答案】D

【解析】

設累函數(shù)的解析式為y=/，

將點(3,√3)的坐標代入解析式得3α=√3,解得α=；,

??.y=f,函數(shù)的定義域為[0,+∞),是非奇非偶函數(shù)，且在(0,÷∞)上是增函數(shù)，

故選：D.

3.(2022?全國?高三專題練習)函數(shù)/(X)=X"一2與g(x)=[2)均單調遞減的一個充分不必要條件是(???????)

A.(0,2)B.[0,l)C.H,2)D.(1,2]

【答案】C

【解析】

函數(shù)/(X)=xa~2單調遞減可得。一2<0及。<2；

函數(shù)g(x)=(2)單調遞減可得0<(<l,解得0<α<4,

若函數(shù)/(x)=x"-2與g(x)=[∕J均單調遞減，可得0<α<2,

由題可得所求區(qū)間真包含于(0,2),

結合選項，函數(shù)/Cr)=/-與g(x)=([)均單調遞減的一個充分不必要條件是C.

故選：C.

4.(多選)(2022?廣東潮州?二模)已知幕函數(shù)〃x)的圖象經(jīng)過點(4,2),則下列命題正確的有(???????).

A.函數(shù)〃x)的定義域為R

B.函數(shù)F(X)為非奇非偶函數(shù)

C.過點尸(0,；)且與“X)圖象相切的直線方程為y=

D.若三“>。，則/叫/㈤

【答案】BC

【解析】

設/(x)=Xa,將點(4,2)代入/(x)=E,

得2=4",則α=；，即?(?)=xi,

對于A：/(x)的定義域為［0,M),即選項A錯誤；

對于B：因為〃x)的定義域為［0,”)，

所以/(x)不具有奇偶性，即選項B正確；

對于c：因為F(X)=所以尸(X)=古，

設切點坐標為卜ο,寓)，則切線斜率為k=r(%)=,

切線方程為y—JE，又因為切線過點p(o,；),

所以;一6=52(°-X。)，解得％=1，

即切線方程為y-l=g(χ-l),即y=gχ+g,

即選項C正確；

對于D：當0<%<12時,

./(?)+∕(?).2_f2(χ∣+w[=(V?+V?Yχl+.y2

2，I2廠[2J2

xl+x2+2y∣xlx2χl+%,

42~

即見??<〃審)成立，即選項D錯誤.

故選：BC.

12/25

5.(2022海南?文昌中學高三階段練習)已知某函數(shù)/(x)=χ?(aeR)過點4(4,2),則/(，)=__________.

4

【答案】I

【解析】

點A(4,2)代入某函數(shù)/(x)=X"解得α=g,/(Λ)=X5，；

故答案為：

6.(2022?北京通州?一模)基函數(shù)f(x)=x"'在(0,+功上單調遞增，g(x)=x"在(0,+e)上單調遞減，能夠

使y=∕(χ)-g(χ)是奇函數(shù)的一組整數(shù)用，n的值依次是.

【答案】1,-1(答案不唯一)

【解析】

因為累函數(shù)/(χ)=Xra在(o,+∞)上單調遞增，所以加>O,

因為基函數(shù)g(x)=x"在(0,+∞)上單調遞減，所以"0,

乂因為y=∕(χ)-g(χ)是奇函數(shù)，所以黑函數(shù)/(χ)和嘉函數(shù)g(χ)都是奇函數(shù)，所以用可以是1,"可以是-1.

故答案為：I,-1(答案不唯一).

7.(2022?重慶?二模)關于X的不等式(x-1)9999-29999?產9≤χ+l,解集為.

【答案】［—1,”)

【解析】

由題設，(X-I)9999-(2x)9999≤x+l,而y=產9在R上遞增,

當x-l>2x即x<-l時，(X-1)9W9-(2X)9"9>0>X+1,原不等式不成立；

當x-l≤2x即x≥-1時，(X-I)9"9-(2X)9999≤0≤X+1,原不等式恒成立.

綜上，解集為［T,+∞).

故答案為：［T,+∞)

8.(2022?全國?高三專題練習)如圖是基函數(shù)y=x%(由>0,i=l,2,3,4,5)在第一象限內的圖象，

其中α∕=3,ot2=2,田=1,。4=；，0?=g,已知它們具有性質：

①都經(jīng)過點(0,0)和(1,1)；?????②在第一象限都是增函數(shù).

請你根據(jù)圖象寫出它們在(1,+8)上的另外一個共同性質：.

yt

403

≡ZL

o\1X

【答案】ɑ越大函數(shù)增長越快

解：從暴函數(shù)的圖象與性質可知：①α越大函數(shù)增長越快；②圖象從下往上ɑ越來越大；③函數(shù)值都大于

I;④ɑ越大越遠離X軸：⑤ɑ>l,圖象下凸；⑥圖象無上界；⑦當指數(shù)互為倒數(shù)時，圖象關于直線y=x

對稱；⑧當α>l時，圖象在直線y=x的上方；當OVα<l時，圖象在直線y=x的下方.

從上面任取一個即可得出答案.

故答案為：α越大函數(shù)增長越快.

9.(2022?廣東深圳?高三期末)已知函數(shù)/(x)的圖像關于原點對稱，且在定義域內單調遞增，則滿足上述

條件的幕函數(shù)可以為/(X)=.

【答案】V(答案不唯一)

【解析】

設基函數(shù)/(x)=X",

由題意，得/(x)=Xa為奇函數(shù)，且在定義域內單調遞增，

所以C=2〃+1("CN)或a=一n(見鹿是奇數(shù)，且互質)，

所以滿足上述條件的基函數(shù)可以為/(x)=V.

故答案為：V(答案不唯一).

10.(2022?北京?高三專題練習)已知暴函數(shù)〃(k=(加2-5加+1卜""|為奇函數(shù).

(1)求實數(shù)機的值；

(2)求函數(shù)g(x)=Mx)+Jl-2〃(x)(xe0，J)的值域.

【解】(1):函數(shù)MX)=(濟-5〃?+Iw+1為基函數(shù)，

/.W2-5∕w+l=L解得An=O或5,

當機=0時，Λ(x)=x,MX)為奇函數(shù),

14/25

當m=5時,MX)=X6,MX)為偶函數(shù),

函數(shù)〃(力為奇函數(shù)，.?."7=0;

(2)由(1)可知，Λ(x)=x,則g(%)=x+Jl-2%,xe0，；

令Jl-2x=t>則工=-5產+5,t∈(04],

則f(，)=—萬/+，+]=—5Q—I)?+1,16(θj],

函數(shù)70為開口向下，對稱軸為，=1的拋物線，

，當f=0時，函數(shù)〃0)=；,

當/=1,函數(shù)/(f)取得最大值為1,

[典例]

1.(2022?全國?高三專題練習)已知二次函數(shù)人x)滿足f(2)=-1,Λ-l)=-l,且凡r)的最大值是8,二

次函數(shù)的解析式是

【答案】危)=一4∕+4x+7.

【解析】

法一(利用“一般式”解題)

設/U)=(*+bx+c(a≠0).

44+2b+c=-l,a=-4,

由題意得,a-b+c=-?,解得<?=4,

4ac-h2。=7.

—；-----=5

4〃

.?.所求二次函數(shù)為段)=-4∕+4X+7.

法二(利用“頂點式”解題)

設∕x)=α(χ-∕n)2+"(a≠o).

因為/(2)=A—1),

所以拋物線的對稱軸為X=空Q=!,所以m=；.

222

又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8,所以〃=8,

所以y=?∕U)=α(x-g)2+8.

因為/(2)=-1,所以。(2-；)2+8=-1,解得”=一4,

所以,/(x)=-4(x-g)2+8=—4∕+4x+7.

法三(利用“零點式”解題)

由已知共幻+1=0的兩根為制=2,X2=-1,

故可設/U)+1=a(x-2)(x+1)(存0),

即∕U)=0r2-4χ-24-1.

解得a=-4或α=0(舍).

故所求函數(shù)的解析式為/U)=-4/++7.

故答案為：氏X)=-4∕+4X+7.

2.(2022?全國?高三專題練習)己知/(x)為二次函數(shù)，/(0)=0,/(2X+1)-∕(X)=X2+3X+2,求F(X)的

解析式.

【解】

解：因為“X)為二次函數(shù)，所以設/(X)=加+bx+c,因為"0)=0,所以C=O,

所以/(x)=OX2+云，

所以f(2x+l)="(2x+l)~+6(2x+l)=4αγ2+(4w+2?)x+(α+?),

16/25

因為/(2x+l)-∕(x)=x2+3x+2,所以30χ2+(4α+∕j)x+(α+Z?)=χ2+3x+2,

所以34=l,4a+b=3.a+b=2,所以a=g,ft=1,所以/(x)=gx?+gχ.

［舉一反三］

1.(2022?全國?高三專題練習)若函數(shù)y=∕τ+2過定點P,以P為頂點且過原點的二次函數(shù)/(x)的解析

式為()

A./(x)=-3x2+6xB./(X)=-2X2+4X

C./(X)=3X2-6XD./(x)=2X2-4X

【答案】A

【解析】

對于函數(shù)y=α*τ+2,當X=I時，y=a0+2=3,

所以函數(shù)丫=。1+2過定點產(1,3),

設以P(l,3)為頂點且過原點的二次函數(shù)/(x)=α(x-球+3,

因為f(x)過原點(0,0),

所以0="(0-iy+3,解得：a=-3,

所以/(x)的解析式為：/(?x)=-3(x-l)^+3=-3Λ2+6X,

故選：A.

2.(2022?全國?高三專題練習)已知/(x)為二次函數(shù)，K∕(x)=x2+∕,(x)-l,則F(X)=(???????)

A.X2-2x+lB.X2+2x+l

C.2x~—2x+1D.2f+2x—1

【答案】B

【解析】

設/(x)=oχ2+Zzr+c(α≠θ),則/'(X)=2衣+匕,

由/(x)=f+/'(X)-1可得加+bx+c=x2+2ax+(b-}^,

a=1f?=1

所以，,b=2a,解得"=2,因此，/(X)≈X2+2X+I.

c=b-lc=l

故選：B.

3.(2022?全國?高三專題練習)已知/(x)是二次函數(shù)且滿足/(0)=lJ(X+1)-/(X)=2x,則函數(shù)/(χ)的解

析式為.

【答案】/(x)=x2-x+l

【解析】解：由題意，設/0)=加+/頊+。("0),

因為/(0)=1，即c=l,所以f(x)=0χ2+?x+ι,

所以/(x+1)_/(X)=[α(x+1)2+b[x+1)+1]-(OV2+bx+1)=lax+a+b=2x,

_[^2α=2

從而有,八，解得"1力=-1,

[a+b=0

所以/(χ)=χ2-χ+ι,

故答案為：f(x)=x2-x+?.

＞考點3二次函數(shù)的圖象與性質

[名師點睛]

二次函數(shù)最值問題的類型及求解策略

(1)類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱軸動、區(qū)間固定；③對稱軸定、區(qū)間變動.

(2)求解策略：抓住“三點一軸”數(shù)形結合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配

方法，根據(jù)函數(shù)的單調性及分類討論的思想即可完成.

噢例I

?.(2022?全國?高三專題練習)函數(shù)/(X)=歐2+6x+c(a≠0)和函數(shù)g(x)=c?∕'(x)(其中/'(X)為F(X)的

18/25

【解析】易知r(x)=2αx+，，則g(x)=2ecr+兒.

由①②中函數(shù)g(x)的圖象得｛：；：；，

fα<O,.b

若c<0,則%八，此時/(0)=c<0,-=>0,

[b>()2a

又α<O,所以/(x)的圖象開口向下，此時①②均不符合要求；

[a>0..b

若c>0,則/八，此時，0=c>0,-—>0,

也<02a

又”>0,所以/(x)的圖象開口向上，此時②符合要求，①不符合要求；

由③④中函數(shù)g(x)的圖象得

若c>0,則此時/(0)=c>0,-二>0，

[?>02a

又“<0,所以/(x)的圖象開口向下，此時③符合要求，④不符合要求；

f4<O/、h

若C<O,則L八，此時/(0)=c<0,-白>0，

[b>?J2a

又α>0,所以/(x)的圖象開口向上，此時③④均不符合要求.

綜上，②③符合題意，

故選：B.

2.(2022?全國?高三專題練習)二次函數(shù)/(x)=χ2+20r-l在區(qū)間(-∞,1)上單調遞減的一個充分不必要條

件為(9999999)

A.α≤0B.α≤—C.α≤-1D.α≤—2

2

【答案】D

【解析】解：因為/(x)=χ2+20Ll的對稱軸為x=-α,開口向上，所以一α≥l,解得ɑ≤T,所以二次函

數(shù)/(x)=f+2G:—1在區(qū)間(-8,1)上單調遞減的充要條件為。≤T,

所以二次函數(shù)/(x)=χ2+201l在區(qū)間(γ,l)上單調遞減的一個充分不必要條件為a≤-2;

故選：D

3.(2022?全國?高三專題練習)函數(shù)y=F-------在-2--上單調遞增，則實數(shù)。的取值范圍是_________.

X-ax-aL2_

【答案】-ι,∣］

【解析】y一在-2,-i上單調遞增，

X-ax-aL2

?'?/(x)=χ2-必一。在-2，-；單調遞減，

則-1≤=,即α≥T,

同時需滿足f(-2)f(-3>0,g∣J^(α+4)(2a-l)<0,

24

解得一4<ɑ<(,

2

綜上可知T'E)

故答案為：-1；)

4.(2022?湖南長沙?高三階段練習)已知函數(shù)/O)=/,g(x)=2tz∣x-l∣,α為常數(shù).若對于任意x/,心目0,

2］,且用〈必都有/(%)-∕(X2)Vg(再)-g(W)，則實數(shù)”的取值范圍是.

【答案】［0,11

【解析】對于任意X/,X2G［0,2］,且X/<X2,都有/(%)-)Vg(XI)-g。2)，即<(xj-有Xl)Vf(X2)-g。2)，

令F(X)=/(x)-g(x)=Y-2αk-l∣,即F(XJVF區(qū))只需在［0,2］上單調遞增即可，

當x=l時，F(xiàn)(X)=1，函數(shù)圖象恒過。,1)；

當x>l時?，F(xiàn)(x)=x2-lax+2a；

當x<l時，F(xiàn)(Λ)=X2+2ax-2a；

要使F(X)在區(qū)間［0,2］上單調遞增，則當lVχ≤2時，尸(X)=X2-20x+2”的對稱軸

x=a<?,即α≤l;

當0≤x<l時，F(xiàn)(X)=X2+2ɑr-2ɑ的對稱軸x=—ɑ≤0,即α≥0:

且l+2αxl-2α≤l-2αxl+2α,

綜上0≤α≤l

故答案為：［O1］.

［舉一反=I

20/25

1.(2022?全國?高三階段練習)已知函數(shù)/(X)=加+區(qū)+C,其中a>0,/(O)<0,α+6+C=0,則(？?????？)

A.Vxe（0,1）,都有/（x）>0B.VΛ∈（0,1）,都有〃x）<0

C.Hx0∈（0,1）,使得“ΛO）=OD.Hx0∈（0,1）,使得"x0）>0

【答案】B

【解析】

由4>0,/(0)<0,α+6+c=0可知”>0,c<0,拋物線開口向上.因為

/(O)=Cy0,/⑴=α+b+c=O,即I是方程Or?+fex+c=O的一個根，

所以VXe(0,1),都有"x)<0,B正確，A、C、D錯誤.

故選：B.

2.(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)y=加+6x+c,如果α>b>c且α+%+c=O,則它的圖象可能是

（999999?）

【答案】A

【解析】由題意，函數(shù)y=如2+fcv+c,

因為α+8+c=0,令x=l,可得y=α+"c=O,即函數(shù)圖象過點(1,0),

又由α>b>c,可得a>0,c<0,所以拋物線的開口向上，可排除D項，

令X=0,可得y=c<O,可排除B、C項；

故選:A.

3.(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)∕*)=2χ2-h-8在［-2,1］上具有單調性，則實數(shù)&的取值范圍是

()

A.陋-8B.k≥4C.仁-8或泛4D.-8<?<4

【答案】C

【解析】函數(shù)f(x)=2xt-kx-8對稱軸為X=。,

要使F(X)在區(qū)間［-2,I］上具有單調性，則

-<-2^-≥?,：.k≤-8^k>4

4l4l

綜上所述k的范圍是：?≤-8或&≥4.

故選：C.

4.(2022?山東濟南?二模)若二次函數(shù)/(x)=*+?r+c(α<0),滿足F(I)=.f(3),則下列不等式成立的是

(999979?)

A./(1)<∕(4)<∕(2)B./(4)</(!)</(2)

C./(4)<"2)<∕(1)D./(2)<∕(4)<∕(1)

【答案】B

【解析】因為,"1)=/(3),所以二次函數(shù)F(X)=O%?+加+c的對稱軸為X=2,

又因為α<0,所以為4)</(3)</(2),

又/(1)=/(3),所以f(4)<f(l)</⑵.

故選：B.

5.(多選)(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)√(x)=αχ2+2G?+4(α>0),若X∕<JQ,則(？?????？)

A.當x∕+x2>-2時，J(Xi)旗⑵

B.當Xl+X2=-2時，fiXl)=fiX2)

C.當X∣+X2>-2時，危/)次X2)

D.7U/)與兀⑵的大小與。有關

22/25

【答案】AB

【解析】二次函數(shù)段)=OX2+2αχ+4(α>0)的圖象開口向上，對稱軸為X=-1,

當X∕+X2=-2時，XI,尤2關于4-1對稱，則有.穴x∕)=√(x2),B正確；

當X∕+X2>-2時,而Λ7<X2,則X2必大于-1,于是得X2-(-l)>-l-X/,有∣X2-(-l)∣>∣-l-X∕∣,

因此，點X2到對稱軸的距離大于點X/到對稱軸的距離，即7U/)勺(m)，A正確，C錯誤；

顯然當4>0時，y(x∕)與外2)的大小只與X/,X2離-1的遠近有關，與α無關，D錯誤.

故選：AB

6.(多選)(2022?全國?高三專題練習)若函數(shù)y=d-4x-4的定義域為［0,α),值域為［-8,T］,則正整數(shù)

“的值可能是(？?????？)

A.2B.3C.4D.5

【答案】BC

【解析】

因為函數(shù)在［0,。)上的值域為［-8,T,結合圖象可得2<q≤4,

結合”是正整數(shù)，所