（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 立體幾何初步 第53課 立體幾何綜合 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

第53課立體幾何綜合(本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第頁(yè))自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修2P38練習(xí)5改編)如圖，在△ABC中，M為邊BC的中點(diǎn)，沿AM將△ABC折起，使點(diǎn)B在平面ACM外.則當(dāng)時(shí)，直線AM⊥平面BCM.(第1題)【答案】AB=AC【解析】當(dāng)AB=AC時(shí)，有AM⊥MB，AM⊥MC.2.(必修2P50練習(xí)5改編)若在三棱錐S-ABC中，M，N，P分別是棱SA，SB，SC的中點(diǎn)，則平面MNP與平面ABC的位置關(guān)系為.【答案】平行3.(必修2P70練習(xí)13改編)若三個(gè)球的半徑之比為1∶2∶3，則最大的球的體積是另外兩個(gè)球的體積之和的倍.【答案】3【解析】根據(jù)球的體積公式V=πr3進(jìn)行求解.4.如圖(1)，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2cm，高為5cm，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長(zhǎng)為cm.(第4題(1))【答案】13【解析】如圖(2)，將三棱柱沿側(cè)棱AA1展開(兩周)，AA1=5cm，AA″=12cm，易知所求最短路線長(zhǎng)為A1A″=13cm.(第4題(2))1.高考中關(guān)于立體幾何的?？伎键c(diǎn)有：性質(zhì)的運(yùn)用，證明位置關(guān)系(平行或垂直)，求量(體積、面積、長(zhǎng)度).2.解決翻折問(wèn)題時(shí)要注意量和關(guān)系的變與不變.3.立體幾何會(huì)與函數(shù)等知識(shí)綜合考查求最值，得出關(guān)系式是解決問(wèn)題的前提.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破簡(jiǎn)單幾何體的折疊問(wèn)題例1(2014·廣東卷)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2，如圖(2)所示折疊，折痕EF∥DC.其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P在線段AD上的點(diǎn)記為M，并且MF⊥CF.(1)求證：CF⊥平面MDF；(2)求三棱錐M-CDE的體積.圖(1)圖(2)(例1)【思維引導(dǎo)】要證CF⊥平面MDF，可通過(guò)證明CF⊥DF與CF⊥MD得到.求三棱錐M-CDE的體積的前提是分別求得△CDE的面積與MD的值；借助圖形中的垂直與平行關(guān)系可求得相應(yīng)的值.【解答】(1)因?yàn)镻D⊥平面ABCD，PD平面PCD，所以平面PCD⊥平面ABCD，而平面PCD∩平面ABCD=CD，MD平面ABCD，MD⊥CD，所以MD⊥平面PCD.因?yàn)镃F平面PCD，所以CF⊥MD，又CF⊥MF，MD，MF平面MDF，且MD∩MF=M，所以CF⊥平面MDF.(2)由(1)知CF⊥平面MDF，DF平面MDF，所以CF⊥DF，易知∠PCD=60°，所以∠CDF=30°，從而CF=CD=，因?yàn)镋F∥DC，所以=，即=，所以DE=，所以PE=，所以S△CDE=CD×DE=，MD====，所以=S△CDE×MD=××=.【精要點(diǎn)評(píng)】本題以折疊圖形為考查形式，考查直線與平面垂直的判定以及利用等體積法計(jì)算三棱錐的體積，屬于中檔題.圖形折疊問(wèn)題主要先弄清量的變與不變的問(wèn)題，以及兩個(gè)圖形之間的關(guān)系等.變式如圖(1)，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，AD=AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將△ABF沿AF折起，得到如圖(2)所示的三棱錐A-BCF，其中BC=.(1)求證：DE∥平面BCF；(2)求證：CF⊥平面ABF；(3)當(dāng)AD=時(shí)，求三棱錐F-DEG的體積.圖(1)圖(2)(變式)【思維引導(dǎo)】要證DE∥平面BCF，即可證DE∥BC；要證CF⊥平面ABF，即可證AF⊥CF與BF⊥CF；求體積前先確定GE是高，△DFG是底.【解答】(1)在等邊三角形ABC中，AD=AE，所以=，在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立，所以DE∥BC.因?yàn)镈E平面BCF，BC平面BCF，所以DE∥平面BCF.(2)在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，所以AF⊥CF①，且BF=CF=.因?yàn)樵谌忮FA-BCF中，BC=，所以BC2=BF2+CF2，所以CF⊥BF②.因?yàn)锽F∩AF=F，BF，AF平面ABF，所以CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF，結(jié)合(2)可得GE⊥平面DFG，所以==××DG×FG×GE=×××××=.立體幾何模型實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例2請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去如圖(1)所示的陰影部分的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)如圖(2)所示的正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=xcm.(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(單位：cm2)最大，試問(wèn)：x應(yīng)取何值?(2)若廣告商要求包裝盒容積V(單位：cm3)最大，試問(wèn)：x應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值.圖(1)圖(2)(例2)【思維引導(dǎo)】本題求解的前提是找到盒子的底面邊長(zhǎng)與高，繼而求得底面面積，再求其體積.而解題的關(guān)鍵是正確地求得“盒子”體積的函數(shù)式.因?yàn)轭}中涉及了三次函數(shù)的最值，所以要考慮結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值.【解答】(1)根據(jù)題意有S=602-4x2-(60-2x)2=240x-8x2=-8(x-15)2+1800(0<x<30)，所以x=15時(shí)包裝盒側(cè)面積S最大.答：當(dāng)x=15時(shí)，包裝盒的側(cè)面積最大，(2)根據(jù)題意有V=(x)2(60-2x)=2x2(30-x)(0<x<30)，所以V'=6x(20-x).當(dāng)0<x<20時(shí)，V'>0，V單調(diào)遞增；當(dāng)20<x<30時(shí)，V'<0，V單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=20時(shí)，V取極大值也是最大值，此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為=.答：x=20時(shí)包裝盒容積V最大，此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為.【精要點(diǎn)評(píng)】(1)本題主要考查空間想象能力、數(shù)學(xué)閱讀能力、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力、建立數(shù)學(xué)函數(shù)模型求解的能力等，屬于中檔題；(2)合理、正確地構(gòu)建函數(shù)式是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，在給出函數(shù)式時(shí)要考慮到其定義域；(3)涉及求高次函數(shù)的最值時(shí)要考慮結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值.變式如圖(1)，將邊長(zhǎng)為a的正三角形鐵皮的三個(gè)角切去三個(gè)全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的底面為正三角形的鐵皮箱，如圖(2)所示，當(dāng)箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大?最大容積是多少?圖(1)圖(2)(變式)【解答】設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x，則箱高為h=×(0<x<a)，箱子的容積為V(x)=x2×sin60°×h=ax2-x3(0<x<a).由V'(x)=ax-x2=0，解得x1=0(舍去)，x2=a，且當(dāng)x∈時(shí)，V'(x)>0，函數(shù)V(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈時(shí)，V'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)V(x)在x=a處取得極大值，這個(gè)極大值就是函數(shù)V(x)的最大值：V=a×-×=a3.答：當(dāng)箱子底邊長(zhǎng)為a時(shí)，箱子容積最大，最大值為a3.簡(jiǎn)單的幾何體鑲嵌問(wèn)題例3在球面上有四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，則這個(gè)球的表面積是.【思維引導(dǎo)】要求球的面積，關(guān)鍵在于求球的半徑.【答案】3πa2(例3)【解析】作出球O如圖所示，設(shè)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的球的截面圓的半徑為r，圓心為O'，球心到該圓面的距離為d，在三棱錐P-ABC中，因?yàn)镻A，PB，PC兩兩垂直，PA=PB=PC=a，所以AB=AC=BC=a，且點(diǎn)P在△ABC內(nèi)的射影是△ABC的中心O'，由正弦定理得=2r，所以r=a.又根據(jù)球的截面圓性質(zhì)，有OO'⊥平面ABC.而PO'⊥平面ABC，所以P，O，O'三點(diǎn)共線，球的半徑R=.又PO'===a，所以O(shè)O'=R-a=d=，所以=R2-，解得R=a，所以S球=4πR2=3πa2.【精要點(diǎn)評(píng)】解決球與棱柱、棱錐、棱臺(tái)的切、接問(wèn)題，一般經(jīng)過(guò)球心及多面體中特殊的點(diǎn)或線作截面，通過(guò)作截面把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，進(jìn)而利用平面幾何的知識(shí)尋找兩幾何體的元素間的關(guān)系.解決鑲嵌問(wèn)題的關(guān)鍵是要弄清楚兩個(gè)或多個(gè)幾何體之間的數(shù)量及位置關(guān)系.變式若一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的體積為.【答案】【解析】可考慮正四面體的“外接”立方體，該立方體的棱長(zhǎng)為1，其外接球的直徑為，所以球的體積為=.1.一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片按如圖(1)所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點(diǎn)P為頂點(diǎn)，加工成一個(gè)如圖(2)所示的正四棱錐容器，則當(dāng)x=6cm時(shí)，該容器的容積為cm3.圖(1)圖(2)(第1題)【答案】48【解析】由題知AB=6cm，所以底面ABCD的面積為36cm2.結(jié)合圖形可求得正四棱錐的高為4，所以該容器的容積為48cm3.2.在棱長(zhǎng)為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為.【答案】3.(2015·陜西卷)如圖(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=BC，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如圖(2)所示.求證：CD⊥平面A1OC.圖(1)圖(2)(第3題)【解答】在圖(1)中，因?yàn)锳B=BC，AD=2BC，E是AD的中點(diǎn)，∠BAD=90°，所以四邊形ABCE是正方形，所以BE⊥AC，即在圖(2)中，BE⊥OA1，BE⊥OC，OA1∩OC=O，OA1，OC平面A1OC，所以BE⊥平面A1OC，又AD∥BC，AD=2BC，且E為AD的中點(diǎn)，所以EDBC，所以四邊形BCDE是平行四邊形，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.4.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐.問(wèn)：當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O1的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大?(第4題)【解答】設(shè)OO1為xm，則1<x<4.由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為=，于是底面正六邊形的面積為6××=(8+2x-x2)，所以帳篷的體積為V(x)=(8+2x-x2)[(x-1)+1]=(16+12x-x3)，V'(x)=(12-3x2).令V'(x)=0，解得x=-2(不合題意，舍去)或2.當(dāng)1<x<2時(shí)，V'(x)>0，V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2<x<4時(shí)，V'(x)<0，V(x)為減函數(shù).所以當(dāng)x=2時(shí)，V(x)最大.答：當(dāng)OO1=2m時(shí)，帳篷的體積最大.【融會(huì)貫通】融會(huì)貫通能力提升如圖(1)所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，且CE=4.如圖(2)所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).圖(1)圖(2)(1)求證：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，求三棱錐B-DEG的體積.【思維引導(dǎo)】【規(guī)范解答】(1)在圖(1)中，因?yàn)锳C=6，BC=3，∠ABC=90°，所以∠ACB=60°.因?yàn)镃D為∠ACB的平分線，所以∠BCD=∠ACD=30°，所以CD=2………………2分因?yàn)镃E=4，∠DCE=30°，所以DE=2.因?yàn)镃D2+DE2=EC2，所以∠CDE=90°，即DE⊥DC……4分在圖(2)中，因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，DE平面ACD，所以DE⊥平面BCD……………7分(2)在圖(2)中，因?yàn)镋F∥平面BDG，EF平面ABC，平面ABC∩平面BDG=BG，所以EF∥BG.……9分因?yàn)辄c(diǎn)E在線段AC上，CE=4，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，所以AE=EG=CG=2.作BH⊥CD交CD于點(diǎn)H，如圖(3)所示.因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD，所以BH⊥平面ACD.………………11分圖(3)由已知條件可得BH=…………………….12分S△DEG=S△ACD=×AC×CD×sin30°=…………………..13分所以三棱錐B-DEG的體積V=S△DEG×BH=××=……………14分【精要點(diǎn)評(píng)】對(duì)于翻折問(wèn)題，通常在折痕的同側(cè)的位置關(guān)系和線的長(zhǎng)度、角的大小不變，但是在折痕兩側(cè)的線的長(zhǎng)度、角的大小以及位置關(guān)系都有變化，這一點(diǎn)是處理翻折問(wèn)題的關(guān)鍵.趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)第105~106頁(yè).【檢測(cè)與評(píng)估】第53課立體幾何綜合一、填空題1.(2015·平頂山統(tǒng)考)已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的條件.2.在正六棱柱的表面中，互相平行的平面有對(duì).3.下列命題中，是真命題的有.(填序號(hào))①平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)不同平面互相平行；②過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；③如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)；④如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.4.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，下列命題中正確的是.(填序號(hào))①若α⊥β，mα，nβ，則m⊥n；②若α∥β，mα，nβ，則m∥n；③若m⊥n，mα，nβ，則α⊥β；④若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β.5.(2015·全國(guó)卷)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問(wèn)：積及委米幾何?”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有.(第5題)6.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成角的大小是.(第6題)7.在正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，那么異面直線CE與BD所成角的余弦值為.8.(2015·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知圓錐的底面半徑和高相等，側(cè)面積為4π，過(guò)圓錐的兩條母線作截面，截面為等邊三角形，則圓錐底面中心到截面的距離為.二、解答題9.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD=CD=AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若M為線段PA的中點(diǎn)，且過(guò)C，D，M三點(diǎn)的平面與PB交于點(diǎn)N，求PN∶PB的值.(第9題)10.(2015·無(wú)錫期末)如圖，過(guò)四棱柱ABCD-A1B1C1D1形木塊上底面內(nèi)的一點(diǎn)P和下底面的對(duì)角線BD將木塊鋸開，得到截面BDFE.(1)請(qǐng)?jiān)谀緣K的上表面作出過(guò)點(diǎn)P的鋸線EF，并說(shuō)明理由；(2)若該四棱柱的底面為菱形，四邊形BB1D1D是矩形，求證：平面BDFE⊥平面A1C1CA.(第10題)11.四面體的六條棱中，有五條棱長(zhǎng)都等于a.(1)求該四面體的體積的最大值；(2)當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，求其表面積.三、選做題(不要求解題過(guò)程，直接給出最終結(jié)果)12.(2015·福建卷)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，且PO=OB=1.(第12題)(1)若D為線段AC的中點(diǎn)，求證：AC⊥平面PDO；(2)求三棱錐P-ABC體積的最大值；(3)若BC=，點(diǎn)E在線段PB上，求CE+OE的最小值.【檢測(cè)與評(píng)估答案】第53課立體幾何綜合1.必要不充分2.4【解析】3對(duì)側(cè)面，1對(duì)底面.3.①②③④4.④5.22斛【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則×2×3r=8，得r=，所以米堆的體積為××3××5=，故堆放的米約為÷1.62≈22(斛).6.7.【解析】如圖，設(shè)AD的中點(diǎn)為F，連接EF，CF，則EF∥BD，所以異面直線CE與BD所成的角就是∠CEF.設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2a，則EF=a，CE=CF=a，由余弦定理可得cos∠CEF==.(第7題)8.【解析】如圖，設(shè)底面半徑為r，由題意可得母線長(zhǎng)為r.又側(cè)面展開圖的面積為×r×2πr=4π，所以r=2.又截面三角形ABD為等邊三角形，故BD=AB=r，又OB=OD=r，故△BOD為等腰直角三角形.設(shè)圓錐底面中心到截面的距離為d，又=，所以d×S△ABD=AO×S△OBD.又S△ABD=AB2=×8=2，S△OBD=2，AO=r=2，故d==.(第8題)9.(1)設(shè)AD=1，因?yàn)锳D=CD=AB，所以CD=1，AB=2.因?yàn)椤螦DC=90°，所以AC=，∠CAB=45°.在△ABC中，由余弦定理得BC=，所以AC2+BC2=AB2，所以BC⊥AC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以BC⊥PC.因?yàn)镻C平面PAC，AC平面PAC，PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC.(2)如圖，因?yàn)锳B∥DC，CD平面CDMN，AB平面CDMN，(第9題)所以AB∥平面CDMN.因?yàn)锳B平面PAB，平面PAB∩平面CDMN=MN，所以AB∥MN.在△PAB中，因?yàn)镸為線段PA的中點(diǎn)，所以N為線段PB的中點(diǎn)，即PN∶PB的值為.10.(1)如圖，在上底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作B1D1的平行線，分別交A1D1，A1B1于F，E兩點(diǎn)，則EF即為所作的鋸線.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱B1B∥D1D且B1B=D1D，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以B1D1∥BD.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面BDFE∩平面ABCD=BD，平面BDFE∩平面A1B1C1D1=EF，所以EF∥BD，從而EF∥B1D1.(第10題)(2)由于四邊形BB1D1D是矩形，