遼寧省2023年高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷真題（答案詳解）

2023年7月遼寧省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試

數(shù)學(xué)試卷

本試卷分I、II兩卷，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘

第I卷（選擇題共36分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

復(fù)數(shù)工的虛部是

1.

1+1

1.

A.BcD.——i

-2-I-g2

x|->ll,B

2.已知集合4=={x|(3x-l)(x-l)>0},則A)

A.B.C.P1D.

3.若“VxeR,mVe'+l”是真命題,則加的取值范圍是（）

A.（3）B.(HO/]C.(l,+oo)D.[1,+00)

4.設(shè)/,m,〃是三條不同的直線,a，夕，7是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是

()

A.若I〃m,m//n,貝B.若/〃m，m//a,則/〃a

C.若。_L尸，/?±y,則a，/D.若/J_m，I//a,則加〃a

5.函數(shù)/（x）=log“（2x+l）（a>0,且awl）的圖象一定過點(diǎn)（）

A.B.（1,0）C.（0,0）D.（0,1）

6.已知一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且正方體的棱長(zhǎng)為3,則球的體積為

（）

A.108扃B.27兀C.27,D.907r

7.海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫

汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；缺貨后落潮時(shí)返回海洋.下面是

某港口在某季節(jié)某天的時(shí)間與水深值（單位：m）記錄表.（）

時(shí)刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00

水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，若用函數(shù)y=2.5sin的+5（。>0）近似地描述這個(gè)港口的水深值y與時(shí)間

X（記時(shí)刻0：00為時(shí)間x=0）的函數(shù)關(guān)系，則上午7：00時(shí)，水深的近似數(shù)值為（）

A.2.83B.3.75C.6.25D.7.17

8.函數(shù)y（x）=2,-工零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

X

A.0B.1C.2D.3

八tan150+tan45°A/士曰/、

9.--------_=的14值是（）

1-tan15tan45

A.一石B.-3

V-.----D.6

33

10.2022年12月20日，聯(lián)合國(guó)世界旅游組織公布2022年“最佳旅游鄉(xiāng)村”名單，中國(guó)

廣西大寨村和重慶荊竹村成功入選.遼寧綠江村也以景色別致的油菜花海吸引了眾多游

客.小明準(zhǔn)備利用假期從中選一個(gè)鄉(xiāng)村游玩，記事件A：小明選大寨村，事件8：小明

選荊竹村，事件C：小明選綠江村.已知P（A）=0.3,P（B）=0.6,則尸（A+B）=（）

A.0.12B.0.18C.0.7D.0.9

11.在4ABe中，若5111244115411。=3:5:7,則最大角為（）

A.60°B.120°C.135°D.150°

12.已知函數(shù)〃尤）=（；）與g（x）的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，則的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（0,+oo）B.[0,+co）C.（-oo,0）D.（-oo,0]

第II卷（非選擇題共64分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.要求直接寫出答案，

不必寫出計(jì)算過程或推證過程）

13.在4ABe中，點(diǎn)。為邊的中點(diǎn)，若AB+AC=XAD，則實(shí)數(shù)2的值為.

14.某科技攻關(guān)青年團(tuán)隊(duì)共有8人，他們的年齡分別是29,35,40,36,38,30,32,

41,則這8人年齡的25%分位數(shù)是.

15.已知2x+y=2,則甲+2〉的最小值為.

16.已知關(guān)于x的方程f+2（租-2卜+/+4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并且兩根之

積等于兩根之和，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

三、解答題（本大題共5小題，共52分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

17.向量”，b如圖所示，求：

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

彳-丁〒-湃T二…’

__.■??-A-??A.—A--a--A????■,?■―?0—?

?■rwtf——>——■.?「'

°I234S67S9s

⑴COS(4,“；

⑵(2a+b).(a—辦).

18.某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，

否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為1，5,7-

且各輪問題能否回答正確互不影響.求：

(1)該選手進(jìn)入第三輪考核才被淘汰的概率；

(2)該選手至多進(jìn)入第二輪考核的概率.

19.《九章算術(shù)》作為中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著之一，在其“商功”篇內(nèi)記載：“斜解立方，得兩

塹堵.斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉腌.”鱉席是我國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)四個(gè)面均為直角三角

形的四面體的統(tǒng)稱.如圖所示，ABCD-A與GA是長(zhǎng)方體.

D

(1)求證：三棱錐A-ABC為鱉腌；

(2)若AB=4,AD=3,M=4,求三棱錐A-ABC的表面積.

20.已知函數(shù)/'(x)=2sinxcosx+25/^cos2x-G.

⑴求了(x)的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸；

⑵寫出“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

JT冗

(3)當(dāng)％w一了1時(shí)，求/(%)的最值?

21.已知為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=log2^+^.求:

(l)x<0時(shí)，“X)的解析式；

⑵不等式/(x)Wl的解集.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

1.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，將分子分母同乘以分母的共物復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式

￡R）,b即為虛部.

【詳解】

11-i1-i11.11

I7T（i+i）（-）=三=5一”所以復(fù)數(shù)幣的虛部是一，?

2.D

【分析】解分式不等式與二次不等式化簡(jiǎn)集合A5,從而利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)榧螦=1x|J>l1={x[O<x<l},

B={x|（3x-l）（x-l）>0}=1x|x<1^x>l1,

所以=則一隔

故選：D.

3.B

【分析】利用全稱命題或特稱命題的相關(guān)性真假求解參數(shù)

【詳解】由題意，VxeR,"z4e，+l恒成立，

因?yàn)閑*>0,所以e'+l>l,所以機(jī)￡1.

故選：B.

4.A

【分析】選項(xiàng)A由平行的傳遞性可得；BCD由長(zhǎng)方體中的線面、面面位置關(guān)系舉反例可知.

【詳解】選項(xiàng)A,若/〃相，相〃“，則由平行的傳遞性可知，/〃“，故A正確；

選項(xiàng)B,若I〃m,m//a,貝1j/〃a或/ua都有可能，

如圖，長(zhǎng)方體ABC。一A4G。中（以下同）,

設(shè)直線4G為機(jī)，直線5c為/,底面A3CD為a,

滿足/〃加，m//a,但/ua,/與a不平行，故B錯(cuò)誤;

小/I~~By

AB

選項(xiàng)C,若。，尸，,則。與7不一定垂直,

答案第1頁(yè)，共9頁(yè)

如圖，設(shè)上底面AgGR為a,下底面ABC。為7,平面8月CC為夕，

滿足。/3Ly,但a//7,a與/不垂直，故C錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D,若/_L〃z,I//a,則或相ua或根與a相交都有可能,

如圖，設(shè)直線4G為加，直線48為/,設(shè)上底面為。，

滿足/_Lm，I//a,但7〃u（z,nt與a不平行，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

5.C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)所過定點(diǎn)，令〃+1=1即可求解.

【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)“x）=bgM（?>0,且"1）的圖象過定點(diǎn)（1,0）,

所以令2x+l=l,解得x=0,

此時(shí)/（0）=log“1=0,即“力的圖象過定點(diǎn)（0,0）.

故選：C.

6.C

【分析】根據(jù)正方體的體對(duì)角線求得球的半徑，進(jìn)而求得球的體積.

【詳解】由正方體的對(duì)角線為其外接球的直徑2H可得，

（27?）2=32+32+32,解得我=乎，

所以外接球的體積丫=3兀&=3兀［乎］=之普.

故選：C.

7.B

答案第2頁(yè)，共9頁(yè)

【分析】根據(jù)周期求得。，進(jìn)而求得正確答案.

【詳解】由表中數(shù)據(jù)知，7=12,即空=12,解得。=7,所以y=2.5sin￡x+5,

CO66

當(dāng)x=7時(shí)，y=2.5sin(7t+￡)+5=2.5x(-0.5)+5=3.775.

故選：B

X

函數(shù)/(x)=2的零點(diǎn)等價(jià)于2,=工的根等價(jià)于函數(shù)y=2,和y=’的交點(diǎn).

XXX

由圖可知，有一個(gè)交點(diǎn)，所以有一個(gè)零點(diǎn).

故選B.

9.D

【分析】利用正切的和角公式，計(jì)算即可.

,tan15°+tan45°“cr:

【詳解】--------------=tan(15+45)=tan60=J3.

1-tan15°tan45017

故選：D

10.C

【分析】利用互斥事件與對(duì)立事件的概率公式即可得解.

【詳解】由題意，得事件A,B,C為互斥事件，

所以P(=1-Pe)=0.4,貝ijP(A+B)=0.3+0.4=0.7.

故選：C.

11.B

答案第3頁(yè)，共9頁(yè)

【分析】由正弦定理得到，:〃:c=3:5:7,從而確定最大角，利用余弦定理即可求.

【詳解】由正弦定理，得4：b:c=sinA:sin3:sinC=3:5:7,

設(shè)a=3左，b=5k,c=lk,k>0,

因?yàn)樗訟vbvC,

a2+b2-c2942+25%2-49左2￡

所以cosC二

lab2x3kx5k2

因?yàn)?。＜。＜180。,

所以C=120。，即這個(gè)三角形的最大角是120。.

故選：B

12.D

【分析】根據(jù)對(duì)稱性可知g（x）=l°g1x,利用二次函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求得值域?yàn)?/p>

3

（一

【詳解】因?yàn)榕cg（x）的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，所以“X）與g（無）互為反函數(shù),

即可得g（x）=log|尤.

3

因?yàn)?20,所以尤2+121,

因?yàn)樗?（力=腕;在[1收）上單調(diào)遞減，

即可得l°gj尤2+1）＜°,即g（%2+l）的值域?yàn)椋?90].

故選：D.

13.2

【分析】利用向量的加減運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】因?yàn)锳O=+=AB+；8C,BC=AC-AB，

所以A￡＞=AB+：（AC-AB）=g（AB+AC）,所以A8+AC=2AO，即4=2.

故答案為：2

14.31

【分析】先排序，再計(jì)算i,然后可得.

【詳解】把這8個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列可得：29,30,32,35,36,38,40,41,

計(jì)算8x25%=2,所以這8人年齡的25%分位數(shù)是30三+3空2=31.

答案第4頁(yè)，共9頁(yè)

故答案為：31

15.4

【分析】利用基本不等式即可求出答案.

【詳解】因?yàn)?x+y=2,且4*=22,>02>0,

所以4*+T=2"+2y>2d2".2'=2衣而=2后=4，

當(dāng)且僅當(dāng)x=g,y=l時(shí)，取等號(hào).

故答案為：4.

16.-2

【分析】利用根與系數(shù)關(guān)系列方程，從而求得加的值.

【詳解】設(shè)關(guān)于龍的方程/+2(2)彳+"+4=0的兩根為公，巧，

2

所以玉+%=2(2-m),-x2=m+4.

因?yàn)閮筛e等于兩根之和，所以％1+%2=占，%2，

即2(2-m)=m2+4,解得機(jī)=0或根=一2,

因?yàn)锳=4(m—2)2-4("+4)>0,解得機(jī)<0,所以機(jī)=一2.

故答案為：-2

17.(1)--

10

(2)16

【分析】(1)先根據(jù)題圖求得。=(-3,1),b=(l,2),再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，模長(zhǎng)

公式以及夾角公式即可求解；

(2)結(jié)合(1)得至1]2。+6=(-5,4),a-b=(-4,-l),再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】(1)由題圖知，=(1,2)-(4,1)=(-3,1),^=(7,3)-(6,1)=(1,2),

所以Q/=(_3)X1+1X2=-1,|^|=A/10,|/?|=\/5,

/7、a-b-1母

所以皿咐=麗=而花=一而.

答案第5頁(yè)，共9頁(yè)

(2)結(jié)合(1)可得2a+6=2x(-3,1)+(1,2)=(-5,4),a-&=(-3,1)-(1,2)=(^1,-1),

所以(2a+磯a-*(-5)x(-4)+4x(T)=16.

9

此⑴記

⑵之

8

【分析】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得.

(2)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】(1)記“該選手正確回答第i輪問題”為事件4?=1,2,3),貝U

311

事件A，A,&相互獨(dú)立，且尸(A)="尸(&)=]，P(4)="

因?yàn)樵撨x手進(jìn)入第三輪才被淘汰指：前兩輪均通過，第三輪淘汰，

所以該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率為

P(A4%)=P(4)P⑷尸(4)=》；義[1-皆=卷.

(2)因?yàn)檫x手至多進(jìn)入第二輪考核意味著第一輪淘汰或者第一輪通過第二輪淘汰，且事件4

和A4互斥.

所以該選手至多進(jìn)入第二輪考核的概率為

融工+4用=?(可+尸(4)尸何卜

19.(1)證明見解析

(2)24+60

【分析】(1)根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)得AAAA^AC,從而△441c為直角三角

形，再根據(jù)線面垂直的判定定理得3C_L平面從而ABC,ABC為直角三角形，根

據(jù)鱉麝定義得證；

(2)結(jié)合直角三角形面積公式，利用三棱錐表面積公式直接計(jì)算即可.

【詳解】(1)因?yàn)?8。-4與￡4是長(zhǎng)方體，所以平面A2C。，

所以A4]_LAB,AA]_LAC,AA.A.BC,

答案第6頁(yè)，共9頁(yè)

所以AAtB,AAAC為直角三角形.

因?yàn)锳BCD為長(zhǎng)方形，所以AS人3c.

因?yàn)锳BcA41=A,AB,平面44,3,所以平面44出，

所以8cl.42,所以ABC,ABC為直角三角形，

所以三棱錐A-ABC為鱉麝.

(2)因?yàn)樗倪呅蜛BQ)為長(zhǎng)方形，BC=AD=3,AB=4,所以AC=5.

因?yàn)锳AtB,△A41C,ABC,ABC為直角三角形，所以43=4應(yīng)，

所以三棱錐A-ABC的表面積

24

S=S,7MlB+SA41c+S.ABC+SABC=；A,A3+；⑨,AC+；A8,BC+；A3.BC

=—x4x4+—x4x5+—x4x3+—x4>/2x3=24+6A/2.

2222

20.(1)對(duì)稱中心為1-，+勺,。］(左eZ),對(duì)稱軸方程為尤=勺+：^■(左eZ)

\UN/乙_L/

25兀,兀/7r-r\

(2)^71-—^+―(%wZ)

⑶最小值為-石，最大值為2

【分析】⑴利用三角恒等變換可得/(尤)=2sin12x+gJ,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求對(duì)稱中

心及對(duì)稱軸.

(2)根據(jù)/(x)=2sin(2x+j,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解決單調(diào)遞增區(qū)間.

(3)根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)即可求得最大最小值.

【詳解】(1)由題意，得函數(shù)

/(x)=2sinxcosx+2^cos2x-y/3=sin2x+y/3cos2x=2sin2x+—

jr

令2%+1=kn(kGZ),

解得x=——+—(^￡Z),

62

所以函數(shù)的對(duì)稱中心為、￡+g,oj(左eZ).

答案第7頁(yè)，共9頁(yè)

/r=tAll71/,r\

斛得%=萬(wàn)+五(左￡Z),

所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x=**(keZ).

(2)由