天津大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三年級上冊期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

天津大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級期末考試

數(shù)學(xué)學(xué)科試卷

2022年12月26日

注意事項(xiàng)：

一、本試卷分為第1卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試用時

120分鐘.

二、答卷前請務(wù)必將個人信息填寫在答題卡和答題紙密封線內(nèi)的相應(yīng)位置.

三、選擇題答案請用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂：非選擇題請用藍(lán)、黑色墨水的鋼筆

或簽字筆將答案填寫在答題卡的相應(yīng)位置.在試卷或其它位置作答無效！

項(xiàng)目第回卷第II卷總分

成績

一、單選題(本大題共9小題，共45.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知集合4=b1，=2'—1,.母，5=—2<0},則

A.-IGAB.有定BC.Ac(CM)=AD.AuB=A

【答案】D

【解析】

【詳解】分析：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡集合A,利用一元二次不等式的解法化簡集合8,逐一驗(yàn)證選項(xiàng)

即可.

詳解：A=^y\y=2x-\,x^R^={,?—“=(—1,+°0)，

5={x|X2-x-2<0}={x|—1<x<2}=(—1,2),

AB=A,故選D.

點(diǎn)睛：本題主要考查了解一元二次不等式，求集合的補(bǔ)集與交集，屬于容易題，在解題過程中要注意在求

補(bǔ)集與交集時要考慮端點(diǎn)是否可以取到，這是一個易錯點(diǎn)，同時將不等式與集合融合，體現(xiàn)了知識點(diǎn)之間

的交匯.

2.設(shè)xeH,則“爐一5萬<0”是“|x—1|<1"的

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.

【詳解】化簡不等式，可知0<x<5推不出|無—1|<1；

由|九一<1能推出0<尤<5,

故"爐一5x<0”是“|x—1|<1"的必要不充分條件,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡不等式，由集合的關(guān)系來判斷條件.

3.為了解“雙減”政策實(shí)施后學(xué)生每天的體育活動時間，研究人員隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)1000名學(xué)生每天進(jìn)行

體育運(yùn)動的時間，按照時長(單位：分鐘)分成6組：第一組［30,40),第二組［40,50),第三組

［50,60),第四組［60,70),第五組［70,80),第六組［80,90］,經(jīng)整理得到如圖的頻率分布直方圖，則可

以估計(jì)該地區(qū)學(xué)生每天體育活動時間的第25百分位數(shù)約為()

頻率

0.03.......................

0.02...............

a--------------------------

0.01-1.....................................

O30405060708090時間/分鐘

A.42.5分鐘B.45.5分鐘

C.47.5分鐘D.50分鐘

【答案】C

【解析】

【分析】由頻率之和為1求出。=0.015,利用求百分位數(shù)的公式進(jìn)行求解.

【詳解】由頻率之和為1得：10(0.01+0.02+0.03+2。+0.01)=1,

解得：a=0.015,

由10x0.01=0.1<0.25,10x0.01+10x0.02=0.3>0.25,

故第25百分位數(shù)位于［40,50)內(nèi)，

則第25百分位數(shù)為40+臀察xl0=47.5,

0.3-0.1

可以估計(jì)該地區(qū)學(xué)生每天體育活動時的第25百分位數(shù)約為47.5

故選：C

0205

4.已知a=log050.2,b=O,5，c=O,2，則。，b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】通過指、對、塞函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.

【詳解】log050.2>log050.5=1,：.a>l,

又c=O,205<O,20-2<0.2°=1，1=0.5°>b=O.502>O,202，

:.a>b>c.

故選：A.

【解析】

【分析】由題意，函數(shù)/W的解析式，可判定函數(shù)為/*)為偶函數(shù)，排除A、B項(xiàng)，又由/(?)<0,可排

除D項(xiàng)，即可得到答案.

2

【詳解】由題意，函數(shù)/(X),滿足/(-x)=~(-x)-(-尤)sin(-x)=g尤2-尤sinx=f(x),

即/(—x)=/(x)，XGR,得函數(shù)/(九)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于>軸對稱，排除A、B項(xiàng)；

,r\1/兀、2兀1TC1.711、?,,,口人

又由/(二)二7*(7)X—=—X—x(--I)<0,排除D,

62662626

故可能的圖象為C,故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象的識別問題，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)，利用函數(shù)的單調(diào)

性和奇偶性，進(jìn)行排除選項(xiàng)是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)

題.

6.若所有棱長都是3的直三棱柱A3C-4與G的六個頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（）

A.121B.18%C.2UD.39兀

【答案】C

【解析】

【分析】正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的表面積.

【詳解】解：由題意可知：正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，底面中心到頂點(diǎn)的距離

2

為：-A3-f-T-A/3；所以外接球的半徑為：J（百/+臼=^.

所以外接球的表面積為:

故選：C

【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查正三棱柱的外接球的表面積的求法，找出球的球心是解題的關(guān)鍵，考查空間

想象能力，計(jì)算能力.

7.已知〃同=$皿8+夕）（0>0,閘<3圖象相鄰的兩條對稱軸的距離為2?，將函數(shù)y=/（x）的圖象向

左平移m個單位長度后，得到的圖象關(guān)于〉軸對稱，給出下列命題：

①函數(shù)"X）的圖象關(guān)于直線x對稱；

②函數(shù)?。┰?上單調(diào)遞增；

③函數(shù)“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)［-斗,o］對稱.

其中正確的命題個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)以及函數(shù)圖象變換求出函數(shù)7（%）的解析式，利用正弦型函數(shù)的對稱

性可判斷①③的正誤，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷②的正誤.

241

【詳解】由題意可知，函數(shù)“X)的最小正周期為丁=4%=——，可得°=彳，則〃x)=sinM，

CD2

將函數(shù)7(%)的圖象向左平移事個單位長度后，得到函數(shù)g(x)=sint[x+?]+0=sinQx+^9+^

的圖象，

由于函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于>軸對稱，則0+工=左乃+工(左eZ),解得夕=左乃+至(左eZ),

623

X71

一冗彳<"<彳兀，"=￡71，所匚匕以2，/r((x)\=si-n\-+,-.\

乙乙3\乙DJ

所以，函數(shù)了(%)的圖象關(guān)于直線x=。對稱，①正確;

7171717〃

對于②，當(dāng)XC時,—<—x-\——<——

6-2312

所以，函數(shù)/(%)在/%上不單調(diào)，②錯誤;

所以，函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)1刀]對稱，③正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：二角函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的求解思路:

(1)將函數(shù)解析式變形為y=Asin(a>x+cp)+B(^a>>0)ngy=Acos(a>x+<p)+B^a>>0)的形式；

(2)將。龍+0看成一個整體；

(3)借助正弦函數(shù)y=sinx或余弦函數(shù)y=cosx的圖象和性質(zhì)(如定義域、值域、最值、周期性、對稱

性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題.

8.雙曲線--匕=1(加〃/0)離心率為2,有一個焦點(diǎn)與拋物線V=4x的焦點(diǎn)重合，則如,的值為()

mn

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意得出關(guān)于以〃的方程化簡求值即可得出結(jié)果.

【詳解】解:由題知，雙曲線離心率為2,即c=2a,

:.a2+b'=4",

3a2=b~,3m=n,

拋物線V=4x的焦點(diǎn)為(1,0),

c—l,a^+b2—l,m+n—l,

3m=n,m+n—1,

133

m=一,n=—,mn=—

4416

故選:A

9.已知log23=m,log37=〃，則log4256=()

m+n+3

2m+n+lmn+m+lmn—m+1

【答案】C

【解析】

【分析】由換底公式和對數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行化簡計(jì)算.

【詳解】由換底公式得：Iog27=log23」og37=〃7",log72=」一

log4256=log427x8=log427+log428,其中

*7=

log7421+log76l+log72+log731111mn+m+1，

mnn

log428=31og422=

log242log26+log271+m+mn

log56=-------1-------=-------

42mn+m+1\+m+mnmn+m+1

故選：c

二、填空題(本大題共6小題，共30.0分)

10.已知復(fù)數(shù)z滿足z-(l+i)=|l+i|,則2=-------

【答案】走―受i

22

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的模長公式以及復(fù)數(shù)的除法化簡可得復(fù)數(shù)Z.

【詳解】因?yàn)閦?(l+i)=|l+i|=Jl+I=形,則z=

v711l+i(l+i)(l-i)22

故答案為：叵一旦.

【解析】

【分析】首先寫出通項(xiàng)公式，再根據(jù)指定項(xiàng)求「，最后代入「求含V的系數(shù).

【詳解】—的展開式的通項(xiàng)公式(M=C>x6f(―5J=C〉(-3丫1亨，

令6—3=3,丫=2,所以V的系數(shù)是C〉(—3)2=135.

故答案為：135

?JT

12.過點(diǎn)(1,0),傾斜角為a的直線/交圓(X—1)2+0—2)2=4于A,B兩點(diǎn)，則弦A3的長為_________

【答案】272；

【解析】

2

【分析】首先根據(jù)題意寫出直線方程，求出圓心到直線的距離,再利用\AB\=2ylr--d計(jì)算弦長即可.

【詳解】由題知：直線/：y=x-l,即x—y—1=。，

圓(x—iy+(y—2>=4,圓心(L2),半徑r=2.

圓心(L2)到直線x—y—1=。的距離=

V2

所以AB=2,產(chǎn)一/=274-2=272.

故答案為：2夜

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓截得弦長問題，同時考查了直線方程的點(diǎn)斜式，屬于簡單題.

13.甲從裝有除顏色外完全相同的3個白球和加個黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回的摸取3次，記摸

得白球個數(shù)為X.若E（X）=|,則帆=,P（X=2）=.

54

【答案】①.2—

125

【解析】

【分析】根據(jù)已知可得X?由E（X）=g得m=2；由此可以得到P（X=2）的值.

【詳解】甲從裝有除顏色外完全相同的3個白球和加個黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回的摸取3次，

記摸得白球個數(shù)為X,則乂?臺仁,二二］,

1m+3）

o3Q

???E（X）=—,??.￡（X）=3x-------,:.m=2,

v75v7m+35

54

故答案為：2；.

125

14.當(dāng)a>0且awl時，函數(shù)/（x）=loga（x—l）+l的圖像恒過點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線如一y+“=。上，

則4m+2"的最小值為.

【答案】2夜

【解析】

【詳解】試題分析：由題意知函數(shù)；=過點(diǎn)二二

所以二3：-1：=1

二4、+八274'x2'=272^=2>/2

所以.丁的最小值為.

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖像及其性質(zhì)；基本不等式.

15.如圖，在等腰ABC中，AB=AC=3,D,E與M,N分別是AB,AC的三等分點(diǎn)，且

DNME=—1，貝hanA=,ABBC=.

A

418

【答案】①.一②.一一

35

【解析】

【分析】

ON,ME用基底AB,AC表示，根據(jù)已知求出cosA,進(jìn)而求出tanA,再將用基底AB,AC表示，即

可求出

【詳解】DN=AN-AD=-AC--AB,

33

ME=AE-AM=-AB--AC,

33

:.DN-ME=^AC-^AB^-^AB-^AC^

52222

=-ABAC——AB——AC=5cosA-4=-l

999

cosA=—,0<A<—,sinA—Jl—cos~A——,

525

sinA4

tanA=-----二—,

cosA3

-2

:.ABBC=AB(AC-AB)=ABAC-AB

23_2_18

—3x3x—3-----.

55

故答案為：—;―--.

35

【點(diǎn)睛】本題考查向量基本定理、向量數(shù)量積，也考查了計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題（本大題共5小題，共75.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為b,c,b—2y/1,c=2,B=—.

3

(1)求〃的值;

(2)求sinA；

(3)求sinCB—2⑷的值

【答案】(1)a=6

力.3VH

(2)sinA=----

14

(3)—空

14

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理列方程，化簡求得。的值.

(2)利用正弦定理求得sinA.

(3)利用余弦定理求得cosA,結(jié)合二倍角公式以及兩角差的正弦公式求得正確答案.

【小問1詳解】

由余弦定理得加=a?+c?—2accos3，

整理得2?！?4=0，解得。=6.

小問2詳解】

DAX

由正弦定理得ab,“asinBV3630T.

,sinA=------=3=—產(chǎn)=--------

sinAsinBb2772s14

【小問3詳解】

7724M_228+4-36_幣

由余弦定理得cosA=—~—

2bc2X2A/7X2-14

3G

所以sin2A=2sinAcosA=2x

IT

cos2A=2cos2A-l-2xT=41

所以sin（5—2A）=sinBcos2A—cosBsin2A

17.如圖，在四棱錐E—AfiCD中，平面ABCD1平面ABE,AB//DC,ABIBC,

AB=2BC=2CD=2,AE=5E=J?，點(diǎn)M為鹿的中點(diǎn).

D

(1)求證：CM〃平面ADE；

(2)求平面EB￡）與平面6Z）C夾角的正弦值;

(3)N為線段A￡）的中點(diǎn)，求直線與平面￡?￡）所成的角正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵手

⑶-

9

【解析】

【分析】（1）取AE中點(diǎn)G,連接GM,GD,證明MGDC是平行四邊形，得CMUDG,從而得線面

平行；

（2）取A3中點(diǎn)產(chǎn)，連接EF,CF,CF交BD于點(diǎn)0,連接0E,證明NEOC是二面角E—5D—C

的平面角，然后求出此角（或NEOF）的正弦值即可得；

（3）以產(chǎn)為原點(diǎn)，F(xiàn)E、FB、ED所在的直線為不外丁軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

求出M0、平面BED的一個法向量坐標(biāo)，利用線面角的向量求法可得答案.

【小問1詳解】

取AE中點(diǎn)G,連接GM,GD,如圖，

因?yàn)镸是您中點(diǎn)，則MG//A5且MG=！A3,又ABIICD,AB=2CD,

2

所以MG//CD且MG=CD,所以MGDC是平行四邊形，

所以。W//DG,DGu平面ADE,。/仁平面ADE，所以。欣〃平面ADE；

【小問2詳解】

取AB中點(diǎn)尸，連接班;。尸，CF交BD于點(diǎn)、0,連接?！?

由已知AB//DC,ABJ.BC,AB=2CD,得CDEB是正方形，

CF±BD,EA=EB,則EFLAB,

因?yàn)槠矫鍭BCDl平面ABE,平面A5CDC平面=AB，E/u平面ME,

所以即上平面ABCD,又BDu平面ABCD,所以EFLBD,

又BD工FC,EF\CF=F,E”bu平面￡。尸，所以班＞/平面ECF,

又OEu平面8b,所以BDLOE,

所以NEOC是二面角E—班＞—C的平面角，

又0F:號,EF=J陰―二=2,

s"EOF晦=金=當(dāng)

所以O(shè)E=V<9F2+EF2=J；+4=孚

2

sinZEOF=^-

sinZ.EOC=sin(7i-ZEOF)=

3

所以平面EBD與平面BDC夾角的正弦值為巫

3

【小問3詳解】

以廠為原點(diǎn)，F(xiàn)E、FB、FD方向?yàn)?V、V軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則產(chǎn)(0,0,0),￡(2,0,0),5(0,1,0),￡>(0,0,1),

所以?！?(2,0,—1),DB=(O,l,-l),W=,

設(shè)平面BE。的一個法向量為〃=(x,y,z),

DEn=02x-z=0

所以《即《令z=2，則x=l,y=2,

DBn=0y-z=0

所以〃=(1,2,2),設(shè)直線MN與平面￡8。所成的角為8,

NM-n1+2-14

NM^n的』+1+：§

4

所以直線MN與平面EBD所成的角正弦值為

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：與+3=1（。〉6〉0）長軸是短軸的、歷倍，點(diǎn)（2,1）在橢

a~b’

圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線/與圓O：/+>2=2相切，切點(diǎn)在第一象限，與橢圓C相交于P,。兩點(diǎn).

①求證：以P。為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O；

②若△OPQ的面積為華,求直線I的方程.

【答案】（1）三+匯=1；（2）①證明見解析，@y=-V2x+V6^y=

6342

【解析】

分析】

（1）由題意，列出方程組，求得的值，進(jìn)而得到方程；

（2）①直線P。的方程為'=依+機(jī)，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理，計(jì)算出OPOQ=0,可得

ZPOQ=90°,即以P。為直徑的圓過原點(diǎn)。；

②根據(jù)弦長公式，三角形的面積公式，列出方程，求得上的值，即可求得直線分方程.

【詳解】（1）由題意橢圓C長軸是短軸的&倍，點(diǎn)（2,1）在橢圓C上，

a=y/2b

22

可得《a2=從+。2,解得八6,*3,所以橢圓。的方程%+?=L

431

（2）①因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，直線的斜率存在,

不妨設(shè)直線的方程為、=履+m，即而—y+機(jī)=0,且左<0,m>0,

ImIrr

因?yàn)橹本€與圓相切，所以―/~寧=，2,即根2=2左2+2,

Jl+%2

kx-y+m-Q

聯(lián)立?,得（1+2左2）爐+4^n￥+2蘇一6=0,

x+2y=6

4km2m2—6

設(shè)P（七,%），。（%2，%），則有芯+%2=-

2

所以丹%=（近1+機(jī)）（近2+機(jī)）=k~xxx2+km（Xi+%2）+m

2k2m2-6k24k2m2m2-6k2

二----------------------1-m2二--------,

2

1+2Vl+2k1+242

2m2-6m2-6k23（加2-2）-6左2

所以O(shè)P-OQ=石々+y^2

1+2左21+2左21+2/

所以O(shè)PLOQ,即NPOQ=90。，即以尸。為直徑的圓過原點(diǎn)。.

2

②由①可得芯+%=-[4黑2,x,x=——m=2k+2

1+2k21+2k

2立,1+父,442+1

所以IPQ|=4+左2處苞4々2

X[X2=

1+2左2

點(diǎn)。到直線尸。的距離為近，

可彳》40"里嚴(yán)考,解得或

當(dāng)上2=2時，zn2=8)當(dāng)左?=』時，m2=—,

84

所以左=—y/2>m—y/6，或左=—，m=，

42

則直線方程為y=—岳+痣或y=—孝工+|.

【點(diǎn)睛】對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線的方程，應(yīng)用一

元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，此類問題易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解，能較

好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力.

19.已知等差數(shù)列｛4｝前幾項(xiàng)和為S"("eN+),數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，%=3,仇=1,b2+S2=10,

a5-2b2=%.

(1)求數(shù)列｛%,｝和｛2｝的通項(xiàng)公式;

r人2，〃為奇數(shù)

(2)若c“=S”，設(shè)數(shù)列｛%｝前幾項(xiàng)和為北，求

2aMp〃為偶數(shù)

1

【答案】⑴an=2n+l,bn=2"-,

f2n12n—l.4

(2)T.=-------+---------4n,,++]1+-

2n+l99

【解析】

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列｛或｝的公比為4,然后由已知條件列方程組可求出d

和4,從而可求出數(shù)列｛4｝和｛2｝的通項(xiàng)公式;

2211

⑵由（1）可知當(dāng)，為奇數(shù)時，L￡=而與二不小’當(dāng)〃為偶數(shù)時，

cn=2a“b“=（2/?+l）2n,然后分奇偶項(xiàng)求解即可.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛??｝的公差為d,等比數(shù)列｛2｝的公比為q,

因?yàn)椤?=3,4=1,/?2+S2=10,a5-2b2=a3,

q+3+3+d=10

所以解得q=d=2,

3+4d-2q=3+2d

所以4=q+(〃—l)d=3+2(〃-1)=2〃+1,

仇=如1=2"7

【小問2詳解】

由(1)得1)d-3n+n(n-1)="+2〃,

2_2_1_1

當(dāng)〃為奇數(shù)時，G

Sn〃(〃+2)n〃+2

當(dāng)〃為偶數(shù)時，。〃=2%2=(2〃+1)2〃,

所以=。+。2+G+…+。2〃-1+C2n

=(q+c3+---+c2n_!)+(c2+c4+---+c2n)

令A(yù)=q+q+…+弓"_1，4=c2+c4+---+c2n,

1

則

42n+l

_11_2〃

2n+l2n+l

=Q+Q+…+=5x22+9x24+13x26+…+(4〃-3)22〃-2+(4〃+I)22〃，

所以22紇=5X24+9X26+13X28+…+(4〃-3)22n+(4n+l)22n+2,

所以—3紇=2~+4(22+24+26+---+22n)-(4n+l)2ln+2

=4+4*4(