礦大人工智能第五章不確定性推理

12024/3/9第五章不確定性推理第五章不確定性推理22024/3/9本章內(nèi)容概述基于概率的推理主觀Bayes方法確定性理論證據(jù)理論模糊邏輯和模糊推理第五章不確定性推理32024/3/9不確定性以牛頓理論為代表的確定性科學(xué)，創(chuàng)造了給世界以精確描繪的方法，將整個宇宙看作是鐘表式的動力學(xué)系統(tǒng)，處于確定、和諧、有序的運動之中。客觀世界上隨機的，映射到人腦的客觀世界，即主觀世界也應(yīng)該是隨機的。因此，人類在認(rèn)知過程中表現(xiàn)出的智能和知識，不可避免地伴隨有隨機性。隨機性無處不在，隨機性使得世界更為復(fù)雜，也更為豐富多彩。第五章不確定性推理5.1概述42024/3/9模糊性直到20世紀(jì)，人們才認(rèn)識到，模糊性并不是壞事。它能夠用較少的代價，傳遞足夠的信息，并能對復(fù)雜事物做出高效率的判斷和處理。模糊性的客觀性哲學(xué)家羅素早在1923年一篇題為Vagueness的論文中明確指出：“認(rèn)為模糊知識必定是靠不住的，這種看法是大錯特錯的”。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，科學(xué)家們已經(jīng)認(rèn)識到：硬要把模糊事物人為地精確化，不僅會以方法的復(fù)雜性為代價，而且會降低結(jié)果的意義性第五章不確定性推理5.1概述52024/3/9不確定性現(xiàn)實世界中的事物以及事物之間的關(guān)系是極其復(fù)雜的，由于客觀上存在的隨機性、模糊性以及某些事物或現(xiàn)象暴露的不充分性，導(dǎo)致人們對它們的認(rèn)識往往是不精確、不完全的，具有一定程度的不確定性。這種認(rèn)識上的不確定性反映到知識以及由觀察所得到的證據(jù)上來，就分別形成了不確定性的知識及不確定性的證據(jù)。另外，正如費根鮑姆所說的那樣，大量未解決的重要問題往往需要運用專家的經(jīng)驗。我們知道，經(jīng)驗性知識一般都帶有某種程度的不確定性。第五章不確定性推理5.1概述62024/3/9不確定性自然語言中的不確定性語言帶有不確定性是很自然的，是人類思維的本質(zhì)特征之一。計算機自然語言理解、機器翻譯等研究，從20世紀(jì)40年代興起至今已經(jīng)有60多年的歷史，…人們寄希望于表示概念的語言值的不確定性研究取得突破第五章不確定性推理5.1概述72024/3/9不確定性推理的提出已知事實和知識是構(gòu)成推理的兩個基本要素。在確定性推理中，已知事實以及推理時所依據(jù)的知識都是確定的推出的結(jié)論或證明了的假設(shè)也都是精確的，其真值或者為真，或者為假在事物和知識存在不確定性情況下，若用經(jīng)典邏輯做精確處理，將把這種不確定性化歸為確定性的，在本來不存在明確類屬界限人為地劃定界限，這無疑會舍棄事物的某些重要屬性，從而失去了真實性。由此開始了對不確定性的表示及處理的研究，有了不確定性推理的理論和方法,這將使計算機對人類思維的模擬更接近于人類的思維。第五章不確定性推理5.1概述82024/3/9不確定性推理不確定性推理是建立在非經(jīng)典邏輯基礎(chǔ)上的一種推理，它是對不確定性知識的運用與處理。嚴(yán)格地說，所謂不確定性推理就是從不確定性的初始證據(jù)出發(fā)，通過運用不確定性的知識，最終推出具有一定程度的不確定性但卻是合理或者近乎合理的結(jié)論的思維過程。第五章不確定性推理5.1概述92024/3/9不確定性的類型不確定性一般包括：證據(jù)的不確定性：例如，當(dāng)你觀察某種動物的顏色時，你可能說是白色的，也可能是灰色的。知識不確定性：也稱為知識的靜態(tài)強度。例如，如果“啟動器發(fā)出刺耳聲”則“啟動器壞”，這條規(guī)則有多大的可靠性呢？結(jié)論的不確定性：在不確定證據(jù)下，用不確定的規(guī)則推出的結(jié)論，具有不確定性。例如，“啟動器好象發(fā)出刺耳聲”那么我們在多大程度上認(rèn)為“啟動器壞”呢？第五章不確定性推理5.1概述102024/3/9知識不確定性的表示知識的表示與推理是密切相關(guān)的兩個方面，不同的推理方法要求有相應(yīng)的知識表示模式與之對應(yīng)。知識的靜態(tài)強度可以用該知識在應(yīng)用中成功的概率，或者該知識的可信程度等來表示如果用知識在應(yīng)用中成功的概率來表示，則其取值范圍為[0，1]，該值越接近于1，說明該知識越“真”；其值越接近于0，說明該知識越“假”。如果用可信度來表示知識的靜態(tài)強度，取值范圍沒有一個統(tǒng)一的區(qū)間。著名的MYCIN系統(tǒng)采用[-1，1]區(qū)間，也有的系統(tǒng)用[0，1]區(qū)間第五章不確定性推理5.1概述112024/3/9知識不確定性的表示第五章不確定性推理5.1概述MYCIN概述

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知識獲取模塊感染病專家與知識工程師知識庫動態(tài)數(shù)據(jù)庫(推理記錄)患者數(shù)據(jù)庫(原始數(shù)據(jù)庫)MYCIN系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

122024/3/9知識不確定性的表示MYCIN系統(tǒng)是第一個采用了不確定推理邏輯的專家系統(tǒng)，在20世紀(jì)70年代非常有名。這個系統(tǒng)提出該確定性方法時遵循了下面的原則：

（1）不采用嚴(yán)格的統(tǒng)計理論。使用的是一種接近統(tǒng)計理論的近似方法。

（2）用專家的經(jīng)驗估計代替統(tǒng)計數(shù)據(jù)

（3）盡量減少需要專家提供的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，盡量使少量數(shù)據(jù)包含多種信息。

（4）新方法應(yīng)適用于證據(jù)為增量式地增加的情況。

（5）專家數(shù)據(jù)的輕微擾動不影響最終的推理結(jié)論第五章不確定性推理5.1概述132024/3/9證據(jù)不確定性的表示證據(jù)有兩種：一種是求解問題時所提供的初始證據(jù)另一種是在推理中得出的中間結(jié)果證據(jù)的不確定性表示應(yīng)該與知識的不確定性表示保持一致，以便推理過程能對不確定性進(jìn)行統(tǒng)一處理。第五章不確定性推理5.1概述142024/3/9不確定性推理的類型有多種不同的分類方法，如果按照是否采用數(shù)值來描述不確定性，可分為：數(shù)值方法：用數(shù)值對不確定性進(jìn)行定量表示和處理的方法。非數(shù)值方法：除數(shù)值方法以外的其他各種對不確定性進(jìn)行表示和處理的方法，如非單調(diào)推理等。數(shù)值方法又可按所依據(jù)的理論分為兩類：基于概率論的有關(guān)理論：稱為基于概率的模型，如確定性理論、主觀Bayes方法、證據(jù)理論、等。基于模糊邏輯理論：稱為模糊推理第五章不確定性推理5.1概述152024/3/9非單調(diào)邏輯推理所謂“單調(diào)”,是指一個邏輯系統(tǒng)中的定理隨著推理的進(jìn)行而總是遞增的。那么,非單調(diào)就是邏輯系統(tǒng)中的定理隨著推理的進(jìn)行而并非總是遞增的,就是說也可能有時要減少。傳統(tǒng)的邏輯系統(tǒng)都是單調(diào)邏輯。但事實上,現(xiàn)實世界卻是非單調(diào)的。例如,人們在對某事物的信息和知識不足的情況下,往往是先按假設(shè)或默認(rèn)的情況進(jìn)行處理,但后來發(fā)現(xiàn)得到了錯誤的或者矛盾的結(jié)果,則就又要撤消原來的假設(shè)以及由此得到的一切結(jié)論。這種例子不論在日常生活中還是在科學(xué)研究中都是屢見不鮮的。這就說明,人工智能系統(tǒng)中就必須引入非單調(diào)邏輯。第五章不確定性推理5.1概述162024/3/9基于概率的推理方法

第五章不確定性推理5.2基于概率的方法概率理論是處理隨機性最好的數(shù)學(xué)工具17世紀(jì)人們對賭博中隨機現(xiàn)象的研究20世紀(jì)概率論的公理化體系數(shù)理統(tǒng)計、隨機過程的研究奠基人：JacobBernoulliP.S.Laplace,J.W.LindebergP.L.Chebyshev,A.A.MarkovA.N.KolmogorovK.Pearson:生物統(tǒng)計進(jìn)行研究R.Fisher:模型的參數(shù)估計方法以及試驗設(shè)計方法R.Brown:布朗運動，隨機過程A.K.Erlang:Poisson

過程由概率論、數(shù)理統(tǒng)計和隨機過程構(gòu)成的概率理論，為研究隨機性奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也為研究不確定性提供了工具。172024/3/9基于概率的推理方法

隨機事件A的概率P(A)表示A發(fā)生的可能性因而可用它來表示事件A的確定性程度。隨機事件的關(guān)系及邏輯運算集合表示隨機事件事件A不出現(xiàn)：事件A包含于時間B：事件A，B至少出現(xiàn)一個：事件A，B同時出現(xiàn)：第五章不確定性推理5.2基于概率的方法182024/3/9基于概率的推理方法確定事件A的概率P（A）通常有三種計算方法：古典概率：P（A）=k/m（其中，k為A中所包含的基本事件數(shù)，n為基本事件的總數(shù)）。頻率法：P（A）=m/n（其中，n為重復(fù)實驗次數(shù)，n為事件A出現(xiàn)的次數(shù)）。主觀確定法：P（A）=專家主觀賦值（通常用于不宜大量重復(fù)的隨機現(xiàn)象）第五章不確定性推理5.2基于概率的方法192024/3/9基于概率的推理方法定義1：隨機事件的獨立性：設(shè)（

，F(xiàn)，P）是一概率空間，A，B是F中的任意兩個隨機事件，如果P（AB）=P（A）P（B），則稱A、B是相互獨立的。一個事件的發(fā)生對另一事件的發(fā)生沒有任何影響，事件才具有獨立性第五章不確定性推理5.2基于概率的方法202024/3/9基于概率的推理方法定義2：設(shè)（

，F(xiàn)，P）是一概率空間，A，B是F中的任意兩個隨機事件，假設(shè)P（B）>0,稱為事件B出現(xiàn)條件下，事件A發(fā)生的條件概率。條件概率的意義在于：如果在隨機試驗中，已經(jīng)觀察到了事件B的發(fā)生，那么可以利用事件B發(fā)生的概率，去認(rèn)識事件A的不確定性。第五章不確定性推理5.2基于概率的方法212024/3/9基于概率的推理方法

隨機事件A的概率P(A)表示A發(fā)生的可能性因而可用它來表示事件A的確定性程度。由條件概率的定義及Bayes定理可得出：在一·個事件發(fā)生的條件下另一個事件發(fā)生的概率這可用于基于產(chǎn)生式規(guī)則的不確定性推理，其中有兩種簡單的不確定性推理方法：經(jīng)典概率方法逆概率方法第五章不確定性推理5.2基于概率的方法222024/3/9經(jīng)典概率方法若有推理規(guī)則：IFETHENH

其中，E為前提條件，H為結(jié)論。如果我們在實踐中經(jīng)大量統(tǒng)計能得出E發(fā)生的概率P(E)以及在E發(fā)生條件下H發(fā)生的條件概率P(H／E)就可利用概率來表示確定性程度：把P(E)作為證據(jù)E的確定性程度，把P(H／E)作為在證據(jù)E出現(xiàn)時結(jié)論H的確定性程度。第五章不確定性推理5.2基于概率的方法232024/3/9逆概率方法經(jīng)典概率方法要求給出在證據(jù)E出現(xiàn)情況下結(jié)論H的條件概率P(H／E)，這在實際應(yīng)用中是相當(dāng)困難的。例如，若以E代表咳嗽，以H代表支氣管炎，要找在咳嗽的人中有多少是患支氣管炎的，就需要做大量的統(tǒng)計工作但是如果在患支氣管炎的人中統(tǒng)計有多少人是咳嗽的，就相對容易一些，因為患支氣管炎的人畢竟比咳嗽的人少得多。因此希望用逆概率P(E／H)來求原概率P(H／E)，Bayes定理給出了解決這個問題的方法。第五章不確定性推理5.2基于概率的方法242024/3/9Bayes公式

其中，A1，A2，…，An是兩兩相斥的事件，其概率P(Ai)>0，B是一相關(guān)事件，P(B/Ai)(i=1,…,n)是其條件概率。

第五章不確定性推理5.2基于概率的方法252024/3/9逆概率推理把Ai看成是一組假設(shè)結(jié)論Hi(i=1,…,n),而把B看成是輸入事實E，那么，根據(jù)Bayes公式有如下推理：

逆概率方法的優(yōu)點是它有較強的理論背景和良好的數(shù)學(xué)特性，當(dāng)證據(jù)及結(jié)論都彼此獨立時計算的復(fù)雜度比較低缺點是它要求給出結(jié)論的先驗概率和證據(jù)的條件概率而且要求各事件互相獨立等。第五章不確定性推理5.2基于概率的方法262024/3/9主觀Bayes推理

我們知道，直接使用Bayes公式求結(jié)論Hi在證據(jù)E存在情況下的概率P(Hi／E)時，需知道：Hi的先驗概率P(Hi)，證據(jù)E出現(xiàn)的條件概率P(E／Hi)，這在實際應(yīng)用中也是相當(dāng)?shù)睦щy的。為此，杜達(dá)等人在Bayes公式的基礎(chǔ)上經(jīng)適當(dāng)改進(jìn)提出了主觀Bayes方法，建立了相應(yīng)的不確定性推理模型。第五章不確定性推理5.3主觀Bayes方法272024/3/9主觀Bayes推理

主觀貝葉斯方法是R.O.Duda等人于1976年提出的一種不確定性推理模型,并成功地應(yīng)用于地質(zhì)勘探專家系統(tǒng)PROSPECTOR。主觀貝葉斯方法是以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ),將貝葉斯(Bayesian)公式與專家及用戶的主觀經(jīng)驗相結(jié)合而建立的一種不確定性推理模型。不確定性度量主觀貝葉斯方法的不確定性度量為概率P(x),另外還有三個輔助度量:LS,LN和O(x),分別稱充分似然性因子、必要似然性因子和幾率函數(shù)。第五章不確定性推理5.3主觀Bayes方法282024/3/9幾率函數(shù)

X的幾率等于X出現(xiàn)的概率與X不出現(xiàn)的概率之比。隨著P(X)的增大，O(X)也在增大，且有:

P(X)=0時，O(X)=0P(X)=1時，O(X)=+∞這樣，就把取值為[0,1]P(X)放大到了取值為[0,+∞]的O(x)。第五章不確定性推理5.3主觀Bayes方法292024/3/9主觀Bayes推理中的知識表示

知識用產(chǎn)生式規(guī)則表示：

IFETHEN(LS,LN)H(LS,LN)是知識強度LS,LN的取值范圍都為[0，+∞)根據(jù)Bayes公式可知:O(H/E)=LS×O(H) O(H/~E)=LN×O(H)第五章不確定性推理5.3主觀Bayes方法302024/3/9LS的性質(zhì)

當(dāng)LS＞1時，O(H／E)＞O(H)，說明E支持H；LS越大，O(H／E)比O(H)大得越多，即LS越大，E對H的支持越充分。當(dāng)LS→+∞時，O(H／E)→+∞，P(H／E)→1，表示由于E的存在，將導(dǎo)致H為真。當(dāng)LS＝1時，O(H／E)=O(H)，說明E對H沒有影響。當(dāng)LS＜1時，O(H／E)＜0(H)，說明E不支持H。當(dāng)LS＝0時，O(H／E)=0，說明E的存在使H為假?？梢钥闯觯甃S反映的是E的出現(xiàn)對H為真的影響程度因此，稱LS為知識的充分性度量。第五章不確定性推理5.3主觀Bayes方法312024/3/9LN的性質(zhì)

當(dāng)LN＞1時，O(H／~E)＞O(H)，說明~E支持H；LN越大，O(H/~E)比O(H)大得越多，即~E對H的支持越充分當(dāng)LN→+∞時，O(H／~E)→+∞，P(H／~E)→1，表示由于~E的存在（E的不存在），將導(dǎo)致H為真。

當(dāng)LN＝1時，O(H／~E)=O(H)，說明~E對H沒有影響。當(dāng)LN＜1時，O(H／~E)＜0(H)，說明~E不支持H。當(dāng)LN＝0時，O(H／~E)=0，說明~E的存在（E的不存在），使H為假?？梢钥闯觯甃N反映的是E不存在時，對H為真的影響程度因此，稱LN為知識的必要性度量。第五章不確定性推理5.3主觀Bayes方法322024/3/9LS與LN的關(guān)系

由于E和~E不會同時支持或同時排斥H，因此只有下述三種情況：

LS＞1，且LN＜1LS＜

1，且LN＞1

LS＝LN＝1在實際系統(tǒng)中，LS和LN的值均是由領(lǐng)域?qū)＜腋鶕?jù)經(jīng)驗給出的，而不是計算出來的。當(dāng)證據(jù)E愈是支持H為真時，則LS的值應(yīng)該愈大；當(dāng)證據(jù)E對H愈是重要時，則相應(yīng)的LN的值應(yīng)該愈小。第五章不確定性推理5.3主觀Bayes方法332024/3/9證據(jù)不確定性的表示

證據(jù)的不確定性也是用概率表示的。對于初始證據(jù)E，根據(jù)觀察S給出P(E／S)，相當(dāng)于動態(tài)強度。P(E/S)的給出相當(dāng)困難，實際中多采用近似方法。如在PROSPECTOR中引進(jìn)可信度的概念，在[-5，5]之間的11個整數(shù)中根據(jù)實際情況選一個數(shù)作為初始證據(jù)的可信度根據(jù)可信度C(E／S)，可近似計算得到概率P(E／S)第五章不確定性推理5.3主觀Bayes方法342024/3/9用可信度C(E／S)近似計算概率P(E／S)可信度C(E／S)與概率P(E／S)的對應(yīng)關(guān)系如下：C(E/S)＝-5，表示在觀察S下證據(jù)E肯定不存在，即P(E/S)＝0C(E/S)＝0，表不S與E無關(guān)，即P(E/S)=P(E)C(E/5)＝5，表示在觀察S下證據(jù)E肯定存在，即P(E/S)＝1C(E/S)為其它數(shù)時與P(E/S)的對應(yīng)關(guān)系，可通過對上述三點進(jìn)行分段線性插值得到第五章不確定性推理5.3主觀Bayes方法P(E/S)P(E)-5C(E/S)051352024/3/9組合證據(jù)不確定性的計算

當(dāng)組合證據(jù)是多個單一證據(jù)的合取時：

E＝E1∧E2∧…∧En如已知P(E1/S)、P(E2/S)、…、P(En/S)，則：P(E/S)=min{P(E1/S)，…，P(En/S)}當(dāng)組合證據(jù)是多個單一證據(jù)的析取時：

E＝E1∨E2∨…∨EnP(E/S)=max{P(E1/S)，…，P(En/S)}對于“非”運算，用下式計算：

P(~E/S)＝1-P(E/S)第五章不確定性推理5.3主觀Bayes方法362024/3/9不確定性的傳遞計算（一）

主觀Bayes方法推理的任務(wù)就是根據(jù)證據(jù)E的概率P(E)及LS、LN，把H的先驗概率P(H)或先驗幾率O(H)更新為后驗概率或后驗幾率。證據(jù)肯定存在的情況：

O(H/E)=LS×O(H)證據(jù)肯定不存在的情況：O(H/~E)=LN×O(H)證據(jù)既非為真又非為假的情況：需要使用杜達(dá)等人給出的公式:P(H/S)＝P(H/E)×P(E/S)+P(H/~E)×P(~E/S)分三種情況討論：第五章不確定性推理5.3主觀Bayes方法372024/3/9不確定性的傳遞計算（二）P(E/S)=1時，P(~E/S)=0，因此有：

P(H/S)=P(H/E)這時就是證據(jù)肯定存在的情況

P(E/S)=0時，P(~E/S)=1，因此有：

P(H/S)=P(H/~E)

這時就是證據(jù)肯定不存在的情況P(E/S)=P(E)時，因此有：

P(H/S)=P(H)這時S與E無關(guān)P(E/S)=其他值時，根據(jù)前面幾個值插值得到：第五章不確定性推理5.3主觀Bayes方法382024/3/9不確定性的傳遞計算（三）P(E/S)=其他值時，根據(jù)前面幾個值插值得到：該插值公式稱為EH公式。第五章不確定性推理5.3主觀Bayes方法P(H/E)P(H)P(E)P(E/S)01P(H/~E)P(H/S)如果不確定性是用可信度C(E/S)給出，即可得到P(H/S)，這種公式稱為CP公式392024/3/9確定性理論確定性理論由美國斯坦福大學(xué)E.H.Shortliffe等人在1975年提出的一種不確定性推理模型1976年首次在血液病診斷專家系統(tǒng)MYCIN中得到了成功應(yīng)用。在確定性理論中，不確定性是用可信度來表示的，因此人們也稱其為可信度方法。許多成功的專家系統(tǒng)都是基于這一方法建立起來的?；诳尚哦缺硎镜牟淮_定性推理的基本方法稱為C-F模型CF(CertaintyFactor第五章不確定性推理5.4確定性理論402024/3/9可信度人們在長期的實踐活動中，對客觀世界的認(rèn)識積累了大量的經(jīng)驗，當(dāng)面臨一個情況時，往往可用這些經(jīng)驗對問題的真、假或為真的程度作出判斷。例如，小李今日上班遲到了，理由是“路上自行車出了毛病”，有兩種情況：一是小李的自行車確實出了毛病，從而耽誤了上班時間；一是小李的自行車沒有出問題，只是想以此來搪塞。對于聽話的人來說，可以絕對相信，也可以完全不信，或者只有某種程度的相信，其依據(jù)是以往對小李的的認(rèn)識。這種根據(jù)經(jīng)驗對一個事物或現(xiàn)象為真的相信程度稱為可信度?？尚哦葞в休^大的主觀件和經(jīng)驗性，其準(zhǔn)確性難以把握。第五章不確定性推理5.4確定性理論412024/3/9C-F模型

C-F模型是基于可信度表示的不確定性推理的基本方法，其它可信度方法都是在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來。知識是用產(chǎn)生式規(guī)則表示的，其一般形式為：IFETHENHCF(H,E)

CF(H,E)是該條知識的可信度，稱為可信度因子或規(guī)則強度-1≤CF(H,E)≤1它指出當(dāng)前提條件E為真時，它對結(jié)論H為真的支持程度，CF(H,E)的值越大，就越支持結(jié)論H為真。第五章不確定性推理5.4確定性理論422024/3/9規(guī)則強度CF(H,E)的計算

CF(H,E)=MB(H,E)-MD(H,E)MB稱為信任增長度MD稱為不信任增長度第五章不確定性推理5.4確定性理論432024/3/9MB(H,E)和MD(H,E)的意義

MB(H,E)＞0時，有P(H/E)＞P(H)這說明由于E所對應(yīng)的證據(jù)出現(xiàn)增加了對H的信任程度。MD(H，E)＞0時，有P(H/E)＜P(H)這說明由于E所對應(yīng)的證據(jù)出現(xiàn)增加了對H的不信任程度。顯然，一個證據(jù)不可能既增加對H的信任程度，又同時增加對H的不信任程度，因此MB(H,E)與MD(H,E)是互斥的。即MB(H,E)＞0時，MD(H,E)=0MD(H,E)＞0時，MB(H,E)=0第五章不確定性推理5.4確定性理論442024/3/9證據(jù)不確定性的表示證據(jù)的不確定性也是用可信度因子表示。證據(jù)E的可信度表示為CF(E)同樣有：-1≤CF(E)≤1

特殊值：CF(E)=1， 前提肯定真

CF(E)=-1， 前提肯定假

CF(E)=0， 對前提一無所知CF(E)＞0，表示E以CF(E)程度為真CF(E)＜0，表示E以CF(E)程度為假第五章不確定性推理5.4確定性理論452024/3/9組合證據(jù)不確定性的計算組合證據(jù)是多個單一證據(jù)的合取時：CF(E1∧…∧En

)=min{CF(E1),…,

CF(En

)}組合證據(jù)是多個單一證據(jù)的析取時：CF(E1∨…∨En

)=max{CF(E1

),…,CF(En

)}組合證據(jù)是證據(jù)取非時：

CF(～E

)=～CF(E

)第五章不確定性推理5.4確定性理論462024/3/9不確定性的傳遞算法

C-F模型中的不確定性推理是從不確定的初始證據(jù)出發(fā)，通過運用相關(guān)的不確定性知識，最終推出結(jié)論并求出結(jié)論的可信度值：CF(H

)=CF(H，E

)×max{0,CF(E)}若CF(E)＜0，即相應(yīng)證據(jù)以某種程度為假，則CF(H)=0這說明在該模型中沒有考慮證據(jù)為假時對結(jié)論H所產(chǎn)生的影響。當(dāng)證據(jù)為真(即CF(E)=1)時，CF(H

)=CF(H，E

)這說明知識中的規(guī)則強度CF(H,E)實際上就是在前提條件對應(yīng)的證據(jù)為真時結(jié)論H的可信度。第五章不確定性推理5.4確定性理論472024/3/9結(jié)論不確定性的合成算法若由多條不同知識推出了相同的結(jié)論，但可信度不同，則可用合成算法求出綜合可信度。多條知識的綜合可通過兩兩的合成實現(xiàn)當(dāng)兩條規(guī)則推出同一結(jié)論H時，CF(H)的計算：

CF(H)=CF1(H)+CF2(H)–

CF1(H)

CF2(H)

當(dāng)CF1(H)≥0，CF2(H)≥0CF(H)=CF1(H)+CF2(H)+

CF1(H)

CF2(H)

當(dāng)CF1(H)

＜0，CF2(H)

＜0CF(H)=(CF1(H)+CF2(H))÷(1-min{│CF1(H)│,│CF2(H)│})

當(dāng)CF1(H)

、CF2(H)反號第五章不確定性推理5.4確定性理論482024/3/9可信度方法舉例(一)R:IF(E1orE2)andE3THENH(0.8)

CF(E1)=0.4、CF(E2)=0.6、CF(E3)=0.7

解：

設(shè)E=(E1orE2)andE3 CF(E1orE2)=max(CF(E1),CF2(E2))=0.6CF(E)=min(CF(E1orE2)，CF(E3))=0.6CF(H)=CF(E)·CF(H,E)=0.6×0.8=0.48第五章不確定性推理5.4確定性理論492024/3/9可信度方法舉例(二)R1:IFE1THENH(0.8)R2:IFE2THENH(0.7)

CF(E1)=0.4、CF(E2)=0.6

解：

CF1(H)=CF(E1)·CF(H，E1)=0.4×0.8=0.32CF2(H)=CF(E2)·CF(H，E2)=0.6×0.7=0.42CF(H)=0.32+0.42-0.32×0.42=0.6第五章不確定性推理5.4確定性理論502024/3/9加權(quán)模糊推理加權(quán)模糊推理是基于加權(quán)模糊邏輯的一種推理方法。在許多實際問題中，一條推理規(guī)則的前提中的各子前提的“重要性”或所包含的信息量等都可能是各不相同的。例如，模糊規(guī)則“如果天空中有濃積雨云，有風(fēng)有打雷閃電，則多半天要下雨”中，顯然，“天空中有濃積雨云”是最重要的，而“有風(fēng)”則不太重要表達(dá)這類現(xiàn)實知識，采用加權(quán)模糊邏輯公式是十分合適的第五章不確定性推理5.4加權(quán)模糊推理512024/3/9加權(quán)模糊推理規(guī)則的形式

w1*P1，w2*P2，…，wn*Pn→Q，CF，τ其中Q與Pj（j=1，…，n），為模糊邏輯謂詞，取真值于[0，1]之間，wj

滿足：wj≥0，（j=1，2，…n），∑wj

＝1，wj為子前提Pj的權(quán)系數(shù)。CF：0＜CF≤1為規(guī)則的置信度，τ：0＜τ≤1為該規(guī)則的可應(yīng)用閾限。第五章不確定性推理5.4加權(quán)模糊推理522024/3/9加權(quán)模糊推理過程

計算前提的真值t：t=∑wj*T(Pj)，T（Pj）為Pj的真值

若t大于等于τ時，應(yīng)用該規(guī)則推出結(jié)論Q，其真值為

T（Q）=t∧CF。∧為某種“交型運算”，例如取極小和乘法等

總有：結(jié)論的真值≤前提的真值。第五章不確定性推理5.4加權(quán)模糊推理532024/3/9加權(quán)模糊推理的多規(guī)則處理（一）當(dāng)同時有多條規(guī)則可應(yīng)用，且都推出同一個結(jié)論時，要有一個結(jié)論的合并過程按每條規(guī)則分別獨立進(jìn)行推理可推出Q有n個真值有幾種確定Q的最終真值的辦法可供選擇：求極大值法:

T（Q）=∨Ti（Q）

i=1，2，…，n嚴(yán)格加權(quán)求和法:

T（Q）=∑CFi*Ti（Q）/∑CFi

加權(quán)求和法:

T（Q）=∑CFi*ti/∑CFi有限和法:

T（Q）=min(∑Ti（Q），1)第五章不確定性推理5.4加權(quán)模糊推理542024/3/9加權(quán)模糊推理的多規(guī)則處理（二）5.

遞推計算法:

設(shè)

T1=t1*CF1對任意的k＞1,Tk=Tk–1+（1－Tk–1）*CFk*tk

最后:

T（Q）=Tn這個公式保證了每增加一個推出Q的規(guī)則時，Q的真值T（Q）總是真正增加了一點，且先推出Q的規(guī)則所起的作用總是比后來的大。第五章不確定性推理5.4加權(quán)模糊推理552024/3/9加權(quán)模糊推理的另一種形式（一）在具體推理中，可能給出一個假設(shè)性結(jié)論，需推斷出這個假設(shè)是否為真，即要推理的問題是“謂詞Qx是否τx真”，即是否T（Qx）≥τx

推理過程如下:

把已知事實及其真值都放進(jìn)一個稱為“黑板”的中間數(shù)據(jù)庫中將Qx與知識庫中的各條推理規(guī)則的結(jié)論進(jìn)行模糊匹配，找出匹配度大于m的規(guī)則，例如有w1﹡P1，w2﹡P2，…，wn﹡Pn→Q，CF，τM（Qx，Q）＞m其中M（Qx，Q）為Qx與Q的匹配度。第五章不確定性推理5.4加權(quán)模糊推理562024/3/9加權(quán)模糊推理的另一種形式（二）3.檢查Pi（i=1，…，n）是否已在“黑板”中，若在則取出其真值T（Pi），若不在則令T（Pi）=0.5(表示真假不知)，計算推理規(guī)則前提的真值t:t=∑wj*T(Pj)4.若t≥τ時，則算出：T（Q）=CF∧t，否則，轉(zhuǎn)去步驟6進(jìn)一步求該規(guī)則的各子前提的真值

第五章不確定性推理5.4加權(quán)模糊推理572024/3/9加權(quán)模糊推理的另一種形式（三）5.若

T（Qx）=M（Qx，Q）﹡T（Q）

=M（Qx，Q）﹡（t∧CF）≥τx

則給該問題以模糊的肯定回答，即“Qx為τx真”。否則轉(zhuǎn)去步驟6進(jìn)一步求該規(guī)則的各子前提的真值

6.把規(guī)則中那些尚不知道其真值的子前提Pi當(dāng)作子問題，返回步驟2開始去求解Pi的真值。求得各子前提Pi的真值T（Pi），并把它們放進(jìn)“黑板”之后，再回到步驟3去繼續(xù)計算整個規(guī)則的真值t7.如果在上述的迭代過程中總不能推出T（Qx）≥τx，則給出回答“一般Qx不能τx真?！?/p>

第五章不確定性推理5.4加權(quán)模糊推理582024/3/9模糊計算推理模糊計算推理是基于模糊計算邏輯的一種推理方法除了“與”、“或”和“非”運算之外增加了“有限和”（㈩）和乘法（&）

設(shè)P和Q為模糊計算邏輯中的合式公式，則P㈩Q和P&Q也都是合式公式

T（P㈩Q）=min{T（P）+T（Q），1}T（P&Q）=T（P）﹡T（Q）從而，加權(quán)模糊邏輯公式：w1*P1，…，wn*Pn

等價于：

（w1&P1）㈩（w2&P2）㈩…㈩（wn&Pn）

第五章不確定性推理5.5模糊計算推理592024/3/9必要條件的表示若有一些子前提是必要條件就可用“與”運算來表示例如，（（w1&P1）㈩（w2&P2））∧P3→Q，CF，τ

P3就是推出Q的必要條件，即若T（P3）＜τ，則該規(guī)則就不能被應(yīng)用。但P1和P2則不一定是必要的，

只要w1﹡T（P1）

+w2﹡T（P2）≥τ該規(guī)則可被應(yīng)用第五章不確定性推理5.5模糊計算推理602024/3/9n條規(guī)則的合成計算“或”運算可用來把n條規(guī)則合成一條，例如，規(guī)則組：P1→Q，CF1，τ1P2→Q，CF2，τ2

……Pn

→Q，CFn

，τn可合并成一條規(guī)則

P1∨P2

∨…∨Pn

→Q，CF

，τ其中，CF=min{CF1,…,CFn}，τ=max{τ1,…,τn}合并以后，關(guān)于置信度和閾限的要求更嚴(yán)格了，合并前后并非完全等價的。

第五章不確定性推理5.5模糊計算推理612024/3/9模糊計算推理過程（一）模糊計算推理實質(zhì)是根據(jù)一組模糊計算邏輯的蘊含式和一些已知事實計算一些模糊計算邏輯公式的真值的過程設(shè)有一組蘊含式（即知識庫中的規(guī)則）：F1（P1，P2，…，Pn）→P1，CF1，τ1F2（P1，P2，…，Pn）→P2，CF2，τ2

……Fn（P1，P2，…，Pn）→Pn，CFn，τn一組已知事實（即黑板上的初始知識）：

Q1，Q2，…，Qm

P1…Pn為模糊謂詞。Q1…Qm為P1…Pn中某些謂詞的實例第五章不確定性推理5.5模糊計算推理622024/3/9模糊計算推理過程（二）若問“Q是否τ真？”，模糊計算推理過程如下：1．把已知事實Q1，Q2，…，Qm及其真值一起記入“黑板”。2．將“黑板”中的數(shù)據(jù)與規(guī)則的結(jié)論進(jìn)行模糊匹配。3．計算匹配的各規(guī)則的前提的真值：ti=T（Fi（P1，P2，…，Pn））4．對ti

≥τi的規(guī)則計算結(jié)論的真值：T(Pi)=ti

∧CFi若黑板中無Pi，或其真值小于現(xiàn)今的T（Pi），則將Pi連同T（Pi）一起記入“黑板”。5．Q是否能與“黑板”中的命題模糊匹配，若能且其真值大于等于τ，則有“Q為τ真”。否則，轉(zhuǎn)步驟2。第五章不確定性推理5.5模糊計算推理632024/3/9模糊計算推理過程（三）每進(jìn)行一次迭代，“黑板”里的知識將隨著更新一次，而且越來越豐富。模糊計算推理很類似人類對問題的認(rèn)識不斷深化的過程，而且把推理過程完全變成了函數(shù)的計算。因而很適合在計算機上實現(xiàn)。當(dāng)Q是一個復(fù)合命題的時候，可先逐個計算其子式的真值，然后計算Q的真值，若T（Q）≥τ，則給出“Q為τ真”的結(jié)論，否則如同上述轉(zhuǎn)去步驟2開始進(jìn)行下一輪迭代計算。第五章不確定性推理5.5模糊計算推理642024/3/9基于模糊變換的推理(一)

基于模糊變換的模糊推理方法把模糊推理過程看成了一種模糊變換。做不同的模糊變換，則就形成了不同的模糊推理方法。設(shè)U={u1…um}，V={v1…vn}是兩個有限論域

U到V上的一個模糊關(guān)系R定義為U×V上的一個模糊子集隸屬函數(shù)為：R={μ11/(u1,v1)+μ12/(u1,v2)+…+μ1n/(u1,vn)+μ21/(u2,v1)+μ22/(u2,v2)+…+μ2n/(u2,vn)+…+μm1/(um,v1)+μm2/(um,v2)+…+μmn/(um,vn)}第五章不確定性推理5.6基于模糊變換的推理652024/3/9基于模糊變換的推理(二)

隸屬函數(shù)的矩陣形式：其中μij表示元組（ui，vj）隸屬于該模糊關(guān)系的隸屬度，滿足0≤μij≤1。第五章不確定性推理5.6基于模糊變換的推理662024/3/9基于模糊變換的推理(三)

模糊變換：設(shè)A={a1/u1，a2/u2，…

，am/um}是論域U上的一個模糊子集?？珊唵伪硎緸椋篈=（a1，a2，…

，am）則向量：B=AoR

U×V(B={b1，b2，…

，bn

})是A經(jīng)模糊變換RU×V所得的結(jié)果，它是V上的模糊子集∨與∧分別表示某種“并型運算”和“交型運算”第五章不確定性推理5.6基于模糊變換的推理672024/3/9基于模糊變換的推理(四)

例如下列兩種∨與∧的定義是經(jīng)常使用的：（1）取∨為加法運算，∧為乘法運算，則該變換公式成為：（2）取∨為求極大運算，∧為求極小運算，則該變換公式成為：第五章不確定性推理5.6基于模糊變換的推理682024/3/9基于模糊變換的推理(五)

模糊變換可以有各種具體的解釋，不同的解釋形成了不同的推理模型，也就是不同的推理方法。我們討論二種基于模糊變換的模糊推理方法。綜合評判推理變換模糊推理第五章不確定性推理5.6基于模糊變換的推理692024/3/9綜合評判推理（一）

綜合評判就是對某個問題，在有n種不同意見的時候，用某種方法將它們綜合成一種統(tǒng)一的意見的過程。采用模糊變換的方法來進(jìn)行綜合評判就是基于模糊變換的綜合評判推理。用醫(yī)生會診的例子來說明基于模糊變換的綜合評判推理。設(shè)U={醫(yī)生1，醫(yī)生2，…

醫(yī)生m}V={疾病1，疾病2，…

疾病n}醫(yī)生們要對一種疑難病進(jìn)行會診，醫(yī)生們對該病的診斷都用定義在論域V上的隸屬函數(shù)表示第五章不確定性推理5.6基于模糊變換的推理702024/3/9綜合評判推理（二）

設(shè)醫(yī)生i對該病的診斷是：{μi1/疾病1，μi2/疾病2，…，μin/疾病n}其中，0≤μij≤1，表示醫(yī)生i認(rèn)為該病為疾病j的可能性是μij，簡記之為一個向量（μi1，μi2，…，μin）。于是m個醫(yī)生的診斷構(gòu)成一個矩陣RU×V：

第五章不確定性推理5.6基于模糊變換的推理712024/3/9綜合評判推理（三）

m個醫(yī)生在醫(yī)術(shù)上的權(quán)威性不同，因此對他們的診斷的可信程度也不同。假如用一個U上的隸屬函數(shù)：

A={a1/醫(yī)生1，a2/醫(yī)生2，…am/醫(yī)生m}表示醫(yī)生診斷的可信度（或醫(yī)術(shù)的權(quán)系數(shù)）。就可用下式來計算會診的綜合結(jié)果：B=AoR

U×V

B={b1，b2，…

bn

}，這個統(tǒng)一診斷說明“這種疑難病是疾病j的可能性是bj”。

第五章不確定性推理5.6基于模糊變換的推理722024/3/9變換模糊推理

如果把模糊變換矩陣RU×V取為從U到V的某個模糊蘊含關(guān)系的隸屬度矩陣。即解釋成ui→vj的可信度或真度為μij，i=1，…，m，j=1，…，n。則模糊變換就形成一個變換模糊推理。論域U上的模糊事件（現(xiàn)象、屬性或知識等）用U上的模糊子集來表示：A={a1/u1，a2/u2，…am/um}由模糊事件A通過RU×V蘊含（或推出）的事件：

B={b1/v1，b2/v2，…bn

/vn}由變換式計算：B=AoR

U×V

第五章不確定性推理5.6基于模糊變換的推理732024/3/9變換模糊推理舉例（一）例如

U={病癥1，病癥2，…

病癥m}V={疾病1，疾病2，…

疾病n}為兩個論域。設(shè)由病癥i推斷為疾病j的可能性為μij（i=1，…，n），于是有一個疾病診斷矩陣RU×V：

第五章不確定性推理5.6基于模糊變換的推理742024/3/9變換模糊推理舉例（二）一個病人經(jīng)檢查有各種病癥。病癥的嚴(yán)重程度用U上的模糊子集A={a1，a2，…am}表示。按B=AoR

U×V可推出該病人得疾病的可能性。疾病的可能性用一個V上的模糊子集表示：B={b1/疾病1，b2/疾病2，…

bn

/疾病n}或簡寫為B={b1，b2，…

bn}

說明病人有疾病j的可能性為bj。

這種推理方法的關(guān)鍵在于如何確定推理矩陣RA×B。

第五章不確定性推理5.6基于模糊變換的推理752024/3/9定性代數(shù)推理（一）廣義而言在實數(shù)域上進(jìn)行代數(shù)運算和解方程的過程都可認(rèn)為是一個推理，特別是解一個代數(shù)方程所做的工作更是一種明顯的推理過程。因為它涉及數(shù)量關(guān)系的推理，故稱“定量代數(shù)推理”或簡稱“代數(shù)推理”或“代數(shù)計算”。但在許多場合，人們往往并不十分關(guān)心精確的數(shù)量間的精確關(guān)系，而只要定性地知道數(shù)量的范圍或大致趨勢，以及簡單的大小關(guān)系等等。這時若仍用傳統(tǒng)的代數(shù)方法來回答一些定性的問題就顯得很累贅。為此，近年來一些學(xué)者提出了所謂“定性代理推理”

第五章不確定性推理5.7定性代數(shù)推理762024/3/9定性代數(shù)推理（二）假設(shè)R為實數(shù)域，S′={－，0，+，？}為實數(shù)的符號集加”？”后得到的集合，關(guān)系[]是R到S′的一個映射：

稱{R，+，×}為實代數(shù)，{S′，㈩，⊙}為符號代數(shù)。稱Q={R∪S′，+，×，㈩，⊙，[]}為定性代數(shù)系統(tǒng)

第五章不確定性推理5.7定性代數(shù)推理772024/3/9定性代數(shù)推理（三）利用定性代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行推理的大致步驟為：1．對含有實數(shù)的等式在實代數(shù){R，+，×}中進(jìn)行化簡。2．將化簡后的式子投影到符號代數(shù){S′，㈩，⊙}中。3．在{S′，㈩，⊙}中對式子進(jìn)行運算，求解。Q是一個可以把定量推理（計算）與定性推理（計算）結(jié)合起來進(jìn)行的工具：在[]之內(nèi)可進(jìn)行實數(shù)域上的運算與推理；在[]之外（即經(jīng)[]運算映象成符號代數(shù)之后）可進(jìn)行定性計算與推理。第五章不確定性推理5.7定性代數(shù)推理782024/3/9默認(rèn)推理默認(rèn)推理的推理規(guī)則可表示為：＜必要條件＞，M＜默認(rèn)條件1＞∧＜默認(rèn)條件2＞∧…∧＜默認(rèn)條件n＞—＞＜結(jié)論＞如果＜必要條件＞被滿足，又無否證＜默認(rèn)條件i＞（i=1，…，n），則可推出＜結(jié)論＞成立。這種推理在日常生活中是常用的。人們在長期的生活中積累了很多“經(jīng)驗”。因此，常可以按“經(jīng)驗”辦事，而無需每次逐個驗證一些默認(rèn)成立的條件。

第五章不確定性推理5.8默認(rèn)推理792024/3/9默認(rèn)推理舉例例如，一個人發(fā)現(xiàn)自己的收音機不響了，往往馬上就做出要更換電池的決定這里他其實應(yīng)用了一條默認(rèn)推理規(guī)則：

“收音機不響了，M電池用盡了→換電池”

他在做出結(jié)論“換電池”之前并沒有查電池是否有電，而默認(rèn)了電池用完的假設(shè)，從而直接做出了“換電池”的結(jié)論。如果當(dāng)換了新電池收音機仍然不響，這時他必須撤消“換電池”的結(jié)論，而另找收音機不響的原因。第五章不確定性推理5.8默認(rèn)推理802024/3/9假設(shè)驗證式推理假設(shè)驗證式推理首先提出假設(shè)，然后推出一個結(jié)論，把結(jié)論與實際情況相比較，如果相符合，則是最后結(jié)論；否則，修改假設(shè)，再次進(jìn)行推理。這種推理方法是一個循環(huán)往復(fù)的過程，一直要進(jìn)行到與實際情況足夠符合為止

假設(shè)驗證式推理是一種在科學(xué)研究中，探索新知識時經(jīng)常采用的推理方式它在知識不完全或者客觀事物本身不完全，或者人們尚未認(rèn)識到時進(jìn)行推理可有很好的應(yīng)用效果第五章不確定性推理5.9假設(shè)驗證式推理812024/3/9假設(shè)驗證式推理過程圖

已有知識推理機構(gòu)修正假設(shè)提出假設(shè)修正后的假設(shè)結(jié)論與實際情況比較符合最后結(jié)論第五章不確定性推理5.9假設(shè)驗證式推理822024/3/9基于Fuzzy集的一般模糊推理

模糊集合的產(chǎn)生:集合是描述人腦思維對整體性客觀事物的識別和分類的數(shù)學(xué)方法。傳統(tǒng)集合論要求其分類必須遵從形式邏輯的排中律，論域中的任一元素要么屬于集合A，要么不屬于集合A，兩者必居其一，且僅居其一。這樣就只能描述外延分明的“分明概念”，只能表現(xiàn)“非此即彼”，而對于外延不分明的“模糊概念”則不能反映。為克服這一障礙，L.A.Zadeh教授提出了“模糊集合”的概念。其基本思想是把經(jīng)典集合中的絕對隸屬關(guān)系模糊化。從特征函數(shù)方面來講，就是元素u對集合A的隸屬程度不再局限于0或1，而是可以取從0到1的任何一個數(shù)值，這個數(shù)值反映了元素u隸屬于集合A的程度。第五章不確定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理832024/3/9Fuzzy集舉例

例如表示“胖”、“老”的模糊程度。假設(shè)體重的范圍在40公斤到100公斤，則可用0到1之間的數(shù)來表示某人身體“胖”的程度。圖1給出了體重x公斤的人“胖”的程度曲線。如圖所示，形容詞“胖”在橫坐標(biāo)上被體重定量的地表示出來，而縱坐標(biāo)則表示身體“胖”的模糊程度。圖2表示人的年老程度，年齡的范圍被限制在0到100歲之間。利用這種方法，就將不確定的模糊的信息定量地表示出來了，而程度曲線則定義了一個給定區(qū)域上的模糊子集。

第五章不確定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理842024/3/9“胖”、“老”的模糊程度圖第五章不確定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理852024/3/9模糊集合的定義

模糊集合

定義1設(shè)Ｕ是一個論域,Ｕ到區(qū)間［0,1］的一個映射第五章不確定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理μ:Ｕ

［0，1］就確定了Ｕ的一個模糊子集Ａ。映射μ稱為A的隸屬函數(shù),記為μA(u)。對于任意的u∈Ｕ,μA(u)∈［0,1］稱為u屬于模糊子集A的程度,簡稱隸屬度。862024/3/9模糊集合的定義第五章不確定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理由定義,模糊集合完全由其隸屬函數(shù)確定,即一個模糊集合與其隸屬函數(shù)是等價的?？梢钥闯?對于模糊集Ａ,當(dāng)Ｕ中的元素u的隸屬度全為0時,則Ａ就是個空集；反之,當(dāng)全為1時,Ａ就是全集Ｕ；當(dāng)僅取0和1時,Ａ就是普通子集。這就是說,模糊子集實際是普通子集的推廣,而普通子集就是模糊子集的特例。論域Ｕ上的模糊集合Ａ,一般可記為872024/3/9模糊集合的表示當(dāng)U是連續(xù)的時候,模糊集A可以表示成：當(dāng)U為離散的時候,模糊集A可以表示成：第五章不確定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理882024/3/9模糊集合的表示第五章不確定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理對于有限論域Ｕ,甚至也可表示成

892024/3/9模糊集合的運算⑴相等A=B←→μA(x)=μB(x),x∈U

⑵包含A

B←→μA(x)≤μB(x),x∈U

⑶并集A∪B←→μA∪B(x)=μA(x)∨μB(x)⑷交集A∩B←→μA∩B(x)=μA(x)∧μB(x)⑸補集~A←→

μ~A(x)=1-μB(x)⑹代數(shù)和 ⑺代數(shù)積 ⑻有界和 ⑼有界積第五章不確定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理902024/3/9模糊集合的性質(zhì)⑴交換率：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A⑵結(jié)合率：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)⑶分配率：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)⑷吸收率：A∪(A∩B)=A，A∪(B∩C)=⑸冪等率：A∪A＝A，A∩B＝A⑹同一率：A∪U＝U，A∩U＝A

A∪φ

＝A，A∩φ＝φ⑺復(fù)原律（二重否定律）~(~A)=A⑻對偶律第五章不確定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理912024/3/9模糊集合的說明對于分明子集成立的排中律和矛盾律，對模糊子集卻不成立

(A∪(~A))≠U，A∩(~A)≠φ論域U和空子集的隸屬函數(shù)分別定義為:

μU(x)=1，μφ(x)=0

第五章不確定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理922024/3/9模糊集合運算舉例例如，在從1到10的整數(shù)范圍內(nèi)，“大數(shù)”和“中數(shù)”的模糊集分別為：“大數(shù)”=0.2/5+0.4/6+0.7/7+0.9/8+1/9+1/10“中數(shù)”=0.6/3+0.8/4+1/5+0.8/6+0.6/7則“大數(shù)”和“中數(shù)”的并集為：“大數(shù)”∪“中數(shù)”=

0.6/3+0.8/4+1/5+0.8/6+0.6/7+0.9/8+1/9+1/10第五章不確定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理932024/3/9模糊關(guān)系事物之間的關(guān)系通常是通過分明子集來表示，如“x和y相等”或“x比y大”。但我們還會常常遇到另外一種不完全特定的關(guān)系，如“u和v大致相等”，“u比v大得