數(shù)學(xué)人教A版必修2學(xué)案2-2-4平面與平面平行的性質(zhì)

2.2.4平面與平面平行的性質(zhì)[目標(biāo)]1.理解并能證明兩個平面平行的性質(zhì)定理；2.能利用性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問題．[重點]平面與平面平行的性質(zhì)定理及應(yīng)用．[難點]線線平行、線面平行、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化．知識點平面與平面平行的性質(zhì)[填一填][答一答]1．兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線必平行于另一個平面嗎？提示：一定平行于另一個平面．因為兩個平面平行，則兩平面無公共點，即一個平面內(nèi)的直線和另一個平面沒有公共點，由線面平行的定義可知，直線與平面平行．2．如果α∥β，a?α，那么如何在平面β內(nèi)作出與a平行的直線？提示：利用面面平行的性質(zhì)定理，可在平面β內(nèi)任取一點A，然后作出A和直線a所確定的平面γ，確定平面β和γ的交線b，則a∥b.3．若α∥β，a?α，b?β，下列幾種說法中正確的是(B)①a∥b；②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行；③a與β內(nèi)的任何一條直線都不垂直；④a∥β.A．①② B．②④C．②③ D．①③④類型一證明兩條直線平行[例1]如圖，平面四邊形ABCD的四個頂點A、B、C、D均在平行四邊形A′B′C′D′所確定的一個平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．[證明]在?A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，因為A′B′?平面C′D′DC，C′D′?平面C′D′DC，所以A′B′∥平面C′D′DC.同理A′A∥平面C′D′DC.又A′A∩A′B′＝A′，所以平面A′B′BA∥平面C′D′DC.因為平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，所以AB∥CD.同理AD∥BC.所以四邊形ABCD是平行四邊形．面面平行的性質(zhì)定理是由面面平行證明線線平行.證明線線平行的關(guān)鍵是把要證明的直線看作是平面的交線，所以構(gòu)造三個平面：即兩個平行平面，一個經(jīng)過兩直線的平面，有時需要添加輔助面.[變式訓(xùn)練1]如右圖，已知α∥β，點P是平面α，β外的一點(不在α與β之間)．直線PB，PD分別與α，β相交于點A，B和C，D.(1)求證：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的長．解：(1)證明：∵PB∩PD＝P，∴直線PB和PD確定一個平面γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴eq\f(PA,AB)＝eq\f(PC,CD).∴eq\f(4,5)＝eq\f(3,CD).∴CD＝eq\f(15,4).∴PD＝PC＋CD＝eq\f(27,4)cm.類型二證明線面平行[例2]如圖所示，兩條異面直線BA，DC與兩平行平面α，β分別交于B，A點和D，C點，M，N分別是AB，CD的中點．求證：MN∥平面α.[分析]利用三角形的中位線及面面平行的性質(zhì)證明．[證明]如圖，過點A作AE∥CD交α于E，取AE的中點P，連接MP，PN，BE，ED，AC.∵AE∥CD，∴AE，CD確定平面AEDC.則平面AEDC∩平面α＝DE，平面AEDC∩平面β＝AC，∵α∥β，∴AC∥DE.又P，N分別為AE，CD的中點，∴PN∥DE.PN?α，DE?α，∴PN∥α.又M，P分別為AB，AE的中點，∴MP∥BE，且MP?α，BE?α，∴MP∥α.∴平面MPN∥平面α.又MN?平面MPN，∴MN∥α.證明直線與平面平行，除了定義法，判定定理法以外，還可以用兩平面平行的性質(zhì)，也就是說為了證明直線與平面平行，也可以先證明兩平面平行，再由兩平面平行的性質(zhì)得到線面平行.[變式訓(xùn)練2]如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，M，N分別為BB′，A′C′的中點．求證：MN∥平面ABC′.證明：取B′C′的中點P，連接MP，NP，則MP∥BC′，NP∥A′B′.因為A′B′∥AB，所以NP∥AB.又因為AB?平面ABC′，NP?平面ABC′，所以NP∥平面ABC′.同理，MP∥平面ABC′.又因為NP∩MP＝P，所以平面MNP∥平面ABC′.因為MN?平面MNP，所以MN∥平面ABC′.類型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用[例3]已知：如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時，BC1∥平面AB1D1；(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．[分析]由(1)的條件可知，應(yīng)由線線平行判定線面平行；由(2)的條件可知，應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理推導(dǎo)線線平行．[解](1)如圖所示，取D1為線段A1C1的中點，此時eq\f(A1D1,D1C1)＝1，連接A1B，設(shè)交AB1于點O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點O為A1B的中點．在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1的中點，所以O(shè)D1∥BC1又因為OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1.所以BC1∥平面AB1D1，所以當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時，BC1∥平面AB1D1.(2)因為平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，所以若平面BC1D∥平面AB1D1，則BC1∥OD1.所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1.又因為平面A1ACC1∩平面BC1D＝DC1，平面A1ACC1∩平面AB1D1＝AD1，所以AD1∥DC1.又因為A1C1∥AC所以四邊形ADC1D1為平行四邊形，所以AD＝D1C1所以A1D1＝DC.所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD).又因為eq\f(A1D1,D1C1)＝1，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.1在遇到線面平行時，常需作出過已知直線與已知平面相交的輔助平面，以便運用線面平行的性質(zhì).2要靈活應(yīng)用線線平行、線面平行和面面平行的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化.在解決立體幾何中的平行問題時，一般都要用到平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.轉(zhuǎn)化思想是解決這類問題的最有效的方法.[變式訓(xùn)練3]如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別是BC，C1D1，AD1，BD(1)求證：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的長；(3)求證：EF∥平面BB1D1D.解：(1)證明：如圖所示．連接AC，CD1，∵P，Q分別是AD1，AC的中點，∴PQ∥CD1.又PQ?平面DCC1D1，CD1?平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQ＝eq\f(1,2)D1C＝eq\f(\r(2),2)a.(3)證明：取B1C1的中點E1，連接EE1，F(xiàn)E1，則有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF?平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1．已知a，b表示直線，α、β、γ表示平面，下列推理正確的是(D)A．α∩β＝a，b?α?a∥bB．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥βC．a(chǎn)∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b2．若平面α∥平面β，直線a?α，點B∈β，則在β內(nèi)過點B的所有直線中(D)A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行C．存在無數(shù)多條直線與a平行D．存在唯一一條直線與a平行3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，則交線a，b，c，d的位置關(guān)系是(A)A．互相平行B．交于一點C．相互異面D．不能確定解析：根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理知：a∥b，a∥c，b∥d，c∥d，所以a∥b∥c∥d，故選A.4．已知平面α∥平面β，P是α，β外一點，過點P的直線m與α，β分別交于點A，C，過點P的直線n與α，β分別交于點B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD的長為24或eq\f(24,5).解析：當(dāng)點P在α，β的同一側(cè)時，BD＝eq\f(24,5)，當(dāng)點P在α，β之間時，BD＝24.5．已知AB，CD是夾在兩個平行平面α，β之間的線段，A，B，C，D四點共面，M，N分別為AB，CD的中點，求證：MN∥平面α.證明：平面ABDC與α，β的交線為AC，BD.因為α∥β，所以AC∥BD.又M，N分別為AB，CD的中點，所以MN∥BD，所以MN∥AC.又AC?平面α，MN?平面α，所以MN∥平面α.——本課須掌握的兩大問題1．對面面平行性質(zhì)定理的理解(1)面面平行的性質(zhì)定理的條件有三個：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三個條件缺一不可．(2)定理的實質(zhì)是由面面平行得線線平行，其應(yīng)用過程是構(gòu)造與兩個平行平面都相交的一個平面，由其