吉林省普通高中G6教考聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

吉林省普通高中G6教考聯(lián)盟20232024學(xué)年上學(xué)期期末考試高二年級數(shù)學(xué)本試卷共5頁.考試結(jié)束后，將答題卡交回．注意事項：1．答卷前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)．2．答題時請按要求用筆．3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效：在草稿紙、試卷上答題無效．4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.數(shù)列，，，，的一個通項公式為（）A. B. C. D.2.直線l一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（）A. B.C.或 D.與的位置關(guān)系不能判斷3.已知圓過點(diǎn)作圓的切線，則該切線的一般式方程為（）A. B.C. D.4.如圖是某景區(qū)內(nèi)的一座拋物線拱形大橋，該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為10米，拱形最高點(diǎn)與水面的距離為6米，為增加景區(qū)的夜晚景色，景區(qū)計劃在拱形橋的焦點(diǎn)處懸掛一閃光燈，則豎直懸掛的閃光燈到水面的距離為（）（結(jié)果精確到0.01）A.4.96 B.5.06 C.4.26 D.3.685.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.6.設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知公差的等差數(shù)列前項和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C.是中的最大值 D.是中的最小值8.已知雙曲線：，和分別為實(shí)軸的右端點(diǎn)和虛軸的上端點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線交的右支于，兩點(diǎn).若存在直線使得點(diǎn)為的重心，則的離心率為（）A. B. C.2 D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列是公比為等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.110.已知圓：，直線：（），則（）A.直線l恒過定點(diǎn)B.當(dāng)時，圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離等于1C.直線與圓有兩個交點(diǎn)D.圓與圓恰有三條公切線11.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．記數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.數(shù)列是等差數(shù)列C. D.12.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓C上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.的周長為 B.的面積的最大值為2C.若，則的最小值為 D.的最小值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線是圓的一條對稱軸，則_________．14.已知函數(shù)，則的導(dǎo)數(shù)_______.15.拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(2，1)，M為拋物線上一點(diǎn)，且M不在直線AF上，則△MAF周長的最小值為____．16.定義：各項均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列的變號數(shù).已知數(shù)列的前項和（，），令（），若數(shù)列的變號數(shù)為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)，的距離的比是2.（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線過點(diǎn)，且被曲線截得弦長為，求直線的方程.18.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列前2n項和.19.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．（1）求與所成角的大?。唬?）求與平面所成角的正弦值．20.己知雙曲線的一條漸近線為，且雙曲線的虛軸長為．（1）求雙曲線的方程；（2）記為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)、，若的面積為，求直線的方程．21.我國某西部地區(qū)要進(jìn)行沙漠治理，已知某年（第1年）年底該地區(qū)有土地1萬平方千米，其中是沙漠．從第2年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的改造成綠洲，同時原有綠洲的被沙漠所侵蝕又變成沙漠．設(shè)第年綠洲面積為萬平方千米．（1）求第年綠洲面積（單位：萬平方千米）與上一年綠洲面積（單位：萬平方千米）之間的數(shù)量關(guān)系（）；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）至少經(jīng)過年，綠洲面積可超過，求的值．（參考數(shù)據(jù)：）22.已知，為的兩個頂點(diǎn)，為的重心，邊AC，AB上的兩條中線長度之和為．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過作不平行于坐標(biāo)軸的直線交于D，E兩點(diǎn)，若軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，直線DN與EM交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)在一條定直線上，并求此定直線方程．吉林省普通高中G6教考聯(lián)盟20232024學(xué)年上學(xué)期期末考試高二年級數(shù)學(xué)本試卷共5頁.考試結(jié)束后，將答題卡交回．注意事項：1．答卷前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)．2．答題時請按要求用筆．3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效：在草稿紙、試卷上答題無效．4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.數(shù)列，，，，的一個通項公式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用觀察法即可得解.【詳解】觀察數(shù)列，，，，可知其分母為，其分子是交替出現(xiàn)，故分子可為，所以該數(shù)列的一個通項公式為.故選：A.2.直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（）A. B.C.或 D.與的位置關(guān)系不能判斷【答案】C【解析】【分析】由直線的方向向量和平面的法向量的位置關(guān)系與直線和平面的位置關(guān)系即可得解.【詳解】由題意直線l的一個方向向量與平面的一個法向量的數(shù)量積為，所以或.故選：C.3.已知圓過點(diǎn)作圓的切線，則該切線的一般式方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意點(diǎn)在圓上面，故由直線的斜率可得切線的斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式化為一般式子即可得解.【詳解】因為圓的圓心坐標(biāo)為，且點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，這表了點(diǎn)在圓上面，所以直線的斜率為，過點(diǎn)的切線的斜率為，所以該切線方程為，化為一般式得.故選：B.4.如圖是某景區(qū)內(nèi)的一座拋物線拱形大橋，該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為10米，拱形最高點(diǎn)與水面的距離為6米，為增加景區(qū)的夜晚景色，景區(qū)計劃在拱形橋的焦點(diǎn)處懸掛一閃光燈，則豎直懸掛的閃光燈到水面的距離為（）（結(jié)果精確到0.01）A.4.96 B.5.06 C.4.26 D.3.68【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程，根據(jù)題意知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，把點(diǎn)代入拋物線方程即可求出，根據(jù)豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為，即可求出答案.【詳解】如圖，設(shè)拋物線方程為，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，故豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為米.故選：A.5.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，故，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：B.6.設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)時，可得傾斜角為，當(dāng)時，由直線方程可得斜率，然后由余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時，方程變?yōu)?，其傾斜角為，當(dāng)時，由直線方程可得斜率，且，，即，又，，綜上所述，傾斜角的范圍是.故選：C.7.已知公差的等差數(shù)列前項和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C.是中的最大值 D.是中的最小值【答案】B【解析】【分析】由題意，由下標(biāo)和性質(zhì)以及等差數(shù)列求和公式得B正確；對公差與0的大小關(guān)系討論可得ACD錯誤.【詳解】由題意，即，所以，故B正確；當(dāng)時，可得，此時，是中的最小值，當(dāng)時，可得，此時，是中的最大值，故ACD錯誤.故選：B.8.已知雙曲線：，和分別為實(shí)軸的右端點(diǎn)和虛軸的上端點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線交的右支于，兩點(diǎn).若存在直線使得點(diǎn)為的重心，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形重心公式得到線段中點(diǎn)，根據(jù)建立等式計算即可得到.【詳解】依題意，，，，設(shè)，，則的中點(diǎn)，因為點(diǎn)為的重心，則，，所以中點(diǎn)，因為，，兩式作差得：，化簡得，即，因為，又因為，，，四點(diǎn)共線，所以.故，解得，故.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.1【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式結(jié)合等差中項列方程求解.【詳解】由題意，，由等比數(shù)列通項公式可得，由于等比數(shù)列每一項都不是，故，即，解得或.故選：AD10.已知圓：，直線：（），則（）A.直線l恒過定點(diǎn)B.當(dāng)時，圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離等于1C.直線與圓有兩個交點(diǎn)D.圓與圓恰有三條公切線【答案】ACD【解析】【分析】A，將直線變形，即可得到直線過的定點(diǎn)；B，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，可得到結(jié)果；C，由定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可判斷；D，利用圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系即可判斷.【詳解】對于A，直線，所以，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對于B，當(dāng)時，直線為：，則圓心到直線的距離為，，所以圓上只有2個點(diǎn)到直線的距離為，故B錯誤；對于C，因為直線過定點(diǎn)，所以，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓有兩個交點(diǎn)，故C正確；對于D，由圓方程可得，，所以圓心為，半徑為，此時兩圓圓心距為，所以兩圓的位置關(guān)系為外切，則兩圓恰有三條公切線，故D正確.故選：ACD.11.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．記數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.數(shù)列是等差數(shù)列C. D.【答案】BC【解析】【分析】由B選項提示，用等差數(shù)列驗證B正確，進(jìn)一步可得數(shù)列的通項公式驗證A錯誤，由數(shù)列定義，可用裂項相消法求它的前項和，進(jìn)而驗證CD.【詳解】由題意得，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故B正確；由以上可知，所以，從而，故A錯誤；而，所以，故C對D錯.故選：BC.12.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓C上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.的周長為 B.的面積的最大值為2C.若，則的最小值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】選項A，由定義可得；選項B，，數(shù)形結(jié)合當(dāng)點(diǎn)到的距離最大，即高最大時面積最大；選項C，設(shè)點(diǎn)表達(dá)，利用橢圓方程消元求函數(shù)最值即可；選項D，利用的斜率意義，轉(zhuǎn)化為直線與橢圓有公共點(diǎn)求斜率范圍，從而求得最小值.【詳解】選項A，由橢圓方程可知，，所以的周長，故A正確；選項B，因為點(diǎn)是橢圓C上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，所以，所以的面積，當(dāng)，即時，即點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時，的面積最大，最大為2，故B正確；選項C，由，點(diǎn)，且，因為，當(dāng)時，取最小值，且最小值為，故C錯誤；選項D，的幾何意義為與點(diǎn)兩點(diǎn)連線的斜率，設(shè)為，由得，，解得，如圖，當(dāng)直線與橢圓C相切時，，所以的最小值為.故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線是圓的一條對稱軸，則_________．【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為直線過圓心，從而得解.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，因為直線是圓的一條對稱軸，所以圓心在此直線上，所以，解得.故答案為：.14.已知函數(shù)，則的導(dǎo)數(shù)_______.【答案】【解析】【分析】直接利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)即可.【詳解】因為.故答案為：.15.拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(2，1)，M為拋物線上一點(diǎn)，且M不在直線AF上，則△MAF周長的最小值為____．【答案】3＋【解析】【分析】過M作MN垂直于拋物線的準(zhǔn)線l，由拋物線的定義得到MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，然后由A、M、N三點(diǎn)共線時求解.【詳解】如圖所示，過M作MN垂直于拋物線的準(zhǔn)線l，垂足為N．易知F(1，0)，因為△MAF的周長為|AF|＋|MF|＋|AM|，|AF|＝，|MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，所以當(dāng)A、M、N三點(diǎn)共線時，△MAF的周長最小，最小值為2＋1＋．故答案為：3＋16.定義：各項均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列的變號數(shù).已知數(shù)列的前項和（，），令（），若數(shù)列的變號數(shù)為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，求出的通項公式，即可得到的通項公式，再列出前幾項，得到，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：依題意當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，，，，，且時，，，要使數(shù)列的變號數(shù)為，則，解得或，即．故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)，的距離的比是2.（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線過點(diǎn)，且被曲線截得的弦長為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）直接利用條件求出點(diǎn)的軌跡方程，所求方程表示一個圓；（2）直線的斜率分存在與不存在兩種情況，當(dāng)直線的斜率不存在時，檢驗不滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，根據(jù)弦長和點(diǎn)到直線的距離公式列出等式即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)，的距離的比是，，即，則，化簡得，所以動點(diǎn)的軌跡的方程為；【小問2詳解】由（1）可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，直線被曲線截得的弦長為，圓心到直線的距離，①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離是3，不符合條件；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，化簡得，解得或，此時直線的方程為或.綜上，直線的方程是或.18.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求得.（2）根據(jù)分組求和法求得正確答案.【小問1詳解】依題意，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，也符合.所以.【小問2詳解】由（1）得，所以.19.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．（1）求與所成角的大小；（2）求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出、，利用可得答案；（2）求出平面的一個法向量，利用線面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】，又底面，、底面，，，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，所以，所以，即與所成角的大小為；【小問2詳解】由（1）知，，．設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，，所以是平面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．20.己知雙曲線的一條漸近線為，且雙曲線的虛軸長為．（1）求雙曲線的方程；（2）記為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)、，若的面積為，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出、的值，即可得出雙曲線的方程；（2）分析可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)題意得出，求出的取值范圍，列出韋達(dá)定理，利用三角形的面積公式以及韋達(dá)定理求出的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：由題意可得，可得，因此，雙曲線的方程為.【小問2詳解】解：若直線與軸重合，則直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由題意可得，解得，由韋達(dá)定理可得，，則，，解得，合乎題意，所以，直線的方程為或.21.我國某西部地區(qū)要進(jìn)行沙漠治理，已知某年（第1年）年底該地區(qū)有土地1萬平方千米，其中是沙漠．從第2年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的改造成綠洲，同時原有綠洲的被沙漠所侵蝕又變成沙漠．設(shè)第年綠洲面積為萬平方千米．（1）求第年綠洲面積（單位：萬平方千米）與上一年綠洲面積（單位：萬平方千米）之間的數(shù)量關(guān)系（）；（2）求數(shù)列的通項公式