數(shù)學建模課件

初等模型2.1公平的席位分配2.2錄像機計數(shù)器的用途2.3雙層玻璃窗的功效2.4汽車剎車距離2.5劃艇比賽的成績2.6實物交換2.7核軍備競賽2.8啟帆遠航2.9量綱分析與無量綱化一.比例代表制例：有A、B、C、D四個政黨，代表50萬選民，各政黨的選民數(shù)為：

A黨：199,000B黨：127,500C黨：124,000D黨：49,500要選出5名代表：

A黨：2席B黨：1席

C黨：1席D黨：0席缺少1席，如何分配這最后一席呢？

2.1

公平的席位分配1、大余數(shù)法按每10萬選民1席分配后，按余數(shù)大小排序，多余的席位分給余數(shù)較大的各黨。黨名代表選民數(shù)整數(shù)席余數(shù)余額席總席數(shù)

A199,000199,00012B127,500127,50001C124,000124,00001D49,500049,500112.1

公平的席位分配2、洪德(d

Hondt)規(guī)則分配辦法是：把各黨代表的選民數(shù)分別被1、2、3、…除，按所有商數(shù)的大小排序，席位按此次序分配。即若A黨的人數(shù)比D黨的人數(shù)還多，那么給A黨3席、給D黨0席也是合理的。除數(shù)A黨B黨C黨D黨1199,000(1)127,500(2)124,000(3)49,500299,500(4)63,75062,00024,750366,333(5)42,50041,33316,500449,75031,875－－總席位31102.1

公平的席位分配3、北歐折衷方案作法與洪德規(guī)則類似，所采用的除數(shù)依次為1.4、3、5、7、…

A黨B黨C黨D黨

2

2

1

0三種分配方案，得到了完全不同的結(jié)果，最大余數(shù)法顯然對小黨比較有利，洪德規(guī)則則偏向最大的黨，北歐折衷方案對最大和最小黨都不利2.1

公平的席位分配二．份額分配法(QuotaMethod)一種以“相對公平”為標準的席位分配方法，來源于著名的“阿拉巴瑪悖論”(AlabamaParadox)。美國憲法第1條第2款對議會席位分配作了明確規(guī)定，議員數(shù)按各州相應的人數(shù)進行分配。最初議員數(shù)只有65席，因為議會有權(quán)改變它的席位數(shù)，到1910年，議會增加到435席。憲法并沒有規(guī)定席位的具體分配辦法，因此在1881年，當考慮重新分配席位時，發(fā)現(xiàn)用當時的最大余數(shù)分配方法，阿拉巴瑪州在299個席位中獲得8個議席，而當總席位增加為300席時，它卻只能分得7個議席。這一怪事被稱為有名的“阿拉巴瑪悖論”。2.1

公平的席位分配

某校有200名學生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學生代表會議設20個席位，問三系各有多少個席位？按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則

表示某單位的席位數(shù)

表示某單位的人數(shù)

表示總?cè)藬?shù)

表示總席位數(shù)1問題的提出2.1

公平的席位分配問題20個席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲100100/200(50/100)?20=10乙6060/200(30/100)?20=6丙4040/200(20/100)?20=4現(xiàn)丙系有6名學生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5%51.5%?20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%?20=6.3丙3434/200=17.0%17.0%?20=3.410641064現(xiàn)象1

丙系雖少了6人，但席位仍為4個。（不公平?。榱嗽诒頉Q提案時可能出現(xiàn)10：10的平局，再設一個席位。21個席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5%51.5%?21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%?21=6.615丙3434/200=17.0%17.0%?21=3.5701173現(xiàn)象2

總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平?。T例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？2建模分析目標：建立公平的分配方案。反映公平分配的數(shù)量指標可用每席位代表的人數(shù)來衡量。系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差一般地，單位人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)AB當席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標準來判斷。此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個好的衡量標準。單位人數(shù)p席位數(shù)n每席位代表的人數(shù)絕對不公平標準A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D的不公平程度大為改善！2）相對不公平表示每個席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時，此值越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。則A吃虧,或?qū)是不公平的。定義“相對不公平”對A的相對不公平值；同理，可定義對B的相對不公平值為：對B的相對不公平值；建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。3建模若A、B兩方已占有席位數(shù)為用相對不公平值討論當席位增加1個時，應該給A還是B方。不失一般性，有下面三種情形。情形1說明即使給A單位增加1席，仍對A不公平，所增這一席必須給A單位。情形2說明當對A不公平時，給A單位增加1席，對B又不公平。計算對B的相對不公平值情形3說明當對A不公平時，給B單位增加1席，對A不公平。計算對A的相對不公平值則這一席位給A單位，否則給B單位。結(jié)論：當（*）成立時，增加的一個席位應分配給A單位，反之，應分配給B單位。記則增加的一個席位應分配給Q值較大的一方。這樣的分配席位的方法稱為Q值方法。若A、B兩方已占有席位數(shù)為4推廣有m方分配席位的情況設方人數(shù)為，已占有個席位，當總席位增加1席時，計算則1席應分給Q值最大的一方。從開始，即每方至少應得到以1席，（如果有一方1席也分不到，則把它排除在外。）5舉例甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個席位，如何分配？按Q值方法：甲1乙1丙1456789101112131415161718192021甲：11，乙：6，丙：4練習：學校共1000學生，235人住在A樓，333人住在B樓，432住在C樓。學生要組織一個10人委員會，試用慣例分配方法，d’Hondt方法和Q值方法分配各樓的委員數(shù)，并比較結(jié)果。思考題：現(xiàn)有外形相同的１2個球，其中有一個的重量與其他11個不同。請用一架天平稱三次，將那個不同的球找出來。d’Hondt方法有k個單位，每單位的人數(shù)為pi

，總席位數(shù)為n。做法：用自然數(shù)1,2,3,…分別除以每單位的人數(shù)，從所得的數(shù)中由大到小取前n個，（這n個數(shù)來自各個單位人數(shù)用自然數(shù)相除的結(jié)果），這n個數(shù)中哪個單位有幾個所分席位就為幾個。進一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準則已知:m方人數(shù)分別為

p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應是N和p1,…,pm

的函數(shù)，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數(shù)，顯然應ni=qi

qi=Npi/P不全為整數(shù)時，ni

應滿足的準則：記[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當總席位增加時，ni不應減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！問題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的一段還能否錄下1小時的節(jié)目？2.2

錄像機計數(shù)器的用途經(jīng)試驗，一盤標明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時間用了184分，計數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。錄像機計數(shù)器的工作原理0000左輪盤右輪盤磁頭計數(shù)器錄像帶錄像帶運動方向問題背景要求不僅回答問題，而且建立計數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時間的關(guān)系。思考計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？主動輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計數(shù)器錄像帶錄像帶運動方向錄像帶運動右輪盤半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄像帶運動速度是常數(shù)計數(shù)器讀數(shù)增長變慢問題分析觀察計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！模型假設

錄像帶的運動速度是常數(shù)

v

；

計數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)

w；

空右輪盤半徑記作r

；

時間

t=0時讀數(shù)n=0.建模目的建立時間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系（設v,k,w,r為已知參數(shù)）模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤轉(zhuǎn)第

i圈的半徑為r+wi,

m圈的總長度等于錄像帶在時間t內(nèi)移動的長度vt,所以2.考察右輪盤面積的變化，等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過的長度，即3.考察t到t+dt錄像帶在右輪盤纏繞的長度，有模型建立思考13種建模方法得到同一結(jié)果但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解釋。模型中有待定參數(shù)一種確定參數(shù)的辦法是測量或調(diào)查，請設計測量方法。思考2模型求解參數(shù)估計另一種確定參數(shù)的方法——測試分析將模型改記作只需估計a,b理論上，已知t=184,n=6061,

再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可。實際上，由于測試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合現(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù)：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得用最小二乘法模型檢驗應該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗模型：模型應用回答提出的問題：由模型算得n=4450時t=116.4分，剩下的錄像帶能錄184-116.4=67.6分鐘的節(jié)目。揭示了“t

與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當錄像帶的狀態(tài)改變時，只需重新估計a,b

即可。2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設熱量傳播只有傳導，沒有對流T1,T2不變，熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導的熱量

T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導系數(shù)2.3

雙層玻璃窗的功效dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導系數(shù)k2~空氣的熱傳導系數(shù)建模記單層玻璃窗傳導的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會如此之大2.4

汽車剎車距離美國的某些司機培訓課程中的駕駛規(guī)則：背景與問題

正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時，后面與前車的距離應增一個車身的長度。

實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是“2秒準則”：

后車司機從前車經(jīng)過某一標志開始默數(shù)

2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何判斷“2秒準則”與“車身”規(guī)則是否一樣；建立數(shù)學模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。問題分析常識：剎車距離與車速有關(guān)10英里/小時(

16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺(

9米)>>車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應時間司機狀況制動系統(tǒng)靈活性制動器作用力、車重、車速、道路、氣候……最大制動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運動。車速常數(shù)反應距離制動距離常數(shù)假設與建模1.剎車距離d等于反應距離d1與制動距離d2之和2.反應距離d1與車速v成正比3.剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應時間且F與車的質(zhì)量m成正比

反應時間t1的經(jīng)驗估計值為0.75秒?yún)?shù)估計

利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合k模型最小二乘法

k=0.06計算剎車距離、剎車時間車速(英里/小時)(英尺/秒)實際剎車距離（英尺）計算剎車距離（英尺）剎車時間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒準則”應修正為“t秒準則”模型車速(英里/小時)剎車時間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234

一個雨天，你有件急事需要從家中到學校去，學校離家不遠，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時間去翻找雨具，決定碰一下運氣，頂著雨去學校。假設剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個似乎很簡單的事情是你應該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。2.5雨中行走問題1建模準備建模目標：在給定的降雨條件下，設計一個雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風），路程的遠近，行走的速度2）降雨大小用降雨強度厘米/時來描述，降雨強度指單位時間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。3）風速保持不變。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。2模型假設及符號說明1）把人體視為長方體，身高米，寬度米，厚度米。淋雨總量用升來記。3模型建立與計算1）不考慮雨的方向，此時，你的前后左右和上方都將淋雨。淋雨的面積雨中行走的時間降雨強度模型中結(jié)論，淋雨量與速度成反比。這也驗證了盡可能快跑能減少淋雨量。從而可以計算被淋的雨水的總量為2.041（升）。經(jīng)仔細分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大約有4酒瓶的水量。這是不可思議的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實際。原因：不考慮降雨的方向的假設，使問題過于簡化。2）考慮降雨方向。人前進的方向若記雨滴下落速度為（米/秒）雨滴的密度為雨滴下落的反方向表示在一定的時刻在單位體積的空間內(nèi)，由雨滴所占的空間的比例數(shù)，也稱為降雨強度系數(shù)。所以，因為考慮了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計算淋雨量。頂部的淋雨量前表面淋雨量總淋雨量（基本模型）可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。問題轉(zhuǎn)化為給定，如何選擇使得最小。情形1結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當速度盡可能大時淋雨量達到最小。假設你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計算得情形2結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當速度盡可能大時淋雨量達到最小。假設你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計算得情形3

此時，雨滴將從后面向你身上落下。出現(xiàn)這個矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對雨從你的前面落到身上情形。因此，對于這種情況要另行討論。當行走速度慢于雨滴的水平運動速度，即這時，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是淋雨總量為再次代如數(shù)據(jù)，得結(jié)果表明：當行走速度等于雨滴下落的水平速度時，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以的角度落下，即雨滴以的角從背后落下，你應該以此時，淋雨總量為這意味著你剛好跟著雨滴前進，前后都沒淋雨。當行走速度快于雨滴的水平運動速度，即你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是淋雨總量為4結(jié)論若雨是迎著你前進的方向向你落下，這時的策略很簡單，應以最大的速度向前跑；若雨是從你的背后落下，你應控制你在雨中的行走速度，讓它剛好等于落雨速度的水平分量。5注意

關(guān)于模型的檢驗，請大家觀察、體會并驗證。雨中行走問題的建模過程又一次使我們看到模型假設的重要性，模型的階段適應性。2.5

劃艇比賽的成績賽艇2000米成績t(分)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇長l

艇寬b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

漿手數(shù)n

16.313.618.114.7對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手數(shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學模型揭示這種關(guān)系。問題準備調(diào)查賽艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不變問題分析

前進阻力~浸沒部分與水的摩擦力

前進動力~漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手數(shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進動力和前進阻力決定劃漿功率

賽艇速度賽艇速度前進動力前進阻力漿手數(shù)量艇重浸沒面積

對漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定

運用合適的物理定律建立模型模型假設1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力f與sv2成正比符號：艇速v,浸沒面積

s,浸沒體積A,空艇重w0,阻力f,漿手數(shù)n,漿手功率

p,漿手體重

w,艇重W艇的靜態(tài)特性艇的動態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比漿手的特征模型建立f

sv2p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績

t

n

–1/9npfv模型檢驗n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次國際大賽冠軍的平均成績對模型

t

n

–1/9進行檢驗tn12487.216.886.325.84????與模型巧合！問題的提出：四足動物的軀干的長度(不含頭尾)與它的體重有什么關(guān)系？這個問題有一定的實際意義。比如，在生豬收購站或屠宰場工作的人們，往往希望能從生豬的身長估計出它的體重。動物的生理構(gòu)造因種類不同而異，如果陷入對生物學復雜生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到滿足上述目的有使用價值的模型．這里我們僅在十分粗賂的假設基礎上，利用類比方法，借助力學的某些結(jié)果，建立動物身長和體重間的比例關(guān)系。2.6

動物的身長和體重1、問題的分析與假設

把四足動物的軀干看作圓柱體，長度l、直徑d、斷面面積s如下圖所示。將這種圓柱體的軀干類比作—根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學的一些研究結(jié)果。2、模型的建立：原理：動物在自身體重f作用下軀干的最大下垂度b，即梁的最大彎曲，根據(jù)對彈性粱的研究，有：進一步分析b/l的意義……3、生物學角度分析b/lb/l生理學意義：

b/l是動物軀干的相對下垂度。b/l太大，四肢將無法支撐；b/l太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀干的需要，無疑是一種浪費。生物學進化角度：經(jīng)過長期進化，對每一種動物而言b/l已經(jīng)達到其最合適的數(shù)值，即b/l應視為與這種動物的尺寸無關(guān)的常數(shù)。4、結(jié)論（1）關(guān)系式：（前面分析）（2）另一些比例關(guān)系：（3）最終結(jié)論：

即體重與軀干長度的4次方戊正比。這樣，對于某一種四足動物比如生豬，在根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定出上述比例系數(shù)以后，就能從軀干長度估計出動物的體重了。討論題：

大小包裝問題

在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象嗎？比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價格比是1.2:1，試用比例方法構(gòu)造模型解釋這種現(xiàn)象。（1）分析商品價格C與商品重量w的關(guān)系。（2）給出單位重量價格c與w的關(guān)系，并解釋其實際意義。提示：價格由生產(chǎn)成本，包裝成本和其他成本等決定，這些成本中有的與重量w成正比有的與表面積成正比，還有與w無關(guān)的因素。提要：決定商品價格的主要因素：生產(chǎn)成本、包裝成本、其他成本。單價隨重量增加而減少單價的減少隨重量增加逐漸降低

問題:

我們每個人都有跑步的經(jīng)歷,有人會因此而疲憊不堪,但有誰會想:怎么跑步能使我們消耗的能量最少?2.7跑步與走路時如何節(jié)省能量

假設:(1)跑步所花費的時間分成兩部分:第一部分為兩條腿同時離地的時間；第二部分為一條腿或兩條腿同時落地的時間。于是人體重心運動軌跡如圖。根據(jù)經(jīng)驗：ABCdhab（2）假設跑步是勻速的，設為，則跑步是消耗的總能量為2.8、棋子顏色的變化1、問題：任意拿出黑白兩種顏色的棋子共8個，排成如下圖所示的圓圓，然后在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來所放的棋子。再重復以上的過程，問這樣重復進行下去各棋子的顏色會怎樣變化呢?2、最終結(jié)論是什么？

可完全用數(shù)學的推理方法說明最多經(jīng)過8次變換，各棋子的顏色都會變黑。3、分析注意：規(guī)則是兩同色的棋子中間加黑色棋子，兩異色的棋子中間加白色棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，與有理數(shù)符號規(guī)則類似。方法：用+1表爾黑色，用－l表示白色，開始擺的八顆棋子記為a1，a2，...，a8，并且ak＝+1或-1，

k＝1，2，…，8，下一次在al與a2中間擺的棋子的顏色由a1和a2是同色還是異色而定。類似的akak+1正好給出了所放棋子的顏色。4、符號運算規(guī)則規(guī)則：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白引入記號⊙，則：

(＋1)⊙(＋1)＝(＋１)^２=＋１

(－1)⊙(－1)＝(－１)^２=＋１

(＋1)⊙(－1)＝－１5、各次顏色的確定

可見：最多經(jīng)過8次變換以后，各個數(shù)都變成了+1，這意味著所有棋子都是黑色，且以后重復上述過程，顏色也就不再變化了。問題：要用40塊方形瓷磚鋪如右圖所示形狀的地面,但當時市場上只有長方形瓷磚,每塊大小等于方形的兩塊。一人買了20塊長方形瓷磚,試著鋪地面,結(jié)果弄來弄去始終無法鋪好。試問是這人的功夫不到家還是這個問題根本無解？2.9鋪瓷磚問題首先必須分析是否可能用20塊長方形瓷磚鋪成如圖所示的地面。為此，在圖上黑白相間地染色。發(fā)現(xiàn)共有19個白格和21個黑格。鋪上19塊后，總要剩下2個黑格無法鋪，因為一塊長方形瓷磚無法蓋住兩個黑格。唯一的解決辦法就是把最后一塊分兩為兩塊。這種方法在數(shù)學上稱為奇偶校驗，即可認為涂黑格子是偶數(shù)，涂白格子的是奇數(shù)，同色的格子有相同的奇偶性。一塊長方形瓷磚只能覆蓋奇偶性相反的一對方格，只有在剩下的兩個方格具有相反的奇偶性時，才可能把最后一塊長方形瓷磚鋪上。顯然這該問題是無解的。即任何改變鋪設方式的努力都是徒勞。

問題：哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。18世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯(lián)結(jié)起來，如圖所示。人們閑暇時經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。這就是著名七橋問題。ABCD2.10

哥尼斯堡七橋問題這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數(shù)學家歐拉。歐拉以深邃的洞察力很快證明了這樣的走法不存在。歐拉是這樣解決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點，不妨把圖中被河隔開的陸地看成A、B、C、D四個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，如圖所示。問題可以轉(zhuǎn)化成從四個點中的任意一個出發(fā)，每條線只能走一次，最后回到這一點。即能不能用一筆就把這個圖形畫出來。除起點和終點處，一筆畫中出現(xiàn)在交點處的邊總是一進一出的，故交點的度數(shù)總和為偶數(shù)。即從每一點出發(fā)的線的條數(shù)只能是偶數(shù)，而圖中每一點處都只有奇數(shù)條線，故不可能！一般結(jié)論：(1)連接奇數(shù)個橋的陸地僅有一個或超過兩個以上，不能實現(xiàn)一筆畫；(2)連接奇數(shù)個橋的陸地僅有兩個時，則從兩者任一陸地出發(fā)，可以實現(xiàn)一筆畫而停在另一陸地(3)每個陸地都連接有偶數(shù)個橋時，則從任一陸地出發(fā)都能實現(xiàn)一筆畫，而回到出發(fā)點。小結(jié):歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那么這個問題就簡化成，經(jīng)過進一步的分析，歐拉得出結(jié)論——不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。問題：均勻正方體骰子的六個面分別刻有1,2,3,4,5,6的字樣,將一對骰子拋25次決定勝負。問將賭注押在“至少出現(xiàn)一次雙六”或“完全不出現(xiàn)雙六”的哪一種上面有利？2.11

賭博問題從數(shù)學上看是確定哪一種事件發(fā)生的概率大。記A為“至少出現(xiàn)一個雙六”這一事件，則為“完全不出現(xiàn)雙六”事件。故有記Ai為第i次拋擲這對骰子時出現(xiàn)雙六這一事件，則一對骰子拋擲一次可視為1次隨機實驗，拋擲25次可視為25次獨立隨機實驗，所以問題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設交換前甲占有X的數(shù)量為x0,乙占有Y的數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo??2.12

實物交換xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1,p2對甲是無差別的，MN將所有與p1,p2無差別的點連接起來，得到一條無差別曲線MN,線上各點的滿意度相同,線的形狀反映對X,Y的偏愛程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各點滿意度更高的點如p3，在另一條無差別曲線M1N1上。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。p1.p2.c1

y0xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質(zhì)：

單調(diào)減(x增加,y減小)

下凸(凸向原點)

互不相交在p1點占有x少、y多，寧愿以較多的

y換取較少的x;在p2點占有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y。甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）xyOg(x,y)=c2c2

乙的無差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）

雙方的交換路徑xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的無差別曲線族g=c2

(坐標系x’O’y’,且反向）甲的無差別曲線族f=c1ABp

P’

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上因為在AB外的任一點p’,(雙方)滿意度低于AB上的點p兩族曲線切點連線記作ABABp

交換方案的進一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0

x

x0,0

y

y0矩形內(nèi)任一點交換路徑AB雙方的無差別曲線族等價交換原則X,Y用貨幣衡量其價值，設交換前x0,y0價值相同，則等價交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點的連線CDAB與CD的交點p設X單價a,Y單價b,則等價交換下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x2.13

量綱分析與無量綱化物理量的量綱長度

l的量綱記L=[l]質(zhì)量

m的量綱記M=[m]時間t

的量綱記T=[t]動力學中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)

k

的量綱[k]對無量綱量

，[

]=1(=L0M0T0)2.13.1量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系例：單擺運動lmgm求擺動周期t

的表達式設物理量t,m,l,g

之間有關(guān)系式

1,

2,

3

為待定系數(shù)，

為無量綱量(1)的量綱表達式對比對x,y,z的兩組測量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2，

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什么假設這種形式設p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為單擺運動中t,m,l,g

的一般表達式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),

為無量綱量設f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

與

f(q1,q2,,qm)=0

等價,F未定Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2,

,

Xn

是基本量綱,n

m,q1,q2,

,

qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r

個基本解，記作為m-r

個相互獨立的無量綱量,且則[g]=LT-2,[l]=L,[

]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量綱分析示例：波浪對航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒面積s,海水密度

,重力加速度g。m=6,n=3Ay=0有m-r=3個基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r個基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

個無量綱量

F(

1,

2,

3)=0與

(g,l,,v,s,f)=0等價為得到阻力f的顯式表達式F=0

未定F(

1,

2,…,

m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價量綱分析法的評注

物理量的選取

基本量綱的選取

基本解的構(gòu)造

結(jié)果的局限性

(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的基本量綱個數(shù)n;選哪些基本量綱有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解

方法的普適性函數(shù)F和無量綱量未定不需要特定的專業(yè)知識2.12.2量綱分析在物理模擬中的應用例:航船阻力的物理模擬通過航船模型確定原型船所受阻力~模型船的參數(shù)(均已知)可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力~原型船的參數(shù)(f1未知，其他已知)注意：二者的

相同

按一定尺寸比例造模型船，量測f，可算出f1~物理模擬2.12.3無量綱化例：火箭發(fā)射m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射。初速v,星球半徑r,表面重力加速度g研究火箭高度x隨時間t

的變化規(guī)律t=0時x=0,火箭質(zhì)量m1,星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬有引力定律——3個獨立參數(shù)用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù)[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2變量x,t和獨立參數(shù)r,v,g的量綱用參數(shù)r,v,g的組合,分別構(gòu)造與x,t具有相同量綱的xc,tc

（特征尺度）—無量綱變量如利用新變量將被簡化令

xc,tc的不同構(gòu)造1）令的不同簡化結(jié)果

為無量綱量3）令

為無量綱量2）令

為無量綱量1）2）3）的共同點只含1個參數(shù)——無量綱量

解重要差別考察無量綱量在1）2）3）中能否忽略以

為因子的項？1)忽略

項無解不能忽略

項2)3)忽略

項不能忽略

項忽略

項火箭發(fā)射過程中引力m1g不變即x+rr原問題可以忽略

項是原問題的近似解為什么3)能忽略

項，得到原問題近似解，而1)2)不能?1）令2）令3）令火箭到達最高點時間為v/g,高度為v2/2g,大體上具有單位尺度項可以忽略項不能忽略林家翹：自然科學中確定性問題的應用數(shù)學2.14報童問題問題：報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。設報紙每份的購進價為b，零售價為a，退回價為c，假設a>b>c。即報童售出一份報紙賺a-b，退回一份賠b-c。報童每天購進報紙?zhí)?，賣不完會賠錢；購進太少，不夠賣會少掙錢。試為報童籌劃一下每天購進報紙的數(shù)量，以獲得最大收入。模型分析：購進量由需求量確定，需求量是隨機的。假定報童已通過自己的經(jīng)驗或其他渠道掌握了需求量的隨機規(guī)律，即在他的銷受范圍內(nèi)每天報紙的需求量為份的概率是有了和就可以建立關(guān)于購進量的優(yōu)化模型。模型建立：假設每天購進量是份，需求量是隨機的，可以小于，等于或大于，所以報童每天的收入也是隨機的。那么，作為優(yōu)化模型的目標函數(shù)，不能取每天的收入，而取長期賣報（月，年）的日平均收入。從概率論大數(shù)定律的觀點看，這相當于報童每天收入的期望值，簡稱平均收入。記報童每天購進份報紙的平均收入為，如果這天的需求量，則售出份，退回份；如果需求量則份將全部售出。需求量為的概率是，則問題歸結(jié)為在已知時，求使最大。模型求解：和購進量都相當大，將視為連續(xù)變量便于分析和計算，這時概率轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)計算則令使報童日平均收入達到最大的購進量，得到應滿足上式。因為，所以根據(jù)需求量的概率密度的圖形可以確定購進量在圖中用分別表示曲線下的兩塊面積，則Onr因為當購進超過份報紙時，是需求量不超過的概率，即賣不完的概率；是需求量的概率，即賣完的概率，所以上式表明，購進的份數(shù)應該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢與退回一份賠的錢之比。結(jié)論：當報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大時，報童購進的份數(shù)就應該越多。練習：利用上述模型計算，若每份報紙的購進價為0.75元，售出價為1元，退回價為0.6元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報童每天應購進多少份報紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？用MATLAB作線性最小二乘擬合1.作多項式f(x)=a1xm+…+amx+am+1擬合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2.多項式在x處的值y可用以下命令計算：

y=polyval（a，x）輸出擬合多項式系數(shù)a=[a1,…am,

am+1](數(shù)組)）輸入同長度的數(shù)組X，Y擬合多項式次數(shù)即要求出二次多項式:中的使得:例對下面一組數(shù)據(jù)作二次多項式擬合1）輸入以下命令：

x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,'k+',x,z,'r')%作出數(shù)據(jù)點和擬合曲線的圖形2）計算結(jié)果：Ａ=-9.810820.1293-0.0317解．用多項式擬合的命令MATLAB(zxec2)課外討論題問題1：你還能想出理由設法收集并可使賽艇速度模型改進的數(shù)據(jù)嗎？問題2：有人建議：如果負載時輕量級八人艇是重量級八人艇的比例模型（即尺寸比例是1:（1.8）1/3），5%的優(yōu)勢便消失。你同意嗎？為什么？簡單的優(yōu)化模型3.1

存貯模型3.2

生豬的出售時機3.3

森林救火3.4

最優(yōu)價格3.5血管分支3.6消費者均衡3.7冰山運輸

現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題

靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù))

建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當?shù)哪繕撕瘮?shù)

求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法靜態(tài)優(yōu)化模型3.1

存貯模型問題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設備要付生產(chǎn)準備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準備費5000元，貯存費每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小。要求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準備費、貯存費之間的關(guān)系。問題分析與思考

每天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費，準備費5000元。日需求100件，準備費5000元，貯存費每日每件1元。

10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費900+800+…+100=4500元，準備費5000元，總計9500元。

50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費4900+4800+…+100=122500元，準備費5000元，總計127500元。平均每天費用950元平均每天費用2550元10天生產(chǎn)一次平均每天費用最小嗎?每天費用5000元

這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標函數(shù)。顯然不能用一個周期的總費用作為目標函數(shù)目標函數(shù)——每天總費用的平均值

周期短，產(chǎn)量小

周期長，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費少，準備費多準備費少，貯存費多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費用（二者之和）最小模型假設1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準備費為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當貯存量為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；建模目的設r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費用的平均值最小。4.為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。模型建立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費用每天總費用平均值（目標函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費為A=QT/2模型求解求T使模型分析模型應用c1=5000,

c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答問題

問：與前面計算的`950元有微小差別,你能解釋嗎？

經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量r，每次訂貨費c1,每天每件貯存費c2，用于訂貨、供應、存貯情形不允許缺貨的存貯模型思考：1、如果生產(chǎn)能力有限,是一個常數(shù),又如何建模？T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當貯存量降到零時，Q件立即到貨。2、為什么不考慮生產(chǎn)費用？在什么條件下才不考慮？允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當貯存量降到零時仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失簡單情形：假設1、2不變，改變假設3假設3：允許缺貨,每天每件缺貨損失費c3,

缺貨數(shù)量需在下次生產(chǎn)時補足。T一周期貯存費一周期缺貨費周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費用每天總費用平均值（目標函數(shù)）一周期總費用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T’,Q記作Q’不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨注：不允許缺貨模型為允許缺貨模型特例。允許缺貨模型0qQ

rT1tT注意：缺貨需補足Q

~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R

（或訂貨量）Q~不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量)3.2

生豬的出售時機飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設備，估計可使80千克重的生豬體重增加2公斤。問題市場價格目前為每千克8元，但是預測每天會降低0.1元，問生豬應何時出售。如果估計和預測有誤差，對結(jié)果有何影響。分析投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤20元建模及求解生豬體重w=80+rt出售價格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤Q=R-C=pw-C估計r=2，若當前出售，利潤為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1敏感性分析研究r,g變化時對模型結(jié)果的影響估計r=2，g=0.1

設g=0.1不變t對r的（相對）敏感度生豬每天體重增加量r增加1%，出售時間推遲3%。rt敏感性分析估計r=2，g=0.1研究r,g變化時對模型結(jié)果的影響

設r=2不變t對g的（相對）敏感度生豬價格每天的降低量g增加1%，出售時間提前3%。gt強健性分析保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售由S(t,r)=3建議過一周后(t=7)重新估計,再作計算。研究r,g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響w=80+rt

w=w(t)p=8-gt

p=p(t)若(10%),則（30%）每天利潤的增值每天投入的資金3.3

森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小。綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量。問題分析問題記隊員人數(shù)x,失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,時刻t森林燒毀面積B(t).

損失費f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.

救援費f2(x)是x的增函數(shù),由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小

關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設.問題分析失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,畫出時刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.模型假設3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費）1）0

t

t1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢蔓延速度）2）t1

t

t2,

降為

-x

(

為隊員的平均滅火速度）4）每個隊員的單位時間滅火費用c2,一次性費用c3假設1）的解釋

rB火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.模型建立b0t1tt2假設1）目標函數(shù)——總費用假設3）4）假設2）模型建立目標函數(shù)——總費用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果解釋

/

是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,

,

為已知參數(shù)模型應用c1,c2,c3已知,t1可根據(jù)現(xiàn)場估計,

c2

x

c1,t1,

x

c3,

x

結(jié)果解釋c1~燒毀單位面積損失費,c2~每個隊員單位時間滅火費,c3~每個隊員一次性費用,t1~開始救火時刻,~火勢蔓延速度,~每個隊員平均滅火速度.為什么?

,由森林類型、消防員素質(zhì)等決定，可查。由模型決定隊員數(shù)量x減少滅火時間你們有什么疑問？能否對模型進一步改進？(1)假設2,3只符合風力不大的情況;(2)有人認為

與開始救火的時刻t1有關(guān)

(t1),

t1

越大

越小。3.4

最優(yōu)價格問題根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價格，使利潤最大假設1）產(chǎn)量等于銷量，記作x2）收入與銷量x成正比，系數(shù)p即價格3）支出與產(chǎn)量x成正比，系數(shù)q即成本4）銷量x依賴于價格p,x(p)是減函數(shù)

建模與求解收入支出利潤進一步設求p使U(p)最大使利潤U(p)最大的最優(yōu)價格p*滿足最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達到

建模與求解邊際收入邊際支出結(jié)果解釋

q/2~成本的一半

b

~價格上升1單位時銷量的下降幅度（需求對價格的敏感度）

a

~絕對需求量(

p很小時的需求)b

p*

a

p*

思考：如何得到參數(shù)a,b?可由價格p和售量x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合來確定。3.5血管分支背景機體提供能量維持血液在血管中的流動給血管壁以營養(yǎng)克服血液流動的阻力消耗能量取決于血管的幾何形狀在長期進化中動物血管的幾何形狀已經(jīng)達到能量最小原則研究在能量最小原則下，血管分支處粗細血管半徑比例和分岔角度問題模型假設1)一條粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于同一平面；2)血液流動近似于粘性流體在剛性管道中的運動；3)血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度近似與血管半徑成正比。qq1q1ABB′CHLll1rr1

粗細血管中單位時間的流量分別為q和q1。r/r1,

?1）考察血管AC與CB,CB′q=2q12)粘性流體在剛性管道中運動

p~A,C壓力差，

~粘性系數(shù)克服阻力消耗能量3)提供營養(yǎng)消耗能量管壁內(nèi)表面積s=2

rl管壁體積v=

(d2+2rd)l,管壁厚度d與r成正比,

v與r的平方成正比。模型假設qq1q1ABB′CHLll1rr1

模型建立qq1q1ABB′CHLll1rr1

克服阻力消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量機體為血流提供能量模型求解qq1q1ABB′CHLll1rr1

模型解釋生物學家：結(jié)果與觀察大致吻合大動脈半徑rmax,毛細血管半徑rmin大動脈到毛細血管有n次分岔觀察：狗的血管血管總條數(shù)推論:n=？這只是估計,因為血管分支很難完全對稱!q2U(q1,q2)=cq103.6

消費者均衡問題消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢，購買這兩種商品，以達到最大的滿意度。設甲乙數(shù)量為q1,q2,消費者的無差別曲線族(單調(diào)減、下凸、不相交），記作U(q1,q2)=cU(q1,q2)~效用函數(shù)已知甲乙價格p1,p2,有錢s，試分配s,購買甲乙數(shù)量q1,q2,使U(q1,q2)最大.模型及求解已知價格p1,p2,錢s,求q1,q2,或p1q1/p2q2,使U(q1,q2)最大.用拉格朗日乘子法求二元條件極值給定U(q1,q2)后,(*)即可確定最優(yōu)比例p1q1/p2q2s/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq10幾何解釋直線MN:最優(yōu)解Q:MN與l2切點斜率·MQN··結(jié)果解釋——邊際效用消費者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們價格之比時達到。效用函數(shù)U(q1,q2)應滿足的條件A.U(q1,q2)=c

所確定的函數(shù)q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸

解釋B的實際意義建立消費者均衡模型的關(guān)鍵是確定效用函數(shù)U(q1,q2)效用函數(shù)U(q1,q2)幾種常用的形式

消費者均衡狀態(tài)下購買兩種商品費用之比與二者價格之比的平方根成正比。

U(q1,q2)中參數(shù)

,分別表示消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度。

購買兩種商品費用之比與二者價格無關(guān)。

U(q1,q2)中參數(shù)

,

分別表示對甲乙的偏愛程度。效用函數(shù)U(q1,q2)幾種常用的形式U(q1,q2)中參數(shù)a,b

分別表示對甲乙的偏愛程度。思考：模型應用應用模型時,可根據(jù)上面分析決定選用哪一種形式的效用函數(shù),再由經(jīng)驗數(shù)據(jù)估計其參數(shù)。(最小二乘法)(2)若消費者購買商品的錢s增加,其它條件不變,消費者均衡狀態(tài)又將如何變化?(3)如何推廣到m(>2)種商品的情況?(1)若商品甲的價格P1增加,其它條件不變,消費者均衡狀態(tài)將如何變化?(1)P1增加時,消費者均衡狀態(tài)Q點將左移;q2U(q1,q2)=cq10s/p2s/p1·MQN··(2)S增加時,消費者均衡狀態(tài)Q點將向右上方移動;(3)優(yōu)化模型為3.7

冰山運輸背景

波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米0.1英鎊。

專家建議從9600千米遠的南極用拖船運送冰山，取代淡化海水

從經(jīng)濟角度研究冰山運輸?shù)目尚行?。建模準?.日租金和最大運量船型小中大日租金（英鎊）

最大運量（米3）4.06.28.051051061072.燃料消耗（英鎊/千米）3.融化速率（米/天）與南極距離(千米)船速(千米/小時)01000>400013500.10.300.150.450