【數(shù)學(xué) 】立體幾何初步（培優(yōu)提升題） 2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)同步單元練習(xí)（人教A版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁06立體幾何初步（培優(yōu)提升題）--2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)同步單元練習(xí)（人教A版，2019新版）一、單選題1．（2022下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）已知正方體的棱長為1，它的所有頂點都球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2022下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）在正方體中，分別為，的中點，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2022下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）在長方體中，，，則直線與平面ABCD所成角的正弦為（

）A． B． C． D．4．（2023下·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，E、F為正方體內(nèi)（含邊界）不重合的兩個動點，下列結(jié)論錯誤的是（

）．A．若，，則B．若，，則平面平面C．若，，則面D．若，，則5．（2023下·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)?？计谀﹫A柱形容器內(nèi)部盛有高度為h的水，若放入兩個直徑為2cm的鐵球（球的半徑與圓柱底面半徑相等）后，水恰好淹沒最上面的鐵球一半（如圖所示），則h=（

）．

A．0.5cm B．1cm C．2cm D．2.5cm6．（2023下·福建福州·高一?？计谀┤鐖D，在三棱錐中，，，平面ABC，E為CD的中點，則直線BE與AD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2023下·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)校考期末）在正方體中，E，F(xiàn)，G分別為BC，，的中點，則（

）

A．與AF所成角的正切值為B．與平面AEF相交C．過的截面是四邊形D．點G到平面AEF的距離是點到平面AEF的距離的比值是2：38．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）已知正三棱錐的四個頂點在球的球面上，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，且，與該三棱錐的四個面都相切的球記為球，則（

）A．三棱錐的表面積為 B．球的表面積為C．球的體積為 D．球的半徑為9．（2023下·福建福州·高一?？计谀┤鐖D，已知正方體的棱長為1，O為底面ABCD的中心，交平面于點E，點F為棱CD的中點，則（

）

A．，E，O三點共線B．三棱錐的外接球的表面積為C．直線與平面所成的角為D．過點，B，F(xiàn)的平面截該正方體所得截面的面積為10．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）如圖，平面四邊形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE組成的直角梯形，AD＝1，，現(xiàn)將沿斜邊AC翻折成（不在平面ABC內(nèi)），若P為BC的中點，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（

）

A．與BC可能垂直B．三棱錐體積的最大值為C．若A，C，E，都在同一球面上，則該球的表面積是D．直線與EP所成角的取值范圍為11．（2023下·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谀┮阎倪呅螢檎叫?，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．12．（2023下·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）已知正四面體的棱長為，和的重心分別為點、，則（

）A．B．平面C．二面角的余弦值為D．直線到平面的距離為13．（2023下·福建莆田·高一統(tǒng)考期末）如圖，兩兩互相垂直，三棱錐是正四面體，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．二面角的大小為B．C．若的中心為，則三點共線D．三棱錐的外接球過點14．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）如圖，棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)，G分別是棱AD，，CD的中點，則（

）

A．直線，為異面直線B．二面角的余弦值為C．直線與平面所成角的正切值為D．過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為9三、填空題15．（2023下·福建福州·高一?？计谀┮阎睦忮F的側(cè)棱長為，其頂點均在同一個球面上，若球的體積為，則該正四棱錐的體積為．16．（2023下·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)?？计谀┲彼睦庵牡酌嬲叫芜呴L為，側(cè)棱長為，以頂點為球心，為半徑作一個球，則球面與直四棱柱的表面相交所得到的所有弧長之和等于．17．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）如圖，的棱長為2，點P在正方形的邊界及其內(nèi)部運動，則四面體的體積的最大值是；記所有滿足的點P組成的平面區(qū)域為W，則W的面積是．

四、解答題18．（2022下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）如圖，在三棱錐中，，均為等邊三角形.(1)求證：；(2)若，.求三棱錐的體積.19．（2022下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）如圖，在正方體中.(1)求證：平面；(2)作出二面角的平面角，并說明理由.20．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）如圖，在直三棱柱中，D為棱AB的中點，E為側(cè)棱的動點，且．

(1)是否存在實數(shù)，使得∥平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(2)設(shè)，，，求DE與平面所成角的正弦值的取值范圍．21．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．將，，分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點重合于點P．

(1)求證：平面PEF；(2)若，且K為PD的中點，求三棱錐的體積．22．（2023下·福建福州·高一校考期末）如圖，AB是的直徑，PA垂直于所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一點，E，F(xiàn)分別是線段PB，PC的中點，，，．

(1)求證：平面AEF；(2)求證：平面PAC；(3)求點P到平面AEF的距離．23．（2023下·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)?？计谀┤鐖D，四棱錐的側(cè)面是邊長為2的正三角形，底面為正方形，且平面平面，，分別為，的中點.

(1)求證：；(2)在線段上是否存在一點使得平面，存在指出位置，不存在請說明理由.(3)求二面角的正弦值．24．（2023下·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正方體中，

(1)求證；(2)求與平面所成角的大?。?5．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）如圖，四棱錐中，底面是梯形，，，，M為邊PC的中點．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求三棱錐的體積．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【分析】依題意正方體的體對角線即為外接球的直徑，利用勾股定理求出體對角線，即可求出外接球的表面積.【詳解】解：依題意正方體的體對角線即為外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為，所以，即，所以外接球的表面積；故選：B2．B【分析】根據(jù)求解直線與所成角即可【詳解】由題意，如圖，因為且，故平行四邊形，故，根據(jù)中位線的性質(zhì)有，故直線與所成角為.易得正，直線與所成角為，故余弦值為故選：B3．A【分析】由長方體性質(zhì)易知為與面ABCD所成角的平面角，進而求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)長方體性質(zhì)知：面，故為與面ABCD所成角的平面角，，所以.故選：A4．D【分析】根據(jù)正方體的特征及線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定可判定A、B選項；利用正方體的特征及面面平行的判定與性質(zhì)可判定C、D選項.【詳解】

如圖所示，對于選項A，易知，底面，底面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，故A正確；對于選項B，易知，所以平面，因為平面，所以平面平面，顯然平面即平面，故B正確；

如上圖所示，對于C項，由正方體的特征可知，因為平面，平面，所以平面，同理平面，平面，所以平面，顯然平面，所以平面平面，由平面可得平面，故C正確；對于D項，顯然時，與不平行，故D不正確.故選：D5．B【分析】根據(jù)體積公式即可求解.【詳解】由題意可知一個球加半個球以及水的體積等于高為3的圓柱的體積，球的半徑和圓柱的底面圓半徑均為1，所以，故選：B6．A【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理及異面直線所成角的定義，結(jié)合勾股定理及余弦定理即可求解.【詳解】因為平面平面，平面所以，，又，所以兩兩垂直，且，所以，取的中點，連結(jié)，因為分別為的中點，所以，所以直線BE與AD所成角為或其補角，，，，中，根據(jù)余弦定理.故選：A7．ABCD【分析】A選項，做輔助線，利用等角定理結(jié)合余弦定理解；B選項，在正方體下方補一個相同的正方體，依據(jù)一條直線與平面相交，則與該直線平行的直線也與平面相交來分析；C選項，運用平行和相等的傳遞性可解；D選項，借助平行的特性，利用相似關(guān)系找到相似比，繼而高也就是距離之比等于相似比.【詳解】設(shè)正方體邊長為2.對A，連，在正方體中，因為所以與AF所成角為，在中，由余弦定理有，則，所以，A正確；

對B，在正方體下方補一個相同的正方體如圖，延長交于，連,因為為中點，所以，又，所以，因為為中點，則為中點.又因為為中點，所以與平行且相等，則因為與平面AEF相交，所以與平面AEF相交，故B正確

對C，在B選項圖形的基礎(chǔ)上，連；因為，F(xiàn)，G分別為，的中點，所以與平行且相等，所以且，又由B選項結(jié)論：且知且,所以四邊形為平行四邊形，故C正確；

對D，在C選項圖形的基礎(chǔ)上，連，過在面中作于，由B,C選項知且，為中點，所以，則，所以,所以.因為為面AEF與面的交線，所以距離的比值等于相似比即點G到平面AEF的距離是點到平面AEF的距離的比值是2：3，故D正確.故選：ABCD

8．BD【分析】利用CE⊥EF得到正三棱錐的三條側(cè)棱PA，PB，PC互相垂直，，根據(jù)棱錐的表面積公式計算判斷A；正三棱錐的外接球的就是棱長為的正方體的外接球，求出其半徑，根據(jù)球的表面積及體積公式可判斷BC；利用體積法求出球的半徑可判斷D.【詳解】取AC的中點M，連接PM，BM，∵PA＝PC，AB＝BC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，BM，PM面PBM，∴AC⊥面PBM，∵PB面PBM，∴AC⊥PB，∵E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∴EF∥PB，∵EF⊥CE，∴PB⊥CE，∵AC∩CE＝C，AC，CE面PAC，∴PB⊥面PAC，∵PA，PC面PAC，∴PB⊥PA，PB⊥PC，從而得到正三棱錐的三條側(cè)棱PA，PB，PC互相垂直，則正三棱錐中，，三棱錐的表面積為，故A錯誤；正三棱錐的外接球的就是棱長為的正方體的外接球，其半徑球的表面積為，故B正確；球的體積，故C錯誤；設(shè)球的半徑為，則，即，則，故D正確．故選：BD．【點睛】方法點睛：求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出球的半徑，外接球半徑的常見求法有：（1）若同一頂點的三條棱兩兩垂直，則（為三條棱的長）；（2）若面，，則（為外接圓半徑）；（3）可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球；（4）特殊幾何體可以直接找出球心和半徑．9．ABD【分析】由題意可證得三點都在平面與平面的交線上，可判斷A；由題意可證得平面，從而，可判斷B；由題意可證得平面，則直線與平面所成的角為，根據(jù)余弦定理，求解可判斷C；取的中點，因為，所以等腰梯形就是過點的平面截該正方體所得截面，求出面積可判斷D.【詳解】因為為底面ABCD的中心，所以為BD和AC的中點，則，因為平面平面，所以平面平面，所以點是平面與平面的公共點；顯然是平面與平面的公共點；因為交平面于點平面，所以也是平面與平面的公共點，所以三點都在平面與平面的交線上，即三點共線，故A正確；三棱錐的外接球和正方體是同一個外接球，棱長為1，所以，所以外接球的表面積，故B正確；

因為平面平面ABCD，所以，又平面，所以平面，平面所以平面平面，平面平面，所以在平面的射影為，即直線與平面所成的角為，，，，,故C錯誤；取的中點，連，因為，所以等腰梯形就是過點的平面截該正方體所得截面，如圖：

因為，，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過點的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確．故選：ABD．10．ACD【分析】對于A選項：根據(jù)線面垂直的判斷定理，由，當(dāng)時，平面，則；對于B選項：取的中點，連接，根據(jù)，則平面平面時，三棱錐體積的最大值，從而可判斷；對于C，根據(jù)，可得都在同一球面上，且球的半徑為，從而可判斷；對于D選項：由可以看成以為軸線，以為平面角的圓錐的母線，即可求得與所成角的取值范圍.【詳解】對于A選項：由，則，當(dāng)時，且，此時滿足平面，因此，故A正確；

對于B，取的中點，連接，則，且，因為，當(dāng)平面平面時，三棱錐體積的最大值，在中，，則，此時，所以三棱錐體積的最大值為，故B錯誤；對于C，因為，所以都在同一球面上，且球的半徑為，所以該球的表面積是，故C正確；對于D，作，因為為的中點，所有，，所以，所以，所以，可以看成以為軸線，以為平面角的圓錐的母線，所以與夾角為，與夾角為，又不在平面內(nèi)，，，所以與所成角的取值范圍，所以D正確，故選：ACD.11．BCD【分析】找到三棱錐的高，利用三棱錐體積公式分別求出，，，進而判斷出結(jié)果.【詳解】如圖連接交于O，連接.設(shè)，則.由平面，，所以平面，所以，.由平面，平面，所以.又，且，平面，所以平面，所以.易知，，所以，所以,而，平面，所以平面.又，，所以有，所以選項A不正確，BCD正確.

故選：BCD.12．AC【分析】利用三角形重心的幾何性質(zhì)結(jié)合平行線的傳遞性可判斷A選項；求出與所成的角，可判斷B選項；利用二面角的定義結(jié)合余弦定理可判斷C選項；求出點到平面的距離，結(jié)合可知點到平面的距離等于點到平面的距離的，可判斷D選項.【詳解】如下圖所示：

對于A選項，延長交于點，延長交于點，連接、，則、分別為、的中點，所以，，因為和的重心分別為點、，則，所以，，所以，，A對；對于B選項，因為，且，則與所成角為，故與平面不垂直，B錯；對于C選項，取的中點，連接、，因為是邊長為的等邊三角形，則，且，同理可得，，則二面角的平面角為，由余弦定理可得，因此，二面角的余弦值為，C對；對于D選項，設(shè)點在底面的射影為點，則點為等邊的中心，且，因為平面，平面，所以，，因為，平面，平面，所以，平面，所以，直線到平面的距離為點到平面的距離，因為，故點到平面的距離為，D錯.故選：AC.13．BCD【分析】由已知可得，取的中點，可得，，所以為二面角的平面角，設(shè)，求出、，在中由余弦定理可判斷A；連接，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可判斷B；根據(jù)三棱錐是正三棱錐得平面，三棱錐是正三棱錐得平面可判斷C；幾何體與棱長為正方體有相同的外接球可判斷D.【詳解】對于A，由已知可得，，，而，所以，取的中點，連接、，可得，，所以為二面角的平面角，設(shè)，則，，，在中，由余弦定理可得，故A錯誤；

對于B，由A選項連接，因為，所以，因為，平面，所以平面，平面，所以，故B正確；

對于C，由選項A可知三棱錐是正三棱錐，且平面，三棱錐也是正三棱錐，平面，則三點共線，故C正確；

對于D，由A選項是棱長為正四面體，三棱錐是側(cè)棱長為，底面邊長為的正三棱錐，所以幾何體與棱長為正方體有相同的外接球，故D正確.

故選：BCD.14．BC【分析】證明，說明四點共面，判斷A；作出二面角的平面角，計算其余弦值，可判斷B；找到直線與平面所成角，解直角三角形可得其正切值，判斷C；作出過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，求其面積判斷D.【詳解】對于A，連接，則為矩形，則，而點E，G分別是棱AD，CD的中點，故，則四點共面，故直線，不是異面直線，A錯誤；對于B，連接交于點O，連接，

平面平面，故，又平面，故平面,即為二面角的平面角，又，故，B正確；對于C，由于平面，故即為直線與平面所成角，而,故，C正確；對于D，連接，則,則梯形即為過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，而，故等腰梯形的高為，故等腰梯形的面積為，即過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為，D錯誤，故選：BC15．/【分析】首先根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，確定球心的位置，再根據(jù)幾何關(guān)系建立方程，即可求解.【詳解】如圖，，連結(jié)，則平面，四棱錐外接球的球心在上，設(shè)為點，連結(jié)，因為球的體積，所以，設(shè)四棱錐的底面邊長為，則，則，中，，即，解得：，則，則四棱錐的體積.

故答案為：16．【分析】分別求出球面與面、面、面、面的交線長，相加即可得出結(jié)果.【詳解】如下圖所示：①因為正方形的邊長為，所以，以頂點為球心，為半徑的球與面的交線是以為圓心，半徑為，且圓心角為的圓弧，其長度為；②因為底面，且，所以，以頂點為球心，為半徑的球與面的交線是以點為圓心，半徑為，圓心角為的圓弧，其長度為；③設(shè)以頂點為球心，為半徑的球與棱的交點為點，因為，，則，所以，，從而可得，故以頂點為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線是以點為圓心，半徑為，且圓心角為的圓弧，其長度為；④同③可知，以頂點為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線是以點為圓心，半徑為，且圓心角為的圓弧，其長度為.因此，球面與直四棱柱的表面相交所得到的所有弧長之和等于.故答案為：.17．【分析】空1：由平面,則是四面體以為底面時的高，所以當(dāng)最大時，四面體的體積的最大；空2：連接，由，可得點的軌跡圖形，從而可得其面積.【詳解】空1：在正方體中，平面，所以平面,則是四面體以為底面時的高.由，所以當(dāng)最大時，四面體的體積的最大，因為點P在正方形的邊界及其內(nèi)部運動，所以當(dāng)P在線段上時，最大，其最大值為，所以四面體的體積的最大值為；空2：連接,則，由，則，所以點在以為圓心1為半徑的圓外的區(qū)域和以為圓心為半徑的圓內(nèi)的區(qū)域與正方形的公共部分，如圖（2）陰影部分扇環(huán)部分.所以W的面積.故答案為：；

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決立體幾何中動點的軌跡問題，關(guān)鍵是結(jié)合點、線、面的位置關(guān)系及其性質(zhì)，找出動點的軌跡，分析動點在軌跡上移動時對結(jié)果的影響.18．(1)詳見解析(2)【分析】（1）首先取的中點，要證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為先證明平面；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化為.【詳解】（1）取的中點，連接，因為，均為等邊三角形，所以，，且，所以平面，所以（2）因為，所以，所以是等邊三角形，由（1）可知平面，所以三棱錐的體積.所以三棱錐的體積.19．(1)證明見解析(2)圖形見解析，理由見解析.【分析】（1）由正方體的性質(zhì)可得為平行四邊形，即可得到，從而得證.（2）取、中點分別為、，連接、，則為二面角的平面角，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，再證、，即可得證.【詳解】（1）證明：∵是正方體，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）解：取、中點分別為、，連接、，則為二面角的平面角，理由如下：設(shè)正方體的棱長為，則，所以．∵、分別為、中點，∴．在正方體中，平面，平面，∴，∴，∴為二面角的平面角．20．(1)存在；(2)【分析】（1）解法一：連接，，設(shè)，，則利用平行關(guān)系和比例關(guān)系可證得∥，然后由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；解法二：連接交于點，連接GD，利用三角形中位線定理和平行四邊形性質(zhì)可證得四邊形為平行四邊形，則∥，然后由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）過點作∥交于點，由已知先證得平面，再可得平面，則為DE與平面所成角，然后在中求解即可.【詳解】（1）解法一：存在實數(shù)，使得∥平面．理由如下：如圖，連接，，設(shè)，，因為，∥，，所以，∥，所以，因為為AB的中點，∥，，所以，∥，所以，所以，所以∥，又因為平面，平面，所以∥平面；

解法二：存在實數(shù)，使得∥平面．理由如下：如圖，連接交于點，連接GD，在直三棱柱中，四邊形為矩形，所以點為的中點，因為為棱AB的中點，所以∥，，又因為∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，又因為平面，平面，所以∥平面；

（2）因為，，，所以，所以，過點作∥交于點，則，，又因為，所以，因為，平面，所以平面，所以為DE與平面所成角，設(shè)，在中，，所以，即DE與平面所成角的正弦值的取值范圍為．

21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）由題意求得，由（1）知PD⊥平面PEF，求得，根據(jù)K為PD的中點，即可求解．【詳解】（1）在正方形ABCD中，，，折疊后即有，，又因為，平面PEF，所以平面PEF；（2）由題意知，，故，由（1）知平面PEF，故；因為為PD的中點，所以三棱錐的體積．22．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）利用中位線，得到線線平行，即可證明.（2）根據(jù)線面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為線線垂直，即可證明；（3）利用等體積法，，即可求點面距離.【詳解】（1）證明：因為E，F(xiàn)分別是線段PB，PC的中點，所以,又平面AEF，又平面AEF，所以BC平面AEF（2）因為PA垂直于所在的平面，包含于所在的平面，所以,因為C是圓周上不同于A，B的一點,所以,又平面PAC,所以平面PAC,（3）又，所以平面PAC,所以,，所以，，,,又因為，F(xiàn)是線段PC的中點，所以,所以,設(shè)點P到平面AEF的距離為.所以,，又，所以點P到平面AEF的距離為.23．(1)證明見解析(2)當(dāng)時平面，理由見解析(3)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，再證明，即可得到平面，從而得證；（2）取的四等分點（靠近），取的四等分點（靠近），連接、、，即可得到、，從而得到平面平面，即可得解；（3）取的中點