17.1.2 勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用 人教版數(shù)學(xué)八年級下冊分層作業(yè)(含答案)

人教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊17.1.2勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用同步練習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．已知點(diǎn)，，則，兩點(diǎn)間的距離是（

）A．個(gè)單位長度 B．個(gè)單位長度 C．個(gè)單位長度 D．個(gè)單位長度【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可由圖直接求出A、B兩點(diǎn)之間的距離．【詳解】解：如圖，可知A、B間的距離為3個(gè)單位長度．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．2．如圖，一棵樹從3m處折斷了，樹頂端離樹底端距離4m，那么這棵樹原來的高度是：（

）A．8m B．5m C．9m D．7m【答案】A【分析】根據(jù)大樹末端部分、折斷部分及地面正好構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理解答即可．【詳解】由題意可知：BC=3m，AC=4m，∴在中，m∴這棵樹原來的高度m．故答案選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．3．如圖，高速公路上有兩點(diǎn)相距10km，為兩村莊，已知于，于,現(xiàn)要在上建一個(gè)服務(wù)站，使得兩村莊到站的距離相等，則的長是（

）km．A．4 B．5 C．6 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意設(shè)出EB的長為，再由勾股定理列出方程求解即可．【詳解】設(shè)EB=x，則AE=10-x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，，在Rt△BCE中，，由題意可知：DE=CE，所以：=，解得：(km)．所以，EB的長為4km．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理的運(yùn)用，主要是運(yùn)用勾股定理將兩個(gè)直角三角形的斜邊表示出來，運(yùn)用方程思想求解．4．如圖，有兩顆樹，一顆高10米，另一顆高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）．A．8米 B．10米 C．12米 D．14米【答案】B【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【詳解】解：如圖，設(shè)大樹高為米，小樹高為米，過點(diǎn)作于，則是矩形，連接，米，米，米，在中，米，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用．5．我圖古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深幾何？（注：丈、尺是長度單位，1丈=10尺）意思為：如圖，有一個(gè)邊長為1丈的正方形水池，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的岸邊，它的頂端恰好碰到池邊的水面．則這根蘆葦?shù)拈L度是（

）A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺【答案】D【分析】依題意，蘆葦?shù)拈L度為直角三角形的斜邊，水深為一直角邊，另一直角邊為5尺，由勾股定理即可列出方程，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：設(shè)水深x尺，則蘆葦?shù)拈L度為（x+1）尺，依題意，由勾股定理，得：，解得，所以蘆葦?shù)拈L度為13尺．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，將題目描述問題轉(zhuǎn)化成直角三角形求邊長的問題是解題的關(guān)鍵．6．如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度(滑輪上方的部分忽略不計(jì))為()A．12m B．13m C．16m D．17m【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)旗桿高度為x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【詳解】解：設(shè)旗桿高度為x，則AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗桿的高度為17米．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線．7．如圖，一根長5米的竹竿斜靠在豎直的墻上，這時(shí)為4米，若竹竿的頂端沿墻下滑2米至處，則竹竿底端外移的距離（

）A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不對【答案】A【分析】利用勾股定理可求出OB、OD的長，即可得出BD的長，再根據(jù)無理數(shù)的估算，估算出BD的長即可得答案．【詳解】∵AB=5，OA=4，AC=2，AB=CD=5，∴OB==3，OD==，∴BD=-3，∵16＜21＜25，∴4＜＜5，∴1＜-3＜2，即BD的長小于2米，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用及無理數(shù)的估算，靈活運(yùn)用勾股定理、熟練運(yùn)用“夾逼法”估算無理數(shù)是解題關(guān)鍵．二、填空題：8．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離是______．【答案】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解．【詳解】解：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離公式，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．如圖，一根長的吸管置于底面直徑為高為的圓柱形水杯中，吸管露在杯子外面的長度最短是___________．【答案】5【分析】當(dāng)杯子如圖中所放的方式時(shí)，露在杯子外面的長度最小，在杯中的吸管與圓柱形水杯的底面直徑和高構(gòu)成了直角三角形，由勾股定理可求出吸管在水杯中的長度，吸管總長度減去杯子里面的長度即露在外面的長度．【詳解】設(shè)杯子底面直徑為a，高為b，吸管在杯中的長度為c，根據(jù)勾股定理，得：c2＝a2＋b2，解得：c＝15，∴吸管露在外面最短為20－15＝5（cm），故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，牢記公式稍加分析即可．10．如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，踩傷了花草．則他們僅僅少走了_____步路．（假設(shè)2步為1米）【答案】8【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的長，根據(jù)2步為1米，即可得出少走的步數(shù)．【詳解】解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m，∴，則（8+6﹣10）×2＝8，∴他們僅僅少走了8步，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，若，，那么正方形的面積為_．【答案】．【分析】根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：由勾股定理得，，正方形的面積，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．12．如圖，小華將升旗的繩子拉到豎直旗桿的底端，繩子末端剛好接觸地面，此時(shí)繩子末端距離地面2m，則繩子的總長度為___m．【答案】10【分析】設(shè)繩子的長度為xm，則AC=AD=xm，AB=AD-BD=（x-2）m，BC=6m，再利用勾股定理得到即，解方程即可．【詳解】解：設(shè)繩子的長度為xm，則AC=AD=xm，AB=AD-BD=（x-2）m，BC=6m，在Rt△ABC中，∴，解得，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解．13．在一棵樹的10米高的B處有兩只猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹20米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高_(dá)_米．【答案】15【詳解】試題解析：如圖，設(shè)樹的高度為x米，因兩只猴子所經(jīng)過的距離相等都為30米．由勾股定理得：x2+202=[30-（x-10）]2，解得x=15m．故這棵樹高15m．【點(diǎn)睛】根據(jù)兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，將兩只猴子所走的路程表示出來，根據(jù)勾股定理列出方程求解．三、解答題：14．如圖，已知圓柱形茶杯，底面直徑為5厘米，將長為20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在茶杯口外的最短長度是7厘米，求茶杯的高度．【答案】茶杯的高度為12厘米【分析】由題意得當(dāng)△ABC為直角三角形，且∠ABC=90°時(shí)，筷子露在外面的長度最短，據(jù)此利用勾股定理求解即可．【詳解】解：由題意得當(dāng)△ABC為直角三角形，且∠ABC=90°時(shí)，筷子露在外面的長度最短，此時(shí)CD=7厘米，AB=5厘米∴AC=20-7=13厘米，∴厘米，∴茶杯的高度為12厘米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意確定當(dāng)△ABC為直角三角形，且∠ABC=90°時(shí)，筷子露在外面的長度最短是解題的關(guān)鍵．15．有一只喜鵲在一棵3m高的小樹上覓食，它的巢筑在距離該樹24m的一棵大樹上，大樹高14m，且巢離樹頂部1m．當(dāng)它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即趕過去，如果它飛行的速度為5m/s，那它至少需要多少時(shí)間才能趕回巢中？【答案】它至少需要5.2s才能趕回巢中．【分析】根據(jù)題意，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理解答．【詳解】解：如圖，由題意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．過A作AE⊥CD于E．則CE=13-3=10，AE=24，∴在Rt△AEC中，AC2=CE2+AE2=102+242．∴AC=26，26÷5=5.2（s）．答：它至少需要5.2s才能趕回巢中．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，同時(shí)注意：時(shí)間=路程÷速度．16．如圖，高速公路上有A，B兩點(diǎn)相距10km，C，D為兩村莊，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)服務(wù)站E，使得C，D兩村莊到E站的距離相等，求BE的長．【答案】4km【分析】根據(jù)題意設(shè)出BE的長為xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)BE＝xkm，則AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由題意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4．所以，EB的長是4km．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．17．“某市道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過70千米/時(shí)，如圖，一輛小汽車在城市道路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車速檢測儀A正前方60米的C處，過了4秒后到達(dá)B處（），此時(shí)測得小汽車與車速檢測儀間的距離為100米，請問這輛小汽車是否超速？【答案】小汽車已超速行駛．【分析】根據(jù)題意得出由勾股定理得出的長，根據(jù)時(shí)間求出速度，從而可知道是否超速．【詳解】解：根據(jù)題意，得米，米，，在中，根據(jù)勾股定理，(米)，80米千米，4秒小時(shí)，，所以小汽車已超速行駛．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出的長是解題關(guān)鍵．18．為了測量如圖風(fēng)箏的高度CE．測得如下數(shù)據(jù)：①BD的長度為8米（注：）；②放出的風(fēng)箏線BC的長為17米；②牽線放風(fēng)箏的同學(xué)身高為1.60米．(1)求風(fēng)箏的高度CE．(2)若該同學(xué)想風(fēng)箏沿CD方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【答案】(1)風(fēng)箏的高度CE為16.6米(2)他應(yīng)該往回收線7米．【分析】（1）利用勾股定理求出CD的長，再加上DE的長度，即可求出CE的高度；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，∴，CE＝CD＋DE＝15＋1.6＝16.6米，答：風(fēng)箏的高度CE為16.6米；（2）如圖，設(shè)風(fēng)箏沿CD方向下降9米至點(diǎn)，則，，，，∴他應(yīng)該往回收線7米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實(shí)際問題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．19．明朝數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千細(xì)索懸掛于O點(diǎn)，靜止時(shí)豎直下垂，A點(diǎn)為踏板位置，踏板離地高度為一尺（尺）．將它往前推進(jìn)兩步（于點(diǎn)E，且尺），踏板升高到點(diǎn)B位置，此踏板高地五尺（尺，），則秋千繩索長多少尺？【答案】【分析】設(shè)OB＝OA＝x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：設(shè)OB＝OA＝x（尺），∵四邊形BECD是矩形，∴BD＝EC＝5（尺），在Rt△OBE中，OB＝x，OE＝x?4，BE＝10，∴x2＝102＋（x?4）2，∴x＝．∴OA的長度為（尺）．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．能力提升篇一、單選題：1．如圖長方體木箱的長、寬、高分別為12m，4m，3m，則能放進(jìn)木箱中的木棒最長為（）A．19m B．24m C．13m D．15m【答案】C【分析】連接AC，AG，由題意可知∠ACG=∠ABC=90°，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接AC，AG，由長方體的性質(zhì)可以知∠ACG=∠ABC=90°，∴(m)，∴(m),∴能放進(jìn)木箱中的木棒最長為13m，故選C．.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握勾股定理．2．如圖是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長，寬，高分別為100cm，15cm和10cm，A和B是這個(gè)臺階的兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度為（）A．115cm B．125cm C．135cm D．145cm【答案】B【分析】把立體幾何圖展開得到平面幾何圖，如圖，然后利用勾股定理計(jì)算AB，則根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到螞蟻所走的最短路線長度．【詳解】解：展開圖為：則AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，在Rt△ABC中，AC=100cm，∴AB==125cm．所以螞蟻所走的最短路線長度為125cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把立體幾何圖中的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖中的問題是解題的關(guān)鍵．3．如上圖，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為12，底面周長為10，在容器內(nèi)壁離容器底部3的點(diǎn)處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3的點(diǎn)處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（

）A．13 B．12 C．15 D．16【答案】A【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【詳解】解：由題意可得：此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3與飯粒相對的點(diǎn)處，，，將容器側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則即為最短距離，.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開—最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．二、填空題：4．如圖，輪船甲從港口O出發(fā)沿北偏西25°的方向航行5海里，同時(shí)輪船乙從港口O出發(fā)沿南偏西65°的方向航行12海里，這時(shí)兩輪船相距_____海里．【答案】13【分析】根據(jù)題意可得，∠AOB=180°-25°-65°=90°，OA=5，OB=12，再根據(jù)勾股定理可得AB的長，即可得兩輪船的距離．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可知：∠AOB=180°-25°-65°=90°，OA=5，OB=12，∴AB==13(海里)．所以兩輪船相距13海里．故答案為：13【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義．5．如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要_____cm．【答案】10【分析】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【詳解】解：將長方體展開，連接A、B′，∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB′==10cm．故答案為：10三、解答題：6．如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m．假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？【答案】會受到影響，24s【分析】過點(diǎn)A作AB⊥PN于點(diǎn)B，則可得AB=80m，從而可判斷學(xué)校會受到影響；設(shè)從點(diǎn)E開始學(xué)校學(xué)到影響，點(diǎn)F結(jié)