5.3.2 命題、定理、證明 人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)(含答案)

5.3.2《命題、定理、證明》重難點(diǎn)題型專項(xiàng)練習(xí)考查題型一命題的判斷典例1．（2022春·湖南永州·七年級(jí)?？计谥校┫铝姓Z(yǔ)句中，屬于命題的是（

）．A．直線和垂直嗎？ B．過(guò)線段的中點(diǎn)畫的垂線C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．連接，兩點(diǎn)【答案】C【分析】分別根據(jù)命題的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、直線和垂直嗎？這是疑問(wèn)句，不是命題，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、過(guò)線段的中點(diǎn)C畫的垂線，這是描敘性語(yǔ)言，不是命題，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行是命題，所以C選項(xiàng)正確；D、連接A、B兩點(diǎn)，這是描敘性語(yǔ)言，不是命題，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過(guò)推理論證的真命題稱為定理．變式1-1．下列語(yǔ)句屬于命題的是（

）A．你今天打卡了嗎？ B．請(qǐng)戴好口罩！C．畫出兩條相等的線段 D．同位角相等【答案】D【分析】根據(jù)命題的定義（判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題），逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A．你今天打卡了嗎？沒(méi)有作出判斷，故該選項(xiàng)不是命題，不符合題意；B．請(qǐng)戴好口罩！沒(méi)有作出判斷，故該選項(xiàng)不是命題，不符合題意；C．畫出兩條相等的線段，沒(méi)有作出判斷，故該選項(xiàng)不是命題，不符合題意；

D．同位角相等，作出判斷，故該選項(xiàng)是命題，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果那么”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．變式1-2．（2022秋·重慶璧山·七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列語(yǔ)句中．不是命題的是（

）A．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 B．對(duì)頂角相等C．如果一個(gè)數(shù)能被2整除．那么它也能被4整除 D．畫一條線段【答案】D【分析】根據(jù)命題的定義，句子可以改寫成“如果……那么……”形式，則為命題，如果不能就不是．【詳解】解：A．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，改寫成：如果兩條直線被第三條直線所截所成的角中，內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行，是命題，故此選項(xiàng)不符合題意；B．對(duì)頂角相等，改寫成：如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩角相等，是命題，故此選項(xiàng)不符合題意；C．如果一個(gè)數(shù)能被2整除，那么它也能被4整除，是命題，故此選項(xiàng)不符合題意；D．畫—條線段，無(wú)法改寫，不是命題，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果……那么……”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．正確理解命題的定義是解題的關(guān)鍵．變式1-3．（2022秋·安徽宣城·七年級(jí)校考期中）下列語(yǔ)句屬于命題的個(gè)數(shù)是（

）①宣城市奮飛學(xué)校是市文明單位

②直角等于

③對(duì)頂角相等

④奇數(shù)一定是質(zhì)數(shù)嗎？A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)命題的概念注意判斷即可．【詳解】解：由命題的概念可知，④不是命題，而①②③均是命題，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題的概念，解決本題的關(guān)鍵是掌握命題時(shí)表示判斷的語(yǔ)句．考查題型二真假命題的判斷典例2．（2021春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校?？计谥校┯邢铝忻}是真命題的是（）A．相等的角是對(duì)頂角B．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等C．有一邊互為反向延長(zhǎng)線，且和為180°的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角D．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)和定義，鄰補(bǔ)角的定義，平行線的性質(zhì)，平行線公理逐一判斷即可．【詳解】A、共頂點(diǎn)，且一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，這樣的兩個(gè)角是對(duì)頂角，但是，相等的兩個(gè)角，若不滿足對(duì)頂角的定義，也不是對(duì)頂角，故此命題是假命題；B、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故此命題是假命題；C、有一邊互為反向延長(zhǎng)線，且共頂點(diǎn)與共一條邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，故此命題是假命題；D、過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行，是真命題；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假的判斷，掌握命題所涉的相關(guān)知識(shí)是關(guān)鍵．變式2-1．（2022春·湖南永州·七年級(jí)?？计谥校┫铝胁皇钦婷}的是（

）A．三角形內(nèi)角和為 B．兩條直線不相交，就是平行C．任意的等腰三角形都存在著“三線合一”的現(xiàn)象 D．三角形至多有一個(gè)鈍角【答案】B【分析】利用三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A.三角形內(nèi)角和為，正確，是真命題；B.同一平面內(nèi)，兩條直線不相交，就是平行，故原命題錯(cuò)誤，是假命題；C.任意的等腰三角形都存在著“三線合一”的現(xiàn)象正確，是真命題；D.三角形至多有一個(gè)鈍角，正確，是真命題，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，難度不大．變式2-2．（2022秋·福建福州·七年級(jí)?？计谥校┫铝忻}是真命題的是（

）A．同位角相等B．兩個(gè)銳角的和是銳角C．若兩個(gè)角的和為，則這兩個(gè)角互補(bǔ)D．相等的角是對(duì)頂角【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，補(bǔ)角的定義，銳角的定義，對(duì)頂角的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：、兩直線平行，同位角相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；B、兩個(gè)銳角的和可能是銳角、鈍角，也可能是直角，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；C、若兩個(gè)角的和為，則這兩個(gè)角互補(bǔ)，正確，是真命題，符合題意；D、相等的角不一定是對(duì)頂角，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，補(bǔ)角的定義，銳角的定義，對(duì)頂角的定義．變式2-3．（2022秋·北京海淀·七年級(jí)?？计谥校┫铝忻}中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①相等的角是對(duì)頂角；②同位角相等；③等角的余角相等；④如果，那么．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)頂角、平行線的性質(zhì)、余角的概念、平方根的概念逐一判斷，即可得到答案．【詳解】解：①相等的角不一定是對(duì)頂角，原說(shuō)法錯(cuò)誤，是假命題；②兩直線平行，同位角相等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，是假命題；③等角的余角相等，原說(shuō)法正確，是真命題；④如果，那么，原說(shuō)法錯(cuò)誤，是假命題，即真命題的個(gè)數(shù)為1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．考查題型三命題的題設(shè)與結(jié)論典例3．（2022秋·福建福州·七年級(jí)福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）命題“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行”的題設(shè)是____________，結(jié)論是_____________．該命題是__________命題（填“真”或“假”）．【答案】

如果在同一平面內(nèi)，兩條直線垂直于同一條直線

這兩條直線相互平行

真【分析】將命題轉(zhuǎn)化為“如果在同一平面內(nèi)，兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線相互平行”即可找出題設(shè)和結(jié)論，根據(jù)平行線的判定方法判斷該命題的真假．【詳解】解：原命題可以轉(zhuǎn)化為“如果在同一平面內(nèi)，兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線相互平行”，故題設(shè)是“如果在同一平面內(nèi)，兩條直線垂直于同一條直線”，結(jié)論是“這兩條直線相互平行”，根據(jù)平行線的判定定理，可知該命題是真命題．故答案為：如果在同一平面內(nèi)，兩條直線垂直于同一條直線；這兩條直線相互平行；真．【點(diǎn)睛】本題考查命題的概念和平行線的判定，當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不明顯時(shí)，可以將命題轉(zhuǎn)化為“如果……，那么……”的形式，“如果”后面是題設(shè)，“那么”后面是結(jié)論．變式3-1．（2022秋·湖北宜昌·七年級(jí)?？计谥校┟}“內(nèi)錯(cuò)角相等”的題設(shè)是_____，結(jié)論是____，它是________（“真”或“假”）命題．【答案】

兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角

這兩個(gè)角相等

假【分析】將這個(gè)命題改寫成“如果，那么”的形式，由此即可得出它的題設(shè)和結(jié)論，再根據(jù)同位角的定義即可判斷真假．【詳解】解：命題“內(nèi)錯(cuò)角相等”可改寫為“如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，那么這兩個(gè)角相等”，則命題“內(nèi)錯(cuò)角相等”的題設(shè)是兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，結(jié)論是這兩個(gè)角相等，因?yàn)閮蓚€(gè)內(nèi)錯(cuò)角不一定相等，所以它是假命題，故答案為：兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角；這兩個(gè)角相等；假．【點(diǎn)睛】本題考查了命題的題設(shè)與結(jié)論、判斷命題的真假，熟練掌握將命題改寫成“如果，那么”的形式是解題關(guān)鍵．變式3-2．命題“等邊對(duì)等角”的題設(shè)是______結(jié)論是______【答案】

同一個(gè)三角形中的兩條邊相等；

這兩條邊所對(duì)的兩個(gè)角也相等【分析】判斷一件事情的語(yǔ)句叫做命題．任何一個(gè)命題都有題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．命題都可以寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后接題設(shè)部分，“那么”后接結(jié)論部分．【詳解】解：由于命題“在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角”可改寫成：在同一個(gè)三角形中，如果有兩條邊相等，那么這兩條邊所對(duì)的兩個(gè)角相等．所以題設(shè)是同一個(gè)三角形中的兩條邊相等，結(jié)論是這兩條邊所對(duì)的兩個(gè)角相等．故答案為：同一個(gè)三角形中的兩條邊相等；這兩條邊所對(duì)的兩個(gè)角相等．【點(diǎn)睛】對(duì)于像本題這樣簡(jiǎn)寫的命題，題設(shè)和結(jié)論不明顯，要經(jīng)過(guò)分析，找出命題中的已知事項(xiàng)和由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，將命題改寫成“如果…，那么…”的形式，從而區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論．變式3-3．命題“兩點(diǎn)之間線段最短"的題設(shè)是______________，結(jié)論是______________．【答案】

連接兩點(diǎn)，得到線段；

線段最短【分析】命題常?？梢詫憺椤叭绻敲础钡男问?，如果后面接題設(shè)，而那么后面接結(jié)論；根據(jù)上步的知識(shí)，從命題的定義出發(fā)，尋找題設(shè)和結(jié)論就可以了．【詳解】命題“兩點(diǎn)之間線段最短"的題設(shè)是：連接兩點(diǎn)，得到線段，結(jié)論是：線段最短，故答案為：連接兩點(diǎn)；線段最短【點(diǎn)睛】本題主要考查了將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論，比較簡(jiǎn)單．考查題型四寫出命題的逆命題典例4．寫出命題“兩個(gè)全等三角形的面積相等”的逆命題______．【答案】若兩個(gè)三角形面積相等，則這兩個(gè)三角形全等【分析】根據(jù)逆命題的定義，若兩個(gè)三角形面積相等，則這兩個(gè)三角形全等即可．【詳解】解：命題“兩個(gè)全等三角形的面積相等”的逆命題是：若兩個(gè)三角形面積相等，則這兩個(gè)三角形全等，故答案為：若兩個(gè)三角形面積相等，則這兩個(gè)三角形全等．【點(diǎn)睛】本題考查命題概念，弄清楚命題的條件和結(jié)論是寫出逆命題的關(guān)鍵．變式4-1．“如果，那么”的逆命題為_____．【答案】如果，那么【分析】根據(jù)互逆命題的定義，把原命題的題設(shè)和結(jié)論交換即可．【詳解】解：“如果，那么”的逆命題為“如果，那么”．故答案為：如果，那么．【點(diǎn)睛】本題考查了互逆命題的知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是掌握兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．變式4-2．寫出命題“如果，那么或．”的逆命題：______．【答案】如果或，那么【分析】根據(jù)逆命題的寫法，把原命題的條件作為結(jié)論，結(jié)論作為條件即可．【詳解】解：命題“如果，那么或．”的逆命題是：如果或，那么，故答案為：如果或，那么．【點(diǎn)睛】題目主要考查命題與逆命題的寫法，熟練掌握命題與逆命題的關(guān)系是解題關(guān)鍵變式4-3．命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是________________．【答案】有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形【分析】根據(jù)逆命題的定義寫出即可．【詳解】解：命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是“有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形”．故答案是：有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了互逆命題的知識(shí)，掌握逆命題的定義是解題的關(guān)鍵．兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．考查題型五互逆定理的判斷典例5．下列說(shuō)法正確的是（

）A．真命題的逆命題是真命題 B．原命題是假命題，則它的逆命題也是假命題C．命題一定有逆命題 D．定理一定有逆命題【答案】C【分析】根據(jù)命題、逆命題，真假命題的關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A．真命題的逆命題不一定是真命題，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．原命題是假命題，則它的逆命題不一定是假命題，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．命題一定有逆命題，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D．定理不一定有逆命題，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理，也考查了逆命題，逆定理．變式5-1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．任何命題都有逆命題 B．真命題的逆命題不一定是正確的C．任何定理都有逆定理 D．一個(gè)定理若存在逆定理，則這個(gè)逆定理一定是正確的【答案】C【分析】根據(jù)命題，定理的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解即可．【詳解】A．任何命題都有逆命題，故A正確，不符合題意；B．真命題的逆命題不一定為真，故B正確，不符合題意；C．任何定理不一定都有逆定理，故C錯(cuò)誤，符合題意；D．定理一定是正確的，一個(gè)定理若存在逆定理，則這個(gè)逆定理一定是正確的，故D正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題，定理的定義．如果一個(gè)命題的條件與結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論與條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題．定理是指用邏輯的方法判斷為正確并作為推理的根據(jù)的真命題．一個(gè)命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題，如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)