（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；變形b2＝c2＋a2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r.3．在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比．(×)(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B.(√)(3)在△ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素．(×)(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時(shí)，三角形ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時(shí)，三角形為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2<0時(shí)，三角形為鈍角三角形．(×)(5)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積．(√)1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)，則B＝________.答案eq\f(π,3)解析由sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，代入整理得：eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(a,c＋b)?c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(π,3).2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則BC的長為________．答案eq\r(3)解析因?yàn)镾＝eq\f(1,2)×AB×ACsinA＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)AC＝eq\f(\r(3),2)，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝eq\r(3).3．(2015·北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則eq\f(sin2A,sinC)＝________.答案1解析由余弦定理：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(25＋36－16,2×5×6)＝eq\f(3,4)，∴sinA＝eq\f(\r(7),4)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(16＋25－36,2×4×5)＝eq\f(1,8)，∴sinC＝eq\f(3\r(7),8)，∴eq\f(sin2A,sinC)＝eq\f(2×\f(3,4)×\f(\r(7),4),\f(3\r(7),8))＝1.4．在△ABC中，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為________三角形．答案直角解析由已知得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，又sinA≠0，∴sinA＝1，A＝eq\f(π,2)，∴△ABC為直角三角形．5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bcosC＋eq\r(3)bsinC－a－c＝0，則角B＝________.答案eq\f(π,3)解析由正弦定理知，sinBcosC＋eq\r(3)sinBsinC－sinA－sinC＝0.∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，代入上式得eq\r(3)sinBsinC－cosBsinC－sinC＝0.∵sinC＞0，∴eq\r(3)sinB－cosB－1＝0，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))＝1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))＝eq\f(1,2).∵B∈(0，π)，∴B＝eq\f(π,3).題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝eq\r(6)，A＝45°，則滿足條件的三角形有________個(gè)．(2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝eq\r(2)∶1，c2＝b2＋eq\r(2)bc，則三內(nèi)角A，B，C的度數(shù)依次是________．(3)(2015·廣東)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,6)，則b＝________.答案(1)2(2)45°，30°，105°(3)1解析(1)∵bsinA＝eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(3)，∴bsinA<a<b.∴滿足條件的三角形有2個(gè)．(2)由題意知a＝eq\r(2)b，a2＝b2＋c2－2bccosA，即2b2＝b2＋c2－2bccosA，又c2＝b2＋eq\r(2)bc，∴cosA＝eq\f(\r(2),2)，A＝45°，sinB＝eq\f(1,2)，又A>B，∴B＝30°，∴C＝105°.(3)因?yàn)閟inB＝eq\f(1,2)且B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,6)或B＝eq\f(5π,6).又C＝eq\f(π,6)，B＋C<π，所以B＝eq\f(π,6)，A＝π－B－C＝eq\f(2π,3).又a＝eq\r(3)，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝eq\f(b,sin\f(π,6))，解得b＝1.思維升華(1)判斷三角形解的個(gè)數(shù)的兩種方法①代數(shù)法：根據(jù)大邊對(duì)大角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和公式、正弦函數(shù)的值域等判斷．②幾何圖形法：根據(jù)條件畫出圖形，通過圖形直觀判斷解的個(gè)數(shù)．(2)已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理時(shí)，需判斷其解的個(gè)數(shù)，用余弦定理時(shí)，可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個(gè)數(shù)．(1)(2015·三門峽模擬)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是________．(2)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝eq\r(3)，則AB＝________.答案(1)2＜x＜2eq\r(2)(2)1解析(1)若三角形有兩解，則必有a＞b，∴x＞2，又由sinA＝eq\f(a,b)sinB＝eq\f(x,2)×eq\f(\r(2),2)＜1，可得x＜2eq\r(2)，∴x的取值范圍是2＜x＜2eq\r(2).(2)∵A＝60°，AC＝2，BC＝eq\r(3)，設(shè)AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，化簡(jiǎn)得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.題型二和三角形面積有關(guān)的問題例2(2015·浙江)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知A＝eq\f(π,4)，b2－a2＝eq\f(1,2)c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面積為3，求b的值．解(1)由b2－a2＝eq\f(1,2)c2及正弦定理得sin2B－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2C.所以－cos2B＝sin2C.①又由A＝eq\f(π,4)，即B＋C＝eq\f(3,4)π，得－cos2B＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π－C))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－2C))＝sin2C＝2sinCcosC，②由①②解得tanC＝2.(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝eq\f(2\r(5),5)，cosC＝eq\f(\r(5),5)，因?yàn)閟inB＝sin(A＋C)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))，所以sinB＝eq\f(3\r(10),10)，由正弦定理得c＝eq\f(2\r(2),3)b，又因?yàn)锳＝eq\f(π,4)，eq\f(1,2)bcsinA＝3，所以bc＝6eq\r(2)，故b＝3.思維升華(1)對(duì)于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四邊形ABCD的面積．解(1)由題設(shè)A與C互補(bǔ)及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②由①②得cosC＝eq\f(1,2)，BD＝eq\r(7)，因?yàn)镃是三角形內(nèi)角，故C＝60°.(2)四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)AB·DAsinA＋eq\f(1,2)BC·CDsinC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2＋\f(1,2)×3×2))sin60°＝2eq\r(3).題型三正弦、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用命題點(diǎn)1判斷三角形的形狀例3(1)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，則△ABC的形狀為________三角形．(2)(2015·濰坊模擬)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為________三角形．答案(1)鈍角(2)直角解析(1)已知eq\f(c,b)<cosA，由正弦定理，得eq\f(sinC,sinB)<cosA，即sinC<sinBcosA，所以sin(A＋B)<sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形．(2)∵cos2eq\f(B,2)＝eq\f(1＋cosB,2)，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，∴(1＋cosB)·c＝a＋c，∴a＝cosB·c＝eq\f(a2＋c2－b2,2a)，∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC為直角三角形．命題點(diǎn)2求解幾何計(jì)算問題例4(2015·課標(biāo)全國Ⅱ)如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．(1)求eq\f(sinB,sinC)；(2)若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的長．解(1)S△ABD＝eq\f(1,2)AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠CAD.因?yàn)镾△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).(2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝eq\r(2).在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.思維升華(1)判斷三角形形狀的方法①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．②化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．(2)求解幾何計(jì)算問題要注意①根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標(biāo)示；②選擇在某個(gè)三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理．(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為________三角形．(2)如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，則BD的長為______．答案(1)等腰或直角(2)eq\r(3)解析(1)∵c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA∴cosA(sinB－sinA)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴A＝eq\f(π,2)或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC為等腰或直角三角形．(2)sin∠BAC＝sin(eq\f(π,2)＋∠BAD)＝cos∠BAD，∴cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3).BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝(3eq\r(2))2＋32－2×3eq\r(2)×3×eq\f(2\r(2),3)，即BD2＝3，BD＝eq\r(3).二審結(jié)論會(huì)轉(zhuǎn)換典例(14分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a－c＝eq\f(\r(6),6)b，sinB＝eq\r(6)sinC.(1)求cosA的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))的值．(1)eq\x(求cosA)eq\o(→,\s\up7(根據(jù)余弦定理),\s\do5())求三邊a，b，c長或長度問題eq\o(→,\s\up15(),\s\do5())利用正弦定理將化為(2)eq\x(求cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6))))→eq\x(求cos2A，sin2A)→eq\x(求sinA，cosA)eq\o(→,\s\up7(第1問已求),\s\do5(出cosA))eq\x(根據(jù)同角關(guān)系求sinA)規(guī)范解答解(1)△ABC中，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，及sinB＝eq\r(6)sinC，可得b＝eq\r(6)c，[2分]又由a－c＝eq\f(\r(6),6)b，有a＝2c，[4分]所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6c2＋c2－4c2,2\r(6)c2)＝eq\f(\r(6),4).[7分](2)在△ABC中，由cosA＝eq\f(\r(6),4)，可得sinA＝eq\f(\r(10),4).[9分]于是，cos2A＝2cos2A－1＝－eq\f(1,4)，[10分]sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(\r(15),4).[11分]所以，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝cos2Acoseq\f(π,6)＋sin2Asineq\f(π,6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(15),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(15)－\r(3),8).[14分]溫馨提醒(1)本題將正弦定理、余弦定理和和差公式綜合進(jìn)行考查，具有一定的綜合性，要求考生對(duì)公式要熟練記憶；通過審題理清解題方向；(2)本題還考查考生的基本運(yùn)算求解能力，要求計(jì)算準(zhǔn)確無誤，盡量簡(jiǎn)化計(jì)算過程，減少錯(cuò)誤．[方法與技巧]1．應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：A＋B＋C＝π，eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)＋eq\f(C,2)＝eq\f(π,2)中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)．2．解題中要靈活使用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊、角的互化，一般要只含角或只含邊．[失誤與防范]1．在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類討論．2．在解三角形或判斷三角形形狀時(shí)，要注意三角函數(shù)值的符號(hào)和角的范圍，防止出現(xiàn)增解、漏解．A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，若S＋a2＝(b＋c)2，則cosA＝________.答案－eq\f(15,17)解析由S＋a2＝(b＋c)2得S＝b2＋c2－a2＋2bc.結(jié)合三角形面積公式及余弦定理可得eq\f(1,2)bcsinA＝2bccosA＋2bc，即sinA＝4cosA＋4.又sinA＝eq\r(1－cos2A)，所以eq\r(1－cos2A)＝4cosA＋4，解得cosA＝－eq\f(15,17)或cosA＝－1(舍去)．2．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，則角C等于________．答案eq\f(2π,3)解析因?yàn)?sinA＝5sinB，所以由正弦定理可得3a＝5b.因?yàn)閎＋c＝2a，所以c＝2a－eq\f(3,5)a＝eq\f(7,5)a.令a＝5，b＝3，c＝7，則由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝25＋9－2×3×5cosC，解得cosC＝－eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(2π,3).3．若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，則△ABC為________三角形．答案鈍角解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC外接圓半徑)及已知條件sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，可設(shè)a＝5x，b＝11x，c＝13x(x＞0)．則cosC＝eq\f(5x2＋11x2－13x2,2·5x·11x)＝eq\f(－23x2,110x2)＜0，∴C為鈍角．∴△ABC為鈍角三角形．4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，則△ABC的面積是________．答案eq\f(3\r(3),2)解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝eq\f(π,3)，∴c2＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).5．(2015·鎮(zhèn)江模擬)在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sinA＝eq\f(2\r(2),3)，a＝2，S△ABC＝eq\r(2)，則b的值為________．答案eq\r(3)解析由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc×eq\f(2\r(2),3)＝eq\r(2)，解得bc＝3.因?yàn)锳為銳角，sinA＝eq\f(2\r(2),3)，所以cosA＝eq\f(1,3)，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，代入數(shù)據(jù)解得b2＋c2＝6，則(b＋c)2＝12，b＋c＝2eq\r(3)，所以b＝c＝eq\r(3).6．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則角B的值為________．答案eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析由余弦定理，得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝cosB，結(jié)合已知等式得cosB·tanB＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).7．(2015·天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，則a的值為________．答案8解析∵cosA＝－eq\f(1,4)，0＜A＜π，∴sinA＝eq\f(\r(15),4)，S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc×eq\f(\r(15),4)＝3eq\r(15)，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝64，∴a＝8.8．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則△ABC面積的最大值為________．答案eq\r(3)解析由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c.∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).∴sinA＝eq\f(\r(3),2).由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4.∴S△ABC＝eq\f(1,2)bc·sinA≤eq\r(3)，即(S△ABC)max＝eq\r(3).9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面積．解(1)由題意得eq\f(1＋cos2A,2)－eq\f(1＋cos2B,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(\r(3),2)sin2B，即eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(1,2)cos2A＝eq\f(\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6))).由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，所以2A－eq\f(π,6)＋2B－eq\f(π,6)＝π，即A＋B＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由c＝eq\r(3)，sinA＝eq\f(4,5)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得a＝eq\f(8,5)，由a＜c，得A＜C，從而cosA＝eq\f(3,5)，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(4＋3\r(3),10)，所以，△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(8\r(3)＋18,25).10.如圖，在△ABC中，B＝eq\f(π,3)，AB＝8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的長．解(1)在△ADC中，因?yàn)閏os∠ADC＝eq\f(1,7)，所以sin∠ADC＝eq\f(4\r(3),7).所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).(2)∵∠ADB＋∠ADC＝π，∴sin∠ADB＝sin∠ADC＝eq\f(4\r(3),7)，在△ABD中，由正弦定理得BD＝eq\f(AB·sin∠BAD,sin∠ADB)＝eq\f(8×\f(3\r(3),14),\f(4\r(3),7))＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋(2＋3)2－2×8×5×eq\f(1,2)＝49.所以AC＝7.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：20分鐘)11．在△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高等于________．答案eq\f(3\r(3),2)解析設(shè)AB＝c，則由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB知7＝c2＋4－2c，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(負(fù)值舍去)．∴BC邊上的高為AB·sinB＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).12．在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，則a＝______.答案2eq\r(10)解析由tanA＝2得sinA＝2cosA.又sin2A＋cos2A＝1得sinA＝eq\f(2\r(5),5).∵b＝5，B＝eq\f(π,4)，根據(jù)正弦定理，有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(2\r(5),\f(\r(2),2))＝2eq\r(10).13．(2015·重慶)在△AB