《5.6函數y=Asin（ωx+φ）的圖像》教學設計、導學案、同步練習

第五章三角函數《5.6函數y=Asin（ωx+φ）的圖像》教學設計【教材分析】本節(jié)課選自《普通高中課程標準實驗教科書數學必修1》5.6.2節(jié)函數y=Asin(ωx+φ)的圖象通過圖象變換,揭示參數φ、ω、A變化時對函數圖象的形狀和位置的影響。通過引導學生對函數y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律的探索,讓學生體會到由簡單到復雜、由特殊到一般的化歸思想；并通過對周期變換、相位變換先后順序調整后,將影響圖象變換這一難點的突破,讓學生學會抓住問題的主要矛盾來解決問題的基本思想方法;通過對參數φ、ω、A的分類討論,讓學生深刻認識圖象變換與函數解析式變換的內在聯(lián)系。通過圖象變換和“五點”作圖法,正確找出函數y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,這也是本節(jié)課的重點所在。提高學生的推理能力。讓學生感受數形結合及轉化的思想方法。發(fā)展學生數學直觀、數學抽象、邏輯推理、數學建模的核心素養(yǎng)?！窘虒W目標與核心素養(yǎng)】課程目標學科素養(yǎng)1.借助計算機畫出函數y＝Asin(ωx+φ)的圖象，觀察參數Φ，ω，A對函數圖象變化的影響；2.引導學生認識y＝Asin(ωx+φ)的圖象的五個關鍵點，學會用“五點法”畫函數y＝Asin(ωx+φ)的簡圖；用準確的數學語言描述不同的變換過程.3.體會數形結合以及從特殊到一般的化歸思想;培養(yǎng)學生從不同角度分析問題，解決問題的能力.a.數學抽象：三個參數對函數圖像變化的影響；b.邏輯推理：由特殊到一般的歸納推理；c.數學運算：運用規(guī)律解決問題；d.直觀想象：由函數圖像歸納規(guī)律；e.數學建模：運用規(guī)律解決問題；【教學重難點】教學重點：重點：將考察參數Α、ω、φ對函數y=Asin(ωx+φ)圖象的影響的問題進行分解，找出函數y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律.學習如何將一個復雜問題分解為若干簡單問題的方法.；會用五點作圖法正確畫函數y＝Asin(ωx+φ)的簡圖.教學難點：學生對周期變換、相位變換順序不同，圖象平移量也不同的理解．【教學過程】教學過程設計意圖（一）創(chuàng)設問題情境提出問題上面我們利用三角函數的知識建立了一個形如y=Asin（ωx+φ）其中（A＞０，ω＞０）的函數．顯然，這個函數由參數A，ω，φ所確定．因此，只要了解這些參數的意義，知道它們的變化對函數圖象的影響，就能把握這個函數的性質．從解析式看，函數y=cosx就是函數y＝Asin(ωx＋φ)，在A＝１，ω＝１，φ＝０時的特殊情形．(1)能否借助我們熟悉的函數y=sinx的圖象與性質研究參數A，ω，φ對函數y＝Asin(ωx＋φ)的影響？(2)函數y＝Asin(ωx＋φ)含有三個參數，你認為應按怎樣的思路進行研究.1.探索φ對y＝sin(x＋φ)圖象的影響為了更加直觀地觀察參數φ對函數圖象的影響，下面借助信息技術做一個數學實驗．如圖5.6.4，取A＝１，ω＝１，動點M在單位圓O1上以單位角速度按逆時針方向運動．圖5.6.4如果動點M以O0為起點（此時φ＝０），經過xｓ后運動到點P，那么點P的縱坐標y就等于sinx．以（x，y）為坐標描點，可得正弦函數y=sin在單位圓上拖動起點Q0，使點Q0繞點Q1旋轉π6到Q1，你發(fā)現圖象有什么變化？如果使點Q0繞點Q1旋轉-π當起點位于Q1時，φ=π6，可得函數y＝sin(x＋π6)的圖象．進一步，在單位圓上，設兩個動點分別以Q0，Q1為起點同時開始運動．如果以Q0為起點的動點到達圓周上點P的時間為xｓ，那么以Q1為起點的動點相繼到達點P的時間是(x-π6)ｓ．這個規(guī)律反映在圖象上就是：如果F（x，y）是函數y＝sinx圖象上的一點，那么G(x-π6,y)就是函數y＝sin(x＋π6)圖象上的點，如圖5.6-4所示．這說明，把正弦曲線y＝sin分別說一說旋轉-π6,π3,-一般地，當動點M的起點位置Q所對應的角為φ時，對應的函數是y＝sin(x＋φ)(φ≠0)，把正弦曲線上的所有點向左（當φ＞０時）或向右（當φ＜０時）平移φ個單位長度，就得到函數y＝sin(x＋φ)的圖象．2.探索ω（ω＞０）對y=sin（ωx+φ）圖象的影響下面，仍然通過數學實驗來探索．如圖5.6.5，取圓的半徑A=1．為了研究方便，不妨令φ＝π6．當ω＝１時得到y(tǒng)＝sin(x＋π6取ω＝２，圖象有什么變化？取ω＝12呢？取ω＝３，ω＝1取ω＝２時，得到函數y＝sin(2x＋π6)的圖象．進一步，在單位圓上，設以Q1為起點的動點，當ω＝１時到達點P的時間為x1ｓ，當ω＝２時到達點P的時間為x2ｓ．因為ω＝２時動點的轉速是ω＝１時的２倍，所以x2＝12x1．這樣，設G（x，y）是函數y＝sin(x＋π6)圖象上的一點，那么K（12x，y）就是函數y＝sin(2x＋π6)圖象上的相應點，如圖5.6-5示．這說明，把y＝sin(x＋π6)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的12倍（縱坐標不變），就得到y(tǒng)＝sin(2x＋π6)的圖象．y＝sin(2x同理，當ω＝12時，動點的轉速是ω＝１時的12倍，以Q1為起點，到達點P的時間是ω＝１時的２倍．這樣，把y＝sin(x＋π6)圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的２倍（縱坐標不變），就得到y(tǒng)＝sin(12x＋π6)的圖象．y＝sin(12x＋π6)一般地，函數的周期是2πω，把y＝sin(x＋φ)圖象上所有點的橫坐標縮短（當ω＞１時）或伸長（當０＜ω＜１時）到原來的13.探索A（A＞０）對y=sin（ωx+φ）圖象的影響下面通過數學實驗探索A對函數圖象的影響．為了研究方便，不妨令ω=2,φ=π6．當A＝１時，如圖5.6.6，可得y=sin（2x+改變A的取值，使A?。?，12，３,1當A＝２時，得到函數y=2sin（2x+π6進一步，設射線O1Q1與以O1為圓心、２為半徑的圓交于T1．如果單位圓上以O1為起點的動點，以ω＝２的轉速經過xｓ到達圓周上點P，那么點P的縱坐標是2sin（2x+π6）；相應地，點T1在以O1為圓心、２為半徑的圓上運動到點T，點T的縱坐標是2sin（2x+π6）．這樣，設K（x，y）是函數y=sin（2x+π6）圖象上的一點，那么點N（x，2y）就是函數圖象y=2sin（2x+π6）上的相應點，如圖5.6.6所示．這說明，把y=sin（2x+一般地，函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，可以看作是把y＝Asin(ωx＋φ)圖象上所有點的縱坐標伸長（當A＞１時）或縮短（當０＜A＜１時）到原來的A倍（橫坐標不變）而得到．從而，函數y＝Asin(ωx＋φ)的值域是［－A，A］，最大值是A，最小值是－A你能總結一下從正弦函數圖象出發(fā)，通過圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）圖象的過程與方法嗎?一般地，函數y＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）的圖象，可以用下面的方法得到：先畫出函數y＝sinx的圖象；再把正弦曲線向左（或右）平移φ個單位長度，得到函數y＝sin(x＋φ)的圖象；然后把曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω倍（縱坐標不變），得到函數y＝sin(ωx＋φ)的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍（橫坐標不變），這時的曲線就是函數y＝Asin(ωx＋φ)規(guī)律總結:先平移后伸縮的步驟程序如下:y=sinx的圖象得y=sin(x+φ)的圖象得y=sin(ωx+φ)的圖象得y=Asin(ωx+φ)的圖象.先伸縮后平移(提醒學生盡量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx的圖象得y=Asinx的圖象得y=Asin(ωx)的圖象得y=Asin(ωx+φ)的圖象.典例解析例１畫出函數y=12sin（3x-π解：先畫出函數y=sinx的圖象；再把正弦曲線向右平移π6個單位長度，得到函數的圖象；然后使曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?3倍，得到函數的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼模脖?，這時的曲線就是函數y=12sin（3x下面用“五點法”畫函數y=12sin（3x-π6）在一個周期（T=2π3）內的圖象．令X＝3x-π6，則x＝例2摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．如圖5.6.9，某摩天輪最高點距離地面高度為120ｍ，轉盤直徑為110ｍ，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30in．（１）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為Hｍ，求在轉動一周的過程中，H關于t的函數解析式；（２）求游客甲在開始轉動５min后距離地面的高度；（３）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：ｍ）關于t的函數解析式，并求高度差的最大值（精確到０．１）分析：摩天輪上的座艙運動可以近似地看作是質點在圓周上做勻速旋轉．在旋轉過程中，游客距離地面的高度犎呈現周而復始的變化，因此可以考慮用三角函數來刻畫．解：如圖5.6.10，設座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系．（１）設t=0min時，游客甲位于點P（0，-55），以OP為終邊的角為-π2；根據摩天輪轉一周大約需要30min，可知座艙轉動的角速度約為π15πrad／min，由題意可得H=55sin（π15t-π（２）當t＝５時，H=55sin（π15×5-所以，游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度約為37.5ｍ．（３）如圖5.6.10,甲、乙兩人的位置分別用點A,B表示，則∠AOB＝2π48＝π24．經過tmin后甲距離地面的高度為H1=55sin（π15t-π2）+65，點B相對于點A始終落后π24rad，此時乙距離地面的高度為H2=55sin（π15t-13π24h=110sinπ48sin（π15t-π48)即t≈7.8（或22.8）時，h的最大值為110sinπ所以，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.2ｍ．通過開門見山，提出問題，利用圖像變換觀察參數對函數圖像的影響問題，培養(yǎng)和發(fā)展數學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。通過對典型問題的分析解決，發(fā)展學生數學建模、邏輯推理，直觀想象、數學抽象、數學運算等核心素養(yǎng)；三、當堂達標1．函數y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))的振幅和周期分別為()A．3,4B．3，eq\f(π,2)C.eq\f(π,2)，4D.eq\f(π,2)，3【解析】由于函數y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))，∴振幅是3，周期T＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4.【答案】A2．將函數y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得圖象向左平移eq\f(π,3)個單位，則所得函數圖象對應的解析式為()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．y＝sineq\f(1,2)xD．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))【解析】函數y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的圖象，再將此圖象向左平移eq\f(π,3)個單位，得y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的圖象，選D.【答案】D3．已知函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是eq\f(2π,7)，初相是eq\f(π,6)，則這個函數的表達式是()A．y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x－\f(π,6)))B．y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(π,6)))C．y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(π,42)))D．y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x－\f(π,42)))【解析】由已知得A＝3，T＝eq\f(2π,7)，φ＝eq\f(π,6)，ω＝eq\f(2π,T)＝7，所以y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(π,6))).【答案】B4．函數y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))圖象的一條對稱軸是____．(填序號)①x＝－eq\f(π,2)；②x＝0；③x＝eq\f(π,6)；④x＝－eq\f(π,6).【解析】由正弦函數對稱軸可知．x＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，x＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，k＝0時，x＝eq\f(π,6).【答案】③5．已知函數f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，x∈R.(1)寫出函數f(x)的對稱軸方程、對稱中心的坐標及單調區(qū)間；(2)求函數f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值.【解】(1)由2x－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得f(x)的對稱軸方程是x＝eq\f(π,3)＋eq\f(k,2)π，k∈Z；由2x－eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z解得對稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(k,2)π，0))，k∈Z；由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z解得單調遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))，k∈Z；由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，解得單調遞減區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋kπ，\f(5π,6)＋kπ))，k∈Z.(2)∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5,6)π，∴當2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝0時，f(x)取最小值為－1；當2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)時，f(x)取最大值為2.通過練習鞏固本節(jié)所學知識，鞏固對三角函數圖像變換規(guī)律的理解，增強學生的直觀想象、數學抽象、數學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)。四、小結1.由學生自己回顧總結本節(jié)課探究的知識與方法,以及對三角函數圖象及三角函數解析式的新的認識,使本節(jié)的總結成為學生凝練提高的平臺.2.教師強調本節(jié)課借助于計算機討論并畫出y=Asin(ωx+π3))的圖象,并分別觀察參數φ、ω、A對函數圖象變化的影響,同時通過具體函數的圖象的變化,領會由簡單到復雜、特殊到一般的化歸思想.五、作業(yè)1.課時練2.預習下節(jié)課內容學生根據課堂學習，自主總結知識要點，及運用的思想方法。注意總結自己在學習中的易錯點；《5.6函數y=Asin（ωx+φ）的圖像》導學案【學習目標】1．理解參數A，ω，φ對函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響；能夠將y＝sinx的圖象進行交換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的圖象．2．會用“五點法”畫函數y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖；能根據y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象，確定其解析式．3．求函數解析式時φ值的確定．【重點難點】重點：將考察參數Α、ω、φ對函數y=Asin(ωx+φ)圖象的影響的問題進行分解，找出函數y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律.學習如何將一個復雜問題分解為若干簡單問題的方法.；會用五點作圖法正確畫函數y＝Asin(ωx+φ)的簡圖.難點：學生對周期變換、相位變換順序不同，圖象平移量也不同的理解．【知識梳理】1.函數，（其中）的圖象，可以看作是正弦曲線上所有的點_________（當>0時）或______________（當<0時）平行移動個單位長度而得到.2.函數（其中>0且）的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有點的橫坐標______________（當>1時）或______________（當0<<1時）到原來的倍（縱坐標不變）而得到.3.函數>0且A1)的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有點的縱坐標___________（當A>1時）或__________（當0<A<1）到原來的A倍（橫坐標不變）而得到的，函數y=Asinx的值域為______________.最大值為______________，最小值為______________.4.函數其中的（A>0,>0）的圖象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲線上所有的點___________（當>0時）或___________（當<0時）平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標____________（當>1時）或____________（當0<<1）到原來的倍（縱坐標不變），再把所得各點的縱橫坐標____________（當A>1時）或_________（當0<A<1時到原來的A倍（橫坐標不變）而得到.【學習過程】提出問題上面我們利用三角函數的知識建立了一個形如y=Asin（ωx+φ）其中（A＞０，ω＞０）的函數．顯然，這個函數由參數A，ω，φ所確定．因此，只要了解這些參數的意義，知道它們的變化對函數圖象的影響，就能把握這個函數的性質．從解析式看，函數y=cosx就是函數y＝Asin(ωx＋φ)在A＝１，ω＝１，φ＝０時的特殊情形．(1)能否借助我們熟悉的函數y=sinx的圖象與性質研究參數A，ω，φ對函數y＝Asin(ωx＋φ)的影響？(2)函數y＝Asin(ωx＋φ)含有三個參數，你認為應按怎樣的思路進行研究.1.探索φ對y＝sin(x＋φ)圖象的影響為了更加直觀地觀察參數φ對函數圖象的影響，下面借助信息技術做一個數學實驗．如圖5.6.4，取A＝１，ω＝１，動點M在單位圓O1上以單位角速度按逆時針方向運動．圖5.6.4如果動點M以O0為起點（此時φ＝０），經過xｓ后運動到點P，那么點P的縱坐標y就等于sinx．以（x，y）為坐標描點，可得正弦函數y=sin在單位圓上拖動起點Q0，使點Q0繞點Q1旋轉π6到Q1，你發(fā)現圖象有什么變化？如果使點Q0繞點Q1旋轉-π當起點位于Q1時，φ=π6，可得函數y＝sin(x＋π6)的圖象．進一步，在單位圓上，設兩個動點分別以Q0，Q1為起點同時開始運動．如果以Q0為起點的動點到達圓周上點P的時間為xｓ，那么以Q1為起點的動點相繼到達點P的時間是(x-π6)ｓ．這個規(guī)律反映在圖象上就是：如果F（x，y）是函數y＝sinx圖象上的一點，那么G(x-π6,y)就是函數y＝sin(x＋π6)圖象上的點，如圖5.6-4所示．這說明，把正弦曲線y＝sinx分別說一說旋轉-π6,π3,-一般地，當動點M的起點位置Q所對應的角為φ時，對應的函數是y＝sin(x＋φ)(φ≠0)，把正弦曲線上的所有點向左（當φ＞０時）或向右（當φ＜０時）平移φ個單位長度，就得到函數y＝sin(x＋φ)的圖象．2.探索ω（ω＞０）對y=sin（ωx+φ）圖象的影響下面，仍然通過數學實驗來探索．如圖5.6.5，取圓的半徑A=1．為了研究方便，不妨令φ＝π6．當ω＝１時得到y(tǒng)＝sin(x＋π6取ω＝２，圖象有什么變化？取ω＝12呢？取ω＝３，ω＝13，圖象又有什么變化？當ω取ω＝２時，得到函數y＝sin(2x＋π6)的圖象．進一步，在單位圓上，設以Q1為起點的動點，當ω＝１時到達點P的時間為x1ｓ，當ω＝２時到達點P的時間為x2ｓ．因為ω＝２時動點的轉速是ω＝１時的２倍，所以x2＝12x1．這樣，設G（x，y）是函數y＝sin(x＋π6)圖象上的一點，那么K（12x，y）就是函數y＝sin(2x＋π6)圖象上的相應點，如圖5.6-5示．這說明，把y＝sin(x＋π6)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的12倍（縱坐標不變），就得到y(tǒng)＝sin(2x＋π6)的圖象．y＝sin(2x＋同理，當ω＝12時，動點的轉速是ω＝１時的12倍，以Q1為起點，到達點P的時間是ω＝１時的２倍．這樣，把y＝sin(x＋π6)圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的２倍（縱坐標不變），就得到y(tǒng)＝sin(12x＋π6)的圖象．y＝sin(12x＋π6)的周期為４π，是一般地，函數的周期是2πω，把y＝sin(x＋φ)圖象上所有點的橫坐標縮短（當ω＞１時）或伸長（當０＜ω＜１時）到原來的13.探索A（A＞０）對y=sin（ωx+φ）圖象的影響下面通過數學實驗探索A對函數圖象的影響．為了研究方便，不妨令ω=2,φ=π6．當A＝１時，如圖5.6.6，可得y=sin（2x+改變A的取值，使A取２，12，３,1當A取任意正數呢?當A＝２時，得到函數y=2sin（2x+π6進一步，設射線O1Q1與以O1為圓心、２為半徑的圓交于T1．如果單位圓上以O1為起點的動點，以ω＝２的轉速經過xｓ到達圓周上點P，那么點P的縱坐標是2sin（2x+π6）；相應地，點T1在以O1為圓心、２為半徑的圓上運動到點T，點T的縱坐標是2sin（2x+π6）．這樣，設K（x，y）是函數y=sin（2x+π6）圖象上的一點，那么點N（x，2y）就是函數圖象y=2sin（2x+π6）上的相應點，如圖5.6.6所示．這說明，把y=sin（2x+π6）圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的２倍（橫坐標不變），就得到y(tǒng)=2sin（2x+π6）的圖象．同理，把一般地，函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，可以看作是把y＝Asin(ωx＋φ)圖象上所有點的縱坐標伸長（當A＞１時）或縮短（當０＜A＜１時）到原來的A倍（橫坐標不變）而得到．從而，函數y＝Asin(ωx＋φ)的值域是［－A，A］，最大值是A，最小值是－A你能總結一下從正弦函數圖象出發(fā)，通過圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）圖象的過程與方法嗎?一般地，函數y＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）的圖象，可以用下面的方法得到：先畫出函數y＝sinx的圖象；再把正弦曲線向左（或右）平移φ個單位長度，得到函數y＝sin(x＋φ)的圖象；然后把曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω倍（縱坐標不變），得到函數y＝sin(ωx＋φ)的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍（橫坐標不變），這時的曲線就是函數y＝Asin(ωx＋φ)典例解析例１畫出函數y=12sin（3x-π例2摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．如圖5.6.9，某摩天輪最高點距離地面高度為120ｍ，轉盤直徑為110ｍ，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30min．（１）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為Hｍ，求在轉動一周的過程中，H關于t的函數解析式；（２）求游客甲在開始轉動５min后距離地面的高度；（３）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：ｍ）關于t的函數解析式，并求高度差的最大值（精確到０．１）【達標檢測】1．函數y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))的振幅和周期分別為()A．3,4B．3，eq\f(π,2)C.eq\f(π,2)，4D.eq\f(π,2)，32．將函數y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得圖象向左平移eq\f(π,3)個單位，則所得函數圖象對應的解析式為()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．y＝sineq\f(1,2)xD．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))3．已知函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是eq\f(2π,7)，初相是eq\f(π,6)，則這個函數的表達式是()A．y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x－\f(π,6)))B．y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(π,6)))C．y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(π,42)))D．y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x－\f(π,42)))4．函數y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))圖象的一條對稱軸是____．(填序號)①x＝－eq\f(π,2)；②x＝0；③x＝eq\f(π,6)；④x＝－eq\f(π,6).5．已知函數f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，x∈R.(1)寫出函數f(x)的對稱軸方程、對稱中心的坐標及單調區(qū)間；(2)求函數f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值.【課堂小結】1.由學生自己回顧總結本節(jié)課探究的知識與方法,以及對三角函數圖象及三角函數解析式的新的認識,使本節(jié)的總結成為學生凝練提高的平臺.2.教師強調本節(jié)課借助于計算機討論并畫出y=Asin(ωx+π3)的圖象,并分別觀察參數φ、ω、A對函數圖象變化的影響,同時通過具體函數的圖象的變化,領會由簡單到復雜、特殊到一般的化歸思想.參考答案：學習過程例１解：先畫出函數y=sinx的圖象；再把正弦曲線向右平移π6得到函數的圖象；然后使曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?3倍，得到函數的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼模脖?，這時的曲線就是函數y=12sin（3x-π6下面用“五點法”畫函數y=12sin（3x-π6）在一個周期（令X＝3x-π6，則x＝13（X+π6）列表（表5.6.1例2分析：摩天輪上的座艙運動可以近似地看作是質點在圓周上做勻速旋轉．在旋轉過程中，游客距離地面的高度犎呈現周而復始的變化，因此可以考慮用三角函數來刻畫．解：如圖5.6.10，設座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系．（１）設t=0min時，游客甲位于點P（0，-55），以OP為終邊的角為-π2；根據摩天輪轉一周大約需要30min，可知座艙轉動的角速度約為π15πrad由題意可得H=55sin（π15t-π2）+65（２）當t＝５時，H=55sin（π15×5-π所以，游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度約為37.5ｍ．（３）如圖5.6.10,甲、乙兩人的位置分別用點A,B表示，則∠AOB＝2π48＝π經過tmin后甲距離地面的高度為H1=55sin（π15t-π2點B相對于點A始終落后π24rad，此時乙距離地面的高度為H2=55sin（π15t-13π則甲、乙距離地面的高度差h=H1=55sin（利用sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2，可得當π15t-π48=π2（或3π2），即t≈7.8（或22.8所以，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.2ｍ．三、達標檢測1．【解析】由于函數y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))，∴振幅是3，周期T＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4.【答案】A2．【解析】函數y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的圖象，再將此圖象向左平移eq\f(π,3)個單位，得y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的圖象，選D.【答案】D3．【解析】由已知得A＝3，T＝eq\f(2π,7)，φ＝eq\f(π,6)，ω＝eq\f(2π,T)＝7，所以y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(π,6))).故選B.【答案】B4．【解析】由正弦函數對稱軸可知．x＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，x＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，k＝0時，x＝eq\f(π,6).【答案】③5．【解】(1)由2x－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得f(x)的對稱軸方程是x＝eq\f(π,3)＋eq\f(k,2)π，k∈Z；由2x－eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z解得對稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(k,2)π，0))，k∈Z；由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z解得單調遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))，k∈Z；由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，解得單調遞減區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋kπ，\f(5π,6)＋kπ))，k∈Z.(2)∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5,6)π，∴當2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝0時，f(x)取最小值為－1；當2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)時，f(x)取最大值為2.《5.6函數y=Asin(ωχ+φ)》同步練習一基礎鞏固1．已知函數，要得到的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度2．為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有點的（）A．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向左平移.B．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向左平移.C．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向左平移.D．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向右平移.3．將曲線y=cos3x上的每個點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),再將所得曲線向右平移個單位長度,得到的曲線對應的函數解析式為()A．y=cos(x-) B．y=sin6xC．y=cos(x+) D．y=-sin6x4．將函數的圖象向右平移個單位長度后所得的圖象關于軸對稱，則在上的最小值為（）A． B． C． D．05．將曲線上的每個點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到的曲線的對稱軸方程為（）A． B．C． D．6．函數的圖像向右平移個單位，所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，則可得到函數_______________的圖像.7．已知函數的圖象上每個點向左平移個單位長度得到函數的圖象，則的值為_______.8．已知，畫出在區(qū)間上的圖像.能力提升9．將函數的圖象向右平移個單位，平移后的圖象關于軸對稱，則周期的最大值為（）A． B． C． D．10．已知函數的最大值為，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為且的圖象關于點對稱，則下列判斷正確的是（）A．要得到函數的圖象，只需將的圖象向右平移個單位B．函數的圖象關于直線對稱C．當時，函數的最小值為D．函數在上單調遞增11．已知函數的部分圖像如圖所示，則點的坐標為______.12．已知函數的最小正周期為.（1）求的值；（2）將函數圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，求函數在區(qū)間上的最小值.素養(yǎng)達成13．若函數的圖象經過點，且相鄰的兩個零點差的絕對值為6．（1）求函數的解析式；（2）若將函數的圖象向右平移3個單位后得到函數的圖象，當時，求的值域．5.6函數y=Asin(ωχ+φ)答案解析基礎鞏固1．已知函數，要得到的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】D【解析】.將的圖象向左平移個單位長度可得到的圖象.故選：2．為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有點的（）A．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向左平移.B．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向左平移.C．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向左平移.D．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向右平移.【答案】B【解析】為了得到函數的圖象，先把函數圖像的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的倍到函數y＝3sin2x的圖象，再把所得圖象所有的點向左平移個單位長度得到y(tǒng)＝3sin（2x+）的圖象.故選：B．3．將曲線y=cos3x上的每個點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),再將所得曲線向右平移個單位長度,得到的曲線對應的函數解析式為()A．y=cos(x-) B．y=sin6xC．y=cos(x+) D．y=-sin6x【答案】A【解析】將曲線y=cos3x上的每個點的橫坐標伸長為原來的2倍后得到曲線y=cos,將其向右平移個單位長度后得到曲線y=cos[(x)]=cos(x).故選：A.4．將函數的圖象向右平移個單位長度后所得的圖象關于軸對稱，則在上的最小值為（）A． B． C． D．0【答案】A【解析】函數的圖象向右平移個單位長度后，對應的解析式為，因為其函數圖象關于軸對稱，所以有，因為，所以，所以，當時，，所以當時，取得最小值，故選A.5．將曲線上的每個點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到的曲線的對稱軸方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，將曲線上的每個點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到曲線的圖象，令，解得，所以對稱軸方程為．故選：D．6．函數的圖像向右平移個單位，所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，則可得到函數_______________的圖像.【答案】【解析】依題意函數向右平移個單位得到，所有點的橫坐標伸長到原來的倍得到.故填：.7．已知函數的圖象上每個點向左平移個單位長度得到函數的圖象，則的值為_______.【答案】【解析】把函數的圖象上每個點向左平移個單位長度，得到函數的圖象，，則，故答案為：．8．已知，畫出在區(qū)間上的圖像.【答案】答案見解析【解析】由題意,因為，所以.列表如下：01001描點、連線，得在區(qū)間上的圖像如圖所示.能力提升9．將函數的圖象向右平移個單位，平移后的圖象關于軸對稱，則周期的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數為，則，故，當時，正數取最小值.因此，函數周期的最大值為.故選：A.10．已知函數的最大值為，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為且的圖象關于點對稱，則下列判斷正確的是（）A．要得到函數的圖象，只需將的圖象向右平移個單位B．函數的圖象關于直線對稱C．當時，函數的最小值為D．函數在上單調遞增【答案】A【解析】由題意知函數中，，，，又的圖象關于點對稱，，解得，又因為，對于A，的圖象向右平移個單位，得的圖像，且，故A正確。對于B，時，，的圖像不關于對稱，故B錯誤。對于C，時，，，的最小值為，故C錯誤。對于D，時，，是單調遞減函數，故D錯誤。故選：A11．已知函數的部分圖像如圖所示，則點的坐標為______.【答案】；【解析】由題意，可得，即，所以，即，由函數經過點且為單調遞減區(qū)間的零點，所以，解得，又由，所以，所以點的坐標為.故答案為：.12．已知函數的最小正周期為.（1）求的值；（2）將函數圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，求函數在區(qū)間上的最小值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得.（2）由（1）得，所以.因為，所以，所以，即當時，.素養(yǎng)達成13．若函數的圖象經過點，且相鄰的兩個零點差的絕對值為6．（1）求函數的解析式；（2）若將函數的圖象向右平移3個單位后得到函數的圖象，當時，求的值域．【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵相鄰的兩個零點差的絕對值為6，記的周期為，則，又，∴.∴；∵的圖像經過點，∴，∴，∴函數的解析式為.（2）∵將函數的圖像向右平移3個單位后得到函數的圖像，由（1）得，，∴函數的解析式為；當時，，則.綜上，當時，的值域為.《5.6函數y=Asin（ωx+φ）的圖像》同步練習二一、選擇題1．要得到函數的圖像，只需將函數的圖像()A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位2．把函數f(x)＝sin2x＋1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數g(x)的圖象，則g(x)的最小正周期為()A．2π B．π C． D．3．設g(x)的圖象是由函數f(x)＝cos2x的圖象向左平移個單位得到的，則g()等于()A．1 B． C．0 D．－14．要得到函數y＝sinx的圖象，只需將函數y＝cos（2x）的圖象上所有的點()A．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位長度B．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平移個單位長度C．橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)，再向右平移個單位長度D．橫坐標伸長到原來的(縱坐標不變)，再向左平移個單位長度5．把函數的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是（）A． B． C． D．6．已知函數的最小正周期為，為了得到函數.的圖象，只要將的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度二、填空題7．為得到函數的圖象，只需將函數的圖象橫坐標________到原來的_________倍，再將縱坐標伸長到原來的2倍；8．若將函數y=cos2x的圖象向左平移個單位長度,則平移后的函數對稱軸為_____.9.正弦函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的定義域為R，周期為，初相為，值域為[－1,3]，則f(x)＝________.10．關于函數，有下列命題：①其最小正周期是；②其圖象可由的圖象向左平移個單位得到；③其表達式可改寫；④在上為增函數．其中正確的命題的序是：______．三、解答題11．函數（、、常數，，，）的部分圖象如圖所示.（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）將函數的圖象向左平移單位長度，再向上平移個單位長度得到函數的圖象，求函數的單調遞減區(qū)間.12．已知（1）求函數的對稱軸和對稱中心（2）用五點作圖