2018高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科真題

./1.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>eq\f<1＋2i,1－2i>＝<>A.－eq\f<4,5>－eq\f<3,5>i B.－eq\f<4,5>＋eq\f<3,5>iC.－eq\f<3,5>－eq\f<4,5>i D.－eq\f<3,5>＋eq\f<4,5>iD[解析]eq\f<1＋2i,1－2i>＝eq\f<<1＋2i><1＋2i>,<1－2i><1＋2i>>＝－eq\f<3,5>＋eq\f<4,5>i.2.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>已知集合A＝{<x,y>|x2＋y2≤3,x∈Z,y∈Z},則A中元素的個(gè)數(shù)為<>A.9 B.8 C.5 D.4A[解析]當(dāng)x＝－1時(shí),y2≤2,得y＝－1,0,1；當(dāng)x＝0時(shí),y2≤3,得y＝－1,0,1；當(dāng)x＝1時(shí),y2≤2,得y＝－1,0,1.所以集合A中元素有9個(gè).3.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>函數(shù)f<x>＝eq\f<ex－e－x,x2>的圖象大致為<>ABCDB[解析]f<－x>＝eq\f<e－x－ex,<－x>2>＝－eq\f<ex－e－x,x2>＝－f<x>,則f<x>為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,排除A；當(dāng)x＝1時(shí),f<1>＝e－eq\f<1,e>＞0,排除D；當(dāng)x→＋∞時(shí),f<x>→＋∞,排除C.故選B.4.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>已知向量a,b滿足|a|＝1,a·b＝－1,則a·<2a－b>＝<>A.4 B.3 C.2 D.0B[解析]由題意,a·<2a－b>＝2a2－a·b＝2＋1＝3.5.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>雙曲線eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的離心率為eq\r<3>,則其漸近線方程為<>A.y＝±eq\r<2>x B.y＝±eq\r<3>x C.y＝±eq\f<eq\r<2>,2>x D.y＝±eq\f<eq\r<3>,2>xA[解析]依題意,e＝eq\f<c,a>＝eq\r<3>,則eq\f<b,a>＝eq\r<eq\f<b2,a2>>＝eq\r<eq\f<c2－a2,a2>>＝eq\r<eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<eq\f<c,a>>>2－1>＝eq\r<2>,所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f<b,a>x＝±eq\r<2>x.故選A.6.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>在△ABC中,coseq\f<c,2>＝eq\f<eq\r<5>,5>,BC＝1,AC＝5,則AB＝<>A.4eq\r<2> B.eq\r<30> C.eq\r<29> D.2eq\r<5>A[解析]cosC＝2×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<eq\f<eq\r<5>,5>>>2－1＝－eq\f<3,5>,由余弦定理,得AB＝eq\r<BC2＋AC2－2BC·AC·cosC>＝eq\r<1＋25＋2×1×5×eq\f<3,5>>＝4eq\r<2>.7.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>為計(jì)算S＝1－eq\f<1,2>＋eq\f<1,3>－eq\f<1,4>＋…＋eq\f<1,99>－eq\f<1,100>,設(shè)計(jì)了如圖的程序框圖,則在空白框中應(yīng)填入<>A.i＝i＋1? B.i＝i＋2? C.i＝i＋3? D.i＝i＋4?B[解析]模擬程序框圖的運(yùn)行過程知該程序運(yùn)行后輸出的是S＝N－T＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1－eq\f<1,2>>>＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<eq\f<1,3>－eq\f<1,4>>>＋…＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<eq\f<1,99>－eq\f<1,100>>>,則在空白處應(yīng)填入"i＝i＋2?".8.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是"每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和",如30＝7＋23.在不超過30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的概率是<>A.eq\f<1,12>B.eq\f<1,14>C.eq\f<1,15>D.eq\f<1,18>C[解析]在不超過30的素?cái)?shù)中有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個(gè),從中選2個(gè)不同的數(shù)有Ceq\o\al<2,10>＝45種,和等于30的有<7,23>,<11,19>,<13,17>共3種,則對應(yīng)的概率p＝eq\f<3,45>＝eq\f<1,15>.9.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB＝BC＝1,AA1＝eq\r<3>,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為<>A.eq\f<1,5>B.eq\f<eq\r<5>,6>C.eq\f<eq\r<5>,5>D.eq\f<eq\r<2>,2>C[解析]以D為原點(diǎn),DA為x軸DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.∵在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB＝BC＝1,AA1＝eq\r<3>,∴A<1,0,0>,D1<0,0,eq\r<3>>,D<0,0,0>,B1<1,1,eq\r<3>>,eq\o<AD1,\s\up6<→>>＝<－1,0,eq\r<3>>,eq\o<DB1,\s\up6<→>>＝<1,1,eq\r<3>>.設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為θ,則cosθ＝eq\f<eq\o<AD1,\s\up6<→>>·eq\o<DB1,\s\up6<→>>,|eq\o<AD1,\s\up6<→>>||eq\o<DB1,\s\up6<→>>|>＝eq\f<2,2eq\r<5>>＝eq\f<eq\r<5>,5>.故選C.10.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>若f<x>＝cosx－sinx在[0,a]是減函數(shù),則a的最大值是<>A.eq\f<π,4> B.eq\f<π,2> C.eq\f<3π,4> D.πC[解析]f<x>＝cosx－sinx＝－<sinx－cosx>＝－eq\r<2>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x－\f<π,4>>>.由－eq\f<π,2>＋2kπ≤x－eq\f<π,4>≤eq\f<π,2>＋2kπ<k∈Z>,得－eq\f<π,4>＋2kπ≤x≤eq\f<3π,4>＋2kπ<k∈Z>.取k＝0,得f<x>的一個(gè)減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<π,4>,\f<3π,4>>>.由f<x>在[0,a]是減函數(shù),得a≤[0,a]是減函數(shù),所以a的最大值是eq\f<3π,4>.11.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>已知f<x>是定義域?yàn)?lt;－∞,＋∞>的奇函數(shù),滿足f<1－x>＝f<1＋x>,若f<1>＝2,則f<1>＋f<2>＋f<3>＋…＋f<50>＝<>A.－50 B.0 C.2 D.50C[解析]∵f<x>是奇函數(shù),且f<1－x>＝f<1＋x>,∴f<1－x>＝f<1＋x>＝－f<x－1>,f<0>＝0,則f<x＋2>＝－f<x>,則f<x＋4>＝－f<x＋2>＝f<x>,即f<x>是周期為4的周期函數(shù).∵f<1>＝2,∴f<2>＝f<0>＝0,f<3>＝f<1－2>＝f<－1>＝－f<1>＝－2,f<4>＝f<0>＝0,則f<1>＋f<2>＋f<3>＋f<4>＝2＋0－2＋0＝0,∴則f<1>＋f<2>＋f<3>＋…＋f<50>＝12[f<1>＋f<2>＋f<3>＋f<4>]＋f<49>＋f<50>＝f<1>＋f<2>＝2＋0＝2.12.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>已知F1,F2是橢圓C:eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a＞b＞0>的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過A且斜率為eq\f<eq\r<3>,6>的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P＝120°,則C的離心率為<>A.eq\f<2,3>B.eq\f<1,2>C.eq\f<1,3>D.eq\f<1,4>D[解析]由題意知A<－a,0>,F1<－c,0>,F2<c,0>,直線AP的方程為y＝eq\f<eq\r<3>,6><x＋a>.由∠F1F2P＝120°,|PF2|＝|F1F2|＝2c,則P<2c,eq\r<3>c>,代入AP的方程,整理得a＝4c,∴C的離心率e＝eq\f<c,a>＝eq\f<1,4>.13.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>曲線y＝2lnx在點(diǎn)<1,0>處的切線方程為________.y＝2x－2[解析]∵y＝2lnx,∴y′＝eq\f<2,x>.當(dāng)x＝1時(shí),y′＝2,∴曲線y＝2lnx在點(diǎn)<1,0>處的切線方程為y－0＝2<x－1>,即y＝2x－2.14.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>若x,y滿足約束條件eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＋2y－5≥0,,x－2y＋3≥0,,x－5≤0,>>則z＝x＋y的最大值為________.9[解析]作出可行域如圖.z＝x＋y可化為y＝－x＋z.當(dāng)直線y＝－x＋z過A<5,4>時(shí),z取得最大值,最大值為z＝5＋4＝9.15.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>已知sinα＋cosβ＝1,cosα＋sinβ＝0,則sin<α＋β>＝________.－eq\f<1,2>[解析]由sinα＋cosβ＝1,兩邊平方,得sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1,①由cosα＋sinβ＝0,兩邊平方,得cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0,②①＋②,得2＋2<sinαcosβ＋cosαsinβ>＝1,即2＋2sin<α＋β>＝1,解得sin<α＋β>＝－eq\f<1,2>.16.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為eq\f<7,8>,SA與圓錐底面所成角為45°,若△SAB的面積為5eq\r<15>,則該圓錐的側(cè)面積為________.40eq\r<2>[解析]由題意可得sin∠AMB＝eq\r<1－eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<7,8>>>2>＝eq\f<eq\r<15>,8>.S△SAB＝eq\f<1,2>|SA|2sin∠AMB＝5eq\r<15>,即eq\f<1,2>|SA|2·eq\f<eq\r<15>,8>＝5eq\r<15>,解得SA＝4eq\r<5>.SA與圓錐底面所成角為45°,可得圓錐的底面半徑為eq\f<eq\r<2>,2>×4eq\r<5>＝2eq\r<10>,則該圓錐的側(cè)面積＝eq\f<1,2>×4eq\r<10>×4eq\r<5>π＝40eq\r<2>π.17.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1＝－7,S3＝－15.〔1求{an}的通項(xiàng)公式；〔2求Sn,并求Sn的最小值.[解析]〔1設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.S3＝3a1＋3d＝3×<－7>＋3d＝－15,解得d＝2.∴an＝a1＋<n－1>d＝－7＋2<n－1>＝2n－9.〔2Sn＝eq\f<n<a1＋an>,2>＝eq\f<n<－7＋2n－9>,2>＝n2－8n.∵Sn＝n2－8n＝<n－4>2－16,∴當(dāng)n＝4時(shí),Sn有最小值為－16.18.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>如圖是某地區(qū)20XX至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y<單位:億元>的折線圖.為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)20XX至2016年的數(shù)據(jù)<時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,17>建立模型①:eq\o<y,\s\up6<^>>＝－30.4＋13.5t；根據(jù)20XX至2016年的數(shù)據(jù)<時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,7>建立模型②:eq\o<y,\s\up6<^>>＝99＋17.5t.〔1分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；〔2你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由.[解析]〔1對于模型①,當(dāng)t＝19時(shí),eq\o<y,\s\up6<^>>＝－30.4＋13.5×19＝226.1,即該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值是226.1億元.對于模型②,當(dāng)t＝9時(shí),eq\o<y,\s\up6<^>>＝99＋17.5×9＝256.5,即該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值是256.5億元.〔2模型②得到的預(yù)測值更可靠.∵從總體數(shù)據(jù)看,該地區(qū)從20XX到2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額是逐年上升的,而從20XX到20XX間遞增的幅度較小些,從20XX到2016年間遞增的幅度較大些,∴利用模型②的預(yù)測值更可靠些.19.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>設(shè)拋物線C:y2＝4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k<k＞0>的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|＝8.〔1求l的方程；〔2求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.[解析]〔1拋物線C的焦點(diǎn)為F<1,0>.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),|AB|＝4,不合題意.設(shè)直線AB的方程為y＝k<x－1>,A<x1,y1>,B<x2,y2>.聯(lián)立eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<y＝k<x－1>,,y2＝4x,>>消去y,得k2x2－2<k2＋2>x＋k2＝0,∴x1＋x2＝eq\f<2<k2＋2>,k2>,x1x2＝1.由|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f<2<k2＋2>,k2>＋2＝8,解得k＝1.∴直線l的方程y＝x－1.〔2由〔1得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為D<3,2>,則直線AB的垂直平分線方程為y－2＝－<x－3>,即y＝－x＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為<x0,y0>,則eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<y0＝－x0＋5,,<x0＋1>2＝eq\f<<y0－x0＋1>2,2>＋16,>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x0＝3,,y0＝2>>或eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x0＝11,,y0＝－6.>>∴所求圓的方程為<x－3>2＋<y－2>2＝16或<x－11>2＋<y＋6>2＝144.20.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>如圖,在三棱錐P-ABC中,AB＝BC＝2eq\r<2>,PA＝PB＝PC＝AC＝4,O為AC的中點(diǎn).〔1求證:PO⊥平面ABC；〔2若點(diǎn)M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.[解析]〔1證明:∵AB＝BC＝2eq\r<2>,AC＝4,∴AB2＋BC2＝AC2,即△ABC是直角三角形.又O為AC的中點(diǎn),∴OA＝OB＝OC.∵PA＝PB＝PC,∴△POA≌△POB≌△POC.∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°.∴PO⊥AC,PO⊥OB,OB∩AC＝0,∴PO⊥平面ABC.〔2以O(shè)坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.易知A<0,－2,0>,P<0,0,2eq\r<3>>,C<0,2,0>,B<2,0,0>,eq\o<BC,\s\up6<→>>＝<－2,2,0>.設(shè)eq\o<BM,\s\up6<→>>＝λeq\o<BC,\s\up6<→>>＝<－2λ,2λ,0>,0＜λ＜1,則eq\o<AM,\s\up6<→>>＝eq\o<BM,\s\up6<→>>－eq\o<BA,\s\up6<→>>＝<－2λ,2λ,0>－<－2,－2,0>＝<2－2λ,2λ＋2,0>,則平面PAC的一個(gè)法向量為m＝<1,0,0>.設(shè)平面MPA的法向量為n＝<x,y,z>,則eq\o<PA,\s\up6<→>>＝<0,－2,2eq\r<3>>,則n·eq\o<PA,\s\up6<→>>＝－2y－2eq\r<3>z＝0,n·eq\o<AM,\s\up6<→>>＝<2－2λ>x＋<2λ＋2>y＝0.令z＝1,則y＝－eq\r<3>,x＝eq\f<<λ＋1>eq\r<3>,1－λ>,即n＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<eq\f<<λ＋1>eq\r<3>,1－λ>,－eq\r<3>,1>>.∵二面角M-PA-C為30°,∴cos30°＝eq\f<m·n,|m||n|>＝eq\f<eq\r<3>,2>,即eq\f<eq\f<<λ＋1>eq\r<3>,λ－1>,eq\r<eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<eq\f<<λ＋1>eq\r<3>,1－λ>>>2＋1＋3×1>>＝eq\f<eq\r<3>,2>,解得λ＝eq\f<1,3>或λ＝3<舍去>.∴n＝<2eq\r<3>,－eq\r<3>,1>,eq\o<PC,\s\up6<→>>＝<0,2,－2eq\r<3>>.PC與平面PAM所成角的正弦值sinθ＝|cos〈eq\o<PC,\s\up6<→>>,n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<eq\f<－2eq\r<3>－2eq\r<3>,eq\r<16>·eq\r<16>>>>＝eq\f<4eq\r<3>,16>＝eq\f<eq\r<3>,4>.21.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>已知函數(shù)f<x>＝ex－ax2.〔1若a＝1,求證:當(dāng)x≥0時(shí),f<x>≥1；〔2若f<x>在<0,＋∞>只有一個(gè)零點(diǎn),求a.[解析]〔1證明:當(dāng)a＝1時(shí),f<x>＝ex－x2,則f′<x>＝ex－2x.令g<x>＝ex－2x,則g′<x>＝ex－2.令g′<x>＝0,解得x＝ln2.當(dāng)x∈<0,ln2>時(shí),g′<x>＜0；當(dāng)x∈<ln2,＋∞>時(shí),g′<x>＞0.∴g<x>≥g<ln2>＝eln2－2·ln2＝2－2ln2＞0.∴f<x>在[0,＋∞>單調(diào)遞增,則f<x>≥f<0>＝1.〔2f<x>在<0,＋∞>只有一個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于方程ex－ax2＝0在<0,＋∞>只有一個(gè)根,即a＝eq\f<ex,x2>在<0,＋∞>只有一個(gè)根,轉(zhuǎn)化為y＝a與G<x>＝eq\f<ex,x2>的圖象在<0,＋∞>只有一個(gè)交點(diǎn).易得G′<x>＝eq\f<ex<x－2>,x3>.當(dāng)x∈<0,2>時(shí),G′<x>＜0；當(dāng)x∈<2,＋∞>時(shí),G′<x>＞0.∴G<x>在<0,2>單調(diào)遞減,在<2,＋∞>單調(diào)遞增.當(dāng)x→0時(shí),G<x>→＋∞；當(dāng)x→＋∞時(shí),G<x>→＋∞.∴f<x>在<0,＋∞>只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),a＝G<2>＝eq\f<e2,4>.22.<2018年新課標(biāo)Ⅱ理>在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1