數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座-高斯函數(shù)

./數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座：高斯函數(shù)知識(shí)、方法、技能函數(shù),稱為高斯函數(shù),又稱取整函數(shù).它是數(shù)學(xué)競(jìng)賽熱點(diǎn)之一.定義一：對(duì)任意實(shí)數(shù)是不超過(guò)的最大整數(shù),稱為的整數(shù)部分.與它相伴隨的是小數(shù)部分函數(shù)由、的定義不難得到如下性質(zhì)：〔1的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閆；的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椤?對(duì)任意實(shí)數(shù),都有.〔3對(duì)任意實(shí)數(shù),都有.〔4是不減函數(shù),即若則,其圖像如圖I－4－5－1；是以1為周期的周期函數(shù),如圖I－4－5－2.圖Ⅰ—4—5—1圖Ⅰ—4—5—2〔5.其中.〔6；特別地,〔7,其中；一般有；特別地,.〔8,其中.[證明]〔1—〔7略.〔8令,則,因此,.由于,,則由〔3知,于是,證畢.取整函數(shù)或高斯函數(shù)在初等數(shù)論中的應(yīng)用是基于下面兩個(gè)結(jié)論.定理一：,且1至x之間的整數(shù)中,有個(gè)是的倍數(shù).[證明]因,此式說(shuō)明：不大于x而是n的倍數(shù)的正整數(shù)只有這個(gè)：定理二：在！中,質(zhì)數(shù)的最高方次數(shù)是[證明]由于是質(zhì)數(shù),因此含的方次數(shù)一定是1,2,…,各數(shù)中所含的方次數(shù)的總和.由定理一知,1,2,…,n中有個(gè)的倍數(shù),有個(gè)2的倍數(shù),…,所以此定理說(shuō)明：,其中M不含的因數(shù).例如,由于+…=285+40+5=330,則2000！=7330·M,其中7M.定理三：〔厄米特恒等式[證法1]引入輔助函數(shù)因…對(duì)一切成立,所以是一個(gè)以為周期的周期函數(shù),而當(dāng)時(shí),直接計(jì)算知,故任意,厄米特恒等式成立.[證法2]等式等價(jià)于消去后得到與原等式一樣的等式,只不過(guò)是對(duì),則一定存在一個(gè)使得,即,故原式右端另一方面,由知,在這批不等式的右端總有一個(gè)等于1,設(shè).這時(shí),,而,因此原式的左端是個(gè)1之和,即左端故左=右.[評(píng)述]證法2的方法既適用于證明等式,也適用于證明不等式.,這個(gè)方法是：第一步"棄整",把對(duì)任意實(shí)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的問(wèn)題；第二步對(duì)分段討論.高斯函數(shù)在格點(diǎn)〔又叫整點(diǎn)問(wèn)題研究中有重要應(yīng)用.下面給出一個(gè)定理.定理四：設(shè)函數(shù)上連續(xù)而且非負(fù),那么和式內(nèi)的整數(shù)表示平面區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)個(gè)數(shù).特別地,有〔1位于三角形：內(nèi)的格點(diǎn)個(gè)數(shù)等于為整數(shù)；〔2,矩形域內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)等于〔3,圓域內(nèi)的格點(diǎn)個(gè)數(shù)等于.〔4,區(qū)域：內(nèi)的格點(diǎn)個(gè)數(shù)等于.這些結(jié)論通過(guò)畫(huà)圖即可得到.例1：求證：其中k為某一自然數(shù).〔1985年第17屆加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題[證明]2為質(zhì)數(shù),n!中含2的方次數(shù)為若故反之,若n不等于2的某個(gè)非負(fù)整數(shù)次幕,可設(shè)n=2sp,其中p>1為奇數(shù),這時(shí)總可以找出整數(shù)t,使由于n!.這與已知矛盾,故必要性得證.例2：對(duì)任意的〔第10屆IMO試題[解]因?qū)σ磺衚=0,1,…成立,因此,又因?yàn)閚為固定數(shù),當(dāng)k適當(dāng)大時(shí),例3：計(jì)算和式〔1986年?yáng)|北三省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題[解]顯然有：若503是一個(gè)質(zhì)數(shù),因此,對(duì)n=1,2,…,502,都不會(huì)是整數(shù),但+可見(jiàn)此式左端的兩數(shù)的小數(shù)部分之和等于1,于是,[]+故例4：設(shè)M為一正整數(shù),問(wèn)方程,在[1,M]中有多少個(gè)解？〔1982年瑞典數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題[解]顯然x=M是一個(gè)解,下面考察在[1,M]中有少個(gè)解.設(shè)x是方程的解.將代入原方程,化簡(jiǎn)得所以上式成立的充要條件是2[x]{x}為一個(gè)整數(shù).例5：求方程〔第36屆美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題[解]經(jīng)檢驗(yàn)知,這四個(gè)值都是原方程的解.例6：〔第10屆美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題這道題的原解答要極為復(fù)雜,現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下.[證明]由于例7：對(duì)自然數(shù)n及一切自然數(shù)x,求證：[證明]例8