（江蘇專用）高考數學 專題5 平面向量 37 平面向量的應用 文-人教版高三數學試題

訓練目標(1)向量知識的綜合應用；(2)向量與其他知識的結合.訓練題型(1)向量與三角函數；(2)向量與三角形；(3)向量與平面解析幾何.解題策略(1)利用向量知識可將和三角函數有關的問題“脫去”向量外衣，轉化為三角函數問題；(2)向量和平面圖形的問題往往借助三角形，結合正弦、余弦定理解決；(3)解決向量與平面解析幾何問題的基本方法是坐標法.1．(2015·珠海調研)設向量a＝(sinx，cos2x)，b＝(eq\r(3)cosx，eq\f(1,2))，函數f(x)＝ab.(1)求函數f(x)的最小正周期；(2)若0<α<eq\f(π,3)，f(eq\f(α,2))＝eq\f(4,5)，求cosα的值．2.如圖，在△OAB中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD與BC交于點M，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a、b表示eq\o(OM,\s\up6(→))；(2)已知在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過M點，設eq\o(OE,\s\up6(→))＝peq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝qeq\o(OB,\s\up6(→))，求證：eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.3．(2015·福建三明高中聯(lián)盟校期末)已知向量m＝(3cosx，eq\r(3)sinx)，n＝(2cosx，－2cosx)，函數f(x)＝mn.(1)求f(x)的最小正周期和對稱軸方程；(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f(B)＝0且b＝2，cosA＝eq\f(4,5)，求a的值．4．(2015·長沙一模)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，y)．(1)若x，y分別表示將一枚質地均勻的正方體骰子(六個面的點數分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現的點數，求滿足ab＝－1的概率；(2)若x，y∈[1,6]，求滿足ab>0的概率．5．(2015·廣東六校三聯(lián))如圖，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA，OB上的動點，且P，G，Q三點共線．(1)設eq\o(PG,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→))，將eq\o(OG,\s\up6(→))用λ，eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))表示；(2)設eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(OB,\s\up6(→))，證明：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)是定值．答案解析1．解(1)f(x)＝eq\r(3)sinxcosx＋eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝sin(2x＋eq\f(π,6))，所以最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由f(eq\f(α,2))＝eq\f(4,5)，得sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4,5)，所以cos2(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(9,25).因為0<α<eq\f(π,3)，所以eq\f(π,6)<α＋eq\f(π,6)<eq\f(π,2)，所以cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(3,5).所以cosα＝cos(α＋eq\f(π,6)－eq\f(π,6))＝cos(α＋eq\f(π,6))coseq\f(π,6)＋sin(α＋eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3\r(3)＋4,10).2．(1)解設eq\o(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝(m－1)a＋nb，eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)b.∵點A、M、D共線，∴eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))共線，∴eq\f(1,2)(m－1)－(－1)×n＝0，∴m＋2n＝1.①而eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m－eq\f(1,4))a＋nb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋b.∵C、M、B共線，∴eq\o(CM,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線，∴－eq\f(1,4)n－(m－eq\f(1,4))＝0.∴4m＋n＝1.②聯(lián)立①②可得m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(3,7)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b.(2)證明eq\o(EM,\s\up6(→))＝(eq\f(1,7)－p)a＋eq\f(3,7)b，eq\o(EF,\s\up6(→))＝－pa＋qb，∵eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(EM,\s\up6(→))共線，∴(eq\f(1,7)－p)q－eq\f(3,7)×(－p)＝0.∴eq\f(1,7)q－pq＝－eq\f(3,7)p，即eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.3．解(1)f(x)＝mn＝6cos2x－2eq\r(3)sinxcosx＝3(1＋cos2x)－eq\r(3)sin2x＝3cos2x－eq\r(3)sin2x＋3＝2eq\r(3)cos(2x＋eq\f(π,6))＋3，∴f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π.由2x＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，得對稱軸方程為x＝eq\f(1,2)kπ－eq\f(π,12)(k∈Z)．(2)由f(B)＝0，得cos(2B＋eq\f(π,6))＝－eq\f(\r(3),2).∵B為銳角，∴eq\f(π,6)<2B＋eq\f(π,6)<eq\f(7π,6)，∴2B＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，B＝eq\f(π,3).∵cosA＝eq\f(4,5)，A∈(0，π)，∴sinA＝eq\r(1－\f(4,5)2)＝eq\f(3,5).在△ABC中，由正弦定理得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(2×\f(3,5),\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),5)，即a＝eq\f(4\r(3),5).4．解(1)設(x，y)表示一個基本事件，則拋擲兩次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36個．用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1.則A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3個．∴P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(2)用B表示事件“ab>0”，即x－2y>0.試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，構成事件B的區(qū)域為{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x－2y>0}，如圖所示．所以所求的概率為P(B)＝eq\f(\f(1,2)×4×2,5×5)＝eq\f(4,25).5．(1)解eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(OQ,\s\up6(→)).(2)證明由(1)得eq\o(OG,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(OQ,\s\up6(→))＝(1－λ)xeq\o(OA,\s\up6(→))＋λyeq\o(OB,\s\up6(→))，①∵G是△OAB的重心，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→