第01講 圓錐曲線經(jīng)典題型全歸納（九大題型）（解析版）

第01講圓錐曲線經(jīng)典題型全歸納【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、直線和曲線聯(lián)立（1）橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，，橢圓與過定點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)為，如此消去，保留，構(gòu)造的方程如下：，注意：=1\*GB3①如果直線沒有過橢圓內(nèi)部一定點(diǎn)，是不能直接說明直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)的，一般都需要擺出，滿足此條件，才可以得到韋達(dá)定理的關(guān)系．=2\*GB3②焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似，不在贅述．（2）拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時(shí)，特殊地，當(dāng)直線過焦點(diǎn)的時(shí)候，即，，因?yàn)闉橥◤降臅r(shí)候也滿足該式，根據(jù)此時(shí)A、B坐標(biāo)來記憶．拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時(shí)，注意：在直線與拋物線的問題中，設(shè)直線的時(shí)候選擇形式多思考分析，往往可以降低計(jì)算量．開口向上選擇正設(shè)；開口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析．總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們?cè)谔幚砝缦蛄繂栴}，面積問題，三點(diǎn)共線問題，角度問題等?？純?nèi)容的時(shí)候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞剑R(shí)點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理與聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為．該式可以看成一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡(jiǎn)單記．同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為，，可簡(jiǎn)記．與C相離；與C相切；與C相交．注意：（1）由韋達(dá)定理寫出，，注意隱含條件．（2）求解時(shí)要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．（3）如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．（4）直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用判斷根的關(guān)系，因?yàn)榇饲闆r下往往會(huì)有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點(diǎn)問題的時(shí)候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標(biāo)．知識(shí)點(diǎn)三、弦長(zhǎng)公式設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式．（1）若在直線上，代入化簡(jiǎn)，得；（2）若所在直線方程為，代入化簡(jiǎn)，得（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長(zhǎng)，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．注意：（1）上述表達(dá)式中，當(dāng)為，時(shí)，；（2）直線上任何兩點(diǎn)距離都可如上計(jì)算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用．（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡(jiǎn)得到的式子記為，判別式為，時(shí)，，利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法在解題化簡(jiǎn)的時(shí)候可以大大提高效率．（4）直線和圓相交的時(shí)候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長(zhǎng)會(huì)更加簡(jiǎn)單．（5）直線如果過焦點(diǎn)可以考慮焦點(diǎn)弦公式以及焦長(zhǎng)公式．知識(shí)點(diǎn)四、已知弦的中點(diǎn)，研究的斜率和方程（1）是橢圓的一條弦，中點(diǎn)，則的斜率為，運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率；設(shè)，，，都在橢圓上，所以，兩式相減得所以即，故（2）運(yùn)用類似的方法可以推出；若是雙曲線的弦，中點(diǎn)，則；若曲線是拋物線，則．知識(shí)點(diǎn)五、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．知識(shí)點(diǎn)六、求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明．知識(shí)點(diǎn)七、證明共線的方法（1）斜率法：若過任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過計(jì)算證明過任意兩點(diǎn)的直線的斜率相等證明三點(diǎn)共線；（2）距離法：計(jì)算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個(gè)距離之和，則這三點(diǎn)共線；（3）向量法：利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線；（4）直線方程法：求出過其中兩點(diǎn)的直線方程，在證明第3點(diǎn)也在該直線上；（5）點(diǎn)到直線的距離法：求出過其中某兩點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出第三點(diǎn)到該直線的距離，若距離為0，則三點(diǎn)共線．（6）面積法：通過計(jì)算求出以這三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為0，則三點(diǎn)共線，在處理三點(diǎn)共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”．知識(shí)點(diǎn)八、證明四點(diǎn)共圓的方法：方法一：從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，則可肯定這四點(diǎn)共圓．方法二：把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一同弧所對(duì)的圓周角相等證）．方法三：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其中一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角時(shí)，則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角）．方法四：證明被證共圓的四點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，或證明被證四點(diǎn)連成的四邊形其中三邊中垂線有交點(diǎn)），則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為圓）．知識(shí)點(diǎn)九、切線問題（1）若點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線方程為．（2）若點(diǎn)是圓外的點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．（3）若點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線方程為．（4）若點(diǎn)是橢圓外的點(diǎn)，由點(diǎn)P向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．【典型例題】題型一：向量搭橋進(jìn)行翻譯例1．（2024·浙江嘉興·高二校聯(lián)考）給定橢圓：，稱圓心在原點(diǎn)，半徑是的圓為橢圓的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓和其“準(zhǔn)圓”的方程；(2)若點(diǎn)，是橢圓的“準(zhǔn)圓”與軸的兩交點(diǎn)，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）由題意知，且，可得，故橢圓的方程為，其“準(zhǔn)圓”方程為．（2）由題意，設(shè)，則有，不妨設(shè)，，所以，，所以，又，則，所以的取值范圍是．例2．（2024·江蘇南京·高二統(tǒng)考）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)．已知點(diǎn)，求的值．【解析】（1）因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3，所以．又橢圓的離心率是，所以，解得，，從而．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）因?yàn)橹本€的斜率為，且過右焦點(diǎn)，所以直線的方程為．聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，消去，得，其中．設(shè)，，則，．因?yàn)?，所以．因此的值是．?．（2024·四川瀘州·高二?？迹┮阎p曲線（，）中，離心率，實(shí)軸長(zhǎng)為4(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線：與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且在雙曲線存在點(diǎn)，使得，求的值.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率，實(shí)軸長(zhǎng)為4，，解得，因?yàn)樗噪p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）將直線與曲線聯(lián)立得，設(shè)，，則，，設(shè)，由得，即，又因?yàn)?，解得，所以?題型二：弦長(zhǎng)、面積問題例4．（2024·天津?yàn)I海新·高二天津市濱海新區(qū)田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，其中，為原點(diǎn).橢圓上任意一點(diǎn)到，距離之和為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；(2)過點(diǎn)的斜率為2的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).求面積.【解析】（1）由題意得，，解得，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為；（2）直線方程為，聯(lián)立得，，解得，故，不妨設(shè)，故，點(diǎn)到直線的距離為，故.例5．（2024·安徽亳州·高二?？茧A段練習(xí)）已知，在橢圓C：上，，分別為C的左、右焦點(diǎn)．(1)求a，b的值及C的離心率；(2)若動(dòng)點(diǎn)P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側(cè)，求四邊形的面積的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，在橢圓C：上，所以,解得，，所以，C的離心率為；（2）由（1）得，，故，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側(cè)，所以四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q分別為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立.例6．（2024·北京順義·高二牛欄山一中?？迹┮阎獟佄锞€的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)經(jīng)過焦點(diǎn)F且斜率是1的直線，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求以及的面積.【解析】（1）由題設(shè)方程為，將代入，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）因?yàn)橹本€，過點(diǎn)，所以直線的方程為，聯(lián)立消得，設(shè)，，則，.所以，（或者利用焦半徑公式求弦長(zhǎng)：）又，所以.變式1．（2024·江蘇徐州·高二徐州高級(jí)中學(xué)校考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，垂直于的直線與雙曲線相切于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于第一象限，且被軸分割為面積比為的兩部分時(shí)，求直線的方程.【解析】（1）因?yàn)榈挠医裹c(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得．故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為．聯(lián)立消去，得．由得且，解得．因?yàn)榕c垂直，所以設(shè)的方程為．聯(lián)立消去，化簡(jiǎn)得．由且，得．因?yàn)榕c雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，化簡(jiǎn)得，且點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)位于第一象限，所以，．不妨設(shè)，分別位于雙曲線的左、右兩支上，記與軸的交點(diǎn)為．因?yàn)楸惠S分割為面積比為的兩部分，且與面積相等，所以與的面積比為，由此可得．因此，即．又因?yàn)椋?，解得．因?yàn)椋?，故直線的方程為．題型三：斜率之和、積、差、商問題例7．（2024·安徽淮北·高二淮北一中?？茧A段練習(xí)）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為橢圓上任意一點(diǎn)，不在軸上，的面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，求證：直線，的斜率之和為定值，并求出定值.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，設(shè)到的距離為，因?yàn)椋?，易得?dāng)時(shí)面積取得最大值，所以，因?yàn)椋?，，所以橢圓的方程為；（2）證明：如圖，易知點(diǎn)在橢圓外，設(shè)直線的方程為，，，由得，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?例8．（2024·河北石家莊·高二石家莊精英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,原點(diǎn)O到直線的距離為，且直線的傾斜角．(1)求橢圓T的方程；(2)作直線的平行線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為,求證：為定值．【解析】（1）因?yàn)橹本€AB的傾斜角為，所以，即，設(shè)直線AB方程為，由原點(diǎn)到該直線的距離為，解得，則，所以橢圓T的方程是.（2）設(shè)直線的方程為，代入，整理得，則，則.設(shè)，，易知，則，，所以，，即為定值．例9．（2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足直線PA與PB的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程；（2）若動(dòng)直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與曲線E交于C，D（不同于A，B）兩點(diǎn)，問：直線AC與BD的斜率之比是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)，依題意可得，所以，所以曲線E的方程為．（2）依題意，可設(shè)直線l：，，，由，可得，則，，因?yàn)橹本€AC的斜率，直線BD的斜率，因?yàn)?，所以，所以直線AC和BD的斜率之比為定值．變式2．（2024·河北唐山·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)圍成直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（異于點(diǎn)），求直線與斜率之差的絕對(duì)值的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)與短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)圍成直角三角形，所以，.所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程，代入橢圓方程并整理，得，設(shè)，，則有，，，，又因?yàn)榍?，所?故直線與斜率差的絕對(duì)值的取值范圍是.題型四：定值問題例10．（2024·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為2.已知直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且與x軸，y軸交于M，N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求k的值；(3)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，求證：為定值.【解析】（1），，代入得.又橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2，即，即，以上各式聯(lián)立解得，則橢圓方程為.（2）直線與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，聯(lián)立，消去得:，，設(shè)，則，，，由得，解得:，由得.（3）證明：由（2）知，，.為定值.例11．（2024·江西上饒·高二校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為．已知點(diǎn)和都在雙曲線上，其中為雙曲線的離心率．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)是雙曲線上位于軸右方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)．（I）若，求直線的斜率；（II）求證：是定值．【解析】（1）將點(diǎn)和代入雙曲線方程得：，結(jié)合，化簡(jiǎn)得：，解得，雙曲線的方程為．（2）（Ⅰ）設(shè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)記為，則．因?yàn)?所以，又因?yàn)椋?，即，故三點(diǎn)共線．又因?yàn)榕c互相平分，所以四邊形為平行四邊形，故，所以．由題意知，直線斜率一定存在，設(shè)的直線方程為，代入雙曲線方程整理得：，故，直線與雙曲線上支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得．由弦長(zhǎng)公式得，代入解得．（Ⅱ）因?yàn)?，由相似三角形得，所以．因?yàn)椋裕蕿槎ㄖ担?2．（2024·四川內(nèi)江·高二四川省資中縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在圓上任取一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作x軸的垂線段QD，D為垂足．線段QD上一點(diǎn)C滿足．(1)當(dāng)點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡的方程；(2)已知，過點(diǎn)的直線l與軌跡相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A），直線的斜率分別，試判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，說明理由．【解析】（1）設(shè)，則，由，得，所以，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡的方程為；（2）由（1）得軌跡為橢圓，點(diǎn)為其右頂點(diǎn)，則直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消得，，解得或，則，所以，，，所以為定值.變式3．（2024·江蘇揚(yáng)州·高二江蘇省邗江中學(xué)?？计谀┰O(shè)橢圓C：（），定義橢圓的“相關(guān)圓”方程為，若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形．(1)求橢圓的方程和“相關(guān)圓”的方程：(2)過“相關(guān)圓”上任意一點(diǎn)作“相關(guān)圓”的切線，與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：為定值．【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，又橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，所以，得到，又，所以橢圓的方程為，“相關(guān)圓”的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的方程為：或，當(dāng)時(shí)，代入，得到，所以，則，，所以，當(dāng)時(shí)，代入，得到，所以，則，，所以，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，則，，由，消得到，整理得到，，由韋達(dá)定理得，，又因?yàn)橹本€與“相關(guān)圓”相切，所以，整理得到，又，所以，得到，即，所以，綜上，為定值.題型五：定點(diǎn)問題例13．（2024·陜西西安·高二?？计谀┮阎裹c(diǎn)為的拋物線：（）上一點(diǎn)到的距離是4.(1)求拋物線的方程.(2)若不過原點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（，位于軸兩側(cè)），的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，直線，與分別交于點(diǎn)，，若，證明：直線過定點(diǎn).【解析】（1）由拋物線的定義可知，，拋物線的方程為．（2）證明：由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，,，,，聯(lián)立方程，消去得，，，拋物線的準(zhǔn)線方程為，，直線的斜率為，直線的方程為，令得，，同理可得，，，直線的方程為，故直線恒過定點(diǎn)．例14．（2024·安徽蕪湖·高二校考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的垂直平分線交拋物線于兩點(diǎn)，．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求證：直線恒過一定點(diǎn)．【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，對(duì)于令，解得，所以，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）依題意、的斜率存在，設(shè)直線、的斜率分別為、，因?yàn)椋?，設(shè)點(diǎn)、，則，可得.若直線軸，則該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，可得，此時(shí)，合乎題意.所以直線的方程為，故直線恒過定點(diǎn).例15．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，左焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作任意直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，軸上是否存在定點(diǎn)使得直線，的斜率之和為？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，又，所以，，所以橢圓的方程為；（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)使得直線，的斜率之和為，設(shè)，，①當(dāng)直線不是軸時(shí)，可設(shè)，與聯(lián)立，并整理得，，即，，，依題意有，即，，，代入上式得，，解得，即在軸上存在定點(diǎn)使得直線，的斜率之和為；②當(dāng)直線為軸時(shí)，也符合直線，的斜率之和為.綜上所述，存在點(diǎn)使得直線，的斜率之和為0.變式4．（2024·河南·高二伊川縣第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，且過點(diǎn).(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)A為的右頂點(diǎn)，M，N是上異于點(diǎn)A的兩個(gè)不同點(diǎn)，且，證明：直線MN過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，則，所以①.又過點(diǎn)，所以，可解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，.由，消去可得，由題意知，即.且，.由（1）知，因，又.所以.所以.所以.化簡(jiǎn)得，即.所以或，且均滿足.素時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn).②當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)，此時(shí)，則，又，則，則或（舍），故此時(shí)直線MN過定點(diǎn)；綜上所述，直線過定點(diǎn).變式5．（2024·江蘇泰州·高二江蘇省口岸中學(xué)?？迹┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，且，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B均異于原點(diǎn)）．(1)求拋物線C的方程；(2)若以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：直線l恒過定點(diǎn)．【解析】（1）由拋物線定義知：，則.（2）由題設(shè)，直線斜率一定存在，設(shè)直線，聯(lián)立拋物線可得，即，則，，，故，故中點(diǎn)坐標(biāo)為，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其半徑，而，所以，兩邊平方得，整理得，即或，當(dāng)，則，此時(shí)A，B必有一個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)重合，不合題意；當(dāng)，則，此時(shí)直線必過定點(diǎn).所以直線l恒過定點(diǎn).題型六：三點(diǎn)共線問題例16．（2024·江西上饒·高二婺源縣天佑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且與直線垂直的直線交軸負(fù)半軸于，且.(1)若過、、三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；(2)設(shè).過橢圓右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【解析】（1）依題意，設(shè)，由，得是線段的中點(diǎn)，則，由直線與垂直，得，則顯然過、、三點(diǎn)的圓的圓心為，半徑為，由過、、三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，得，解得，有，，所以橢圓的方程為.（2）由（1）及，得，，橢圓的方程為，設(shè)直線方程為，，則，由消去x并整理得，，，直線的方程為，令得，所以在軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線.例17．（2024·重慶·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，、分別是左、右焦點(diǎn)，、為橢圓上的任意兩點(diǎn)，當(dāng)固定為上頂點(diǎn)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若、均在軸上方，圓上是否存在點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線，、、三點(diǎn)共線，且，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率，，，設(shè)上頂點(diǎn)為，，則，即，則，，，當(dāng)時(shí)，，則，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線交橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、、．因?yàn)?，所以、兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，即，，由韋達(dá)定理得，．因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以①，又、、三點(diǎn)共線，所以②，代入，，得③，④，化簡(jiǎn)得⑤，⑥，由⑥⑤得，即，化簡(jiǎn)得，即，進(jìn)而⑤⑥得，則，整理得，即，將，代入，得，所以點(diǎn)的軌跡為去掉兩點(diǎn)的一個(gè)橢圓，圓的圓心，半徑．橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，橢圓的短半軸長(zhǎng)，如圖．故存在個(gè)滿足條件的點(diǎn)．例18．（2024·浙江·高二校聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足．記的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知直線，若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)（與不重合）在上，求實(shí)數(shù)的值；(3)設(shè)直線的斜率為，且與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若點(diǎn)和點(diǎn)三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值．【解析】（1）因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓，所以，，所以，所以．（2）如圖所示，因?yàn)榕c關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線，所以，又，所以，聯(lián)立，得，，所以，設(shè)為中點(diǎn)，則，，即．又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得．（3）如圖所示，設(shè)，則有，又，則，直線聯(lián)立，得，所以，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，代入上式可得所以，即，同理可得，又點(diǎn)所以，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以//即，即，即，化簡(jiǎn)可得，所以.變式6．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率是，其左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且與直線垂直的直線交軸負(fù)半軸于.(1)求證：；(2)若點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【解析】（1）證明：設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以直線，令，解得，所以，所以，，所以.（2）如圖所示，若點(diǎn)，則，解得，則，所以橢圓方程為.設(shè)直線的方程為，，則，聯(lián)立方程組，整理得，則，且直線的方程為，令，可得.故在軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線.題型七：中點(diǎn)弦問題例19．（2024·河北石家莊·高二石家莊市第四中學(xué)校考）已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2．(1)求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分．求此弦所在的直線方程．【解析】（1）由題意，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）令過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的直線交橢圓于，所以，兩式作差得，則，又，，故直線斜率為，所以直線為，即.例20．（2024·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知圓，圓，若動(dòng)圓M與圓F1外切，與圓F2內(nèi)切．(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；(2)直線l與（1）中軌跡C相交于A，B兩點(diǎn)，若Q為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，動(dòng)圓M與圓F1外切，與圓F2內(nèi)切，，且，于是，

動(dòng)圓圓心M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，故，，橢圓方程為

又因當(dāng)M點(diǎn)為橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，動(dòng)圓M不存在，故不合題意舍去，故動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程為；（2）設(shè)，由題意，顯然，則有，，兩式作差可得，即有，又Q為線段AB的中點(diǎn)，則有，代入即得直線l的斜率為，

直線l的方程為，整理可得直線l的方程為.例21．（2024·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求的方程．【解析】（1）由，得，即，∴，設(shè)雙曲線的方程為或，把代入兩個(gè)方程，得或，解得（第二個(gè)方程無解），∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，∵，都在雙曲線上，∴，，兩式作差可得：，即，∵為的中點(diǎn)，∴，，可得，∴直線的方程為，即，聯(lián)立，得，，符合題意．∴直線的方程為．變式7．（2024·青海西寧·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過F作垂直于軸的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為2.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，是線段PQ的中點(diǎn)，求直線l的方程.【解析】（1）由題可得，代入拋物線方程得，，∴，∴的面積，∴，∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）易知直線不與軸垂直，設(shè)所求方程為：，設(shè)，由，在拋物線上得：,兩式相減化簡(jiǎn)得：，又∵，，代入上式解得：.故所求直線的方程為：.即.題型八：四點(diǎn)共圓問題例22．（2024·河北邯鄲·高二校聯(lián)考）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，不與x軸平行的直線l過C的右焦點(diǎn)F且與C交于M，N兩點(diǎn).當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，.(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線，分別交直線于P，Q兩點(diǎn)，求證：A，P，F(xiàn)，Q四點(diǎn)共圓.【解析】（1）由題意，解得，所以雙曲線C的方程為；（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，由，得，,整理得，設(shè)，，所以，，所以，直線，所以，同理可得，記直線交x軸于點(diǎn)G，所以，又，所以，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，則，，所以，所以A，P，F(xiàn)，Q四點(diǎn)共圓.例23．（2024·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線與點(diǎn).(1)求過點(diǎn)的弦，使得的中點(diǎn)為；(2)在（1）的前提下，如果線段的垂直平分線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，證明：、、、四點(diǎn)共圓.【解析】（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，，設(shè)存在過點(diǎn)的弦，使得的中點(diǎn)為，設(shè)，，，，兩式相減得，即，得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，存在這樣的弦，方程為；（2）設(shè)直線方程為，則點(diǎn)在直線上，則，所以直線的方程為，設(shè)，，的中點(diǎn)為，，，兩式相減得，則，則，又因?yàn)樵谥本€上有，解得，，解得，，整理得，則，則，由距離公式得，所以、、、四點(diǎn)共圓.例24．（2024·廣西桂林·高二廣西師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且．(1)若橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為，求橢圓的方程；(2)若在軸上方存在兩點(diǎn)，使四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率的取值范圍．【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意，可得，解得，，，∴橢圓的方程為.（2）方法一：設(shè)，，的中點(diǎn)為，，∵，則的外接圓即為以為直徑的圓的方程為：，整理得：，由題意，焦點(diǎn)，原點(diǎn)均在該圓上，∴，消去可得，∴，∵點(diǎn)，均在軸上方，∴即，∴，∵，∴，方法二：∵，，，四點(diǎn)共圓且，∴為圓的直徑∴圓心必為中點(diǎn)，又圓心在弦的中垂線上，∴圓心的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∵點(diǎn)，均在軸上方，∴即，∴，∵，∴，故的范圍為．變式8．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考）已知點(diǎn)在拋物線上，過動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為?，且直線與直線的斜率之積為.(1)證明：直線過定點(diǎn)；(2)過?分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為?，問：是否存在一點(diǎn)使得???四點(diǎn)共圓？若存在，求所有滿足條件的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）法一：將代入拋物線方程得到，所以拋物線方程為，求導(dǎo)可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，所以切線方程為，即；設(shè)，，直線方程為，由題意得，所以，聯(lián)立直線和拋物線得得，所以得，所以的直線方程為，直線過定點(diǎn)；法二：將代入拋物線方程得到，所以拋物線方程為，設(shè)，過的直線方程為，聯(lián)立得，得，由，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以聯(lián)立直線和拋物線得得，所以得，所以