北京市東城區(qū)三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學(xué)模擬（一模）題按題型匯編

北京市東城區(qū)三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學(xué)模擬（一模）

題按題型匯編

一、單選題

1.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）己知集合4={Xχ2-2<θ},RaeA,則α可以為（）

3

A.-2B.—1C.—D.y∣2

2.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù);對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3,-1）,則z=（）

A.l+3iB.3+iC.-3÷iD.-l-3i

3.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）拋物線(xiàn)∕=4y的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（）

A.x=lB.x=-lC.J=ID.y=-l

4

4.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）已知x>0,則1-4+-的最小值為（）

X

A.-2B.0C.1D.2√2

5.（2023.北京東城?統(tǒng)考一模）在一AfiC中，a=2瓜,8=2c,cosA=[,則SABC=（）

3_

A.-√15B.4C.√I5D.2厲

6.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）設(shè)相，〃是兩條不同的直線(xiàn)，a,夕是兩個(gè)不同的平面,

且mUα,a//β,貝廣相_L〃”是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

7.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線(xiàn)y=e-2+l的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為（）

A.y=xB.y=2xC.y=-^xD.V=U

e

8.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,P為正方形ABC。內(nèi)部

（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足PA?PB=O,則CPOP的取值范圍是（）

A.（0,8]B.[0,8）C.（0,4]D.[0,4）

9.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）已知％,a2,%，為，%成等比數(shù)列，且1和4為其中

的兩項(xiàng)，則的最小值為（）

A.-64B.-8C.—D.-

648

10.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的

建立稱(chēng)為十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.其中對(duì)數(shù)的發(fā)明曾被十八世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯

評(píng)價(jià)為“用縮短計(jì)算時(shí)間延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”.已知正整數(shù)N的70次方是一個(gè)83位

數(shù)，則由下面表格中部分對(duì)數(shù)的近似值（精確到0.001）,可得N的值為（）

M2371113

IgM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

11.（2022?北京東城?統(tǒng)考一模）已知集合A={XxNT},B={Λ∣∣X-1∣<2},則AUB=

（）

A.{x∣-l<x<3}B.{x∣x>-l）

C.{x∣-l≤x<3}D.{x∣x≥-l}

12.（2022?北京東城?統(tǒng)考一模）下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（）

A.y=InxB.y=exC.y=x3D.y=-

X

13?（2022?北京東城?統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足jz=2+i,則Z的虛部為（）

A.2B.-2C.1D.-1

14.（2022?北京東城?統(tǒng)考一模）己知數(shù)列{%}的前“項(xiàng)和S,=/,則{%}是（）

A.公差為2的等差數(shù)列B.公差為3的等差數(shù)列

C.公比為2的等比數(shù)列D.公比為3的等比數(shù)列

15.（2022?北京東城?統(tǒng)考一模）已知Sina=則sin（九一2α）?tanα=（）

?32C32「18C18

A.—B.------C.—D.-------

25252525

16.（2022.北京東城.統(tǒng)考一模）已知正方體Aga）-ABCQ的棱長(zhǎng)為1,E為BC上一

點(diǎn)，則三棱錐用-AGE的體積為（）

A.—B.-C.一D.一

2346

17.（2022?北京東城?統(tǒng)考一模）在中國(guó)農(nóng)歷中，一年有24個(gè)節(jié)氣，“立春”居首.北京2022

年冬奧會(huì)開(kāi)幕正逢立春,開(kāi)幕式上''二十四節(jié)氣”的倒計(jì)時(shí)讓全世界領(lǐng)略了中華智慧.墩墩

同學(xué)要從24個(gè)節(jié)氣中隨機(jī)選取3個(gè)介紹給外國(guó)的朋友，則這3個(gè)節(jié)氣中含有“立春”的

概率為（）

試卷第2頁(yè)，共14頁(yè)

A.—B.-C.—D.—

2282312

18.（2022?北京東城?統(tǒng)考一模）已知。、?∈R,貝廠(chǎng)/+/42"是”T≤"V1''的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

19.（2022.北京東城,統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)產(chǎn)質(zhì)+，"（火≠0）與X軸和y

軸分別交于A,B兩點(diǎn)，∣AB∣=2√2,若C4LCB,則當(dāng)火,加變化時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)（U）

的距離的最大值為（）

A.4√2B.3√2C.2√2D.√2

20.（2022?北京東城?統(tǒng)考一模）李明開(kāi)發(fā)的小程序在發(fā)布時(shí)已有500名初始用戶(hù)，經(jīng)過(guò)

，天后，用戶(hù)人數(shù)A（f）=A（0）*,其中％為常數(shù).已知小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有2000名

用戶(hù)，則用戶(hù)超過(guò)50000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（）（本題取Ig2=0.30）

A.31B.32C.33D.34

21.（2021?北京東城?統(tǒng)考一模）己知集合4={衛(wèi)一1＜工＜2},3={?。?},那么AUB=

（）

A.（—1,2）B.（—1,1）C.（-00,2）D.（―∞,1）

22.（2021?北京東城?統(tǒng)考一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（1+23對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

23.（2021.北京東城?統(tǒng)考一模）某中學(xué)高一、高二和高三各年級(jí)人數(shù)見(jiàn)下表.采用分層抽

樣的方法調(diào)查學(xué)生的健康狀況，在抽取的樣本中，高二年級(jí)有20人，那么該樣本中高

三年級(jí)的人數(shù)為（）

年級(jí)人數(shù)

高一550

高二500

高三450

合計(jì)1500

A.18B.22C.40D.60

24.（2021?北京東城?統(tǒng)考一模）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為（）

D.27

25.（2021.北京東城?統(tǒng)考一模）已知圓Y+V=I截直線(xiàn)y=&（χ+l）（A>0）所得弦的長(zhǎng)

度為1,那么女的值為（）

A.?B.且C.ID.6

23

26.（2021?北京東城?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f（x）=：TO?—,那么不等式/⑴”

6-x,x..2

的解集為（）

A.（0,11B.（0,2]C.[1,4]D.[1,6]

27.（2021?北京東城?統(tǒng)考一模）"IXlVyI"是‘lnxVIny”成立的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

28.（2021.北京東城.統(tǒng)考一模）寬與長(zhǎng)的比為墾?=0.618的矩形叫做黃金矩形它廣泛

2

的出現(xiàn)在藝術(shù)建筑人體和自然界中，令人賞心悅目在黃金矩形ABa）中，BC=√5-1.

UUUUUUl

AB>BC,那么ABAC的值為（）

A.√5-lB.√5+lC.4D.2√5+2

2

29.（2021.北京東城.統(tǒng)考一模）已知橢圓GJ+方y(tǒng)=l（β>?>0）的右焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)

G：V=2px（p>0）的焦點(diǎn)重合，P為橢圓Cl與拋物線(xiàn)G的公共點(diǎn)，且尸產(chǎn)_Lx軸，那么

橢圓Cl的離心率為（）

A.√2-lB.@C.—D.√3-l

32

30.（2021.北京東城.統(tǒng)考一模）如圖，將線(xiàn)段48,。。用一條連續(xù)不間斷的曲線(xiàn)>，=/（%）

試卷第4頁(yè)，共14頁(yè)

連接在一起，需滿(mǎn)足要求：曲線(xiàn)y=∕(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C,并且在點(diǎn)B,C處的切線(xiàn)分別為

直線(xiàn)AB,8,那么下列說(shuō)法正確的是()

A.存在曲線(xiàn)y=ax3+bx2-2x+5(a,b∈R)滿(mǎn)足要求

B.存在曲線(xiàn)y=包竺等處+c(α/CeR)滿(mǎn)足要求

C.若曲線(xiàn)y=E(X)和y=力(X)滿(mǎn)足要求，則對(duì)任意滿(mǎn)足要求的曲線(xiàn)y=g(χ),存在實(shí)

數(shù)使得g(x)=2∕(X)+(X)

D.若曲線(xiàn)y=E(χ)和y=力(X)滿(mǎn)足要求，則對(duì)任意實(shí)數(shù)當(dāng)2+〃=1時(shí)，曲線(xiàn)

y=Λ∕j(x)+χ√2(x)滿(mǎn)足要求

二、填空題

31.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)函數(shù)〃x)=√Γ3+lnx的定義域是

32.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)在(x+5)的展開(kāi)式中，/的系數(shù)為60,則實(shí)數(shù)

33.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)已知雙曲線(xiàn)-—彳=1(°>0/>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是(75,0),

且與直線(xiàn)y=±2χ沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的方程可以為.

34.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(*=雙出(5'+夕)(4>0,0<*<兀)的部分

圖象如圖1所示，A、5分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過(guò)A作X軸的垂線(xiàn)，交X軸于A,

點(diǎn)C為該部分圖象與X軸的交點(diǎn).將繪有該圖象的紙片沿X軸折成直二面角，如圖2所

示，此時(shí)IABl=√1U,貝∣J∕l=.

①W=9；

②圖2中，A8?AC=5;

③圖2中，過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)且與AB垂直的平面與X軸交于點(diǎn)Ci

④圖2中，S是“T8C及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={QeS∣∣AQ∣≤2},則T表示

的區(qū)域的面積大于;.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

35.（2022?北京東城?統(tǒng)考一模）在（2-五丁的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字

作答）

36.（2022?北京東城?統(tǒng)考一模）已知向量AB，CD在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若

網(wǎng)格上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則A8?CO=.

37.（2022?北京東城?統(tǒng)考一模）某學(xué)校開(kāi)展“測(cè)量故宮角樓高度”的綜合實(shí)踐活動(dòng).如圖1

所示，線(xiàn)段AB表示角樓的高，C,D,E為三個(gè)可供選擇的測(cè)量點(diǎn)，點(diǎn)B,C在同一

水平面內(nèi)，CD與水平面垂直.現(xiàn)設(shè)計(jì)能計(jì)算出角樓高度的測(cè)量方案，從以下六組幾何量

中選擇三組進(jìn)行測(cè)量，則可以選擇的幾何量的編號(hào)為.（只需寫(xiě)出-一種方案）

試卷第6頁(yè)，共14頁(yè)

A

①C,。兩點(diǎn)間的距離;

②C,E兩點(diǎn)間的距離;

③由點(diǎn)C觀察點(diǎn)A的仰角α；

④由點(diǎn)。觀察點(diǎn)A的仰角4:

⑤/4CE■和/AEC；

⑥NADE和NAED.

38.（2021.北京東城.統(tǒng)考一模）（1-4）5的展開(kāi)式中，/的系數(shù)為.（用數(shù)字

作答）

39.（2021?北京東城?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（x）=ASin（2x+e）（A>0,|9用），其中X和

f（x）部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：

ππππ

X0

~4127T

fω-2-2√3-222√3

那么A=.

40.（2021?北京東城?統(tǒng)考一模）設(shè)A是非空數(shù)集,若對(duì)任意X,yeA,都有x+yeA孫eA,

則稱(chēng)A具有性質(zhì)P.給出以下命題：

①若A具有性質(zhì)P,則A可以是有限集；

②若A，A2具有性質(zhì)P,且AcAzW0,則A.C4具有性質(zhì)P；

③若A,4具有性質(zhì)P,則A。4具有性質(zhì)P；

④若A具有性質(zhì)P,且AwR,則務(wù)A不具有性質(zhì)P.

其中所有真命題的序號(hào)是.

三、雙空題

41.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）已知數(shù)列｛4｝各項(xiàng)均為正數(shù)，a2=3al,S”為其前〃項(xiàng)

和.若｛￡｝是公差為T(mén)的等差數(shù)列，則4=

42.（2022?北京東城?統(tǒng)考一模）已知拋物線(xiàn)C：V=2px過(guò)點(diǎn)P（2,4）,貝IJP=；

若點(diǎn)Q（4,χ）,R（t,%）在C上，尸為C的焦點(diǎn),且IPFl,∣QF∣,I肝I成等比數(shù)列,則

t=.

??—]ζγ尤>0

,2”「C，若k=0,則不等式

fkx~-x+l,x<0

/（x）<2的解集為；若八幻恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則G的取值范圍為.

44.（2021?北京東城?統(tǒng)考一模）已知雙曲線(xiàn)C-二=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（&,2）,那么，〃的值

tn

為,C的漸近線(xiàn)方程為.

45.（2021.北京東城.統(tǒng)考一模）已知｛%｝為等比數(shù)列，α,=l,α4=∣,那么｛4｝的公比

O

數(shù)列’的前5項(xiàng)和為_(kāi)__________.

為_(kāi)__________

l?J

四、解答題

46.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（x）=SinX+sin[x+g）.

⑴求〃x）的最小正周期；

（2）若是函數(shù)y=/。）—fa+。）”>。）的一個(gè)零點(diǎn)，求。的最小值.

O

47.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）甲、乙兩名同學(xué)積極參與體育鍛煉，對(duì)同一體育項(xiàng)目,

在一段時(shí)間內(nèi)甲進(jìn)行了6次測(cè)試，乙進(jìn)行了7次測(cè)試.每次測(cè)試滿(mǎn)分均為100分，達(dá)到

85分及以上為優(yōu)秀.兩位同學(xué)的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚?/p>

次數(shù)同學(xué)第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

甲807882869593—

乙76818085899694

（1）從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測(cè)試中隨機(jī)選取一次，求該次測(cè)試成績(jī)超過(guò)90分的

概率；

（2）從甲同學(xué)進(jìn)行的6次測(cè)試中隨機(jī)選取4次，設(shè)X表示這4次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的次

數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX；

試卷第8頁(yè)，共14頁(yè)

(3)從乙同學(xué)進(jìn)行的7次測(cè)試中隨機(jī)選取3次,設(shè)y表示這3次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù),

試判斷數(shù)學(xué)期望Ey與(2)中EX的大小.(結(jié)論不要求證明)

48.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)如圖，在長(zhǎng)方體A88-A4GA中，AA1=AO=2,

和氐。交于點(diǎn)E,尸為AB的中點(diǎn).

(1)求證：Ef〃平面AoRA；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求

(i)平面CE尸與平面BCE的夾角的余弦值；

(H)點(diǎn)A到平面CE尸的距離.

條件①：CELBlD；

條件②：直線(xiàn)BQ與平面BCC內(nèi)所成的角為

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

49.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/O)=Or2-χinx.

(1)當(dāng)α=0時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設(shè)直線(xiàn)/為曲線(xiàn)y=∕(x)的切線(xiàn)，當(dāng)“≥?∣時(shí)，記直線(xiàn)/的斜率的最小值為g(。)，求

g(α)的最小值；

⑶當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)M=卜∣y=∕'(x),Xed弓)}，N=卜∣y=F'(H,xe]?,1)},

求證：MN.

22

50.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)已知橢圓E：二+馬=1(“>6>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為人0,1),

a~b

離心率e=亞.

3

⑴求橢圓E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(-G,l)作斜率為&的直線(xiàn)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)8,C,直線(xiàn)48,AC分別

IMDI

與X軸交于點(diǎn)M,N.設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為。，求扁的值.

51.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)已知數(shù)表A?,,=["a'2"S中的項(xiàng)

1。21a22a2n)

%(i=12j=L2,,〃)互不相同,且滿(mǎn)足下列條件:

①羯e{1,2,,2〃}；

②(T嚴(yán)&,「%,)<()(W=I2,〃).

則稱(chēng)這樣的數(shù)表A,,具有性質(zhì)P.

⑴若數(shù)表%具有性質(zhì)產(chǎn)，且叱=4,寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的數(shù)表,并求出4+%的

值；

(2)對(duì)于具有性質(zhì)戶(hù)的數(shù)表4"，當(dāng)””+/+…+即,取最大值時(shí)，求證：存在正整數(shù)

k(l<k<n),使得%=2〃；

(3)對(duì)于具有性質(zhì)/的數(shù)表外,,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),求知+④+…+4,的最大值.

52.(2022?北京東城?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/。)=。$皿38$3(0>0,。>0).從下列四

個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)/(x)存在且唯一確定.

⑴求“X)的解析式；

⑵設(shè)g(x)=∕(x)-2cos2gx+ι,求函數(shù)g(x)在((U)上的單調(diào)遞增區(qū)間.

條件①：/[?]=!;

條件②：/(x)為偶函數(shù)；

條件③：〃x)的最大值為1;

條件④：Fa)圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為

53.(2022?北京東城?統(tǒng)考一模)如圖，在三棱柱ABC-A4G中，44Ij■平面ABC,

ABlAC,AB=AC=AAi=1fM為線(xiàn)段Ael上一點(diǎn).

試卷第10頁(yè)，共14頁(yè)

AM

1C,

-JΓ

(2)若直線(xiàn)AB1與平面BCM所成角為:，求點(diǎn)A到平面BCM的距離.

54.(2022?北京東城?統(tǒng)考一模)根據(jù)Z市2020年人口普查的數(shù)據(jù)，在該市15歲及以上

常住人口中，各種受教育程度人口所占比例(精確到0.01)如下表所示：

τ?r

受教育程度未上小初IRJ大學(xué)專(zhuān)大學(xué)本碩士研究博士研究

性別學(xué)學(xué)中中科科生生

男0.000.030.140.110.070.110.030.01

女0.010.040.110.110.080.120.030.00

合計(jì)0.010.070.250.220.150.230.060.01

(1)己知Z市15歲及以上常住人口在全市常住人口中所占比例約為85%,從全市常住人

口中隨機(jī)選取1人，試估計(jì)該市民年齡為15歲及以上且受教育程度為碩士研究生的概

率；

(2)從Z市15歲及以上常住人口中隨機(jī)選取2人，記這2人中受教育程度為大學(xué)本科及

以上的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)若受教育程度為未上學(xué)、小學(xué)、初中、高中、大學(xué)專(zhuān)科及以上的受教育年限分別記為

0年、6年、9年、12年、16年，設(shè)Z市15歲及以上男性與女性常住人口的平均受教

育年限分別為“年和b年，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)直接寫(xiě)出。與b的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證

明)

55.(2022?北京東城?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)〃X)=汨.

⑴若曲線(xiàn)y=∕(x)在點(diǎn)(2J(2))處的切線(xiàn)斜率為T(mén),求。的值；

⑵若〃x)在(l,+∞)上有最大值，求。的取值范圍.

56.(2022?北京東城?統(tǒng)考一模)己知橢圓U*→W=l(a>6>0)的離心率為手，焦距

為26.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)P(4,0)作斜率為左的直線(xiàn)/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)r,使得直線(xiàn)

x=r與直線(xiàn)/的交點(diǎn)。在A,B之間，且總有博=倒？若存在，求出，的值；若不

?PB??QB?

存在，說(shuō)明理由.

57.(2022?北京東城.統(tǒng)考一模)設(shè)數(shù)列A:%外,,q(w≥2).如果

α,∈{l,2,,π}(z=l,2,,〃)，且當(dāng)i≠j時(shí)，qf%(l<i,∕≤"),則稱(chēng)數(shù)列A具有性質(zhì)P.

對(duì)于具有性質(zhì)P的數(shù)列A,定義數(shù)列T(A),如，其中

[0,?>?+,

⑴對(duì)T(A):0,1,1,寫(xiě)出所有具有性質(zhì)P的數(shù)列4

⑵對(duì)數(shù)列>?-l(n≥2),其中號(hào)∈{0,l}(i=l,2,?,n-l),證明：存在具有性質(zhì)P

的數(shù)列A,使得T(A)與E為同一個(gè)數(shù)列；

(3)對(duì)具有性質(zhì)P的數(shù)列A,若何—qJ=1(〃≥5)且數(shù)列7(A)滿(mǎn)足

fθi為奇數(shù)z

“；斗仲物(i=12，〃T，證明：這樣的數(shù)列A有偶數(shù)個(gè)?

[1,2為偶數(shù)

58?(2021?北京東城?統(tǒng)考一模)如圖，在長(zhǎng)方體ABCO-A4G"中，四邊形BCC聲是

邊長(zhǎng)為1的正方形，AB=2,M,N分別為AD,44的中點(diǎn).

(1)求證：MA〃平面ANC；

(2)求直線(xiàn)CN與平面RAC所成角的正弦值.

59.(2021.北京東城.統(tǒng)考一模)在-ABC中，COSC=；,c=8,再?gòu)臈l件①、條件②這

試卷第12頁(yè)，共14頁(yè)

兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

(1力的值；

(2)角A的大小和一ABC的面積.

條件①：。=7；條件②：cosB=-j?-.

60.(2021?北京東城?統(tǒng)考一模)小明同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)(滿(mǎn)分100分)如下表所示:

語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)物理化學(xué)生物

第一次879291928593

第二次829495889487

(1)從小明同學(xué)第一次測(cè)試的科目中隨機(jī)抽取1科，求該科成績(jī)大于90分的概率；

(2)從小明同學(xué)第一次測(cè)試和第二次測(cè)試的科目中各隨機(jī)抽取1科，記X為抽取的2

科中成績(jī)大于90分的科目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X):

(3)現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)(滿(mǎn)分100分)及相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息如下表所示:

語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)物理化學(xué)生物6科成績(jī)均值6科成績(jī)方差

第一次aι?3?4牝?6?lD,

第二次bbb

b?2i5beD2

將每科兩次測(cè)試成績(jī)的均值作為該科的總評(píng)成績(jī)，這6科總評(píng)成績(jī)的方差為Di.有一種

觀點(diǎn)認(rèn)為：若王=孫2<2,則R領(lǐng)口2?你認(rèn)為這種觀點(diǎn)是否正確？(只寫(xiě)“正確”或

“不正確”)

61.(2021?北京東城?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=χ3—公2_。2工+],其中α>o.

(1)當(dāng)α=l時(shí),求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線(xiàn)y=∕(x)在點(diǎn)(FJ(F))處的切線(xiàn)與)，軸的交點(diǎn)為(0,機(jī))，求機(jī)+1的最小

a

值.

62.(2021?北京東城?統(tǒng)考一模)已知橢圓C:二+E=l(a>b>O)過(guò)點(diǎn)。(-2,0),且焦距

a^b^

為2√L

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)A(-4,0)的直線(xiàn)/(不與X軸重合)與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)T與點(diǎn)Q關(guān)于X

軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)TP與X軸交于點(diǎn)“，是否存在常數(shù)2,使得IAOl?∣Q"∣=∕l(∣4)∣-∣fW∣)

成立，若存在，求出2的值；若不存在，說(shuō)明理由.

63.(2021.北京東城.統(tǒng)考一模)設(shè)"("??2)為正整數(shù)，若夕=(百,々，，七)滿(mǎn)足：

Φx,?∈{θ,l,,n-l)√=l,2,,〃；②對(duì)于啜j<∕〃，均有X尸馬；則稱(chēng)=具有性質(zhì)E(〃).

對(duì)于α=(%,j?,..,/)和產(chǎn)=定義集合

T{a,β)={rIr=Ixi-χl,i=l,2,,n}.

(1)設(shè)α=(0,1,2),若夕=(如%,%)具有性質(zhì)E(3),寫(xiě)出一個(gè)及相應(yīng)的T(a,0；

(2)設(shè)α和燈具有性質(zhì)E(6),那么T(α])是否可能為{0,1,2,3,4,5},若可能,寫(xiě)出一

組ɑ和α，若不可能，說(shuō)明理由；

(3)設(shè)α和乃具有性質(zhì)夙〃),對(duì)于給定的α,求證：滿(mǎn)足T(a,0={0,l,,n-l}^jβ

有偶數(shù)個(gè).

試卷第14頁(yè)，共14頁(yè)

參考答案：

?.B

【分析】求出集合A,結(jié)合元素與集合關(guān)系判斷即可.

2,

【詳解】VX-2<0,.?-√2<X<√2>ΛA={xl-√2<x<√2∣,

可知—2史A，￡eA,故A、C、D錯(cuò)誤；TeA,故B正確.

2

故選：B

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的兒何意義得到三=3-i,結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.

1

【詳解】由題意，復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù);對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,-1),

可得鄉(xiāng)=3-i,所以z=(3-i)?i=l+3i.

1

故答案為：A.

3.D

【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)方程求出P=2,進(jìn)而可得焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線(xiàn)方程.

【詳解】由產(chǎn)="可得p=2,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線(xiàn)方程為：y=-l,

故選：D.

4.B

【分析】由基本不等式求得最小值.

【詳解】'?'x>0,χ+--4≥2.∣x×--4=0,當(dāng)且僅當(dāng)X=&即x=2時(shí)等號(hào)成立.

ΛVxX

故選：B.

5.C

【分析】利用余弦定理得到c=2,6=4,利用同角三角函數(shù)基本公式得到SinA=巫，然后

4

利用面積公式求面積即可.

.—〃十仁2-214r~+Γ~—241

【詳解】α=2√6,b=2c,COSA==」,所以：=」,解得c=2,

2bc44c24

b=4,

因?yàn)锳∈(0,τr),所以SinA=S*κ?='bcsinA=LX2X4X^^=Λ∕Γ^.

v4abc224

故選：C.

6.B

答案第1頁(yè)，共42頁(yè)

【分析】根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定及性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件判斷即可.

【詳解】當(dāng)〃Z，"，NUa時(shí)，可推出〃〃力，但是推不出"_LZ?,

當(dāng)時(shí)，由α〃?可知"JLα,又機(jī)uα,所以/

綜上可知，“m_L〃”是“nVβ”的必要不充分條件.

故選：B

7.A

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(r,e-2+l),求得切線(xiàn)方程為y-(e-2+l)=e-2(xτ),把原點(diǎn)(0,0)代

入方程，得到。-DeT=I,解得f=2,即可求得切線(xiàn)方程.

【詳解】由函數(shù)y=e-+l,可得y=e'",

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(r,e-2+1),可得切線(xiàn)方程為y-(e,-2+l)=e,-2(x-r),

把原點(diǎn)(0,0)代入方程，可得OTeT+l)=e'"(OT),即(一1把々=1,

解得f=2,所以切線(xiàn)方程為y-(e°+l)=e°(x-2),即y=x.

故選：A.

8.D

【分析】通過(guò)建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(χ,y),得到P的軌跡方程，最后得到CP?OP的

表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得到其范圍.

【詳解】以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如下直角坐標(biāo)系；

則A(TO),B(l,0),C(l,2),D(-l,2),

設(shè)Pay),貝IJPA=(—1一x,-y),PB=(I-X,_y),

則PA-PB=-(1-X2)+∕=0,

BPX2+y2=1,則χ2-1=-y2,其中τ<χ<],0<y≤l,

答案第2頁(yè)，共42頁(yè)

則CP=(XTy—2),DP=(X+l,y-2),O<γ<l

則CP?OP=χ2-]+(y-2)2=-y2+(y-2)2=-4y+4e[0,4),

故選：D.

9.B

【分析】結(jié)合題意，應(yīng)取最小值時(shí)為負(fù)數(shù)，且4=4,利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意，要使生最小，則4，%，牝都是負(fù)數(shù)，則%和%選擇1和4,

設(shè)等比數(shù)列{4}的公比為4(4<0),

當(dāng)4=4時(shí)，a1=?,所以包=?2=4,所以夕=-2,所以％=〃4xq=4x(-2)=-8；

當(dāng)q=ι時(shí)，4=4,所以，^=42=;,所以夕=-：,所以%=%χq=iχ(-!)=-4：

〃24222

綜上，%的最小值為-8.

故選：B

10.C

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意知，N的70次方為83位數(shù)，所以N"e(l(Λ1083),則Ig1082<Ig/V70<Ig1083,

BP82<701gAT<83,整理得1.171vIgNv1.185,

根據(jù)表格可得Igl4=lg2+lg7=l.146<1.171,lgl6=41g2=1.204>1.185,所以IgN=Ig15,

即N=I5.

故選：C.

11.D

【分析】求出集合8,利用并集的定義可求得集合AU8.

[詳解]因?yàn)?={X∣∣XT<2}={H-2<XT<2}={X∣-l<x<3},因此，Auβ={x∣x≥-1).

故選：D.

12.C

【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，基函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷.

【詳解】A.函數(shù)V=Inx的定義域?yàn)?0,+8),值域?yàn)镽；

B.函數(shù)y=e*的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+8)；

答案第3頁(yè)，共42頁(yè)

C.函數(shù)y=χ3的定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽；

D.函數(shù)y=T的定義域?yàn)閧χ∣χ≠0},值域?yàn)閧y∣yHθ},

故選：C

13.B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】由iz=2+inz=2=空匕=l-2i,所以Z的虛部為—2,

ii

故選：B

14.A

【分析】根據(jù)數(shù)列的第〃項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)镾z,=/⑴，

所以當(dāng)〃22,"€川時(shí)，有S,,T=("-1)2(2),

(1)-(2),得1,

當(dāng)7=1時(shí),α∣=SJI=1適合上式,

因?yàn)?,-ɑ,?=(2n-l)-(2π-3)=2,

所以該數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列,

故選：A

15.C

【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，再代入計(jì)算可得;

3

【詳解】解：因?yàn)镾ina=所以sin(τr—2α)?tanα=sin2z?lana

?.___°Sina.?18

=2SlnaCoSa--------=2osm2a=2×

COStZ25

故選：C

16.D

【分析】由A8為A到平面EBC的距離，所以根據(jù)體積法可得VS匕一因G，代入數(shù)值

即可得解.

答案第4頁(yè)，共42頁(yè)

彳1

【詳解】

由A8C。-AgCQ為正方體,

顯然AB為A到平面EBC的距離，

所以％-AGE=%一叫G=gseb^AB=-×-×l×l×l=^,

故選：D

17.B

【分析】利用古典概型運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.

叁=1

【詳解】這3個(gè)節(jié)氣中含有“立春”的概率為&%

故選：B

18.A

【分析】利用基本不等式、特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】若/+∕72≤2,由基本不等式可得2|闊4"+從交，則固≤1,.?.T≤H≤I,

tl22,,

所以,a+b≤2^-l≤ab<Γi

若-l≤α6≤l,可取4=2,b=0,]S,a2+b2=4>2,

所以，tia2+b2≤2,,Φ^-?≤ab≤V,.

因此，“您+從父''是"T≤4≤l"的充分不必要條件,

故選：A.

19.B

【分析】先求得A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)I蜴=20得到(-￡)2+/=8,再結(jié)合C4,CS可得

到C軌跡為動(dòng)圓，求得該動(dòng)圓圓心的方程，即可求得答案.

答案第5頁(yè)，共42頁(yè)

【詳解】由y=履+陽(yáng)(b0)得A(-gθ),3(O,M,

K

故由∣A8∣=20得(-￡)2+/=8,

ιγι

由C4_LCB得AC?8C=O,設(shè)C(x,y),則(x+7,y)?(x,y-M=O,

K

即(χ+2y+(y-')2=￡+式，即點(diǎn)C軌跡為一動(dòng)圓，

2k24火24

tti/77

設(shè)該動(dòng)圓圓心為(X',y'),則X'=-差，)''=3，

整理得％=-1,，〃=23/,代入到(-r)2+/=8中，

XK

22

得：χ'+y'=2,即C軌跡的圓心在圓/+y2=2上，

故點(diǎn)(1,1)與該圓上的點(diǎn)(-1,-1)的連線(xiàn)的距離加上圓的半徑即為點(diǎn)C到點(diǎn)(1,1)的距離的最

大值，最大值為血-(T)F+[I-(T)F+應(yīng)=3五.

故選：B

20.D

【分析】經(jīng)過(guò)f天后，用戶(hù)人數(shù)A0=A(O)T,根據(jù)題意可求得A(O)=500,由小程序發(fā)布

經(jīng)過(guò)10天后有2000名用戶(hù)，可得2000=500**,當(dāng)用戶(hù)達(dá)到50000名時(shí)有50000=500*,

根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可求得答案.

【詳解】經(jīng)過(guò)f天后，用戶(hù)人數(shù)A(f)=A(0)e”

又小程序在發(fā)布時(shí)已有500名初始用戶(hù)

.?.A(O)=5(X)

又小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有2000名用戶(hù)

2000=50Oeg

即4=3%可得Ig4=Ig**

.,.lg4=10??lg<?.......①

當(dāng)用戶(hù)達(dá)到50000名時(shí)有50000=50Oa

即IOO=可得IglOo=Iga

2=ZZge.......②

答案第6頁(yè)，共42頁(yè)

聯(lián)立①和②可得誓=W,即弩=W

2t2t

故,=里」=33.3

Ig20.3

用戶(hù)超過(guò)50000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為34天

故選：D.

21.C

【分析】根據(jù)集合的并集的概念及運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由題意，集合A={x∣-l<x<2},8={xk<l},可得AUB={x∣x<2}.

故選：C.

22.B

【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)(l+2i)i,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?l+2i)i=-2+i,

所以-2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,1),它位于第二象限.

故選：B

23.A

【分析】根據(jù)分層抽樣的概念及方法，列出方程，即可求解.

【詳解】設(shè)該樣本中高三年級(jí)的人數(shù)為〃人，

根據(jù)分層抽樣的概念及方法，可得黑=￡，解得〃=18人.

500450

故選：A.

24.B

【分析】根據(jù)三視圖得到四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為3的正方形，高為3,再根據(jù)棱錐的體積公

式可求得結(jié)果.

【詳解】由三視圖可知，該四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為3的正方形，高為3,如圖：

故選：B

答案第7頁(yè)，共42頁(yè)

25.D

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)的距離，再根據(jù)勾股定理可求得結(jié)果.

【詳解】圓/+V=I的圓心為(0,0),半徑R=I,

l?∣

圓心(0,0)到直線(xiàn)y=-x+1)的距離d

k2

由R2=屋Iwi=2+-,得標(biāo)=3,

k2+?4

又因?yàn)?>0,所以Z=J

故選：D

26.C

【分析】作出函數(shù)y=∕(x)與y=?的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.

【詳解】作出函數(shù)y=∕(χ)與丫=?的圖象:

由圖可知：不等式/(χ)…4的解集為U,4].

故選：C

27.B

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)知InX<lny=>0<x<y=>N<∣y∣,可判斷必要性；由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義

域可判斷充分性，即可得到答案.

【詳解】由題意，利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知：InX<lny=O<x<y=W<∣y∣,故必要性成立,

而國(guó)<∣y∣=>in∣x∣<in∣M,但不能確定χ,y是否小于0,小于0時(shí)函數(shù)無(wú)意義，故IXlvyl不能

推出lnx<lny,故充分性不成立，所以“Ix∣<lyI”是“l(fā)nx<Iny，，的必要而不充分條件.

故選：B.

28.C

答案第8頁(yè)，共42頁(yè)

【分析】由題意求出A3=2,建立直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)量積求結(jié)果

【詳解】由已知得8C=√5-l,A8>BC,0J=XJ

AB2

解得AB=2

如圖建立直角坐標(biāo)系則B(0,0),C(石7,θ),A(θ,2)

則AB=(0,-2),AC=(√5-l,-2),ΛB?AC=4

故選：C

【分析】利用橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)重合得到P(c,2c),將其代入橢圓方程得到

S+±τ=l,根據(jù)離心率公式得到e2+2e-l=0,解方程可得結(jié)果.

aa-c

【詳解】由V=2px得尸(§0),

不妨設(shè)P在第一象限，因?yàn)镻FLX軸，喟,0),所以P(5,p),

22

又在橢圓C∕=+2=l(a>%>0)中，2c,0),