復(fù)習(xí)03函數(shù)基本性質(zhì)-單調(diào)性最值和奇偶性（十二大考點）（原卷版）

復(fù)習(xí)03函數(shù)基本性質(zhì)單調(diào)性，最值和奇偶性一、函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)單調(diào)性的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)圖象描述自左向右看，圖象是上升的自左向右看，圖象是下降的設(shè)，，若有或，則在閉區(qū)間上是增函數(shù)；若有或，則在閉區(qū)間上是減函數(shù)2．單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．注意：（1）單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上，可以有不同的單調(diào)性，同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．（2）函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域．（3）“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是”與“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”是兩個不同的概念，注意區(qū)分，顯然.3．函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論（1）若均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)；（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)在函數(shù)的定義域上，如果與的單調(diào)性相同，那么單調(diào)遞增；如果與的單調(diào)性相反，那么單調(diào)遞減．簡記：“同增異減”．（3）奇函數(shù)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；（4）一些重要函數(shù)的單調(diào)性：①的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；②（，）的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．二、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足條件對于任意的，都有；存在，使得對于任意的，都有；存在，使得結(jié)論為最大值為最小值注意：（1）函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最值不一定存在；（2）若函數(shù)的最值存在，則一定是值域中的元素；若函數(shù)的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無最值，若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點值就是函數(shù)的最值.三、函數(shù)的奇偶性1．函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有圖象關(guān)于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有圖象關(guān)于原點對稱注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個x，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點對稱）．2．函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反；（2），在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)（3）若奇函數(shù)的定義域包括，則．（4）若函數(shù)是偶函數(shù)，則．考點01函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明【方法點撥】證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟：①取值：且②作差變形：作差或,并通過通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判斷差的符號的方向變形③定號：確定差或的符號,當(dāng)符號不確定時,可以進行分類討論④結(jié)論：根據(jù)定義得出結(jié)論【例1】已知函數(shù)，.若成立，則下列論斷中正確的是（

）A．函數(shù)在上一定是增函數(shù)；B．函數(shù)在上一定不是增函數(shù)；C．函數(shù)在上可能是減函數(shù)；D．函數(shù)在上不可能是減函數(shù).【例2】已知函數(shù)，圖象經(jīng)過點，且.(1)求的值；(2)判斷并用定義證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.【變式11】下列函數(shù)中，滿足“對任意的，使得”成立的是（

）．A． B．C． D．【變式12】已知函數(shù)滿足．(1)求的值；(2)試判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明．【變式13】已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值是12.(1)求的解析式；(2)試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明.考點02函數(shù)奇偶性的判斷及證明【方法點撥】先求定義域，驗證是否關(guān)于原點對稱，若關(guān)于原點對稱，則計算，若，則函數(shù)為偶函數(shù)，若，則函數(shù)為奇函數(shù)【例3】下列函數(shù)為偶函數(shù)是（）A． B．C． D．【例4】已知函數(shù)的表達式為．(1)證明：當(dāng)時，函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．【變式21】設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【變式22】判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)；(2)；(3).【變式23】已知函數(shù)滿足．(1)求的解析式；(2)判斷的奇偶性，并說明理由．考點03復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題【方法點撥】對于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,利用與的單調(diào)性（同增異減）,從而得出的單調(diào)性?！纠?】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．C．和 D．【例6】討論函數(shù)在上的單調(diào)性，并求函數(shù)的最大值和最小值．【變式31】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．【變式32】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【變式33】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.考點04利用奇偶求解析式或函數(shù)值【方法點撥】利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的3個步驟（1）“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè)．（2）轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知的解析式．（3）利用的奇偶性寫出或，從而解出．【例7】已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，．(1)求出函數(shù)在上的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【例8】已知函數(shù)，且，則.【變式41】已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式．【變式42】若函數(shù)（為常數(shù)），已知，則.【變式43】已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，則．考點05求函數(shù)的最值【例9】函數(shù)，的最大值是（

）A． B． C．1 D．2【例10】已知函數(shù)，且．(1)求a．(2)用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)．(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【變式51】已知函數(shù)的解析式為.(1)畫出這個函數(shù)的圖象；(2)求函數(shù)的最大值.【變式52】函數(shù)y=+的最大值為.【變式53】用表示，兩個實數(shù)中的最大值．設(shè)，則函數(shù)的最小值是考點06根據(jù)單調(diào)性解不等式【方法點撥】若函數(shù)單調(diào)遞增，則由可得；若函數(shù)單調(diào)遞減，則由可得【例11】已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【例12】已知滿足.(1)求的解析式；(2)解不等式.【變式61】已知函數(shù)，．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【變式62】函數(shù)是定義在上的增函數(shù)．(1)求的最大值；(2)解不等式：．【變式63】定義在上的函數(shù)滿足，且，則使成立的x的取值范圍是．考點07利用單調(diào)性和奇偶性比較大小【方法點撥】奇偶性與單調(diào)性比較大?。嚎醋宰兞渴欠裨谕粏握{(diào)區(qū)間上①在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。虎诓辉谕粏握{(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大?。纠?3】已知定義在上的函數(shù)滿足，且，時，，記，，，則（

）A． B． C． D．【例14】已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式71】已知函數(shù)，若，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【變式72】定義在R上函數(shù)滿足以下條件：①函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，②對任意，當(dāng)時都有，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【變式73】已知函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，且對任意的，，總有，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．考點08根據(jù)單調(diào)性和奇偶性解不等式【方法點撥】奇偶性與單調(diào)性解不等式：①利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為或的形式；②根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，脫掉不等式中的“”轉(zhuǎn)化為簡單不等式求解．【例15】若定義在上的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例16】已知函數(shù)，且．(1)求實數(shù)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，解不等式．【變式81】設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對任意的滿足且，則不等式的解集為．【變式82】奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式83】（多選）已知定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①，；②，，當(dāng)時，.則下列選項成立的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則考點09根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【方法點撥】已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法是：視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過與已知單調(diào)區(qū)間比較，求參數(shù)的取值范圍．【例17】已知是上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例18】使得“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”成立的一個充分不必要條件可以是（

）A． B．1 C． D．0【變式91】已知，若對任意的，都有，則實數(shù)b的取值范圍是．【變式92】（多選）已知命題函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列是命題的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【變式93】設(shè)，若在R上單調(diào)，則m的取值范圍為．考點10根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)【方法點撥】利用奇偶性求參數(shù)的2種類型:（1）定義域含參數(shù)：奇偶函數(shù)的定義域為，根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱，利用求參數(shù)．（2）解析式含參數(shù)：根據(jù)或列式，比較系數(shù)利用待定系數(shù)法求解．【例19】已知數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值是（

）A．1 B． C．4 D．【例20】已知奇函數(shù)在上的最大值為，則（

）A．或3 B．或2 C．3 D．2【變式101】已知函數(shù)為偶函數(shù)，則.【變式102】若函數(shù)，為偶函數(shù)，則.【變式103】已知，若為偶函數(shù)，則．考點11根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)【例21】已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求在區(qū)間上的值域；(2)若在區(qū)間上的最大值為4，求的取值范圍．【例22】已知函數(shù)，的最小值為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式111】（多選）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為9，則可能的取值為（

）A．4 B． C．4 D．【變式112】若函數(shù)在的最大值為2，則的取值范圍是.【變式113】已知函數(shù)在上的最大值為，則實數(shù)的值為.考點12恒成立問題【方法點撥】（1）若在集合中恒成立,即集合是不等式的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍);（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題,即已知函數(shù)的值域為,則恒成立,即;恒成立,即.【例23】已知實數(shù)a，b，滿足恒成立，則的最小值為（

）A．2 B．1 C．1 D．4【例24】若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【變式121】奇函數(shù)在定義域上是嚴(yán)格增函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【變式122】已知函數(shù)．(1)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)使函數(shù)恒成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．【變式123】已知函數(shù)對任意實數(shù)恒有，且當(dāng)時，，又．(1)判斷的奇偶性；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．一、單選題1．下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上存在最小值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知是定義在上的奇函數(shù)，若對任意，均有且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．已知定義在上的函數(shù)滿足：關(guān)于中心對稱，是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題7．如圖是定義在區(qū)間上的函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)8．已知不等式在上恒成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．9．已知，若定義域為的滿足為偶函數(shù)，，且對任意不相等的，，均有，則(（

）A．的圖象關(guān)于直線