新教材數學人教A版學案4-3-1對數的概念

4．3對數【素養(yǎng)目標】1．理解對數的概念．(數學抽象)2．能夠進行對數式與指數式的互化．(邏輯推理)3．知道用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數．(數學運算)4．理解對數的運算性質．(邏輯推理)5．理解對數的底數和真數的取值范圍．(數學運算)6．掌握對數的基本性質及對數恒等式．(邏輯推理)【學法解讀】在本節(jié)學習中，利用實例使學生由指數式向對數式的轉化，從而引出對數的概念．學生應由指數式與對數式的互化，進而推導出對數的運算性質，提升運算能力及邏輯推理能力．4．3.1對數的概念必備知識·探新知基礎知識知識點1對數的概念(1)若ax＝N(a>0，且a≠1)，則x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．(2)ax＝N?x＝logaN．(3)常用對數：以10為底，記作lgN．自然對數：以無理數e≈2.71828…為底，記作lnN．思考1：(1)式子logmN中，底數m的范圍是什么？(2)對數式logaN是不是loga與N的乘積？提示：(1)m>0，且m≠1.(2)不是，logaN是一個整體，是求冪指數的一種運算，其運算結果是一個實數．知識點2對數的基本性質(1)負數和0沒有對數．(2)loga1＝0．(3)logaa＝1．思考2：請你利用對數與指數間的關系證明(1)(2)這兩個結論．提示：(1)由logaN＝x，得N＝ax，當a>0且a≠1時，ax>0，∴N>0，∴負數和0沒有對數．(2)設loga1＝x(a>0且a≠1)，則ax＝1，∴x＝0，即loga1＝0.設logaa＝x，則ax＝a，∴x＝1，即logaa＝1.知識點3對數恒等式alogaN＝N．思考3：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N是如何推出來的？提示：a0＝1?loga1＝0，a1＝a?logaa＝1，x＝logaN代入ax＝N得alogaN＝N.基礎自測1．將ab＝N化為對數式是(B)A．logba＝N B．logaN＝bC．logNb＝a D．logNa＝b[解析]根據對數定義知ab＝N?b＝logaN，故選B．2．若log8x＝－eq\f(2,3)，則x的值為(A)A．eq\f(1,4) B．4C．2 D．eq\f(1,2)[解析]∵log8x＝－eq\f(2,3)，∴x＝－eq\s\up6(\f(2,3))＝2－2＝eq\f(1,4)，故選A．3．對數式loga8＝3改寫成指數式為(D)A．a8＝3 B．3a＝8C．83＝a D．a3＝8[解析]根據指數式與對數式的互化可知，把loga8＝3化為指數式為a3＝8，故選D．4．若log2eq\f(x－1,2)＝1，則x＝5．[解析]∵log2eq\f(x－1,2)＝1，∴eq\f(x－1,2)＝2，∴x＝5.5．把下列指數式寫成對數式，對數式寫成指數式：(1)23＝8；(2)eeq\r(3)＝m；(3)27－eq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(1,3).[解析](1)log28＝3；(2)lnm＝eq\r(3)；(3)log27eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3).關鍵能力·攻重難題型探究題型一對數的定義例1(1)在對數式y(tǒng)＝log(x－2)(4－x)中，實數x的取值范圍是2<x<4且x≠3．(2)將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式．①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④logeq\r(5)125＝6.[分析](1)底數大于0且不等于1，真數大于0，對數式才有意義．(2)由指、對數式互化的方法進行互化．[解析](1)由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x>0，,x－2>0，,x－2≠1，))解得2<x<4且x≠3，所以2<x<4，且x≠3.(2)①由54＝625，得log5625＝4.②由log216＝4，得24＝16.③由10－2＝0.01，得lg0.01＝－2.④由logeq\r(5)125＝6，得(eq\r(5))6＝125.[歸納提升]1.指數式與對數式互化的方法技巧(1)指數式化為對數式：將指數式的冪作為真數，指數作為對數，底數不變，寫出對數式．(2)對數式化為指數式：將對數式的真數作為冪，對數作為指數，底數不變，寫出指數式．2．互化時應注意的問題(1)利用對數式與指數式間的互化公式互化時，要注意字母的位置改變．(2)對數式的書寫要規(guī)范：底數a要寫在符號“l(fā)og”的右下角，真數正常表示．【對點練習】?將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式：(1)3－2＝eq\f(1,9)；(2)(eq\f(1,5))－3＝125；(3)logeq\s\do9(\f(1,3))27＝－3；(4)logeq\r(x)64＝－6(x>0，且x≠1)．[解析](1)log3eq\f(1,9)＝－2.(2)logeq\s\do9(\f(1,5))125＝－3.(3)(eq\f(1,3))－3＝27.(4)(eq\r(x))－6＝64.題型二對數基本性質的應用例2求下列各式中的x：(1)log3(log2x)＝0； (2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1; (4)lg(lnx)＝0.[分析]利用指數式與對數式的互化進行解答．[解析](1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2.(2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3，∴x＝73＝343.(3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，∴x＝e10.(4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，∴x＝e.[歸納提升]對數性質在計算中的應用(1)對數運算時的常用性質：logaa＝1，loga1＝0.(2)使用對數的性質時，有時需要將底數或真數進行變形后才能運用；對于多重對數符號的，可以先把內層視為整體，逐層使用對數的性質．【對點練習】?求下列各式中x的值：(1)x＝logeq\s\do9(\f(1,2))16； (2)log8x＝－eq\f(1,3)；(3)log(eq\r(2)－1)eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x.[解析](1)∵x＝logeq\s\do9(\f(1,2))16，∴(eq\f(1,2))x＝16，即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4.(2)∵log8x＝－eq\f(1,3)，∴x＝8－eq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(1,\r(3,8))＝eq\f(1,2).(3)∵log(eq\r(2)－1)eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x，∴(eq\r(2)－1)x＝eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝eq\f(1,\r(（\r(2)＋1）2))＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，∴x＝1.題型三對數恒等式的應用例3計算：(1)71－log375；(2)4eq\s\up7(\f(1,2))(log29－log25)；(3)alogab·logbc(a、b均為不等于1的正數，c＞0)．[解析](1)原式＝eq\f(7,7log75)＝eq\f(7,5).(2)原式＝2log29－log25＝eq\f(2log29,2log25)＝eq\f(9,5).(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.[歸納提升]運用對數恒等式時注意事項(1)對于對數恒等式alogaN＝N要注意格式：①它們是同底的；②指數中含有對數形式；③其值為對數的真數．(2)對于指數中含有對數值的式子進行化簡，應充分考慮對數恒等式的應用．【對點練習】?求下列各式的值：(1)5log54；(2)3log34－2；(3)24＋log25.[解析](1)設5log54＝x，則log54＝log5x，∴x＝4.(2)∵3log34＝4，∴3log34－2＝3log34×3－2＝4×eq\f(1,9)＝eq\f(4,9).(3)∵2log25＝5，∴24＋log25＝24×2log25＝16×5＝80.課堂檢測·固雙基1．下列說法：①零和負數沒有對數；②任何一個指數式都可以化成為對數式；③以10為底的對數叫做常用對數；④以e為底的對數叫做自然對數．其中正確命題的個數為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①正確；②底數小于0的指數式不可以化成對數式；③④正確，故選C．2．在b＝log(a－2)(5－a)中，實數a的取值范圍是(B)A．a>5或a<2 B．2<a<3或3<a<5C．2<a<5 D．3<a<4[解析]由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2>0,a－2≠1,5－a>0))，∴2<a<5且a≠3，故選B．3．將(eq\f(1,3))－2＝9寫成對數式，正確的是(B)A．log9eq\s\do9(\f(1,3))＝－2 B．logeq\s\do9(\f(1,3))9＝－2C．logeq\s\do9(\f(1,3))(－2)＝9 D．log9(－2)＝eq\f(1,3)[解析]將(eq\f(1,3))－2＝9寫成對數式為logeq\s\do9(\f(1,3))9＝－2，故選B．4．若log2(log3x)＝0，則x＝3．[解析]由題意得log3x＝1，∴x＝3.5．完成以下指數式、對數式的互化．(1)(eq\f(2,3))－2＝eq\f(9,4)；(2)8eq\s\up6(\f(1,2))＝2eq\r(2)；(3)logeq\s\do9(\f(1,4))16＝－2；(4)lnx＝eq\f(1,3).[解析](1)∵(