初三年級數(shù)學圓的經(jīng)典講義

./圓目錄圓的定義及相關概念垂經(jīng)定理及其推論圓周角與圓心角圓心角、弧、弦、弦心距關系定理圓內接四邊形會用切線,能證切線切線長定理三角形的內切圓了解弦切角與圓冪定理〔選學圓與圓的位置關系圓的有關計算一．圓的定義及相關概念[考點速覽]考點1：圓的對稱性：圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。圓心是它的對稱中心。考點2：確定圓的條件；圓心和半徑①圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大?。虎诓辉谕粭l直線上的三點確定一個圓；考點3：弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。直徑是圓中最大的弦。弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距?；。簣A上任意兩點間的部分叫做弧?；》譃榘雸A,優(yōu)弧、劣弧三種?！舱垊毡刈⒁鈪^(qū)分等弧,等弦,等圓的概念弓形：弦與它所對應的弧所構成的封閉圖形。弓高：弓形中弦的中點與弧的中點的連線段?！舱垊毡刈⒁庠趫A中一條弦將圓分割為兩個弓形,對應兩個弓高固定的已經(jīng)不能再固定的方法：求弦心距,弦長,弓高,半徑時通常要做弦心距,并連接圓心和弦的一個端點,得到直角三角形。如下圖：考點4：三角形的外接圓：銳角三角形的外心在,直角三角形的外心在,鈍角三角形的外心在?？键c5點和圓的位置關系設圓的半徑為r,點到圓心的距離為d,則點與圓的位置關系有三種。①點在圓外d＞r；②點在圓上d=r；③點在圓內d＜r；[典型例題]例1在⊿ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CM是AB邊上的中線,以點C為圓心,以為半徑作圓,試確定A,B,M三點分別與⊙C有怎樣的位置關系,并說明你的理由。MMABC例2．已知,如圖,CD是直徑,,AE交⊙O于B,且AB=OC,求∠A的度數(shù)。DDOEBAC例3⊙O平面內一點P和⊙O上一點的距離最小為3cm,最大為8cm,則這圓的半徑是_________cm。例4在半徑為5cm的圓中,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,則AB和CD的距離是多少？例5如圖,⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E,已知AE=6cm,EB=2cm,,ABABDCO·E例6.已知：⊙O的半徑0A=1,弦AB、AC的長分別為,求的度數(shù)．二．垂徑定理及其推論[考點速覽]考點1垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條孤．推論1：①平分弦〔不是直徑的直徑重直于弦,并且平分弦所對的兩條孤．②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條孤．③平分弦所對的一條孤的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條孤．推論2．圓的兩條平行弦所夾的孤相等．垂徑定理及推論1中的三條可概括為：經(jīng)過圓心；②垂直于弦；③平分弦<不是直徑>；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣?。陨衔妩c已知其中的任意兩點,都可以推得其它兩點[典型例題]例1如圖AB、CD是⊙O的弦,M、N分別是AB、CD的中點,且．ABDABDCO·NM例2已知,不過圓心的直線交⊙O于C、D兩點,AB是⊙O的直徑,AE⊥于E,BF⊥于F。求證：CE=DF．[考點速練]1.已知⊙O的半徑為2cm,弦AB長,則這條弦的中點到弦所對劣孤的中點的距離為〔.A．1cmB.2cmC.D.cm3．如圖1,⊙O的半徑為6cm,AB、CD為兩弦,且AB⊥CD,垂足為點E,若CE=3cm,DE=7cm,則AB的長為〔A．10cmB.8cmC.D.4.有下列判斷：①直徑是圓的對稱軸；②圓的對稱軸是一條直徑；③直徑平分弦與弦所對的孤；④圓的對稱軸有無數(shù)條.其中正確的判斷有〔A．0個B.1個C.2個D.3個5．如圖2,同心圓中,大圓的弦交AB于C、D若AB=4,CD=2,圓心O到AB的距離等于1,那么兩個同心圓的半徑之比為〔A．3:2B.:2C.:D.5:46.如圖,⊙O的直徑為10,弦AB=8,P是弦AB上的一個動點,那么OP長的取值范圍是.7.如圖,已知有一圓弧形拱橋,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半徑是____m.ABDCO8008.如圖,直徑為1000mm的圓柱形水管有積水〔陰影部分,水面的寬度ABABDCO800三．圓周角與圓心角[考點速覽]考點1圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角,圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。Eg:判別下列各圖中的角是不是圓心角,并說明理由。圓周角：頂點在圓周上,角兩邊和圓相交的角叫圓周角。兩個條件缺一不可．Eg:判斷下列圖示中,各圖形中的角是不是圓周角,并說明理由考點2定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．Eg:如下三圖,請證明?？键c34.推論：①同弧或等弧所對的圓周角相等,同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也相等．②半圓〔或直徑所對的圓周角是直角,的圓周角所對的弦是直徑．③如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形．經(jīng)典例題例1：下圖中是圓周角的有.是圓心角的有。①②③④⑤⑥例2：如圖,∠A是⊙O的圓周角,且∠A＝35°,則∠OBC=_____.BOBOCAOABC例3：如圖,圓心角∠AOB=100°,則∠ACB=．EFCDGO例２例４：如圖１,是⊙O的直徑,點都在⊙O上,若EFCDGO例２〔例１〔例１例如圖2,⊙O的直徑過弦的中點,,則．例6：已知：如圖,AD是⊙O的直徑,∠ABC=30°,則∠CAD=_______．_..._D_C__..._D_C_B_A_O例7：已知⊙O中,,,則⊙O的半徑為四．圓心角、弧、弦、弦心距關系定理[考點速覽]圓心角,弧,弦,弦心距之間的關系定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的孤相等,所對的弦相等,所對的弦的弦心距相等推論：在同圓或等圓中,如果①兩個圓心角,②兩條弧,③兩條弦,④兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.〔務必注意前提為：在同圓或等圓中ABEFABEFOOPOCO1O2ODO例2、已知：如圖,EF為⊙O的直徑,過EF上一點P作弦AB、CD,且∠APF=∠CPF。求證：PA=PC?！ABC例3．如圖所示,在中,∠A=,⊙O截的三條邊長所得的三條弦等長,求∠·OABC例4．如圖,⊙O的弦CB、ED的延長線交于點A,且BC=DE．求證：AC=AE．OO·CAEBD例5．如圖所示,已知在⊙O中,弦AB=CB,∠ABC=,OD⊥AB于D,OE⊥BC于E．求證：是等邊三角形．·O·OADEBC五．圓內接四邊形[考點速覽]圓內接四邊形對角互補,外角等于內對角。圓內接梯形為等腰梯形,圓內接平行四邊形為矩形。判斷四點共圓的方法之一：四邊形對角互補即可。[典型例題]例1〔1已知圓內接四邊形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,求∠D的度數(shù)．·ABCDO〔2已知圓內接四邊形ABCD中,如圖所示,AB、BC、CD、AD的度數(shù)之比為1:2:3:4,求∠A、∠B、·ABCDO例2四邊形ABCD內接于⊙O,點P在CD的延長線上,且AP∥BD．求證：··ADCBOP例3如圖所示,是等邊三角形,D是BC上任一點．求證：DB+DC=DA．AA·BCDO六．會用切線,能證切線考點速覽：考點1直線與圓的位置關系圖形公共點個數(shù)d與r的關系直線與圓的位置關系0d>r相離1d=r相切2d<r相交考點2切線：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。符號語言∵OA⊥l于A,OA為半徑∴l(xiāng)為⊙O的切線考點3判斷直線是圓的切線的方法：①與圓只有一個交點的直線是圓的切線。②圓心到直線距離等于圓的半徑的直線是圓的切線。③經(jīng)過半徑外端,垂直于這條半徑的直線是圓的切線?！舱垊毡赜涀∽C明切線方法：有交點就連半徑證垂直；無交點就做垂直證半徑考點4切線的性質定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心?！舱垊毡赜涀∏芯€重要用法：見切線就要連圓心和切點得到垂直經(jīng)典例題：例1.如圖,△ABC內接于⊙O,AB是⊙O的直徑,∠CAD＝∠ABC,判斷直線AD與⊙O的位置關系,并說明理由。例2.如圖,OA=OB=13cm,AB=24cm,⊙O的半徑為5cm,AB與⊙O相切嗎？為什么?例3.如圖,PA、PB是⊙O的切線,切點為A、B,C是⊙O上一點,若∠P＝40。,求∠C的度數(shù)?！BCEOD例4．如圖所示,中,,以AC為直徑作·ABCEOD中考鏈接1.如圖,在以O為圓心的兩個同心圓中,AB經(jīng)過圓心O,且與小圓相交于點A,與大圓相交于點B,小圓的切線AC與大圓相交于點D,且CO平分∠ACB.試判斷BC所在直線與小圓的位置關系,并說明理由。2.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90。,點O在AB上,以O為圓心,OA長為半徑的圓與AC、AB分別交于點D、E,且∠CBD=∠A,判斷BD與⊙O的位置關系,并證明你的結論。七．切線長定理考點速覽：考點1切線長概念：經(jīng)過圓外一點做圓的切線,這點和切點之間的線段的長,叫做這點到圓的切線長．切線長和切線的區(qū)別·A A·A AO AC AD AB AP A考點2切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．要注意：此定理包含兩個結論,如圖,PA、PB切于A、B兩點,①PA=PB②PO平分．考點3兩個結論：圓的外切四邊形對邊和相等；圓的外切等腰梯形的中位線等于腰長．經(jīng)典例題：例1已知PA、PB、DE分別切于A、B、C三點,若PO=13㎝,的周長為24㎝,A·EPDBCO求：①A·EPDBCO例2如圖,分別切的三邊AB、BC、CA于點D、E、F,若．·EFD·EFDCOAB··EFDCOAB例3．如圖,一圓內切四邊形ABCD,且AB=16,CD=10,則四邊形的周長為？·A·AOCDBBBEF1．如圖,是的內切圓,D、E、F為切點,,則．．2．直角三角形的兩條直角邊為5㎝、12㎝,則此直角三角形的外接圓半徑為㎝,內切圓半徑為㎝．··AOCDBBBEFGB3．如圖,直線AB、BC、CD分別與相切于點E、F、G,且AB∥CD,若OB=6㎝,OC=8㎝,則,的半徑=㎝,BE+CG=㎝．八．三角形內切圓考點速覽考點1概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓,內切圓的圓心叫做三角形的內心,這個三角形叫做圓的外切三角形．概念推廣：和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓,這個多邊形叫做圓的外切多邊形．考點2三角形外接圓與內切圓比較：名稱確定方法圖形性質外心〔三角形外接圓的圓心三角形三邊中垂線的交點〔1OA=OB=OC；〔2外心不一定在三角形的內部．內心〔三角形內切圓的圓心三角形三條角平分線的交點〔1到三邊的距離相等；〔2OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；〔3內心在三角形內部．考點3求三角形的內切圓的半徑1、直角三角形△ABC內切圓⊙O的半徑為.2、一般三角形①已知三邊,求△ABC內切圓⊙O的半徑r.〔海倫公式S△＝,其中s=>經(jīng)典例題：例1．閱讀材料：如圖〔1,△ABC的周長為L,內切圓O的半徑為r,連結OA,OB,△ABC被劃分為三個小三角形,用S△ABC表示△ABC的面積．∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA又∵S△OAB=AB·r,S△OBC=BC·r,S△OCA=AC·r∴S△ABC=AB·r+BC·r+CA·r=L·r〔可作為三角形內切圓半徑公式〔1理解與應用：利用公式計算邊長分為5,12,13的三角形內切圓半徑；〔2類比與推理：若四邊形ABCD存在內切圓〔與各邊都相切的圓,如圖〔2且面積為S,各邊長分別為a,b,c,d,試推導四邊形的內切圓半徑公式；〔3拓展與延伸：若一個n邊形〔n為不小于3的整數(shù)存在內切圓,且面積為S,各邊長分別為a1,a2,a3,…an,合理猜想其內切圓半徑公式〔不需說明理由．例2．如圖,△ABC中,∠A=m°．〔1如圖〔1,當O是△ABC的內心時,求∠BOC的度數(shù)；〔2如圖〔2,當O是△ABC的外心時,求∠BOC的度數(shù)；〔3如圖〔3,當O是高線BD與CE的交點時,求∠BOC的度數(shù)．例3．如圖,Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I分別切AC,BC,AB于D,E,F,求Rt△ABC的內心I與外心O之間的距離．考點速練1：1．如圖1,⊙O內切于△ABC,切點為D,E,F．已知∠B=50°,∠C=60°,連結OE,OF,DE,DF,那么∠EDF等于〔A．40°B．55°C．65°D．70°圖1圖2圖32．如圖2,⊙O是△ABC的內切圓,D,E,F是切點,∠A=50°,∠C=60°,則∠DOE=〔A．70°B．110°C．120°D．130°3．如圖3,△ABC中,∠A=45°,I是內心,則∠BIC=〔A．112.5°B．112°C．125°D．55°4．下列命題正確的是〔A．三角形的內心到三角形三個頂點的距離相等B．三角形的內心不一定在三角形的內部C．等邊三角形的內心,外心重合D．一個圓一定有唯一一個外切三角形5．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,則它的內切圓與外接圓半徑分別為〔A．1.5,2.5B．2,5C．1,2.5D．2,2.56．如圖,在△ABC中,AB=AC,內切圓O與邊BC,AC,AB分別切于D,E,F．〔1求證：BF=CE；〔2若∠C=30°,CE=2,求AC的長．7．如圖,⊙I切△ABC的邊分別為D,E,F,∠B=70°,∠C=60°,M是弧DEF上的動點〔與D,E不重合,∠DMF的大小一定嗎？若一定,求出∠DMF的大?。蝗舨灰欢?請說明理由．九．了解弦切角與圓冪定理〔選學[考點速覽]考點11.弦切角的概念：頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角。注意：弦切角必須具備三個條件：〔1頂點在圓上〔切點,〔2一邊和圓相切,〔3一邊和圓相交〔弦,三者缺一不可。2.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。3.弦切角定理的推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等,那么這兩個弦切角也相等。考點2圓冪定理：圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理〔切割線定理推論以及它們推論統(tǒng)一歸納的結果。1、相交弦定理：圓內兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等。2、相交弦定理的推論：如果弦與直徑相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。3、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。4、切割線定理的推論〔或稱割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。典型例題：例1.如圖,經(jīng)過⊙O上的點T的切線和弦AB的延長線相交于點C。求證：∠ATC＝∠TBC例2.已知：如圖,AB是⊙O的弦,P是AB上的一點,AB＝10cm,PA＝4cm,OP＝5cm,求⊙O的半徑。例3.AB是半圓O的直徑,C是AB延長線上一點,CD切半圓于D,連結AD,若AD＝15,,求BC的長。十．圓與圓位置的關系考點速覽：1圓和圓的位置關系〔設兩圓半徑分別為R和r,圓心距為d外離外切相交內切內含圖形OO1O2OO1O2OO1O2OO1O2OO1O2公共點0個1個2個1個0個d、r、R的關系外公切線2條2條2條1條0條內公切線2條1條0條0條0條2．有關性質：〔1連心線：通過兩圓圓心的直線。如果兩個圓相切,那么切點一定在連心線上?！?公共弦：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。〔3公切線：和兩個圓都相切的直線,叫做兩圓的公切線。兩個圓在公切線同旁兩個圓在公切線兩旁外公切線內公切線外公切線內公切線3．相交兩圓的性質定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。4．相切兩圓的性質定理：相切兩圓的連心線經(jīng)過切點經(jīng)典例題：例1、如圖,已知⊙與⊙相交于A、B兩點,P是⊙上一點,PB的延長線交⊙于點C,PA交⊙于點D,CD的延長線交⊙于為N.〔1過點A作AE//CN交⊙于點E.求證：PA=PE.PAPABC·EN·D例2如圖,在中,,圓A的半徑為1,若點O在BC邊上運動〔與點B、C不重合,設的面積為y.〔1求關于的函數(shù)關系式,并寫出的取值范圍；〔2以點O為圓心,BO長為半徑作⊙O,當圓⊙O與⊙A相切時,求的面積.OOBCA經(jīng)典得不能再經(jīng)典的練習一．選擇1.已知⊙O1與⊙O2的半徑分別為5cm和3cm,圓心距020=7cm,則兩圓的位置關系為A．外離B．外切C．相交D．內切2.已知兩圓半徑分別為2和3,圓心距為,若兩圓沒有公共點,則下列結論正確的是〔A． B． C．或 D．或3.大圓半徑為6,小圓半徑為3,兩圓圓心距為10,則這兩圓的位置關系為〔A．外離B．外切Ｃ．相交D．內含4.右圖是一張卡通圖,圖中兩圓的位置關系〔A．相交B．外離C．內切D．內含5.若兩圓的半徑分別是1cm和5cm,圓心距為6cm,則這兩圓的位置關系是〔A．內切 B．相交 C．外切 D．外離6.外切兩圓的圓心距是7,其中一圓的半徑是4,則另一圓的半徑是A．11 B．7 C．4 D．37.已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為1和4,如果兩圓的位置關系為相交,那么圓心距O1O2的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是B．B．310245D．310245A．310245C．3102458.若兩圓的半徑分別是2cm和3cm,圓心距為5cm,則這兩個圓的位置關系是〔A.內切B.相交C.外切D.外離9.若與相切,且,的半徑,則的半徑是〔A．3B．5C．7D．3或710.已知與外切,它們的半徑分別為2和3,則圓心距的長是〔A．=1B．＝5C．１＜＜５D．＞５11.已知兩圓的半徑分別為3cm和2cm,圓心距為5cm,則兩圓的位置關系是A．外離 B．外切 C．相交 D．內切12.如圖,把⊙O1向右平移8個單位長度得⊙O2,兩圓相交于A.B,且O1A⊥O2A,則圖中陰影部分的面積是A.4π-8B.8π-16C.16π-16D.16π-3213．若兩圓的直徑分別是2cm和10cm,圓心距為8cm,則這兩個圓的位置關系是〔A.內切B.相交C.外切D.外離ABO·C14.如圖,兩個同心圓的半徑分別為3cm和5cm,弦AB與小圓相切于點ABO·C A．4cmB．5cm C．6cmD．8cmPOBA1POBAA． B．C． D．16．若相交兩圓的半徑分別為1和2,則此兩圓的圓心距可能是〔．A．1 B．2 C．3 D．417.圖中圓與圓之間不同的位置關系有 〔A．2種 B．3種 C．4種 D．5種18．已知的半徑為3cm,的半徑為4cm,兩圓的圓心距為7cm,則與的位置關系是．二．填空19.已知兩圓的半徑分別是2和3,圓心距為6,那么這兩圓的位置關系是.20.已知相交兩圓的半徑分別為和,公共弦長為,則這兩個圓的圓心距是______________．21.已知的半徑為3cm,的半徑為4cm,兩圓的圓心距為7cm,則與的位置關系是．22.已知和的半徑分別是一元二次方程的兩根,且則和的位置關系是．23.如圖,,的半徑分別為1cm,2cm,圓心距為5cm．如果由圖示位置沿直線向右平移3cm,則此時該圓與的位置關系是_____________．24.已知相切兩圓的半徑分別為和,這兩個圓的圓心距是．25.已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為和且則⊙O1和⊙O2的位置關系為．26．已知的三邊分別是,兩圓的半徑,圓心距,則這兩個圓的位置關系是．27．如圖,正方形中,是邊上一點,以為圓心.為半徑的半圓與以為圓心,為半徑的圓弧外切,則的值為DDCEBA〔27OOyxCDBAO1O260°〔第28題l十一.圓的有關計算考點速覽：[例題經(jīng)典]有關弧長公式的應用例1如圖,Rt△ABC的斜邊AB=35,AC=21,點O在AB邊上,OB=20,一個以O為圓心的圓,分別切兩直角邊邊BC、AC于D、E兩點,求弧DE的長度．有關陰影部分面積的求法·COABDE例2如圖所示,等腰直角三角形的斜邊,是的中點,以為圓心的半圓分別與兩腰相切于、．求圓中陰影部分的面積．·COABDE求曲面上最短距離例3如圖,底面半徑為1,母線長為4的圓錐,一只小螞蟻若從A點出發(fā),繞側面一周又