專題11 模型構建專題：解直角三角形應用中的基本模型-2023-2024學年蘇科版九年級數(shù)學下冊?？級狠S題

-2024學年九年級數(shù)學下冊?？級狠S題專題11專題：解直角三角形應用中的基本模型姓名：_________班級：_________學號：_________【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 1【類型二不含特殊角的非直角三角形】 10【類型三“獨立”型】 15【類型四“背靠背”型】 19【類型五“疊合”型】 25【類型六“斜截”型】 29【典型例題】【類型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】例題：（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，小明在游玩時想利用手中的無人機測量一山崖CD（垂直于地面）的高度，小明從A點看向無人機B的仰角為45°．從無人機B處測得看山崖頂端C的仰角為30°，測得看山崖底部D處的俯角為60°，無人機B與山崖的水平距離BE為50米．（圖中各點均在同一平面內）．

（1）求山崖的高度（結果保留根號）；（2）若點A距離地面2米，求小明到山崖的水平距離（結果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，）【變式訓練】1．（2023秋·山東濰坊·九年級昌樂二中?？茧A段練習）如圖，要測量鐵塔的高AB，在地面上選取一點C，在AC兩點間選取一點D，測得CD=14米，在C、D兩點處分別用測角儀測得鐵塔頂端B的仰角為α=30°和β=45°．測角儀支架的高為1.2米，求鐵塔的高（精確到0.1米）．

2．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）“科技改變生活”，小王是一名攝影愛好者，新入手一臺無人機用于航拍．在一次航拍時，數(shù)據(jù)顯示，從無人機A看建筑物頂部B的仰角為45°，看底部C的俯角為60°，無人機A到該建筑物BC的水平距離AD為10米，求該建筑物BC的高度．（結果精確到米；參考數(shù)據(jù)：，）

3．（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，一艘輪船在A處測得燈塔M位于A的北偏東30°方向上，輪船沿著正北方向航行20海里到達B處，測得燈塔M位于B的北偏東60°方向上，測得港口C位于B的北偏東45°方向上．已知港口C在燈塔M的正北方向上．

（1）填空：度，度；（2）求燈塔到輪船航線的距離（結果保留根號）；（3）求港口與燈塔的距離（結果保留根號）．4．（2023春·海南·九年級校聯(lián)考期中）如圖，小明為測量宣傳牌的高度，他站在距離建筑樓底部處6米遠的地面處，測得宣傳牌的底部的仰角為．同時測得建筑樓窗戶處的仰角為（在同一直線上．）然后，小明沿坡度為的斜坡從走到處，此時正好與地面平行，小明在處又測得宣傳牌頂部的仰角為．（1）填空：__________度，__________度；（2）求距離地面的高度（結果保留根號）；（3）求宣傳牌的高度（結果保留根號）．5．（2023春·安徽亳州·九年級?？奸_學考試）無人機在實際生活中應用廣泛．如圖所示，小明利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中P處，測得樓樓頂D處的俯角為，測得樓樓頂A處的俯角為.已知樓和樓之間的距離為100米，樓的高度為10米，從樓的A處測得樓的D處的仰角為（點A、B、C、D、P在同一平面內）．

（1）填空：______.（2）求此時無人機距離地面高度．【類型二不含特殊角的非直角三角形】例題：（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在每個邊長均為1的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C均在網(wǎng)格的交點上，則．【變式訓練】1．（2023·廣東汕頭·?？既＃┯蛇呴L為1的小正方形構成的網(wǎng)格圖形中，的頂點A、B、C都在格點上，則．

2．（2023·北京·校聯(lián)考一模）如圖，的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則的值為．3．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知在中，，，．（1）求；（2）求．4．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點作于點，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：（1）如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；（2）為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結果保留根號．參考數(shù)據(jù)：，【類型三“獨立”型】例題：（2023春·吉林長春·九年級校考階段練習）如圖，某校無人機興趣小組借助無人機測量教學樓的高度，無人機在離教學樓底部處米的處垂直上升米至處，測得教學樓頂處的俯角為，則教學樓的高度約為米．（結果精確到米）【參考數(shù)據(jù)：，，】

【變式訓練】1．（2023春·山東日照·九年級日照市新營中學?？茧A段練習）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達點，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達點、、、、在同一平面內，在處測得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數(shù)據(jù)：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米2．（2023春·安徽淮南·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓樓頂A處看乙樓樓頂B處仰角為30°，則甲樓高度為米；

3．如圖，小明在公園放風箏，拿風箏線的手離地面高度為，風箏飛到處時的線長為，這時測得，求此時風箏離地面的高度．（精確到，）

【類型四“背靠背”型】例題：（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考開學考試）科技改變生活，手機導航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達A地后，導航顯示車輛應沿北偏西67°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東23°方向行駛一段距離到達古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B，C兩地的距離（結果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）．

【變式訓練】1．（2023春·江蘇南通·九年級?？茧A段練習）如圖，一艘船由A港沿北偏東方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏東方向，則A，C兩港之間的距離為．

2．（2023春·海南省直轄縣級單位·九年級統(tǒng)考期中）某校舉辦以“測量”為主題的數(shù)學實踐活動，該校數(shù)學興趣小組準備借助無人機來測量小區(qū)內的一座大樓高度．如圖所示，無人機從地面點A處沿著與地面垂直的方向上升，至點B處時，測得大樓底部C的俯角為30°，E測得大樓頂部D的仰角為45°．無人機保持航向不變繼續(xù)上升50米到達點E處，此時測得大樓頂部D的俯角為60°．已知A、C兩點在同一水平線上．

（1）填空：＝_________度，＝_________度；（2）求A、C兩點間的距離：（結果保留根號）（3）求這座大樓的高度．（結果保留根號）3．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）如圖，某無人機興趣小組在操場上展開活動，此時無人機在離地面30米的D處，無人機測得操控者A的俯角為，測得教學樓頂端點C處的俯角為，又經(jīng)過人工測量測得操控者A和教學樓之間的距離為57米．（點A，B，C，D都在同一平面上，結果保留根號）

（1）填空：______度，______度；（2）求此時無人機與教學樓之間的水平距離的距離；（3）求教學樓的高度．【類型五“疊合”型】例題：（2023春·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考階段練習）文峰塔位于河南省安陽市古城內西北隅，因塔建于天寧寺內，又名天寧寺塔；文峰塔建于五代后周廣順二年，已有一千余年歷史，風格獨特，具有上大下小的特點．由下往上一層大于一層，逐漸寬敞，是傘狀形式，這種平臺、蓮座、遼式塔身、藏式塔剎的形制世所罕見．活動課上，數(shù)學社團的學生計劃測量文峰塔的高度．如圖所示，先在點C處用高1.6m的測角儀測得塔尖A的仰角為37°，向塔的方向前進12m到達F處，在F處測得塔尖A的仰角為45°，請你相關數(shù)據(jù)求出文峰塔的高度．（結果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，，．）

【變式訓練】1．（2023秋·山東聊城·九年級聊城市實驗中學?？茧A段練習）如圖，小明為了測量小河對岸大樹的高度，他在點A測得大樹頂端的仰角為，沿斜坡走米到達斜坡上點，在此處測得樹頂端點的仰角為，且斜坡的坡比為，，A，在同一水平線上．

（1）求小明從點A到點的過程中，他上升的高度．（2）大樹的高度約為多少米參考數(shù)據(jù)：，，2．（2023·江蘇蘇州·校考二模）如圖，某中學數(shù)學課題學習小組在“測量物體高度”的活動中，欲測量一棵古樹的高度，他們在這棵古樹的正前方一平房頂點處測得古樹頂端的仰角為，在這棵古樹的正前方處，測得古樹頂端的仰角為，在點處測得點的俯角為，已知為米，且、、三點在同一條直線上．

（1）求平房的高度；（2）請求出古樹的高度．（根據(jù)以上條件求解時測角器的高度忽略不計）【類型六“斜截”型】例題：（2023春·遼寧阜新·九年級校考階段練習）如圖，在南北方向的海岸線上，有A，B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號，已知A，B兩船相距海里，船C在船A的北偏東方向上，船C在船B的東南方向上，上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東方向上．

（1）求出A與C之間的距離．（2）已知距觀測點D處100海里范圍內有暗礁．若巡邏船A沿直線去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險？（參考數(shù)據(jù)：，）【變式訓練】1．（2023·內蒙古·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機在處測得河流左岸處的俯角為，無人機沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測得河流右岸處的俯角為，線段米為無人機距地面的鉛直高度，點，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．2．（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，某漁船在完成捕撈作業(yè)后準備返回港口C，途經(jīng)某海域A處時，港口C的工作人員監(jiān)測到點A在南偏東30°方向上，另一港口B的工作人員監(jiān)測到點A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C兩地相距120海里．（1）求出此時點A到港口C的距離（計算結果保留根號）；（2）若該漁船從A處沿AC方向向港口C駛去，當?shù)竭_點A’時，測得港口B在A’的南偏東75°的方向上，求此時漁船的航行距離（計算結果保留根號）．參考答案【典型例題】【類型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】例題：【答案】（1）米；（2）135米【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)求得和，根據(jù)，即可得到答案；（2）過點作于點，過點作于點，得矩形，進而求得，利用銳角三角函數(shù)求得，即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可知：，，，在中，，，在中，，，米答：山崖的高度約為米；（2）解：如圖，過點作于點，過點作于點，得矩形，

則，，，在中，，，，米，答：小明到山崖的距離約為135米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當輔助線是解題的關鍵．【變式訓練】1．鐵塔的高約為20.3米【分析】設米，在中，，可得米，則米，在中，，求出，根據(jù)可得出答案．【詳解】解：由題意得，米，米，，，設米，在中，，米，米，在中，，解得，，鐵塔的高約為20.3米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關鍵．2．該建筑物的高度約為米【分析】由題意可知，，，，根據(jù)三角形內角和定理和等角對等邊的性質，得到米，再利用銳角三角函數(shù)，求出米，即可得到該建筑物的高度．【詳解】解：由題意可知，，，，，，米，在中，米，米，答：該建筑物BC的高度約為米．

【點睛】本題考查的是解直角三角形——仰俯角問題，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，銳角三角函數(shù)，熟練掌握直角三角形的特征關鍵．3．（1）30，45（2）燈塔到輪船航線的距離為海里（3）港口與燈塔的距離為海里【分析】（1）作交于，作交于，由三角形外角的定義與性質可得，再由平行線的性質可得，即可得解；（2）作交于，作交于，由（1）可得：，從而得到海里，再由進行計算即可；（3）作交于，作交于，證明四邊形是矩形，得到海里，，由計算出的長度，證明是等腰直角三角形，得到海里，即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖，作交于，作交于，

，，，都是正北方向，，，，故答案為：30，45；（2）解：如圖，作交于，作交于，

，由（1）可得：，海里，在中，，海里，海里；燈塔到輪船航線的距離為海里；（3）解：如圖，作交于，作交于，

，，，、都是正北方向，四邊形是矩形，海里，，在中，，海里，海里，在中，，是等腰直角三角形，海里，海里，港口與燈塔的距離為海里．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，矩形的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形外角的定義與性質，熟練掌握以上知識點，添加適當?shù)妮o助線，構造直角三角形是解題的關鍵．4．（1）45，120（2）距離地面的高度為米（3）宣傳牌的高度約為米【分析】（1）由題意，得，，則，，即可由，求解；（2）過點作于，先證明四邊形是矩形，得，解，求出的長，即可求解．（3）解，求得（米），再根據(jù)是等腰直角三角形，即可求解．【詳解】（1）解：由題意，得，∴∴，由題意，得，∴∴．（2）解：如圖，過點作于，

由題意得，，∴四邊形是矩形．．在中，（米），（米）．答：距離地面的高度為米；（3）解：∵斜坡的坡度為，中，（米），（米）．∴在中，，米．在中，（米），（米）．答：宣傳牌的高度約為米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角及坡度坡角問題，正確標注仰角和俯角、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．5．（1）；（2）【分析】（1）作，垂足為，作，垂足為，先求出，，再根據(jù)三角形的內角和定理即可得；（2）作，垂足為，作，垂足為，則，先在中，解直角三角形可得，再根據(jù)等腰三角形的判定可得，然后在中，解直角三角形可得，最后根據(jù)即可得．【詳解】（1）解：如圖，作，垂足為，作，垂足為，

，，，，，，故答案為：．（2）解：如圖，作，垂足為，作，垂足為，

∴，在中，，，，由（1）可知，，∴，在中，，，，又，∴，答：此時無人機距離地面的高度為．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理、解直角三角形的應用等知識點，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關鍵．【類型二不含特殊角的非直角三角形】例題：【答案】1【分析】取格點D，連接，根據(jù)勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根據(jù)，得到．【詳解】解：如圖所示，取格點D，連接，∵，，，，∴是直角三角形，，∵，∴．故答案：1．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，銳角三角函數(shù)等，添加輔助線，熟練掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正切的定義，是解決問題的關鍵．【變式訓練】1．【分析】先根據(jù)勾股定理求出，，，可知，再過點B作，然后根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】根據(jù)勾股定理，得，，，∴．過點B作，交于點D，∴．在中，，∴．故答案為：．

【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，等腰三角形的性質等，構造直角三角形是解題的關鍵．2．【分析】取格點D，連接，根據(jù)勾股定理分別求出，，，即得出，說明為直角三角形，最后根據(jù)余弦的定義求解即可．【詳解】解：如圖，取格點D，連接．∴，，，∴，∴為直角三角形，∴．故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理及其逆定理，余弦的定義．正確的連接輔助線是解題關鍵．3．（1）1；（2）【分析】（1）過點作于點，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，進而求出；（2）利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：過點作于點，則，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）知，在中，．【點睛】本題考查解直角三角形．通過作高，構造直角三角形是解題的關鍵．4．（1）見解析；（2）【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關聯(lián)并求解；（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖2，過點作于點，在中，，在中，，，；（2）解：如圖3，過點作于點，，，，在中，又，即，，．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．【類型三“獨立”型】例題：【答案】【分析】過作于點，可得，根據(jù)題意可知米，米，由作圖知，米，在中利用三角函數(shù)可求出的長，即可求得的長【詳解】過作于點，

，米，米，，米，在中，，，米，米，答：教學樓的高度約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，借助仰角構造出直角三角形，然后利用三角函數(shù)進行求解是關鍵．【變式訓練】1．C【分析】延長交的延長線于，作于，首先根據(jù)坡度求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)構建方程即可解決問題．【詳解】解：如圖，延長交的延長線于，作于，

由題意得：米，米，米，在中，：，米，在中，，米，，米，米；即建筑物的高度約為米．故選：．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角、坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．2．【分析】在中，由可求，再由，即可求解．【詳解】解：如圖，

由題意得：米，米，，在中，，，，甲樓的高為（）米；故答案：．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，掌握解法是解題的關鍵．3．此時風箏離地面的高度為【分析】根據(jù)矩形的判定和性質，直角三角形的性質，三角函數(shù)的計算方法即可求解．【詳解】解：如圖所示，，，

由圖可知，人垂直于地面，即垂直于地面，點到地面的高度為，即垂直于地面，且，∴四邊形是矩形，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴此時風箏離地面的高度為．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質，矩形的判定和性質，三角函數(shù)的計算方法，掌握以上知識的運用是解題的關鍵．【類型四“背靠背”型】例題：【答案】B，C兩地的距離約是10千米．【分析】根據(jù)平行線的性質可知，推出，再根據(jù)正切的定義求出的長．【詳解】解：如圖：

∵，∴，∴，∴（千米）．答：B，C兩地的距離約是10千米．【點睛】此題考查了方向角問題．此題難度適中，解此題的關鍵是將方向角問題轉化為解直角三角形的知識，利用三角函數(shù)的知識求解．【變式訓練】1．【分析】根據(jù)題意得，，，，過B作于E，解直角三角形即可得到結論．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，過B作于E，

∴，在中，∵，，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴A，C兩港之間的距離為，故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，正確作出輔助線構造直角三角形是解答本題的關鍵．2．（1）；；（2）米；（3）米【分析】（1）根據(jù)俯角和仰角的定義求解即可；（2）設，在中可得，在中可得，在中可得，最后由列方程求解即可；（3）由求解即可．【詳解】（1）如圖，

由題意可得，，，，，，，∴,，故答案為：；；（2）設，則，在中可得，在中可得，在中可得，∴解得：，∴；（3）由（2）可得，，∴【點睛】本題考查解直角三角形-仰角俯角問題，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形解決問題．3．（1）105，135（2）無人機與教學樓BC之間的水平距離BE的距離為米（3）教學樓BC的高度為米【分析】（1）延長交于點，根據(jù)題意可得，，，則，再根據(jù)三角形的外角定理求出即可；（2）過點A作，垂足為F．根據(jù)題意可得，米，米，則，再根據(jù)即可求解；（3）在中，，則，即可求解．【詳解】（1）解：如圖：延長交于點，

由題意得：，，，∴，∵是的一個外角，∴，故答案為：105，135；（2）解：過點A作，垂足為F．

由題意得：，米，米，在中，，（米），∴米，∴米，∴此時無人機與教學樓之間的水平距離BE的距離為米；（3）解：在中，，米，∴米，∴米，∴教學樓的高度為米．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．【類型五“疊合”型】例題：【答案】文峰塔的高度約為38米【分析】延長交于點G，設米，在中，求出的長，進而得出的長，中，利用，進行求解即可．【詳解】解：延長交于點G．

由題意得：米，米，．設米．在中，，∴（米）．∴米．在中，，∴，解得．經(jīng)檢驗：是原方程的根．∴（米）．答：文峰塔的高度約為38米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是構造直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義．【變式訓練】1．（1）小明從點A到點的過程中，他上升的高度為米；（2）大樹的高度約為米【分析】（1）作于，在中，，則．由勾股定理得,即可求出答案；（2）延長交于點設米．求出米在中，，則米在中，，則米．由得到，即可求得答案．【詳解】（1）作于，如圖所示，

在中，，．，，米答：小