2022-2023學(xué)年河南省平頂山市高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省平頂山市高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知直線x-2y+∕=O經(jīng)過點(2,-1),則該直線在y軸上的截距為()

A.—B.—C.2D.—2

22

【答案】D

【分析】將點(2,-1)代入方程得出f,進而由x=0得出所求截距.

【詳解】因為直線x-2y+f=0經(jīng)過點(2,-1),所以2+2+f=0,解得f=T,

所以直線方程為x-2y-4=0,令X=0,得y=-2.

故選：D

2.直線5x-3y-2=0的一個方向向量可以是()

A.(5,3)B.(-5,3)C.(3,5)D.(3,-5)

【答案】C

【分析】將直線轉(zhuǎn)成斜截式，可得到一個方向向量，然后找出與其平行的向量即可

52

［詳解］由5x-3y-2=0可得y=

所以直線5x-3y-2=0的一個方向向量為(I1),

對于C,因為］?=g(3,5),所以(3,5)也是直線5x-3y-2=0的一個方向向量，

對于ABD選項，由于都不與(IW)平行，故不是直線的方向向量，

故選：C

3.已知直線a"3=0與圓U(X-1)2+V=9相交于2、Q兩點，則IPQI=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】求出圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心到直線的距離，最后根據(jù)弦長公式計算可得.

【詳解】圓C：(X-I)2+V=9的圓心C(1,0),半徑r=3,

設(shè)圓心C(LO)到直線x-y+3=0的距離為"，則"咤=2&,

所以IPQl=2y∣r2-d2=2j9-（2八）2=2.

故選：A

4.已知橢圓《+￡=1的兩個焦點分別為耳,工，橢圓上一點P與焦點K的距離等于6,則△尸耳用的

3627

面積為()

A.24B.9√3C.27D.36

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓方程可確定P點位置，據(jù)此可得三角形面積.

【詳解】由土+L=1知/=36,/=27,c?=9,即α=6/=36,c=3,

3627

所以點尸恰好是橢圓短軸的一個端點，

所以APF?鳥的面積S=?2c=9√3.

故選：B

5.已知直線4:x_(l+a)y+a-2=0與4："-6y+15=0平行，IjIlJa=()

A.2B.3C.-3D.2或-3

【答案】A

【分析】由直線平行的條件求解即可.

【詳解】因為4〃4,所以“(l+")=6,解得。=2或α=-3.當(dāng)。=一3時，乙與4重合.故α=2.

故選：A

6.在正項等比數(shù)列｛q｝中，若%%=9,則(q/f-q=()

A.6B.12C.56D.78

【答案】D

【分析】直接利用等比中項即可求出為和6%的值，代入計算即可.

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知=9,裙=9,

又因為｛%｝為正項等比數(shù)列，

所以4=3,所以(4%y一4=78.

故選：D.

7.已知點根―1,2,3)在平面α內(nèi)，平面α=｛p∣∕7EP=θ｝,其中”=0TI)是平面α的一個法向量,

則下列各點在平面”內(nèi)的是()

A.(2,-4,8)B.(3,8,5)C.(-2,3,4)D.(3,T,1)

【答案】B

【分析】由法向量的定義結(jié)合數(shù)量積運算確定y=χ+z,再判斷選項.

【詳解】設(shè)P(X,y,z)是平面ɑ內(nèi)的一點，則兄P=(X+l,y-2,z-3),

所以(x+1)—(y—2)+(z-3)=0,即y=x+z,選項B滿足.

故選：B

8.中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》記載有這樣一個問題：“今有俸糧三百零五石，令五等官(正一

品、從一品、正二品、從二品、正三品)依品遞差十三石分之，問，各若干？’'其大意是，現(xiàn)有俸糧305

石，分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這5位官員，依照品級遞減13石分這些俸糧，問，

每個人各分得多少俸糧？在這個問題中，正二品分得的俸糧是()

A.35石B.48石C.61石D.74石

【答案】C

【分析】由等差數(shù)列的定義結(jié)合求和公式得出正一品的俸糧數(shù)，進而得出正二品分得的俸糧數(shù).

【詳解】正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這5位官員所分得的俸糧數(shù)記為數(shù)列｛%｝,

由題意，｛%｝是以-13為公差的等差數(shù)列，且$5=5%+學(xué)x(-13)=305,解得q=87.

故正二品分得俸糧的數(shù)量為七=4+2X(T3)=61(石).

故選：C

9.等比數(shù)列｛4｝的公比為g(g>0),“4>4”是“數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合充分性和必要性的定義進行判斷即可.

【詳解】由數(shù)列｛““｝是單調(diào)遞增一定能推出%>4，

當(dāng)%>4時?，有4∣4>q,

若4>0,則有4>1,4,m-4=qq"-"4"T=44"τgτ)>o=”向>為，因此數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增，

πnn

若。<0,則有OCg<1,an+i-aπ=aiq-aiq~'=alq~'(<y-l)>0=>an+i>a?,因此數(shù)列｛4｝單調(diào)遞

增，

所以由4>4一定能推出數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增,

因此“4>q”是“數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增”的充要條件,

故選：C

10.已知點A(l,0,2),3(Tl,2),C(l,l,-2),則點A到直線BC的距離是()

A.述B.必史C.在D.5

555

【答案】B

【分析】根據(jù)點到直線的距離的向量法求解公式計算即可.

［詳解］設(shè)A8=α=(-2,l,0),8C=(2,0,-4),"=i^^=∣,

故選：B

11.已知拋物線C:V=4χ的焦點為廠，準(zhǔn)線為/,尸。是過焦點廠的一條弦，已知點4(4,3),則()

A.焦點尸到準(zhǔn)線/的距離為1

B.焦點F(0,l),準(zhǔn)線方程為y=T

113

-----+------

?PF?IQFl4

D.∣Λ4∣+∣P耳的最小值是5

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物方程可得P,及焦點位置可判斷AB,利用特殊位置PQ為通徑時判斷C,再由拋

物線定義及三點共線可判斷D.

【詳解】由題設(shè)知2p=4,p=2,所以焦點F到準(zhǔn)線/的距離為2,故A錯誤；

由拋物線C的方程知，拋物線焦點在X軸上，故B錯誤；

112,

考慮特殊情形，當(dāng)PQ與X軸垂直時，得到網(wǎng)+函=5=1，故C錯誤；

作「。JJ,垂足為O,如圖,

所以∣R4∣+∣Pb∣=∣R4∣+∣叫"+1=5,當(dāng)且僅當(dāng)"R/三點共線時等號成立，故D正確.

故選：D

12.如圖，正方體ABCO-ABeA的棱長為2,線段Ba上有兩個動點E,F(E在尸的左邊)，且

A.當(dāng)E,F運動時，不存在點￡廠使得AfJ

B.當(dāng)E,尸運動時，不存在點E,尸使得AE〃3尸

C.當(dāng)E運動時，二面角E-AB-C的最大值為45。

D.當(dāng)E,F運動時，二面角A—防-3為定值

【答案】C

【分析】建立坐標(biāo)系，利用向量法判斷AC；由反證法判斷B；平面國有即為平面8。。蜴，平面AEF

即為平面AqR,從而得出二面角A-EF-B為定值.

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(2,2,0),3(0,2,0),C(0,0,0),。(2,0,0),A(2,0,2).

因為E/在Ba上，且4A=2√Σ,EF=丘,

可設(shè)E(f,2-f,2)(l≤f≤2),則F(f-l,3-f,2),

貝IJAE=(f-2,-r,2),C戶=(f-l,3τ,2),

所以AE?CF=(，-2)G-l)+(3-√)?(τ)+4=2∕-6r+6,

故AE?CF恒為正，故A正確.

若則48,第,R四點共面，與AB和Sa是異面直線矛盾，故B正確.

設(shè)平面ABE的法向量為m=(x,>1,z),

AB?〃?=()-2x=0

又AB=(—2,0,0),所以?,即

AEm=O(r-2)x-ty+2z=0，

取y=2,則機=(0,21),

平面ABC的法向量為"=(0,0,1),所以c°sg”)=丁

設(shè)二面角E-AB-C的平面角為。，則。為銳角，故

因為l≤f≤2,y=舊在［1,2］上單調(diào)遞減,

所以?J2≤Jl+，≤??∕5,故<cosθ≤,

即。取最小值45。,故C錯誤.

連接8。,A2,A8∣.平面￡7方即為平面BQRBI,而平面AEF即為平面Agj,故當(dāng)E,F運動時，二

面角A-EF-B的大小保持不變，故D正確.

故選：C

二、填空題

13.設(shè)公比為2的等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，^S7-2S6=1,則q+6=

【答案】33

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式及通項公式計算即可得解.

【詳解】因為$-2邑=業(yè)?-上也二巧=0,=l,

61-21-2

所以q+4=1+2'=33.

故答案為：33

14.寫出與圓Cl:犬+9-4Λ∕0+8=0和圓C??x^+y2-4y=O都相切的一條直線的方程：

【答案】√3x-γ-2=0(答案不唯一)

【分析】根據(jù)圓的半徑、圓心可判斷兩圓位置關(guān)系，據(jù)此求公切線方程即可.

【詳解】由圓G：(x-2石y+V=4,圓C2：/+(y-2)2=4,

IC1C21=J(O-26)2+(2-0)2=4=2+2,可知它們外切，

所以兩圓的方程作差即可得內(nèi)公切線的方程為√Jx-y-2=0.

又直線GG的方程為χ+√Jy-2√5=0,兩圓半徑相等，

故可設(shè)外公切線的方程為X+底，+m=Q,

因為圓心G(0,2)到外公切線距離為此四=2，

√l+3

所以加=4-2√J或,*=-4-26，即兩條夕卜公切線的方程分另IJ為x+√Jy+4-2√J=0和

x+√3>?-4-2√3=0.

故答案為：√3x-y-2=0(答案不唯一)

15.已知四面體。48C,M,N分別是8C,OA的中點，且OA=α,OB=6,MN=C,則向量

OC-(用■,反3表示).

【答案】a-b-2c

【分析】根據(jù)三角形法則和平行四邊形法則得出MN=IOA-g(θB+OC),進而得出0C?

【詳解】MN=ON-OM=^OA-^OB+OC],所以O(shè)C=QA_08_2MN.

即OC=a-h-2c

故答案為：cι-b-2c

16.雙曲線C：f—丁=1的左、右頂點分別為A,B,P為C上一點，直線方,PB與X=；分別交

于M,N兩點，則IMNl的最小值為.

【答案】√3

【分析】設(shè)P(X。，為)，XOX±1，%≠0,x：-W=1，寫出直線方程求得M，N點縱坐標(biāo)后，求出∣"N∣,

然后利用導(dǎo)數(shù)求得最小值.

【詳解】由題意A(-l,0),8(1,0),設(shè)尸(x0,%),x0≠±H%≠0,片-巾=1,

直線PA方程為y=τ?(χ+i),令》=:，得丫=#片，

八口十124玉)十?/

直線尸B方程為y=-?(χ-D,令χ=<,得y=-3?,

X0-I22(x0-l)

%(4--2)JyO(2J*+IT)=2jyj+I

IMM=3%IΛ

2(%+1)2(x-l)21

0Uo-)I?oIyOl

設(shè)f(y)=(y>0)，則/'(y)=，

""y'Ir√>+r

/(〉)=0得>=6，

o<y<√J時，/'(y)<o,y>∕時,f,(y)>o,

二/(y)在(0,6)上遞減，在(五+8)上遞增，

y=6時，f6)即=JvS)=邪，

所以IMNImilI=

故答案為：√3.

三、解答題

17.設(shè)等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，已知S3=7,且q-4=-7?

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)a=4,+2"-l,數(shù)列也｝的前”項和為η,,證明：當(dāng)“≥5時，τ,,≥56.

【答案】⑴a,,=》一

⑵證明見解析

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式列式求4,4,即可得結(jié)果；

(2)利用分組求和可求得力,=2"-1+/,再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛為｝的公比為4，

a.(]-q3]

[S3=7——"=7[a,=1

：3則l-<,解得'

1(I”7)7W?

故a—"，

(2)由(1)知仇=2"∣+2"-l,

所以北=4+么+…+b,,=(l+l)+(2+3)+…+(2"T+2"-l)=(l+2+L+2,,^l)+(l+3+L+2?-1)

=y(l+21)=2，_"

1-22

V/(x)=2,-1+/在J,+∞)上單調(diào)遞增，則數(shù)列｛北｝為遞增數(shù)列，

.?.當(dāng)〃≥5時,Tn≥Ts=56,

故當(dāng)〃≥5時，Tn≥56.

18.已知橢圓Ci[+g?=l(α>b>O)的長軸比短軸長2,橢圓C的離心率為五.

a^b4

(1)求橢圓C的方程；

⑵若直線/與柳圓C交于AB兩點，且線段AB的中點為例(-2,1),求/的方程.

【答案】(1)二+二=1

169

(2)9x-8y+26=0

b=3

【分析】⑴根據(jù)離心率以及短軸長與長軸長的關(guān)系得到方程組I=K，解出即可.

2a-2h=2

(2)設(shè)A(Λpy),8(x2,%),利用點差法得'二包=-^x工手，再根據(jù)中點坐標(biāo)求出占+%=-4,

y+%=2,代入即可得到直線AB斜率，最后寫出直線方程即可.

【詳解】(1)因為橢圓C的離心率為五，所以工=>4?,解得2=]..

416a2a4

又橢圓C的長軸比短軸長2,所以勿-3=2,

b_3

a=4,

聯(lián)立方程組Z=Z,解得

b=3,

2a-2b=2

所以橢圓C的方程為《+《=1.

169

(2)顯然點M(-2,l)在橢圓9∕+16y2=i44內(nèi),

+16yi2=144

設(shè)Aa,χ),B(w,%),因為AB在橢圓C上,所以

+16^=144,

兩個方程相減得(片一考)+(一只)即

9164=O,9(xl-Λ2)(^+x2)=-16(y,-y2)(yl+y2),

因為線段AB的中點為M(—2,1),所以%+z=-4,y+%=2,

y∣-V9-49

所以2~~—2=——×—=-

X1-X21628,

Q

所以/的方程為＞-l=5(x+2),即9x-8y+26=0.

O

TT

19.如圖，四邊形A38是邊長為2的菱形，且/48。=§,3〃，平面458,8Μ〃￡^,

(1)證明：平面AMCj■平面4VC.

(2)求平面AMN與平面CMN夾角的大小.

【答案】(1)證明見解析

嗚

【分析】(1)由AC，平面8例￡得出ACj_ME,再由勾股定理證明ME_LNE,最后由面面垂直的

判斷證明即可；

(2)以點E為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系，利用向量法得出面面角.

【詳解】(1)證明：連接30，設(shè)AC與BO相交于點E,連接ME,NE.

在菱形A8C3中，AB=2,∕4BC=(,所以BE=DE=B

因為工平面ABCD,所以BMLAC.

又BDLAC,BDCBM=B,所以ACL平面所以ACLME.

在直角三角形切WE中，由BM=娓,BE=6,得Λ∕E=3.

在直角三角形DNE中，由DN=范,DE=B得NE=逑.

22

在直角梯形BMNz)中，由BM=2DN=灰,BD=2百,得MN二地,

2

所以ME2+NE2=MN2,從而MELNE.

又ACCNE=E,所以ME_L平面4VC.

因為MEU平面AMC,所以平面AMC_L平面ATVC..

(2)取MN的中點”，分別以EAEB,E〃所在直線為X軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則點A(l,0,0),N0,-√3,?-,Λ∕(θ,√3,√6),

設(shè)平面AMN的法向量為仆=(x,y,z),

nxAM=-x+>∕3y÷V6z=0,

LEl9√3rτ

則=巫,則4=萬，--

r√6取Z

π1?A∕V=-x-√3y÷^-z=0,

同理可得平面CMN的法向量為%=卜3?,-￠,4),

n?n,_-9?fβ

所以cos(%,“2)=i1

∣nl∣∣∏2∣^^7×√72^2,

所以平面AMN與平面CA^V夾角的大小為.

20.如圖所示，在四棱錐A-Ba)E中，,ABC是等邊三角形，CDHBE,BDlCD,記平面ACD

與平面ABE的交線為/.

E

(1)證明：IHCD.

⑵若AD=BE=辰D=2，DE=R。為/上一點，求BC與平面QBO所成角的正弦值的最大值.

【答案】(1)證明見解析:

喈

【分析】(1)根據(jù)條件可證CO〃面48E,然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可得到結(jié)果.

(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法，結(jié)合線面角公式即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)在四棱錐A-BCDE中，CDHBE,

又因為BEu面AftE,CDa面4把，

所以CD〃面ASE,

又因為平面Aa)與平面48E的交線為/,Su面AC。，

所以〃/CD.

(2)因為CD"BE,BDLCD,所以

在直角一.D8E中，因為。E=#,BE=2,所以BD=正,

因為在直角ABCD中，因為BD=CD=B所以BC=2,

取BC的中點0,連接OAO。，在等邊/1SC中，OA1BC,OA=,

在等腰直角C中，ODYBC,OD=\,

在AOAD中，因為OA=如,OO=1,AD=2,所以O(shè)z)_LoA,

以。點為原點，OCOZZOA所在直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

6)(O,O,O),C(1,O,O),Z>(O,1,O),B(-1,O,O),A(O,O,√3),

設(shè)Q(x,y,z)由(1)知〃/CD,且/過點A,則4Q=∕ICQ,即(蒼X2-6)=/1(-1,1,0),得

X=-λ,y=λ,z=?∣3,即Q(—幾,4,有)，

設(shè)平面08。的法向量為%=(α,8c),則

/M-BD=O(α,b,c)?(1,1,0)=0?a+b=O

n

m?BQ=O(a,6,c)?(l—44檔)=0?a(?-λ]+λb+4ic=0

“I22-1

令Q=I則6=T,c=_S

則平面的法向量為m=(l,T,c)

設(shè)BC與平面QB。所成角為凡BC與平面QBQ的法向量用=(1,-Lc)所成角為α,

%BC∣_|(1,—l,c)?(2,0,0)∣2_1

則Sine=ICoSM=

222222

郵BC[^+(-1)+C2.√2+0+02√2+C√2+C

0<-^==≤^,即O<sin"*，則BC與平面所成角的正弦值的最大值為孝

21.設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S,，｛2｝是等比數(shù)列，已知q+伉=3,七+勿=7嗎+4=13,

%+a=23.

⑴求圾｝的通項公式以及品；

⑵記C,=b,,Sl,,求數(shù)列｛cn｝的前n項和Tn.

【答案】⑴》=2",5,=〃2

(2乂〃~—2〃+3)?2w+l—6

【分析】(1)根據(jù)題意，列出關(guān)于首項與公差、公比的方程組，解方程求解即可；

2

(2)由cn=n?2"=[(n+1)?-4(〃+1)+612向一(1-4〃+6)-2",利用裂項相消法求和.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列{4},也}的公差和公比分別為4g,

a}+?1=3

q+d+4'=7

由題意得<

al+2d+如？=13

q+3d+b∣q3=23

d+blq-bi=4

相鄰兩個方程分別相減得?"+4q2-4q=6.

d+4，_麗2=|0

如2_2麗+a=24(夕-1)2=2

進一步化簡得即,

)2

bx(f-2?1^+?l<∕=4b∣q(q-l)2=4

解得4=q=2.

將4=夕=2代入OI+/=3和a[+d+b]4=7,可得d=2,q=1,

2

所以d=2",5?=nal+?("；)?=n.

(2)由(1)知C,=/.2”,.

因為%=〃2.2"=[(〃+1)2-4(〃+1)+6}2"*'-(〃2-4〃+6).2",

222

J5jy?cl=(2-4×2+6)×2-(l-4×l+6)×2,

2322

C2=(3-4×3+6)×2-(2-4×2+6)×2,

q,=[(〃+l)2—4(〃+l)+612"M-(1-4〃+6)2,

上式相加得7；=[("+1)2-4(〃+1)+6}2向-6=(皆-2〃+3)-2同一6.

22.已知雙曲線E:5-W=l(a>0,6>0)的離心率為半，點[2,-曰]在雙曲線E上.

⑴求E的方程；

(2)過E的右焦點廠的直線/與雙曲線E的右支交于AB兩點，與兩條漸近線分別交于M,N兩點，設(shè)

?MN?=λ?AB?,求實數(shù)2的取值范圍.

【答案】⑴餐-y2=l

⑵(1,2]

【分析】(1)根據(jù)雙曲線的離心率及雙曲線上的點列出方程求解。力即可得雙曲線方程；

(2)設(shè)直線/的方程為X=Wy+2,聯(lián)立雙曲線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求出弦長|4可，再聯(lián)立直線

再由2=需計算即可.

/的方程與雙曲線的漸近線方程，求出