重難點12數(shù)列求和（分組求和裂項相消錯位相減倒序相加）四種考法

重難點12數(shù)列求和（分組求和、裂項相消、錯位相減、倒序相加）四種考法【目錄】考法1：分組求和法考法2：裂項（相消）法考法3：錯位相減法考法4：倒序相加法二、命題規(guī)律與備考策略二、命題規(guī)律與備考策略數(shù)列是高考考查熱點之一，其中等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式，以及與等差、等比數(shù)列有關(guān)的錯位相消求和及裂項相消求和，是考查的重點．作為數(shù)列綜合題，常和充要條件、方程、不等式、函數(shù)等結(jié)合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者證明不等式等，對于基礎(chǔ)能力和基礎(chǔ)運算要求較高．三、三、題型方法考法1：分組求和法：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.一、解答題1．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）運用等比數(shù)列、等差數(shù)列通項公式計算即可.（2）運用分組求和及等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式計算即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則，，，又，可得，所以.（2）由（1）可得，故，以它為通項的數(shù)列是以1為首項、公比為3的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的前2n項和為：.即:數(shù)列的前2n項和為.2．（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）在等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，記為數(shù)列的前項和，若，求正整數(shù)的最小值．【答案】(1)(2)6【分析】（1）將全部用代換，結(jié)合等比性質(zhì)可求的通項公式；（2）化簡得，結(jié)合分組求解法求出，由的單調(diào)性可求的最小值．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，，成等比數(shù)列及，得，即，解得．當時，，，構(gòu)成等比數(shù)列，符合條件；當時，，，不能構(gòu)成等比數(shù)列，不符合條件．因此，于是數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）知，故，所以易知在正整數(shù)集上嚴格遞增，且，．故滿足的正整數(shù)的最小值為6．3．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足：，，，對一切正整數(shù)成立．(1)證明：數(shù)列{}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項之和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)結(jié)合遞推公式利用等比數(shù)列的定義證明即可；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，利用累加法和等比數(shù)列求和公式求解出數(shù)列的通項公式，再利用分組求和即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，對一切正整數(shù)成立，∴，即．∴數(shù)列{}是以為首項，4為公比的等比數(shù)列．（2）由(1)知，，∴,當n=1時，滿足上式，綜上所述，.設(shè)數(shù)列的前項之和為，則=．4．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）已知均為不是1的正實數(shù)，設(shè)函數(shù)的表達式為．(1)設(shè)且，求x的取值范圍；(2)設(shè)，，記，，現(xiàn)將數(shù)列中剔除的項后、不改變其原來順序所組成的數(shù)列記為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題設(shè)，利用指數(shù)單調(diào)性求解集即可；（2）由已知有，，根據(jù)條件分析中的元素組成，利用等差數(shù)列前n項和公式、分組求和.【詳解】（1）由題設(shè)，又且都不為1的正實數(shù)，所以，而，故.（2）由，，而數(shù)列前100項中有，其中屬于數(shù)列有，所以數(shù)列前100項是的前103項去掉三個元素，則.5．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足（正整數(shù)(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{}的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意轉(zhuǎn)化條件得，結(jié)合即可得證；（2）由題意可得，進而可得，由分組求和法即可得解.【詳解】（1）證明：已知遞推公式，兩邊同時加上3，得：，因為，所以，又，所以數(shù)列是以為首項、以2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1），則，所以.6．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）已知定義在上的函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）滿足，且，刪除無窮數(shù)列、、、、、中的第項、第項、、第項、、，余下的項按原來順序組成一個新數(shù)列，記數(shù)列前項和為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)已知數(shù)列的通項公式是，，，求函數(shù)的解析式；(3)設(shè)集合是實數(shù)集的非空子集，如果正實數(shù)滿足：對任意、，都有，設(shè)稱為集合的一個“閾度”；記集合，試問集合存在“閾度”嗎？若存在，求出集合“閾度”的取值范圍；若不存在，請說明理由；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由可求得、的值，進而可得出函數(shù)的解析式；（2）對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，求出的表達式，根據(jù)可得出的表達式；（3）分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，求出、關(guān)于的表達式，求出的取值范圍，可得出的取值范圍，即可得出集合“閾度”的取值范圍.【詳解】（1）解：因為，則，若，即，解得，則，因為，可得，因此，.（2）解：當為奇數(shù)時，設(shè)，則，此時，此時；當為偶數(shù)時，設(shè)，則，此時，，此時.綜上所述，.（3）解：，因為，，其中，所以，數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成以為首項，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列中的偶數(shù)項構(gòu)成以為首項，公比為的等比數(shù)列，①當為偶數(shù)時，，則，此時，隨著的增大而增大，則；②當為奇數(shù)時，，，此時，隨著的增大而增大，則.因此，當且，的值在區(qū)間內(nèi)，則，故集合“閾度”的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第（3）問考查集合“閾度”的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于對分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，求出關(guān)于的表達式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求出的取值范圍，進而根據(jù)題中定義求出集合“閾度”.考法2：裂項相消法：有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和.一、填空題1．（2023·上海黃浦·上海市大同中學?？既＃┠纤蔚臄?shù)學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則．【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的遞推關(guān)系，利用累加法求出通項，再利用裂項相消法求和作答.【詳解】依題意，在數(shù)列中，，當時，，滿足上式，因此，，數(shù)列的前項和為，則，所以.故答案為：2．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學校考三模）已知，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則.【答案】【分析】分析可知是正奇數(shù)列，根據(jù)題意求得，然后利用裂項相消法求和即可.【詳解】因為數(shù)列是正奇數(shù)列，對于數(shù)列，當為奇數(shù)時，設(shè)，則為偶數(shù)；當為偶數(shù)時，設(shè)，則為奇數(shù)，所以，則，所以.故答案為：.3．（2023下·上海楊浦·高三復旦附中?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，且對于任意的正整數(shù)n，都有．若正整數(shù)k使得對任意的正整數(shù)成立，則整數(shù)k的最小值為．【答案】【分析】由題意可得，，取倒化簡可得，再利用裂項相消法即可得解.【詳解】因為，，可得，則有，所以，所以，則，因為正整數(shù)k使得對任意的正整數(shù)成立，所以，所以整數(shù)k的最小值為.故答案為：.4．（2024上·上海寶山·高三上海交大附中校考期末）已知正項數(shù)列的前項和滿足（為正整數(shù)）.記，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用求出數(shù)列的通項公式，由裂項相消求和法計算可得.設(shè)函數(shù)，將函數(shù)寫出分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的值域為R和極限的思想可得當時、當時，解不等式即可求解.【詳解】因為，所以，又因為是正項數(shù)列，所以，即，當?shù)?，當?shù)?，?jīng)檢驗符合上式，所以.所以.設(shè)函數(shù)，當時，；同理可得，當時，，當時，，當時，，當時，，即，其中，由函數(shù)的值域為R知，當時，，所以，即，解得；當時，，所以，即，解得，綜上，實數(shù)k的取值范圍為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的難點是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，利用函數(shù)的值域確定關(guān)于k的不等式即可求解，其中涉及到極限思想以及數(shù)列的求通項公式和求和知識點，平時練習都要熟練應(yīng)用.5．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的各項都是正數(shù)，，若數(shù)列為嚴格增數(shù)列，則首項的取值范圍是，當時，記，若，則整數(shù)【答案】【分析】先由題給條件求得，再利用即可求得；先利用裂項相消法求得，再列不等式組，即可求得整數(shù)的值.【詳解】正項數(shù)列，為嚴格增數(shù)列，則，則，解之得又，則，則由，可得由可得，則，則又當時，，則由可得，，又，則，解之得，則整數(shù)故答案為：；6．（2023·上海黃浦·格致中學?？既＃┮阎棓?shù)列的前項和為，若，，數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是.①；②是等差數(shù)列；③；④滿足的的最小正整數(shù)為10.【答案】②③④【分析】對于②，根據(jù)與的關(guān)系得出是等差數(shù)列；對于①，由求出，再比較大小進行判斷；對于③，令，通過導數(shù)證明在上恒成立，令（，），再證得不等式成立；對于④，利用裂項相消法求出，再求出的的最小正整數(shù).【詳解】對于②，因為，當時，，解得，當時，，所以，整理得，所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，故②正確.對于①，，又正項數(shù)列的前項和為，所以，當時，，當時，，即，又當時，滿足，所以，又，因為，所以，即，故①不正確；對于③，令，，當時，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上恒成立，令（，），所以，又，故，故③正確；對于④，因為，所以，所以，所以，因為，即，化簡整理得，顯然數(shù)列遞增，當時，；當時，，所以滿足的的最小正整數(shù)為10，故④正確.故答案為：②③④.【點睛】給出與的遞推關(guān)系，求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求.二、解答題7．（2023上·上海寶山·高三上海市行知中學校考階段練習）若數(shù)列的前項和滿足．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為，證明：對任意的正整數(shù)，都有.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)遞推式關(guān)系再寫一項做差，之后利用等比數(shù)列定義證明；（2）先求出的表達式，之后進行裂項求和即可.【詳解】（1）證明：由，當時，可得；當時，，所以，∴時，，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；∴，∴.（2）證明：由（1）知，，∴，∴，∴,因為，所以，所以即成立．所以對任意的正整數(shù)，都有得證.8．（2023上·上海閔行·高三上海市七寶中學?？计谥校┑炔顢?shù)列的前項和為，已知，且.(1)求和；(2)設(shè)，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)公差為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，即可求出和；（2）由（1）可得，利用裂項相消法求出，即可得解.【詳解】（1）設(shè)公差為，由，且，可得，解得，所以，.（2）由（1）可得，所以，因為恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.9．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前n項和為，其中．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）利用之間的關(guān)系進行求解即可；（2）利用裂項相消法進行求解即可.【詳解】（1）因為當時，有，所以當時，有，兩式相減，得，當時，由，適合，所以，；（2）因為，；所以，因此.10．（2022上·上海黃浦·高三上海市大同中學校考階段練習）已知數(shù)列，，滿足，，．(1)若為等比數(shù)列，公比，且，求的值及數(shù)列的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，公差，求和：．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程求得，然后根據(jù)累加法即可得到數(shù)列的通項公式；（2）由題意可得數(shù)列是一個常數(shù)列，然后根據(jù)裂項相消法即可求得的值.【詳解】（1）由題意可得，，因為，所以，整理得，解得（舍），或所以所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以所以則，，，（），各式相加，可得，當時，也符合該式，故.（2）依題意，由，可得，兩邊同時乘，可得因為所以數(shù)列是一個常數(shù)列，且此常數(shù)列為則，且為等差數(shù)列，公差，，即所以又因為，所以所以11．（2023上·上海靜安·高三上海市市西中學?？计谥校┑炔顢?shù)列中，，的前n項和為，滿足.(1)求等差數(shù)列的通項公式；(2)若，設(shè)是數(shù)列的前n項和，若存在常數(shù)s，t，使不等式對任何正整數(shù)n都成立，求的最小值.(3)若對于任意，，不等式都成立，求正數(shù)k的最大值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項和公差為，由題意可得，解方程求出，即可得出答案；（2）由裂項相消法求出，再根據(jù)的單調(diào)性求出，即可得出答案；（3）由等差數(shù)列的前項和公式求出，代入不等式，分離參數(shù)可得，令，換元法求出的最小值，即可得出答案.【詳解】（1）因為等差數(shù)列中，，，設(shè)等差數(shù)列的首項和公差為，所以，解得：，故等差數(shù)列的通項公式為：.（2），，其中，因為在上單調(diào)遞增，所以，又因為，所以，因為存在常數(shù)s，t，使不等式對任何正整數(shù)n都成立，所以的最小值為.（3）因為，所以，原不等式即，即，由可得：，即，令，令，所以，所以，當時，取得最小值為，即，正數(shù)k的最大值為.12．（2023下·上海寶山·高三統(tǒng)考階段練習）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，以他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)．已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項和．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)求的值．【答案】(1)證明見解析，；(2)999【分析】（1）由，整理出，即可證明；再得出的通項公式，用累加法即可得出的通項公式；（2）由（1）得，再得出，即，求出的通項公式，結(jié)合新定義，即可得出答案．【詳解】（1）證明：，，又，是以4為首項，公比為5的等比數(shù)列，，，，，，而滿足上式，所以．（2）由（1）得，，當時，，當時，，，，，，，，．13．（2024上·上海寶山·高三上海交大附中?？计谀┮阎獢?shù)列滿足.(1)若，求最小正數(shù)的值，使數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，求證：；(3)對于（2）中的數(shù)列，求證：【答案】(1)4；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定的遞推關(guān)系及函數(shù)，求出，借助等差數(shù)列求出的表達式，并驗證即可求解.（2）利用函數(shù)不等式放縮，借助構(gòu)造法、累乘法求通項推理得證.（3）由（2）中數(shù)列，探求數(shù)列遞增，并借助累加法得，再利用不等式放縮得，利用裂相消法求和推理即得.【詳解】（1）依題意，，而，則，，要使數(shù)列為等差數(shù)列，則，即公差，而，則，于是，解得，顯然，此時，即對，恒有，因此數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，所以當時，.（2）函數(shù)的定義域為，令，求導得，當時，，當時，，即函數(shù)在上遞增，在上遞減，，即，，，即，當時，，顯然時上式成立，又，因此，所以.（3）由（2）知，而，則，，顯然，又函數(shù)是上的增函數(shù)，則可遞推得，當時，，于是，當時，，而，即，恒有，因為當時，，則當時，，而因此當時，，，，于是，所以.【點睛】思路點睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認真分析遞推公式并進行變形，可借助累加、累乘求通項的方法分析、探討項間關(guān)系而解決問題.14．（2023上·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┮阎?1)求函數(shù)的極值；(2)求證：對任意正整數(shù)n，有；(3)記，求整數(shù)a，使得．【答案】(1)極小值為，無極大值.(2)證明見解析；(3).【分析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)的極值即可；（2）令且，利用函數(shù)單調(diào)性有，即可證結(jié)論；（3）令且，，同（2）證得，結(jié)合（2）結(jié)論，應(yīng)用累加法可得，根據(jù)題設(shè)有，列不等式組求參數(shù)a的范圍，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題設(shè)，又，當，，即遞減；當，，即遞增；所以的極小值為，無極大值.（2）令且，故，由（1）知：在上遞增，所以，即在上恒成立，得證.（3）由（2）知，令且，，故，由（1）知：在上遞減，所以，即，且，，則，綜上，，則，若，則，故，所以，而（用計算器），故正整數(shù).【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，利用（1）（2）結(jié)論及數(shù)列累加證得為關(guān)鍵.考法3：錯位相減法：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.(1)適用條件：若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；(2)基本步驟(3)注意事項：①在寫出Sn與qSn的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出Sn－qSn；②作差后，等式右邊有第一項、中間n－1項的和式、最后一項三部分組成；③運算時，經(jīng)常把b2＋b3＋…＋bn這n－1項和看成n項和，把－anbn＋1寫成＋anbn＋1導致錯誤．一、填空題1．（2023下·上?！じ叨ｎ}練習）已知等差數(shù)列滿足，，等比數(shù)列的公比，令的前項和為，若“”是“”的充分條件，則正整數(shù)的最小值為.【答案】6【分析】計算，，得到，利用錯位相減得到，代入不等式解得答案.【詳解】，，，，故；，故，兩式相減得，所以，因為，所以，整理得到，，，，所以.正整數(shù)的最小值為.故答案為：2．（2023上·上海楊浦·高二復旦附中?？计谀?shù)列的通項公式為（n為正整數(shù)），其中表示不超過x的最大整數(shù)，則.【答案】【分析】當時，，，每組共有個，代入數(shù)據(jù)利用錯位相減計算得到答案.【詳解】當時，，，，每組共有個，，，故設(shè)，則，相減得到：，整理得到，故.故答案為：二、解答題3．（2023上·上海浦東新·高二?？计谀┮阎獢?shù)列的前項和為(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得，然后利用求得.（2）利用錯位相減法求得.【詳解】（1）由于，，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，當時，，所以，也符合上式，所以.（2），，，兩式相減得，所以.4．（2023上·上海徐匯·高二上海中學?？计谀┮阎炔顢?shù)列的公差為，且關(guān)于的不等式的解集為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列前n項和.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用公式法求出的通項公式；（2）利用錯位相減法求和.【詳解】（1）由題意得，方程的兩個根分別為－1和3，則，解得.故數(shù)列的通項公式為，.（2）由（1）得，故①，②，兩式相減得，整理得，.5．（2023下·上海青浦·高二上海市青浦高級中學?？计谥校?）已知等比數(shù)列首項為，公比為q（），前n項和為，請推導等比數(shù)列的求和公式：；（2）已知等差數(shù)列前n項和為，滿足，，求.【答案】（1）答案見解析；（2）．【分析】（1）直接利用錯位相減法即可求解；（2）先求等差數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列前n項和公式即可求解.【詳解】（1）的前n項和為，①兩邊同乘公比q得，②①②得，因為，所以.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因為，所以，所以，所以，所以.6．（2023下·上海浦東新·高一上海市實驗學校?？计谀?shù)列滿足，，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，.證明：當時，.【答案】(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）分類討論得出數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，從而可求得通項公式；（2）由（1）求出，用錯位相減法求得和后，然后根據(jù)設(shè)新數(shù)列，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性進而證明結(jié)論.【詳解】（1）因為，所以當時，，即，所以數(shù)列是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，因此；當時，，因為，所以，所以為常數(shù)，所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，因此.故數(shù)列的通項公式為（2）由（1）知，①②①②得，所以令，則對恒成立，所以時，，所以當時，，即當時，7．（2023下·上?！じ叨ｎ}練習）已知公比大于1的等比數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求使得成立的所有的值；(3)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2)所有的值為1，3，4；(3).【分析】（1）利用等比數(shù)列公式計算得到，解得答案；（2）確定，，驗證得到答案；（3）計算，，利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，整理得，解得，或（舍去），所以，所以；（2）由題可得，易得，當時，令，得，，所以，使得成立的所有的值為1，3，4；（3）由題可得，所以，所以，，兩式相減得，所以．8．（2023下·上?！じ呷虾Ｊ袑嶒瀸W校?？茧A段練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項為1，的前項和記為，若對一切均滿足．數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）當時，求得公差，將求和公式及通項公式代入求得.（2）當＝1時為等差數(shù)列求和，當時用錯位相減求和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，所以，即，又，所以.（2）由，得.所以，，當時，；當時，，，所以，即.9．（2023上·上海閔行·高二上海市七寶中學校考期中）已知空間向量列，如果對于任意的正整數(shù)，均有，則稱此空間向量列為“等差向量列”，稱為“公差向量”；空間向量列，如果且對于任意的正整數(shù)，均有，，則稱此空間向量列為“等比向量列”，常數(shù)稱為“公比”．(1)若是“等比向量列”，為單位向量，求（用表示）；(2)若是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，．求．(3)若是“等差向量列”，，記，且，等式對于和2均成立，且，求的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)26.【分析】（1）由為單位向量，結(jié)合等比數(shù)列前項和公式，求解即可；（2）由“等差向量列”定義和：等比向量列“定義得，，再利用數(shù)量積得坐標表示求出，再用錯位相減法即可求解；（3）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)建立不等關(guān)系，進行求解.【詳解】（1）.（2）由“等差向量列”定義和：等比向量列“定義知，，，設(shè)，，兩式相減得，所以.（3），所以，所以為等差數(shù)列，所以，由題意知，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)至少又三個零點，，，，由函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知為偶數(shù)，且滿足，解得，所以，解得，的最大值為26.10．（2023下·上?！じ叨虾Ｊ行兄袑W?？茧A段練習）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，，設(shè)正項數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)在和之間插入1個數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；…，在和之間插入n個數(shù)、、…、，使、、、…、、成等差數(shù)列，求；(3)對于（2）中求得的，是否存在正整數(shù)m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)(3)存在，所有的正整數(shù)對為及.【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差，利用等差數(shù)列的通項公式基本量計算求出d＝1，從而，再由，推導出是首項為，公比為的等比數(shù)列，由此求出通項公式；（2）由題意推導出公差，從而，利用公式得到，故，由此利用錯位相減法能求出；（3）由及第（2）問得到，求出當，n＝2，n＝3時的值，再利用導函數(shù)證明當時，有，即證，由此能求出所有的正整數(shù)對．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，（d≠0），則由，得，因為，所以，所以；由，①當時，，②①﹣②，得，∴，又當時，，解得：，∴是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴．（2）在和之間插入n個數(shù)、、…、，使、、、…、、成等差數(shù)列，設(shè)公差為，∴，則，∴，∴，①則，②①﹣②得，∴．（3）假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使成立，．，當時，不合題意，當n＝2時，，當n＝3時，，下證，當時，有，即證，設(shè)，，則，∴在上單調(diào)遞增，故時，，∴，∴時，m不是整數(shù)，∴所有的正整數(shù)對為及.【點睛】本題第二問和第三問有難度，第二問需要先理解題意，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列通項公式和求和公式，結(jié)合錯位相減法進行求解，而第三問則是數(shù)列與函數(shù)的綜合，需要利用導函數(shù)來證明當時，有，即證，屬于綜合題，難度大．考法4：倒序相加法如果一個數(shù)列{an}，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法，等差數(shù)列前n項和公式的推導便使用了此法.用倒序相加法解題的關(guān)鍵，就是要能夠找出首項和末項之間的關(guān)系，因為有時這種關(guān)系比較隱蔽.一、填空題1．（2022下·上海浦東新·高一上海市川沙中學?？茧A段練習）設(shè)數(shù)列的通項公式為，利用等差數(shù)列前項和公式的推導方法，可得數(shù)列的前2020項和為.【答案】【分析】由題設(shè)函數(shù)式易得，再由，應(yīng)用倒序相加得，即可求數(shù)列的前2020項和.【詳解】∵，又，∴，∴，∴.故答案為：2．（2023·上海寶山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，正項等比數(shù)列滿足，則【答案】【分析】利用倒序相加法，結(jié)合函數(shù)的對稱性以及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求得正確答案.【詳解】函數(shù)，可看成向左平移1個單位，向上平移1個單位得到,因為的對稱中心為，所以的對稱中心為，所以，因為正項等比數(shù)列