山東省淄博市2023-2024學年高三上學期期末摸底質(zhì)量檢測試題數(shù)學

2023—2024學年度第一學期高三摸底質(zhì)量檢測數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、座號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)（）A.2 B.4 C.8 D.163.設隨機變量，且，則（）A.0.75 B.0.5 C.0.3 D.0.254.已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，若側(cè)棱與底面ABCD所成的角為，則該正四棱臺的體積為（）A. B. C. D.5.已知等邊的邊長為，P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.6.設為等差數(shù)列的前n項和，則“對，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知函數(shù)，的定義域都為，為的導函數(shù)，的定義域也為，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論中一定成立的個數(shù)為（）①②③④A.1 B.2 C.3 D.48.已知函數(shù)，則直線與的圖象的所有交點的橫坐標之和為（）A B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.函數(shù)，，且為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.圖象的對稱中心為，C.圖象的對稱軸為，D.的單調(diào)遞減區(qū)間為，10.已知互不相同的30個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設剩下的28個樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為;去掉的兩個數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為﹔原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，若=，則下列說法正確的是（

）A.B.C.剩下28個數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)D.剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)11.如圖，多面體，底面為正方形，底面，，，動點在線段上，則下列說法正確的是（）A.多面體的外接球的表面積為B.的周長的最小值為C.線段長度的取值范圍為D.與平面所成的角的正弦值最大為12.已知函數(shù)，，則下列說法正確是（）A.函數(shù)與函數(shù)有相同的極小值B.若方程有唯一實根，則a的取值范圍為C.若方程有兩個不同的實根，則D.當時，若，則成立三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.將序號分別為1，2，3，4，5，6的六張參觀券全部分給甲、乙等5人，每人至少一張，如果分給甲的兩張參觀券是連號，則不同分法共有________種．14.已知圓，則直線與圓的位置關系是__________.15.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，A，B分別為圖象的最低點和最高點，過A，B作x軸的垂線分別交x軸于點，．將畫有該圖象的紙片沿著x軸折成120°的二面角，此時________．16.已知實數(shù)x，y滿足，則最小值為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設函數(shù)，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.18.如圖，AB是半球O的直徑，，依次是底面上的兩個三等分點，P是半球面上一點，且．（1）證明：；（2）若點在底面圓上射影為中點，求直線與平面所成的角的正弦值．19.設銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）求證：；（2）求的取值范圍；（3）若，求面積的取值范圍.20.已知和均為等差數(shù)列，，，，記，，…，（n=1，2，3，…），其中，，，表示，，，這個數(shù)中最大的數(shù)．（1）計算，，，猜想數(shù)列的通項公式并證明；（2）設數(shù)列的前n項和為，若對任意恒成立，求偶數(shù)m的值．21.已知函數(shù)．（1）若時，恒有，求a的取值范圍；（2）證明：當時，．22.第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘揚奧林匹克和亞運精神，增強鍛煉身體意識，某學校舉辦一場羽毛球比賽．已知羽毛球比賽單打規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方．現(xiàn)甲、乙二人進行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往甲、乙兩名運動員對陣的比賽數(shù)據(jù)可知，若甲發(fā)球，甲得分的概率為，乙得分的概率為；若乙發(fā)球，乙得分的概率為，甲得分的概率為．規(guī)定第1回合是甲先發(fā)球．（1）求第3回合由甲發(fā)球的概率；（2）①設第i回合是甲發(fā)球的概率為，證明：是等比數(shù)列；②已知：若隨機變量服從兩點分布，且，，2，…，n，則．若第1回合是甲先發(fā)球，求甲、乙連續(xù)進行n個回合比賽后，甲的總得分的期望．2023—2024學年度第一學期高三摸底質(zhì)量檢測數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、座號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出集合、后，結(jié)合集合的運算即可得.【詳解】，即，則，解得，所以，，所以，從而.故選：D.2.已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)（）A2 B.4 C.8 D.16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意設，得到，再計算復數(shù)的模即可.【詳解】設，則，所以，所以.故選：A3.設隨機變量，且，則（）A.0.75 B.0.5 C.0.3 D.0.25【答案】D【解析】【分析】利用對立事件的意義，結(jié)合正態(tài)分布列式計算即得.【詳解】隨機變量，顯然，而，所以.故選：D4.已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，若側(cè)棱與底面ABCD所成的角為，則該正四棱臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出輔助線，根據(jù)條件求出棱臺的高，利用棱臺體積公式求出答案.【詳解】如圖，分別為上底面和下底面的中心，連接，則⊥底面，過點作⊥于點，則⊥底面，因為上、下底面邊長分別為2和4，所以，故，，，由于，故，故該正四棱臺的體積為.故選：B5.已知等邊的邊長為，P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先建立平面直角坐標系且，，，進而確定的軌跡圓，再利用向量數(shù)量積的坐標表示并結(jié)合所得表達式的幾何意義求范圍即可.【詳解】如下圖構(gòu)建平面直角坐標系，且，，，所以在以為圓心，1為半徑的圓上，即軌跡方程為，而，故，綜上，只需求出定點與圓上點距離平方的范圍即可，而圓心與的距離，故定點與圓上點的距離范圍為，所以.故選：B6.設為等差數(shù)列的前n項和，則“對，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意判斷兩個條件都等價于，進而判斷答案即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，若對，，即，若，則，即為單調(diào)遞增數(shù)列，又因為，所以，所以，即，所以“對，”是“”的充要條件.故選：C7.已知函數(shù)，的定義域都為，為的導函數(shù)，的定義域也為，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論中一定成立的個數(shù)為（）①②③④A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由已知可得關于點對稱，判斷②；因為為偶函數(shù)，可推得為奇函數(shù)，進而得出的周期為，可判斷①；由已知得出，，可判斷③；結(jié)合的性質(zhì)可判斷④.【詳解】因為，，所以，所以關于點對稱，所以，②成立；因為為偶函數(shù)，所以，所以，所以為奇函數(shù)，關于對稱，即，因為，，所以，所以的周期為，因為，所以，①成立；因為，所以，又，所以，因為不能確定，③不一定成立；因為周期為，所以，④成立；綜上，一定成立的有個.故選：.8.已知函數(shù)，則直線與的圖象的所有交點的橫坐標之和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，令，，分析可知，函數(shù)、的圖象都關于點對稱，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.【詳解】由可得，令，，則函數(shù)的定義域為，其最小正周期為，，所以，函數(shù)的圖象關于點對稱，函數(shù)的定義域為，對任意的，，所以，函數(shù)的圖象也關于點對稱，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，則函數(shù)在上也為增函數(shù)，如下圖所示：由圖可知，函數(shù)、的圖象共有六個交點，其中這六個點滿足三對點關于點對稱，因此，直線與的圖象的所有交點的橫坐標之和為.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題函數(shù)圖象交點橫坐標之和，解題的關鍵在于利用函數(shù)的對稱性，利用數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合對稱性求解.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.函數(shù)，，且為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.圖象的對稱中心為，C.圖象的對稱軸為，D.的單調(diào)遞減區(qū)間為，【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)奇偶性求出，結(jié)合余弦函數(shù)相關性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，因為函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以，即，又因為，所以，故A正確；對于B，，令，則，所以圖象的對稱中心為，，故B正確；對于C，令，得圖象的對稱軸為，故C錯誤；對于D，若，則，為單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯誤.故選：AB10.已知互不相同的30個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設剩下的28個樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為;去掉的兩個數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為﹔原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，若=，則下列說法正確的是（

）A.B.C.剩下28個數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)D.剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】對于A選項，求出剩下的28個樣本數(shù)據(jù)的和、去掉的兩個數(shù)據(jù)和、原樣本數(shù)據(jù)和，列出方程即可；對于B選項，寫出和的表達式即可；對于C選項，根據(jù)中位數(shù)定義判斷即可；對于D選項，根據(jù)分位數(shù)定義判斷即可.【詳解】A.剩下的28個樣本數(shù)據(jù)的和為，去掉的兩個數(shù)據(jù)和為，原樣本數(shù)據(jù)和為，所以，因為=，所以，故A選項正確；B.設，，因為，所以，所以，所以，故B選項正確；C.剩下28個數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故C選項錯誤；D.，所以原數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)為從小到大的第7個；，所以剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)為從小到大的第7個；因為去掉了最小值，則剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)，故D正確.故選：ABD.11.如圖，多面體，底面為正方形，底面，，，動點在線段上，則下列說法正確的是（）A.多面體的外接球的表面積為B.的周長的最小值為C.線段長度的取值范圍為D.與平面所成的角的正弦值最大為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意將多面體放入正方體中，根據(jù)正方體外接球相關知識直接判斷A，根據(jù)圖形展開以及余弦定理判斷B，建立合適的空間直角坐標系，結(jié)合線段長度和線面角公式判斷C和D.【詳解】對于A，由題意可知，多面體可以放在如圖所示的正方體當中，設中點為，則為多面體的外接球球心，所以多面體的外接球半徑為，則多面體的外接球的表面積為，故A正確.對于B，的周長為，將如下圖所示展開，當三點共線時，最小，由，則，所以，所以，在中，由余弦定理得，，所以，則的周長最小為，故B錯誤.對于C，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，，則，故C正確.對于D，由，所以，設平面法向量，由，令，則，則與平面所成角的正弦值為，因為，所以，當，即時，取得與平面所成角的正弦值的最大值，故D錯誤.故選：AC【點睛】方法點睛：本題考查立體幾何的綜合應用.解決立體幾何問題的常見方法有：（1）定義法，通過相關的判定定理和性質(zhì)定理直接求解；（2）空間向量法，運用空間向量進行基底轉(zhuǎn)化或者運用坐標法結(jié)合公式求解；（3）轉(zhuǎn)化法，通過轉(zhuǎn)化與化歸，將所求長度或角度轉(zhuǎn)化求解.12.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)與函數(shù)有相同的極小值B.若方程有唯一實根，則a的取值范圍為C.若方程有兩個不同的實根，則D.當時，若，則成立【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據(jù)題目直接對兩個函數(shù)求導判斷極值即可；對于B，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和最值判斷函數(shù)變化趨勢，進而求出參數(shù)范圍；對于C，利用對數(shù)均值不等式直接判斷即可；對于D，利用同構(gòu)方法進行轉(zhuǎn)化即可.【詳解】對于A，定義域，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，定義域，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，故A正確；對于B，若方程有唯一實根，由于當時，，且，結(jié)合已求的單調(diào)性和最值可知，或，故B錯誤；對于C，因為方程有兩個不同的實根，假設，則，則，即，兩式相減得，即，由對數(shù)均值不等式，則，即得證，故C正確；對于D，當時，若，則，即，顯然，則，則成立，故D正確.故選：ACD下面補證C選項對數(shù)均值不等式：要證，即證，設，即證，即證，令，，則在單調(diào)遞增，當時，得證.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.將序號分別為1，2，3，4，5，6的六張參觀券全部分給甲、乙等5人，每人至少一張，如果分給甲的兩張參觀券是連號，則不同分法共有________種．【答案】120【解析】【分析】先分給甲，再分給剩余四個人，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理得到答案.【詳解】由題意得，如果分給甲的兩張參觀券是連號，則有種分法，再將剩余的4張分給剩余4個人，有種分法，所以一共有種分法.故答案為：12014.已知圓，則直線與圓的位置關系是__________.【答案】相交【解析】【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，結(jié)合圓心到直線的距離與半徑的大小關系可得.【詳解】因為表示圓的方程，所以，即.因為圓的圓心到直線的距離，所以直線與圓相交.故答案為：相交15.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，A，B分別為圖象的最低點和最高點，過A，B作x軸的垂線分別交x軸于點，．將畫有該圖象的紙片沿著x軸折成120°的二面角，此時________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，作，且，找出二面角的平面角，根據(jù)余弦定理求得，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到是直角三角形，根據(jù)勾股定理求得答案.【詳解】因為，所以，如圖所示，在平面內(nèi)，作，且，連接，顯然，四邊形是矩形，為二面角的平面角，即，所以在中，由余弦定理得，，因為，所以，又因為，面，，所以面，因為面，，在直角中，故答案為：16.已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】將題意轉(zhuǎn)化為求曲線上一點到距離最小值，通過求導求出點符合題意，進而求出答案.【詳解】由題意得，，即求曲線上一點到距離最小值，又因為在直線上，所以當曲線與直線平行時，距離取得最小值，令，解得或（舍去），當時，點到直線距離為，即所求曲線上一點到距離最小值為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數(shù)的應用.關鍵點在于將所求式子進行化簡，進而轉(zhuǎn)化為距離問題，通過導數(shù)研究曲線即可.本題考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、計算能力，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設函數(shù)，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡得到由題設知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得從而.根據(jù)得到，進一步求最小值.試題解析：（Ⅰ）因為，所以由題設知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因為，所以，當，即時，取得最小值.【名師點睛】此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當經(jīng)典.解答本題，關鍵在于能利用三角公式化簡函數(shù)、進一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題易錯點在于一是圖象的變換與解析式的對應，二是忽視設定角的范圍.難度不大，能較好的考查考生的基本運算求解能力及復雜式子的變形能力等.18.如圖，AB是半球O的直徑，，依次是底面上的兩個三等分點，P是半球面上一點，且．（1）證明：；（2）若點在底面圓上的射影為中點，求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意證明面，得到，再結(jié)合線面垂直的判定定理得證；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，結(jié)合線面角的空間向量計算公式進行求解即可.【小問1詳解】連接，因為依次是底面上的兩個三等分點，所以四邊形是菱形，設，則為中點，且，又因為，故是等邊三角形，連接，則，又因為面，，所以面，因為面，所以，因為依次是底面上的兩個三等分點，所以，所以，又因為AB是半球O的直徑，P是半球面上一點，所以，因為面，，所以面，又因為面，所以【小問2詳解】因為點在底面圓上的射影為中點，所以面，因為面，所以，又因為，所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，所以，設平面的法向量，則，令，則，設直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為19.設銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）求證：；（2）求的取值范圍；（3）若，求面積的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理和兩角差的正弦公式，化簡得到，結(jié)合為銳角三角形，得到，即可求解；（2）由（1）求得，得到，結(jié)合正弦定理，即可求解；（3）由正弦定理和面積公式，化簡得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】解：因為，由正弦定理得，所以，又因為為銳角三角形，可得，所以，可得，即.【小問2詳解】解：因為，且為銳角三角形，且，可得，所以又因為，即，可得，所以，則，即的取值范圍是.【小問3詳解】解：由正弦定理得，所以，又由，可得，設在為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，所以，故的取值范圍是.20.已知和均為等差數(shù)列，，，，記，，…，（n=1，2，3，…），其中，，，表示，，，這個數(shù)中最大的數(shù)．（1）計算，，，猜想數(shù)列的通項公式并證明；（2）設數(shù)列的前n項和為，若對任意恒成立，求偶數(shù)m的值．【答案】（1），，，，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列，的公差分別為，，利用，，，利用通項公式可得，，可得，．根據(jù)，，．猜想數(shù)列的通項公式，證明數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，即可得出結(jié)論．（2），利用裂項求和方法即可得出，根據(jù)對任意恒成立即可得出的取值范圍．小問1詳解】解：設等差數(shù)列和的公差為、，那么，解得，∴，，那么，，，，猜想的通項公式為，當時，，所以數(shù)列關于單調(diào)遞減，所以；【小問2詳解】解：，所以，因?qū)θ我夂愠闪?，所有，解得，所以?1.已知函數(shù)．（1）若時，恒有，求a的取值范圍；（2）證明：當時，．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為當時，恒成立，分類討論和兩種情況，結(jié)合導數(shù)與函數(shù)的關系以及零點存在性定理等知識求解即可；（2）將原題轉(zhuǎn)化為證明當時，，通過構(gòu)造函數(shù)和二次求導的方法，結(jié)合導數(shù)與函數(shù)的關系即可得證.【小問1詳解】由若時，恒有，所以當時，恒成立，設，則令，則，顯然在單調(diào)遞增，故當時，，當時，，則對恒成立，則在單調(diào)遞增，從而當時，，即在單調(diào)遞增，所以當時，，符合題意；當時，，又因為，所以存在，使得，所以當時，，單調(diào)遞減，，則單調(diào)遞減，此時，不符合題意.綜上所述，a的取值范圍為【小問2詳解】要證當時，，即證，設，則，令，則單調(diào)遞增，所以當時，，則單調(diào)遞增，所以當時，，