高等數(shù)學(xué)微積分不定積分(專題)

微分與積分——微分是導(dǎo)數(shù)的變型運(yùn)算——積分是微分的逆運(yùn)算3/6/2024例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念3/6/2024原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)必然有原函數(shù).問題：(1)原函數(shù)是否唯一？(2)假設(shè)不唯一它們之間有什么聯(lián)系？3/6/2024關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：（1）若，則對(duì)于任意常數(shù)，（2）若和都是的原函數(shù)那么（為任意常數(shù)）證（為任意常數(shù)）3/6/2024任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分的定義：——不定積分就是原函數(shù)族被積表達(dá)式積分變量3/6/2024例1求解解例2求3/6/2024例3設(shè)曲線通過點(diǎn)〔1，2〕，且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點(diǎn)〔1，2〕所求曲線方程為3/6/2024顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.3/6/2024實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、根本積分表3/6/2024根本積分表

是常數(shù));說(shuō)明：簡(jiǎn)寫為3/6/20243/6/20243/6/2024例4求積分解根據(jù)積分公式〔2〕3/6/2024證等式成立.〔此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況〕三、不定積分的性質(zhì)3/6/2024例5求積分解3/6/2024例6求積分解3/6/2024例7求積分解3/6/2024例8求積分解說(shuō)明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用根本積分表.3/6/2024解所求曲線方程為3/6/2024根本積分表(1)不定積分的性質(zhì)原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關(guān)系四、小結(jié)3/6/2024思考題符號(hào)函數(shù)在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？3/6/2024思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假設(shè)錯(cuò)誤所以在內(nèi)不存在原函數(shù).結(jié)論每一個(gè)含有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒有原函數(shù).3/6/2024問題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令一、第一類換元法3/6/2024在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元法定理3/6/2024第一類換元公式〔湊微分法〕說(shuō)明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.定理13/6/2024例1求解〔一〕解〔二〕解〔三〕3/6/2024例2求解一般地3/6/2024例3求解3/6/2024例4求解3/6/2024例5求解3/6/2024例6求解3/6/2024例7求解3/6/2024例8求解3/6/2024例9求原式3/6/2024例10求解3/6/2024例11求解說(shuō)明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分.3/6/2024例12求解3/6/2024例13求解〔一〕〔使用了三角函數(shù)恒等變形〕3/6/2024解〔二〕類似地可推出3/6/2024解例14設(shè)求.令3/6/2024例15求解3/6/2024問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程令〔應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果〕3/6/2024證設(shè)為的原函數(shù),令則則有換元公式定理23/6/2024第二類積分換元公式3/6/2024例16求解令3/6/2024回憶：第一類換元公式〔湊微分法〕第二類積分換元公式3/6/2024例17求解令3/6/2024例18求解令3/6/2024說(shuō)明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令3/6/2024說(shuō)明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.也可以化掉根式例中,令3/6/2024積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換〔或雙曲代換〕并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來(lái)定.說(shuō)明(3)例19求〔三角代換很繁瑣〕令解3/6/2024例20求解令3/6/2024說(shuō)明(4)當(dāng)分母的階較高時(shí),可采用倒代換例21求令解3/6/2024例22求解令〔分母的階較高〕3/6/20243/6/2024說(shuō)明(5)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例23求解令3/6/20243/6/2024根本積分表

3/6/20243/6/2024三、小結(jié)兩類積分換元法：〔一〕湊微分〔二〕三角代換、倒代換、根式代換根本積分表(2)3/6/2024思考題求積分3/6/2024思考題解答3/6/2024問題解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法那么.分部積分公式一、根本內(nèi)容3/6/2024例1求積分解〔一〕令顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解〔二〕令3/6/2024例2求積分解〔再次使用分部積分法〕總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))3/6/2024例3求積分解令3/6/2024例4求積分解總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.3/6/2024例5求積分解3/6/2024例6求積分解注意循環(huán)形式3/6/2024例7求積分解3/6/2024令3/6/2024解兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得3/6/2024合理選擇，正確使用分部積分公式二、小結(jié)3/6/2024思考題在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí)，應(yīng)注意什么？3/6/2024思考題解答注意前后幾次所選的應(yīng)為同類型函數(shù).例第一次時(shí)若選第二次時(shí)仍應(yīng)選3/6/2024有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.一、有理函數(shù)的積分3/6/2024假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例難點(diǎn)將有理函數(shù)化為局部分式之和.3/6/2024（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為局部分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為3/6/2024（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為3/6/2024真分式化為局部分式之和的待定系數(shù)法例13/6/2024代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將值代入例23/6/2024例3整理得3/6/2024例4求積分解3/6/2024例5求積分解3/6/2024例6求積分解令3/6/20243/6/2024說(shuō)明將有理函數(shù)化為局部分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項(xiàng)式；討論積分令3/6/2024那么記3/6/2024這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).3/6/2024三角有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分3/6/2024令〔萬(wàn)能置換公式〕3/6/2024例7求積分解由萬(wàn)能置換公式3/6/20243/6/2024例8求積分解〔一〕3/6/2024解〔二〕修改萬(wàn)能置換公式,令3/6/2024解〔三〕可以不用萬(wàn)能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬(wàn)能置換不一定是最正確方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬(wàn)能置換.3/6/2024例9求積分解3/6/20243/6/2024討論類型解決方法作代換去掉根號(hào).例10求積分解令三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分3/6/20243/6/2024例11求積分解令說(shuō)明無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí),取根指數(shù)的最小公倍數(shù).3/6/2024例12求積分解先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式3/6/2024簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分.有理式分解成局部分式之和的積分.〔注意：必須化成真分式〕三角有理式的積分.〔萬(wàn)能置換公式〕〔注意：萬(wàn)能公式并不萬(wàn)能〕四、小結(jié)3/6/2024思考題將分式分解成局部分式之和時(shí)應(yīng)注意什么？3/6/2024思考題解答分解后的局部分式必須是最簡(jiǎn)分式.3/6/2024〔1〕常用積分公式聚集成的表稱為積分表.〔2〕積分表是按照被積函數(shù)的類型來(lái)排列的.〔4〕積分表見《高等數(shù)學(xué)》〔四版〕上冊(cè)〔同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編〕第452頁(yè)．〔3〕求積分時(shí)，可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接或經(jīng)過簡(jiǎn)單變形后，查得所需結(jié)果.一、關(guān)于積分表的說(shuō)明3/6/2024例1求被積函數(shù)中含有在積分表〔一〕中查得公式〔7〕現(xiàn)在于是二、例題3/6/2024例2求被積函數(shù)中含有三角函數(shù)在積分表〔十一〕中查得此類公式有兩個(gè)選公式〔105〕將代入得3/6/2024例3求表中不能直接查出,需先進(jìn)行變量代換.令被積函數(shù)中含有3/6/2024在積分表〔六〕中查得公式〔37〕將代入得3/6/2024例4求在積分表〔十一〕中查得公式〔95〕利用此公式可使正弦的冪次減少兩次,重復(fù)使用可使正弦的冪次繼續(xù)減少,直到求出結(jié)果.這個(gè)公式叫遞推公式.現(xiàn)在于是3/6/2024對(duì)積分使用公式（93）3/6/2024說(shuō)明初等函數(shù)在其定義域內(nèi)原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù).例3/6/2024積分法原函數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二換元法直接積分法分部積分法不定積分幾種特殊類型函數(shù)的積分一、主要內(nèi)容3/6/20241、原函數(shù)定義原函數(shù)存在定理即：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．3/6/20242、不定積分(1)定義3/6/2024(2)微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.(3)不定積分的性質(zhì)3/6/20243、根本積分表是常數(shù))3/6/20243/6/20245、第一類換元法4、直接積分法第一類換元公式〔湊微分法〕由定義直接利用根本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法.3/6/2024常見類型:3/6/20246、第二類換元法第二類換元公式3/6/2024常用代換:3/6/20247、分部積分法分部積分公式8.選擇u的有效方法:LIATE選擇法L----對(duì)數(shù)函數(shù)；I----反三角函數(shù)；A----代數(shù)函數(shù)；T----三角函數(shù)；E----指數(shù)函數(shù)；

哪個(gè)在前哪個(gè)選作u.3/6/20249、幾種特殊類型函數(shù)的積分〔1〕有理函數(shù)的積分定義兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.真分式化為局部分式之和的待定系數(shù)法3/6/2024四種類型分式的不定積分此兩積分都可積,后者有遞推公式3/6/2024令〔2〕三角函數(shù)有理式的積分定義由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為3/6/2024〔3〕簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分討論類型：解決方法：作代換去掉根號(hào)．3/6/2024二、典型例題例1