新教材高中人教A版數(shù)學必修第2冊課堂作業(yè)第8章習題課平行與垂直的綜合問題

第八章習題課A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系不可能為(B)A．平行 B．相交C．異面 D．垂直[解析]因為兩平行平面沒有公共點，所以兩直線沒有公共點，所以兩直線不可能相交.2．已知PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A，B兩點的任一點，則下列關(guān)系不正確的是(C)A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC[解析]由PA⊥平面ACB?PA⊥BC，故A不符合題意；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故B、D不符合題意；AC⊥PB顯然不成立，故C符合題意.3．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點，若AE︰EB＝CF︰FB＝1︰2，則對角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是(A)A．平行 B．相交C．在平面內(nèi) D．不能確定[解析]如圖，由eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)得AC∥EF.又因為EF?平面DEF，AC?平面DEF，所以AC∥平面DEF.4．設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則α∥β的一個充分條件是(D)A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α[解析]對于選項A，若存在一條直線a，a∥α，a∥β，則α∥β或α與β相交，不符合題意；同理，選項B、C也不符合題意；對于選項D，可以通過平移把兩條異面直線平移到一個平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以選項D的內(nèi)容是α∥β的一個充分條件，故選D．5．(多選題)如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD－A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題①沒有水的部分始終呈棱柱形；②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；③棱A1D1始終與水面所在平面平行；④當容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值.其中正確的命題是(ACD)A．① B．②C．③ D．④[解析]由題圖，顯然①是正確的，②是錯誤的；對于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH，F(xiàn)G?平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面).∴③是正確的；對于④，∵水是定量的(定體積V)，∴S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V.∴BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④是正確的，故選ACD．二、填空題6．如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有__3__個；與AP垂直的直線有__1__個.[解析]∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，又∵AP?平面PAC，∴AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB.7．設α，β，γ是三個平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個條件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命題“α∩β＝a，b?γ，且__________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是__①或③__(填序號).[解析]由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當b∥β，a?γ時，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，③正確.故應填入的條件為①或③.8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面α與棱AB，AC，A1C1，A1B1分別交于點E，F(xiàn)，G，H，且直線AA1∥平面α.有下列三個命題：①四邊形EFGH是平行四邊形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正確命題的序號是__①③[解析]如圖所示，因為AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC－A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四邊形EFGH是平行四邊形，故①正確；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②錯誤；由AA1⊥平面BCFE，結(jié)合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH?平面α三、解答題9．如圖，在圓錐PO中，AB是⊙O的直徑，C是eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))上的點，D為AC的中點.證明：平面POD⊥平面PAC.[證明]如圖，連接OC，因為OA＝OC，D是AC的中點，所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC，AC?底面ABC，所以AC⊥PO.因為OD，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以AC⊥平面POD.又AC?平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.10．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1求證：(1)直線DE∥平面A1C(2)平面B1DE⊥平面A1C[證明](1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，在△ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1，又因為DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，因為A1C1?平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1，又因為A1C1⊥A1B1，A1B1∩AA1＝A1，AA1?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1，因為B1D?平面ABB1又因為B1D⊥A1F，A1C1∩A1F＝A1，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，所以B1D⊥平面A1C1F，因為直線B1DB組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且n?β，則下列敘述正確的是(C)A．若m∥n，m?α，則α∥β B．若α∥β，m?α，則m∥nC．若m∥n，m⊥α，則α⊥β D．若α∥β，m⊥n，則m⊥α[解析]對于A，兩個平面內(nèi)各一條直線互相平行，不能保證兩個平面互相平行，A錯誤；對于B，分別在兩個互相平行的平面內(nèi)的兩條直線不能保證相互平行，B錯誤；對于C，兩條平行線中的一條垂直于一個平面，可得另一條也垂直于這個平面，于是β內(nèi)有一條直線垂直于α，故α⊥β，C正確；對于D，m垂直于β內(nèi)的一條直線，不能保證m垂直于β，故不能得到m垂直于α，D錯誤.2．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB.若E，F(xiàn)分別為線段A1D1，CC1的中點，則直線EF與平面ADD1A1所成角的正弦值為(A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(1,3)[解析]取DD1的中點G，連接EG、FG、EC1，易知∠FEG為直線EF與平面ADD1A1所成的角，設AB＝a，則AA1＝AD＝2a，在△ED1C1中可求出EC1＝eq\r(2)a，在△EFC1中可求出EF＝eq\r(3)a，所以在△EFG中，sin∠FEG＝eq\f(FG,EF)＝eq\f(\r(3),3)，故選C．3．如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，則下面四個結(jié)論不成立的是(D)A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC[解析]因為BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項A正確.在正四面體P－ABC中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，則DF⊥平面PAE，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項B、C均正確.4．如圖所示，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是(B)A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′與平面A′BD所成的角為30°D．四面體A′-BCD的體積為eq\f(1,3)[解析]因為平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因為CD∩A′D＝D，所以BA′⊥平面A′CD，所以∠BA′C＝90°.二、填空題5．已知直線l⊥平面α，垂足為A，直線PA⊥l，則AP與平面α的位置關(guān)系是__AP?α__.[解析]設AP與l確定的平面為β.假設AP?α，不妨設α∩β＝AM，AP與AM不重合，如圖所示.因為l⊥α，AM?α，所以l⊥AM.又AP⊥l，所以在平面β內(nèi)，過點A有兩條直線垂直于l，這與在同一平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直矛盾，所以假設不成立.所以AP?α.6．如圖所示，等邊三角形ABC的邊長為4，D為BC的中點，沿AD把△ADC折疊到△ADC′處，使二面角B-AD-C′為60°，則折疊后二面角A-BC′-D的正切值為__2__.[解析]易知∠BDC′即二面角B－AD－C′的平面角，有∠BDC′＝60°，所以△BDC′為等邊三角形.取BC′的中點M，連接DM，AM，則易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A－BC′－D的平面角即∠AMD.在等邊三角形ABC中，易知AD＝2eq\r(3)，在等邊三角形BDC′中，易知DM＝eq\r(3)，所以tan∠AMD＝eq\f(AD,DM)＝2．三、解答題7．(江蘇高考題)如圖所示，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．求證：(1)直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.[證明](1)因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DE∥PA.又PA?平面DEF，DE?平面DEF，所以直線PA∥平面DEF.(2)因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝eq\f(1,2)PA＝3，EF＝eq\f(1,2)BC＝4．又因為DF＝5，所以DF2＝DE2＋EF2．所以∠DEF＝90°.即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因為AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.8．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點.(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.[解析](1)證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因為底面ABCD為菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)證明：因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE.因為底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，且E為CD的中點，所以AE⊥C