2023-2024學(xué)年成都市樹德中學(xué)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)測(cè)試卷附答案解析

-2024學(xué)年成都市樹德中學(xué)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)測(cè)試卷2024年2月23日一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．直線與直線之間的距離為（

）A． B． C． D．12．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．3．今有水平相當(dāng)?shù)钠迨旨缀推迨忠疫M(jìn)行某項(xiàng)圍棋比賽，勝者可獲得24000元獎(jiǎng)金.比賽規(guī)定下滿五局，五局中獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，比賽無平局，若比賽已進(jìn)行三局，甲兩勝一負(fù)，由于突發(fā)因素?zé)o法進(jìn)行后面比賽，如何分配獎(jiǎng)金最合理？（

）A．甲12000元，乙12000元 B．甲16000元，乙8000元C．甲20000元，乙4000元 D．甲18000元，乙6000元4．與圓及圓都外切的圓的圓心在（

）A．橢圓上 B．雙曲線上的一支上 C．拋物線上 D．圓上5．已知直線與雙曲線無公共交點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．6．已知等腰直角三角形ABC，，點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，沿AD折起平面ABD使得，則異面直線AB與DC所成角的余弦值為（

）

A．B．C．D．7．圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號(hào)處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，若是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．18．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)P為橢圓與雙曲線的交點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知事件，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．如果，那么C．如果與互斥，那么 D．如果與相互獨(dú)立，那么10．若實(shí)數(shù)x，y滿足曲線C：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的最小值為C．直線與曲線C恰有1個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)D．曲線C上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1.11．已知雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，P為C右支上的動(dòng)點(diǎn)，過P作C的一條漸近線的垂線，垂足為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為2B．雙曲線C的離心率為C．則P到C的兩條漸近線的距離之積大于4D．當(dāng)最小時(shí)，則的周長(zhǎng)為12．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)D，E分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且.則下列說法正確的是（

）

A．平面B．該三棱柱的外接球的表面積為C．異面直線與所成角的正切值為D．二面角的余弦值為三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13．已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，“取出的2球至少有一個(gè)白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷中正確的序號(hào)為.①與為對(duì)立事件；②與是互斥事件；③與是對(duì)立事件：④；⑤.15．已知為雙曲線的右支上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為.16．過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，又直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，那么=.四、解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知直線：和：，(1)求直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)作直線與直線，分別交于點(diǎn)A、B，且滿足，求直線的方程．18．為進(jìn)一步增強(qiáng)疫情防控期間群眾的防控意識(shí)，使廣大群眾充分了解新冠肺炎疫情防護(hù)知識(shí)，提高預(yù)防能力做到科學(xué)防護(hù)，科學(xué)預(yù)防.某組織通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行新冠肺炎疫情防控科普知識(shí)問答，共有100人參加了這次問答，將他們的成績(jī)（滿分100分）分成，，，，，這六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中的值，并估計(jì)這100人問答成績(jī)的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；(2)用分層抽樣的方法從問答成績(jī)?cè)趦?nèi)的人中抽取一個(gè)容量為5的樣本，再從樣本中任意抽取2人，求這2人的問答成績(jī)均在內(nèi)的概率.19．甲?乙?丙三人進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.已知在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙和甲勝丙的概率均為，乙勝丙的概率為，各場(chǎng)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.經(jīng)抽簽，第一場(chǎng)比賽甲輪空.(1)求前三場(chǎng)比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率；(2)求只需四場(chǎng)比賽就決出冠軍的概率.20．已知拋物線上第一象限的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2．(1)求拋物線C的方程和點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)的直線l交拋物線C于A、B，若的角平分線與y軸垂直，求弦AB的長(zhǎng)．21．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，是等腰直角三角形，且，平面平面，點(diǎn)E是線段PC（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)設(shè)平面ADE交PB于點(diǎn)F，求證：EF平面PAD；(2)當(dāng)點(diǎn)E到平面PAD的距離為時(shí)，求平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值.22．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)是軸正半軸上的一點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的取值范圍.1．C【分析】由兩線距離公式求值即可.【詳解】，顯然與另一條直線平行，則所求距離為.故選：C.2．B【分析】根據(jù)已知求出，進(jìn)而即可根據(jù)投影向量求出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故選：B.3．D【分析】根據(jù)甲乙兩人最終獲勝的概率即可按比例分配.【詳解】乙最終獲勝的概率為，甲最終獲勝的概率為，所以甲乙兩人按照分配獎(jiǎng)金才比較合理，所以甲元，乙元，故選：D4．B【分析】根據(jù)兩圓方程得出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，判斷出兩圓的位置關(guān)系，再利用與兩圓都外切的位置關(guān)系得出圓心距離所滿足的等量關(guān)系，結(jié)合圓錐曲線的定義即可得出答案.【詳解】由圓可知，圓心，半徑，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑，因此圓心距，所以兩圓相離，設(shè)與兩圓都外切的圓的圓心為，半徑為，則滿足，所以，即圓心的軌跡滿足到兩定點(diǎn)距離之差為定值，且定值小于兩定點(diǎn)距離，根據(jù)雙曲線定義可知，圓心的軌跡是某一雙曲線的左支，即圓心在雙曲線的一支上.故選：B.5．D【分析】根據(jù)直線與雙曲線無公共點(diǎn)，結(jié)合直線與漸近線的位置關(guān)系，列不等式求解即可.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，因?yàn)橹本€與C無公共點(diǎn)，所以，即，所以，又，所以C的離心率的取值范圍為.故選：D.

6．B【分析】根據(jù)題意，證明平面,不妨設(shè),以為基底的空間向量，,再求解，從而求出，根據(jù)是異面直線，求解其余弦值.【詳解】已知等腰直角三角形,點(diǎn)是中點(diǎn)，則,沿著翻折平面可得,所以,又,平面，所以平面,不妨設(shè),則，以為基底的空間向量，所以，則所以，因?yàn)槭钱惷嬷本€，所以異面直線的余弦值為.故選：B

7．B【分析】由已知點(diǎn)在拋物線上，利用待定系數(shù)法求拋物線方程，結(jié)合拋物線定義求的最小值.【詳解】設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)?，，所以點(diǎn)在拋物線上，所以，故，所以拋物線的方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，在方程中取可得，所以點(diǎn)在拋物線內(nèi)，過點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，為垂足，點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，為垂足，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線與準(zhǔn)線垂直時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3，故選：B.8．B【分析】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義得到，進(jìn)而結(jié)合余弦定理得到，即，令然后結(jié)合三角函數(shù)即可求出結(jié)果.【詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，故選：B.【點(diǎn)睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．9．BCD【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：若，則，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：與互斥，那么，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：如果與相互獨(dú)立，那么，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.10．AB【分析】首先畫出曲線表示的半圓，再根據(jù)點(diǎn)與直線，直線與圓的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷；【詳解】

對(duì)于A:曲線即的圖象是以為圓心，2為半徑的半圓，如圖，，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B:代表曲線半圓上的點(diǎn)與的斜率，由圖可知，曲線取點(diǎn)時(shí)，斜率最小，，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：直線過定點(diǎn)，由圖可知，當(dāng)直線位于之間，或者直線與曲線C相切時(shí)恰有1個(gè)交點(diǎn)，相切時(shí)，解得：或，故實(shí)數(shù)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：如圖，曲線上最多有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，D錯(cuò)誤；故選：AB.11．BCD【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式，可判斷A項(xiàng)；根據(jù)離心率，可判斷B項(xiàng)；設(shè)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可判斷C項(xiàng)；設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，由雙曲線定義可知最小時(shí)，則只需最小即可，過作垂直漸近線與點(diǎn)，交雙曲線右支與點(diǎn)，此時(shí)最小，再由距離公式即可判斷D項(xiàng).【詳解】雙曲線的漸近線為，左焦點(diǎn)，所以點(diǎn)到C的一條漸近線的距離為，所以A錯(cuò)誤；由雙曲線方程可得，，所以離心率，所以B正確；設(shè)點(diǎn)，則，即，點(diǎn)到兩漸近線距離分別為和，則，所以C正確；設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，則，所以，若最小，則只需最小即可，過作垂直漸近線與點(diǎn)，交雙曲線右支與點(diǎn)，此時(shí)最小，，由勾股定理得，所以，所以，所以的周長(zhǎng)為，所以D正確.故選：BCD.12．ABD【分析】根據(jù)已知推得.進(jìn)而即可根據(jù)三棱柱的性質(zhì)，以及線面平行的判定定理得出A；根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)得出球心是的中點(diǎn).求出的長(zhǎng)，即可得出球的半徑，進(jìn)而得出面積；平行可得即等于異面直線與所成角.在中，求解即可判斷C；建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面以及平面的法向量，根據(jù)向量即可求出二面角的余弦值.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所?根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知，，所以，.因?yàn)槠矫?，平面，所以，平?故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，如圖，分別取的中點(diǎn)為，連接，則的中點(diǎn)即為三棱柱的外接球的球心.又根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知，點(diǎn)也是的中點(diǎn).由已知可得，，，，所以，.所以，，即外接球的直徑為，半徑為，表面積為.故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋耘c所成的角即等于異面直線與所成角.在中，有.故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，則.所以，.又由圖可知，二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.故D正確.故選：ABD.13．【分析】?jī)蓚€(gè)向量的夾角為鈍角等價(jià)于且與不共線.【詳解】由；由.綜上：且.故答案為：.14．①④【分析】在①中，由對(duì)立事件定義得與為對(duì)立事件；有②中，與有可能同時(shí)發(fā)生；在③中，與有可能同時(shí)發(fā)生；在④中，（C）（E）；在⑤中，從而（B）（C）．【詳解】口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，“取出的2球至少有一個(gè)白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個(gè)白球”，①，由對(duì)立事件定義得與為對(duì)立事件，故①正確；②，與有可能同時(shí)發(fā)生，故與不是互斥事件，故②錯(cuò)誤；③，與有可能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件，故③錯(cuò)誤；④，（C），（E），，從而（C）（E），故④正確；⑤，，從而（B）（C），故⑤錯(cuò)誤．故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，考查對(duì)立互斥事件，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件、互斥事件等基本概念的合理運(yùn)用．15．9【分析】先由已知條件可知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為兩個(gè)圓的圓心,再利用平面幾何知識(shí)把轉(zhuǎn)化為雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)之間的距離,結(jié)合雙曲線的定義即可求的最大值.【詳解】，，，則故雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，，也分別是兩個(gè)圓的圓心，半徑分別為，所以，則，故答案為：916．4【分析】由題意，利用兩種方法化簡(jiǎn)所求代數(shù)式，方法一：設(shè)出過與拋物線的切線的點(diǎn)斜式方程，聯(lián)立方程，由切點(diǎn)性質(zhì)，則，可得方程，根據(jù)題意，結(jié)合韋達(dá)定理，可得，同樣的思路，設(shè)出過焦點(diǎn)的直線，聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可得，故可得第一種所求代數(shù)式的表示；方法二：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線斜率，可得，結(jié)合方法一中，可得第二種所求代數(shù)式的表示；綜上建立方程，求得的值，進(jìn)而求得答案.【詳解】由題意，顯然過點(diǎn)作拋物線的切線的斜率存在，設(shè)該斜率為，則該切線方程為，即，聯(lián)立，消去可得，由于切線與拋物線只有唯一交點(diǎn)，則，整理可得，由題意，可知為方程的兩個(gè)根，則，由題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，消去可得，由題意可知為該方程的兩個(gè)根，則，故，由拋物線方程，可得函數(shù)與函數(shù)，則與不妨設(shè)在第一象限，則，即，且，由設(shè)在第一象限，則在第四象限，即，可得，且，故，由，則，綜上可得，解得，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】對(duì)于拋物線的焦點(diǎn)弦，要熟記直線與拋物線聯(lián)立，消元選擇消去一次項(xiàng)，根據(jù)韋達(dá)定理，可得兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)與之間的等量關(guān)系；對(duì)于切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行計(jì)算，要善于化簡(jiǎn)表達(dá)式，可用縱坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理，可得簡(jiǎn)化計(jì)算.17．(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立直線和直線，即可求解交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）首先由題意可知，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，利用對(duì)稱和直線方程，即可求解.【詳解】（1）由，得，，所以直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）由可知，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，在直線上任取一點(diǎn)，所以點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)在直線上，把點(diǎn)代入方程，，解得所以，，即直線方程為：，即.18．(1)，72(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，求出參數(shù)的值，在根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算可得；（2）求出，中抽取的人數(shù)，利用列舉法列出所有可能結(jié)果，最后利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）由圖可知，，解得，估計(jì)這人問答成績(jī)的平均數(shù)為：.（2）由頻率分布直方圖可知，問答成績(jī)?cè)?，這兩組的頻率之比為.用分層隨機(jī)抽樣的方法從問答成績(jī)?cè)趦?nèi)的人中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則問答成績(jī)?cè)趦?nèi)的有(人)，分別記為、，問答成績(jī)?cè)趦?nèi)的有(人)，分別記為、、，從中任意抽取2人，則實(shí)驗(yàn)的樣本空間為：共有個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件為2人的問答成績(jī)均在內(nèi)，則，所以這2人的問答成績(jī)均在內(nèi)的概率.19．(1)(2)【分析】（1）設(shè)事件為甲勝乙，為甲勝丙，為乙勝丙，然后得出丙被淘汰可用事件，根據(jù)互斥事件的概率公式以及事件的獨(dú)立性，即可得出答案；（2）分最終的冠軍為甲，乙，丙，分別求解出概率，然后根據(jù)互斥事件的概率公式，即可得出答案.【詳解】（1）記事件為甲勝乙，則，則，事件為甲勝丙，則，，事件為乙勝丙，則，.則丙被淘汰可用事件來表示，所以，前三場(chǎng)比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率為.（2）若最終的冠軍為甲，則只需四場(chǎng)比賽就決出冠軍可用事件來表示，；若最終的冠軍為乙，則只需四場(chǎng)比賽就決出冠軍可用事件來表示，；若最終的冠軍為丙，則只需四場(chǎng)比賽就決出冠軍可用事件來表示，.所以，只需四場(chǎng)比賽就決出冠軍的概率為.20．(1)拋物線方程為：，點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）(2)4【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義可求出，則可得拋物線方程，再將代入拋物線方程可求出，從而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，（2）由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，將直線方程代入拋物線方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由的角平分線與y軸垂直，可得，化簡(jiǎn)可求