概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)結(jié)課論文

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)結(jié)課論文－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

班級：1533105學(xué)號：1153310522姓名：李大帥

概率論的發(fā)展與應(yīng)用

摘要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。通過實(shí)驗(yàn)來觀察隨機(jī)現(xiàn)象，揭示其規(guī)律性，或根據(jù)實(shí)際問題的具體情況找出隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律。它起源于17世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡、費(fèi)馬及荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯基于排列組合方法，研究利用古典概型解決賭博中提出的一些問題。由于社會的發(fā)展和工程技術(shù)問題的需要，促使概率論不斷發(fā)展，許多科學(xué)家進(jìn)行了研究。發(fā)展到今天，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在自然科學(xué)，社會科學(xué)，工業(yè)生產(chǎn)，金融及日常生活實(shí)際等諸多領(lǐng)域中起著不可替代的作用。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；起源與發(fā)展；應(yīng)用

1.概率論的起源與發(fā)展

1.1概率論的起源

概率論的起源與賭博有關(guān)，在17世紀(jì)中葉，一位名叫德·梅爾的賭徒向帕斯卡提出了“分賭注問題”即兩個人決定賭若干局，事先約定誰先贏得s局便算贏家。如果在一個人贏a(a帕斯卡將這一問題和他的解法寄給費(fèi)馬，他們頻頻通信，互相交流，圍繞賭博中的數(shù)學(xué)問題開始了深入的研究。這些問題后來被來到巴黎的荷蘭科學(xué)家惠更斯獲悉，回荷蘭后，他獨(dú)立地進(jìn)行研究。帕斯卡和費(fèi)爾馬一邊親自做賭博實(shí)驗(yàn)，一邊仔細(xì)分析計(jì)算賭博中出現(xiàn)的各種問題，終于完整地解決了“分賭注問題”，并將此題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個基本概念——數(shù)學(xué)期望，這是描述隨機(jī)變量取值的平均水平的一個量。而惠更斯經(jīng)過多年的潛心研究，解決了擲骰子中的一些數(shù)學(xué)問題。年，他將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子游戲中的計(jì)算》。這本書迄今為止被認(rèn)為是概率論中最早的論著。因此可以說早期概率論的真正創(chuàng)立者是帕斯卡、費(fèi)爾馬和惠更斯。這一時期被稱為組合概率時期，計(jì)算各種古典概率。

1.2概率論的發(fā)展

到了18，19世紀(jì)，隨著科學(xué)的發(fā)展，人們注意到社會科學(xué)和自然科學(xué)中許多隨機(jī)現(xiàn)象與機(jī)會游戲之間十分相似，如人口統(tǒng)計(jì)、誤差理論、產(chǎn)品檢驗(yàn)和質(zhì)量控制等，從而由機(jī)會游戲起源的概率論被應(yīng)用于這些領(lǐng)域中，同時也大大促進(jìn)了概率論本身的發(fā)展，瑞士數(shù)學(xué)家伯努利作為使概率論成為數(shù)學(xué)的一個分枝的奠基人之一，建立了概率論中第一個極限定理（即伯努利大數(shù)定律），闡明了事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于它的概率。隨后，埭莫弗和拉普拉斯又導(dǎo)出了第二個基本極限定理（即中心極限定理）的原始形式，拉普拉斯在其《分析的概率理論》一書中，明確的給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的分析工具，將概率論推向一個新的發(fā)展階段。19世紀(jì)末，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫、馬爾代夫、李雅普諾夫等人用分析的方法建立了大數(shù)定律及中心極限定理的一般形式，科學(xué)的解釋了為什么在實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)變量都近似服從于正態(tài)分布。20世紀(jì)初，由于大量實(shí)際問題的需要，特別受物理學(xué)的刺激，人們開始研究隨機(jī)過程。愛因斯坦、維納和列維等人對生物學(xué)家布朗在顯微鏡下觀測到的花粉微粒的無規(guī)則運(yùn)動進(jìn)行了開創(chuàng)性的理論分析，提出了布朗運(yùn)動數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行了系統(tǒng)的研究；愛爾蘭等人則在電話流呼喚中研究了泊松過程，成為排隊(duì)論的開創(chuàng)者；費(fèi)勒等在生物群體生長模型中提出了生滅過程；克拉默、維納、辛欽等人系統(tǒng)研究了平穩(wěn)

過程；科爾莫果洛夫、費(fèi)勒和多布則開創(chuàng)了更一般的馬爾科夫過程和鞅論的系統(tǒng)研究。至今，對于隨機(jī)過程的研究以及與其他新興學(xué)科的交叉而形成的邊緣學(xué)科的研究仍在繼續(xù)。

2.概率論應(yīng)用的預(yù)備知識

在談及應(yīng)用之前，先澄清一下多數(shù)人在概率方面的幾個誤解。

①大部分人認(rèn)為一件事件概率為零即為不可能事件，這種觀點(diǎn)是錯誤的。在幾何概率中，()=AP的面積

的面積SA，顯然S內(nèi)每一點(diǎn)的面積均為零，概率也為零，但其發(fā)生的可能性并非沒有，只不過是微乎其微，因而不是不可能事件，而是近似不可能事件。

②還有一些人在做決策時，認(rèn)為這件事情的概率成功是p，那么只要進(jìn)行n次決策，就一定會有np次成功，但這樣是非常不合理的。由切比雪夫大數(shù)定律：設(shè)??,,,,21nXXX是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，若存在常數(shù)C，使得

()()?=≤,2,1iCXDi，則對任意0>ε，有nCXEXPniinii2111)(n1εε-≥??

????3.概率論的應(yīng)用

3.1概率論在自然科學(xué)中的應(yīng)用

問題：為統(tǒng)計(jì)昆蟲下一代數(shù)量，發(fā)現(xiàn)昆蟲產(chǎn)k個卵的概率λλ-=ekpk

k!，又知

道一個蟲卵能孵化成昆蟲的概率為p，且卵的孵化相互獨(dú)立的，由此估計(jì)昆蟲下一代有L條概率。

答：設(shè)昆蟲下一代有條為事件A，昆蟲產(chǎn)k個卵為事件(),,1,?+=LLkBk。昆蟲下一代有L條，那么昆蟲至少需產(chǎn)L個卵，所以Lk≥。當(dāng)昆蟲產(chǎn)k個卵時，昆蟲下一代有L條的概率()

LkLLkkppCBAP--=1)|(。

由全概率公式得：

()()[]()()p

LLkLkLLkLkLkLkLkLkLkLkkkeLpLkpekppLkLpeppekC

BAPBPAPλλλλλλλλλ-∞=--∞=--∞=--∞==--=--=-==∑∑∑∑!!1!)()1()!(!)1(!

)|()(

3.2概率論在社會科學(xué)中的應(yīng)用

問題：在調(diào)查家庭暴力所占家庭的比例p時，為得到真實(shí)的p同時又不侵犯個人隱私，調(diào)查人員將袋中放入比例是0p的紅球和比例是001pq-=的白球。讓調(diào)查者從袋中任取一球查看后返回，若取到白球，回答問題A：你的生日是否在7月1日之前？若取到紅球，回答問題B：你的家庭是否存在家庭暴力？被調(diào)查者無論回答的是問題A還是問題B，只需在匿名調(diào)查表中選擇“是”（有家庭暴力）或“否”，然后將表放入投票箱，沒人能知道被調(diào)查者回答的是問題A還是問題B。如果聲稱有家庭暴力的家庭比例是1p，如何求p。

答：由全概率公式得：

).|()()|()()(紅球是紅球白球是白球是PPPPP+=①

其中，,)|(,)(,1)(,)(0001pPpPqpPpP===-==紅球是紅球白球是當(dāng)被調(diào)查者人數(shù)較多時，0.5)|(=白球是P，將以上各量代入到式①中得().15.0001pppp--=實(shí)際問題中，1p是未知的，需要經(jīng)過調(diào)查得到。假設(shè)調(diào)查了n個家庭，其中有k個家庭回答“是”，則可用nkp=∧1估計(jì)1p，從而可用()00115.0pppp--=∧

∧估計(jì)p。如果袋中裝有30個紅球，20個白球，調(diào)查了1672個家庭，其中有363個家庭回答“是”，則

.0285.06

.04.05.01672363=?-=p

3.3概率論在工業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用

問題：設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，現(xiàn)在進(jìn)行n次有返回的抽樣，每次抽取一件。求這n次中共抽到的次品數(shù)的概率分布。

答：由于抽樣有放回的，因此這是n重伯努利實(shí)驗(yàn)，若以A表示一次抽樣中抽到次品這一事件，則

().N

MAPp==

故()NMnBX,~，即

()()nkNMNMCkXPknkkn,,1,01?=?????-?????==-.

3.4概率論在防范金融風(fēng)險中的應(yīng)用

問題：設(shè)某公司擁有三支獲利是獨(dú)立的股票，且三種股票獲利的概率分別為0.8、0.6、0.5，求：

(1)任兩種股票至少有一種獲利的概率；

(2)三種股票至少有一種股票獲利的概率。設(shè)CBA,,分別表示三種股票獲利，答：依題意CBA,,相互獨(dú)立。()()(),5.0,6.0,8.0===CPBPAP則由乘法公式與加法公式：

(1)任兩種股票至少有一種獲利等價于三種股票至少有兩種獲利的概率。()()()()().

7.05.06.08.026.05.05.08.06.08.021=???-?+?+?=-++=++=ABCPBCPACPABPBCACABPP(2)三種股票至少有一種股票獲利的概率。

()()()()()()()()96

.05

.06.08.05.06.05.08.06.08.05.06.08.02=??+?-?-?-++=+---++=++=ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAPP

在長期的投資實(shí)踐活動中，人們發(fā)現(xiàn)，投資者手中持有多種不同風(fēng)險的證券，可以減輕所遇風(fēng)險帶來的損失。對于投資若干種不同風(fēng)險與收益的證券形成的證券組，稱為證券投資組合，其主要內(nèi)容是在投資者為追求高的投資預(yù)期收益，并希望盡可能躲避風(fēng)險的前提下，以解決如何最有效地分散組合證券風(fēng)險，求得最大收益。計(jì)算結(jié)果表明：投資于多只股票獲利的概率大于投資于單只股票獲利的概率這就是投資決策中分散風(fēng)險的一種策略。

3.5概率論在日常生活實(shí)際中的應(yīng)用

已知某網(wǎng)站每天的登錄人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，而進(jìn)入該網(wǎng)站的每個人打開某網(wǎng)頁的概率為p，試求訪問該網(wǎng)頁人數(shù)的分布律及其數(shù)學(xué)期望。

解：以X表示登錄網(wǎng)站的人數(shù)，Y表示訪問某網(wǎng)頁的人數(shù).

依題意:

()()()()

()

()()1,,,,2,1,00

|,,1,1|,,2,1,0!-??====?+=-===?===--kLnnXkYPLkknppCnXkYPLnennXPknkknn

λ

λ由全概率公式得：

()()()()()LkekpnXPnXkYPkYPpk

n,,2,1,0!|0?=======-∞

=∑λλ

().pYEpYλλ=，因此其數(shù)學(xué)期望為為仍服從泊松分布，參數(shù)可見

數(shù)學(xué)期望具有廣泛的應(yīng)用價值。實(shí)踐證明當(dāng)風(fēng)險決策問題較為復(fù)雜時，決策者在保持自身判斷的條件下處理大量信息的能力將減弱，在這種情況下，風(fēng)險決策的分析方法可為決