物理人教版必修2學(xué)案5-1曲線運(yùn)動

第五章曲線運(yùn)動1曲線運(yùn)動知識點(diǎn)一曲線運(yùn)動的位移和速度1．曲線運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡是曲線的運(yùn)動．2．曲線運(yùn)動的位移物體做曲線運(yùn)動時(shí)，無法應(yīng)用直線坐標(biāo)系，而應(yīng)該選擇平面直角坐標(biāo)系來定量研究；曲線運(yùn)動中位移矢量的方向在不斷變化，要盡量用它在坐標(biāo)軸方向上的分矢量來表示它．3．曲線運(yùn)動的速度(1)速度方向：質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的速度方向沿曲線在這一點(diǎn)的切線方向．(2)特點(diǎn)：做曲線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的速度方向時(shí)刻發(fā)生變化，即速度時(shí)刻發(fā)生變化，因此曲線運(yùn)動一定是變速運(yùn)動．在砂輪上磨刀具時(shí)，刀具與砂輪接觸處的火星沿什么方向飛出？轉(zhuǎn)動雨傘時(shí)，雨傘上的水滴沿什么方向飛出？根據(jù)以上兩種現(xiàn)象，你能得出什么結(jié)論？提示：均沿接觸處的切線方向飛出．得出的結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動時(shí)，在某一點(diǎn)的速度方向沿曲線上這一點(diǎn)的切線方向．知識點(diǎn)二運(yùn)動描述的實(shí)例1．蠟塊的位置蠟塊沿玻璃管勻速上升的速度設(shè)為vy，玻璃管向右移動的速度設(shè)為vx.從蠟塊開始運(yùn)動的時(shí)刻計(jì)時(shí)，于是，在t時(shí)刻，蠟塊的位置P可以用它的x、y兩個(gè)坐標(biāo)表示x＝vxt，y＝vyt.2．蠟塊的速度大小速度的大小v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))，速度的方向滿足tanθ＝eq\f(vy,vx).3．蠟塊的運(yùn)動軌跡y＝eq\f(vy,vx)·x是一條過原點(diǎn)的直線．小汽車在勻速奔馳，乘客把手伸出窗外，讓手中的一個(gè)物體自由下落(忽略空氣阻力)．那么車中的乘客觀察到物體在做什么運(yùn)動？路邊靜止的人觀察到物體在做什么運(yùn)動？提示：車中的乘客會看到物體做自由落體運(yùn)動，路邊靜止的人會看到物體做曲線運(yùn)動．知識點(diǎn)三物體做曲線運(yùn)動的條件1．當(dāng)物體所受合力方向跟它的速度方向不在同一直線上時(shí)，物體做曲線運(yùn)動．2．物體加速度的方向與它受力的方向總是一致的，當(dāng)物體所受合力方向跟它的速度方向在同一直線上時(shí)，物體做直線運(yùn)動．做曲線運(yùn)動的物體所受的合力可以是零嗎？做曲線運(yùn)動的物體所受的合力可以是恒定不變的力嗎？提示：物體做曲線運(yùn)動的條件是所受合力的方向與它的速度方向不在同一條直線上，所以物體所受合力不能為零，至于物體所受的合力是否為恒力并無要求，所以可以是恒力．考點(diǎn)一曲線運(yùn)動的位移(1)定義：運(yùn)動軌跡是曲線的運(yùn)動叫做曲線運(yùn)動．(2)平面直角坐標(biāo)的建立：選物體的拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸的正方向沿v0方向，y軸的方向垂直于x軸豎直向下．(3)曲線運(yùn)動的位移是從物體運(yùn)動的起點(diǎn)指向運(yùn)動終點(diǎn)的有向線段，如圖所示的線段OA，可以用l表示．由于曲線運(yùn)動的位移矢量l是在不斷變化，運(yùn)算不方便，所以用它在兩坐標(biāo)軸方向上的分矢量來表示．由于分矢量方向是確定的，所以只用終點(diǎn)的坐標(biāo)就能表示它們，如下圖所示OA的位移可用A點(diǎn)的坐標(biāo)(xA，yA)來表示．【例1】曲線滑梯如圖所示，人從滑梯A點(diǎn)沿滑梯經(jīng)B、C、D點(diǎn)滑下，試在圖中建立平面直角坐標(biāo)系標(biāo)出B、C兩點(diǎn)相對于A點(diǎn)的位移及兩點(diǎn)的坐標(biāo)．選A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，B，C兩點(diǎn)相對于A點(diǎn)的位移坐標(biāo)就能在圖中表示出來．【解析】如圖，有向線段AB就是B點(diǎn)相對于A點(diǎn)的位移，有向線段AC就是C點(diǎn)相對于A點(diǎn)的位移，B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xB，yB)、(xC，yC)．【答案】見解析總結(jié)提能曲線運(yùn)動的位移仍然是有向線段，在大小上它比物體運(yùn)動的路程小，為了方便計(jì)算可將其分解在對應(yīng)的x軸和y軸上．甲、乙兩物體做曲線運(yùn)動，如圖所示，在某一時(shí)刻它們的位置分別在圖中的A、B位置，試比較在該時(shí)刻時(shí)它們的位移大?。馕觯簒OA＝eq\r(x\o\al(2,A)＋y\o\al(2,A))＝eq\r(12＋42)m＝eq\r(17)m，xOB＝eq\r(x\o\al(2,B)＋y\o\al(2,B))＝eq\r(32＋22)m＝eq\r(13)m，所以xOA>xOB即在此時(shí)刻甲物體的位移比乙物體的位移大．答案：甲物體的位移比乙物體的位移大考點(diǎn)二曲線運(yùn)動的速度(1)曲線運(yùn)動的速度方向做曲線運(yùn)動的物體，在任一時(shí)刻(或位置)的瞬時(shí)速度方向與該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在位置處曲線的切線方向一致，并指向物體運(yùn)動的方向．如：砂輪打磨下來的熾熱微粒飛出的方向與飛出時(shí)的位置有關(guān)，但都與砂輪圓周相切．如圖所示，A、B、C各處飛出的微粒方向各不相同，但均與該處圓周曲線相切．(2)曲線運(yùn)動的實(shí)質(zhì)物體做曲線運(yùn)動時(shí)，瞬時(shí)速度沿曲線上該點(diǎn)的切線方向，而曲線上各點(diǎn)的切線方向是不同的．可見，做曲線運(yùn)動時(shí)，物體速度的方向一定是變化的，因而一定有加速度，所以不管什么樣的曲線運(yùn)動一定是變速運(yùn)動．(3)速度的分解速度是矢量，可以沿不同方向分解，在具體問題中，速度的分解要有意義，如水平拋出的鋼球在空中某一點(diǎn)的速度通常按水平和豎直兩個(gè)不同方向分解，如圖所示．我們可以得到vx、vy兩個(gè)分速度：vx＝vcosθ，vy＝vsinθ.【例2】翻滾過山車是大型游樂園里的一種比較刺激的娛樂項(xiàng)目．如右圖所示，翻滾過山車(可看成質(zhì)點(diǎn))從高處沖下，過M點(diǎn)時(shí)速度方向如右圖所示，在圓形軌道內(nèi)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．下列說法中正確的是()A．過A點(diǎn)時(shí)的速度方向沿AB方向B．過B點(diǎn)時(shí)的速度方向沿水平方向C．過A、C兩點(diǎn)時(shí)的速度方向相同D．圓形軌道上與M點(diǎn)速度方向相同的點(diǎn)在AB段上過山車做曲線運(yùn)動，在任一位置的速度方向沿軌跡上該點(diǎn)的切線方向．【解析】翻滾過山車經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的速度方向如圖所示．由圖判斷B正確，A、C錯(cuò)誤．用直尺和三角板作M點(diǎn)速度方向的平行線且與圓相切于N點(diǎn)，則過山車過N點(diǎn)時(shí)速度方向與M點(diǎn)相同．D錯(cuò)誤．【答案】B總結(jié)提能在確定某點(diǎn)的速度方向時(shí)，首先弄清兩點(diǎn)：一是物體沿軌跡的運(yùn)動方向，二是沿該點(diǎn)的切線方向．然后兩方面結(jié)合確定某點(diǎn)的速度方向．如圖所示的陀螺，是漢族民間最早的娛樂工具，也是我們很多人小時(shí)候喜歡玩的玩具．從上往下看(俯視)，若陀螺立在某一點(diǎn)順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動，此時(shí)滴一滴墨水到陀螺上，則被甩出的墨水徑跡可能是下圖中的(D)解析：陀螺的邊緣上的墨水沿切線方向飛出，所以A，B錯(cuò)誤；陀螺立在某一點(diǎn)順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動，所以墨水滴的方向要與順時(shí)針方向的前方一致，故C錯(cuò)誤，D正確．考點(diǎn)三運(yùn)動的合成與分解(1)演示實(shí)驗(yàn)中蠟塊的運(yùn)動特點(diǎn)：以蠟塊的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右和豎直向上的方向分別為x軸和y軸的正方向建立坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)蠟塊的水平速度為vx，豎直上升速度為vy，則：①蠟塊任一時(shí)刻的坐標(biāo)可以表示為x＝vxt，y＝vyt.②蠟塊任一時(shí)刻的位置l＝eq\r(x2＋y2)＝teq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y)).③蠟塊任一時(shí)刻的速度v＝eq\f(l,t)＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y)).④蠟塊的運(yùn)動軌跡由x＝vxt，y＝vyt消去t，則y＝eq\f(vy,vx)x，由于vx和vy都是常量，所以eq\f(vy,vx)也是常量，可見y＝eq\f(vy,vx)x代表的是一條過原點(diǎn)的直線，也就是說蠟塊的運(yùn)動軌跡是直線．(2)運(yùn)動的合成與分解合運(yùn)動與分運(yùn)動：如果某物體同時(shí)參與幾個(gè)不同方向上的運(yùn)動，那么這個(gè)物體的實(shí)際運(yùn)動就叫做那幾個(gè)運(yùn)動的合運(yùn)動．那幾個(gè)運(yùn)動叫這個(gè)物體實(shí)際運(yùn)動的分運(yùn)動．①運(yùn)動的合成：已知分運(yùn)動求合運(yùn)動叫做運(yùn)動的合成．②運(yùn)動的分解：已知合運(yùn)動求分運(yùn)動叫做運(yùn)動的分解．③合運(yùn)動與分運(yùn)動的關(guān)系A(chǔ)．獨(dú)立性：某個(gè)方向上的運(yùn)動不會因?yàn)槠渌较蛏鲜欠裼羞\(yùn)動而影響該方向的運(yùn)動性質(zhì)．在運(yùn)動中一個(gè)物體可以同時(shí)參與幾種不同的運(yùn)動，在研究時(shí)，可以把各個(gè)運(yùn)動都看做是互相獨(dú)立進(jìn)行，互不影響．B．等時(shí)性：各個(gè)分運(yùn)動與合運(yùn)動總是同時(shí)開始同時(shí)結(jié)束，經(jīng)歷時(shí)間相等．求運(yùn)動時(shí)間時(shí)，可選擇一個(gè)容易求的分運(yùn)動來解．C．等效性：各分運(yùn)動疊加起來與合運(yùn)動有相同的效果．D．同一性：各分運(yùn)動與合運(yùn)動，是指同一物體參與的分運(yùn)動和實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動．不是幾個(gè)不同物體發(fā)生的不同運(yùn)動．④運(yùn)動的合成與分解法則運(yùn)動的合成與分解是指描述物體運(yùn)動的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解．由于它們都是矢量，所以它們都遵循矢量的合成與分解法則．A．兩分運(yùn)動在同一直線上時(shí)，同向相加，反向相減．B．不在同一直線上，按照平行四邊形定則進(jìn)行合成或分解．⑤合運(yùn)動與分運(yùn)動的性質(zhì)和軌跡的關(guān)系：兩直線運(yùn)動的合運(yùn)動的性質(zhì)和軌跡，由各分運(yùn)動性質(zhì)及合初速度與合加速度的方向和大小關(guān)系決定．A．兩個(gè)勻速直線運(yùn)動的合運(yùn)動一定是勻速直線運(yùn)動．B．一個(gè)勻速直線運(yùn)動和一個(gè)勻變速直線運(yùn)動的合運(yùn)動是勻變速運(yùn)動，當(dāng)二者共線時(shí)為勻變速直線運(yùn)動，不共線時(shí)為勻變速曲線運(yùn)動．C．兩個(gè)勻變速直線運(yùn)動的合運(yùn)動一定是勻變速運(yùn)動．若合初速度方向與合加速度方向在同一條直線上，則是直線運(yùn)動；若合初速度方向與合加速度方向不在一條直線上，則是曲線運(yùn)動．【例3】如圖所示，一塊橡皮用細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，用鉛筆靠著線的左側(cè)水平向右勻速移動，運(yùn)動中始終保持懸線豎直，則橡皮運(yùn)動的速度()A．大小和方向均不變B．大小不變，方向改變C．大小改變，方向不變D．大小和方向均改變解答本題時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)橡皮在水平方向做勻速直線運(yùn)動，在豎直方向也做勻速直線運(yùn)動．(2)橡皮的實(shí)際運(yùn)動是兩個(gè)勻速直線運(yùn)動的合運(yùn)動．【解析】橡皮參與了兩個(gè)分運(yùn)動，一個(gè)是沿水平方向與鉛筆速度相同的勻速直線運(yùn)動，另一個(gè)是沿豎直方向與鉛筆移動速度大小相等的勻速直線運(yùn)動，這兩個(gè)直線運(yùn)動的合運(yùn)動是斜向上的勻速直線運(yùn)動，故選項(xiàng)A正確．【答案】A總結(jié)提能運(yùn)動的合成與分解是研究曲線運(yùn)動規(guī)律最基本的方法，它的指導(dǎo)思想是化曲為直、化變化為不變、化復(fù)雜為簡單的等效處理觀點(diǎn)．在解決有關(guān)運(yùn)動的合成與分解問題時(shí)要注意合運(yùn)動與分運(yùn)動的等時(shí)性、獨(dú)立性、等效性和同一性．如圖甲所示，在一端封閉、長約1m的玻璃管內(nèi)注滿清水，水中放置一個(gè)蠟塊，將玻璃管的開口端用膠塞塞緊．然后將這個(gè)玻璃管倒置，在蠟塊沿玻璃管上升的同時(shí)，將玻璃管水平向右移動．假設(shè)從某時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，蠟塊在玻璃管內(nèi)每1s上升的距離都是10cm，玻璃管向右勻加速平移，每1s通過的水平位移依次是2.5cm、7.5cm、12.5cm、17.5cm.圖乙中，y表示蠟塊豎直方向的位移，x表示蠟塊隨玻璃管運(yùn)動的水平位移，t＝0時(shí)蠟塊位于坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)請?jiān)趫D乙中畫出蠟塊4s內(nèi)的運(yùn)動軌跡；(2)求出玻璃管向右平移的加速度大??；(3)求t＝2s時(shí)蠟塊的速度v的大?。馕觯?1)蠟塊在豎直方向做勻速直線運(yùn)動，在水平方向向右做勻加速直線運(yùn)動，根據(jù)題中的數(shù)據(jù)畫出的軌跡如圖所示；(2)由于玻璃管向右為勻加速平移，根據(jù)Δs＝aT2可求得加速度，由題中數(shù)據(jù)可得：Δs＝5.0cm，相鄰時(shí)間間隔為1s，則a＝eq\f(Δs,T2)＝5×10－2m/s2；(3)由運(yùn)動的獨(dú)立性可知，豎直方向的速度為vy＝0.1m/s.水平方向做勻加速直線運(yùn)動，2s時(shí)蠟塊的水平速度為vx＝at＝0.1m/s.則2s時(shí)蠟塊的速度：v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝eq\f(\r(2),10)m/s.答案：(1)軌跡如解析圖所示(2)5×10－2m/s(3)eq\f(\r(2),10)m/s考點(diǎn)四物體做曲線運(yùn)動的條件(1)物體做曲線運(yùn)動的條件：當(dāng)物體所受合力的方向與它的速度方向不在同一直線上時(shí)，物體做曲線運(yùn)動．(2)運(yùn)動軌跡與速度和合力的夾角的關(guān)系(3)曲線運(yùn)動的特點(diǎn)①無力不拐彎，拐彎必有力．曲線運(yùn)動的軌跡始終夾在合力方向與速度方向之間，而且向合力的方向彎曲，即合力指向軌跡的凹側(cè)．②曲線運(yùn)動的位移大小一定小于其路程，其平均速度大小一定小于其平均速率．③曲線運(yùn)動中物體所受合力沿切線方向的分力使物體的速度大小發(fā)生變化，沿法線方向的分力使物體的速度方向發(fā)生變化．【例4】一物體在三個(gè)恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡狀態(tài)，若突然撤去F1，而保持F2、F3不變，則物體()A．一定做勻變速運(yùn)動 B．一定做直線運(yùn)動C．一定做非勻變速運(yùn)動 D．一定做曲線運(yùn)動解答本題時(shí)應(yīng)把握以下三點(diǎn)：(1)明確撤去F1后物體的受力情況．(2)知道物體做直線運(yùn)動和曲線運(yùn)動的條件．(3)物體所受的合力恒定，則物體的加速度恒定．【解析】物體在恒力作用下產(chǎn)生恒定的加速度，加速度恒定的運(yùn)動一定是勻變速運(yùn)動．由題意可知，當(dāng)突然撤去F1而保持F2、F3不變時(shí)，物體受到的合力大小為F1，方向與F1相反，故物體一定做勻變速運(yùn)動，選項(xiàng)A正確．在撤去F1之前，物體受力平衡，有兩種可能：一是物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，則撤去F1后，物體做勻變速直線運(yùn)動；二是物體處于勻速直線運(yùn)動狀態(tài)，則撤去F1后，物體可能做直線運(yùn)動(F1的方向和速度方向在同一直線上)，也可能做曲線運(yùn)動(F1的方向和速度方向不在同一直線上)，故選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤．【答案】A總結(jié)提能1.在判斷一個(gè)物體是否做曲線運(yùn)動時(shí)，應(yīng)先分析物體的受力，確定物體所受合力的方向與速度方向是否在一條直線上，若在一條直線上則物體做直線運(yùn)動，若不在一條直線上，則物體做曲線運(yùn)動．2．物體做曲線運(yùn)動時(shí)，其所受的合力可能是恒力，也可能是變力．合力是恒力時(shí)，加速度是恒量，物體做勻變速曲線運(yùn)動；合力是變力時(shí)，加速度是變量，做變加速曲線運(yùn)動．小文同學(xué)在探究物體做曲線運(yùn)動的條件時(shí)，將一條形磁鐵放在桌面的不同位置，讓小鋼珠在水平桌面上從同一位置以相同初速度v0運(yùn)動，得到不同軌跡．圖中a、b、c、d為其中四條運(yùn)動軌跡，磁鐵放在位置A時(shí)，小鋼珠的運(yùn)動軌跡是b(填軌跡字母代號)，磁鐵放在位置B時(shí)，小鋼珠的運(yùn)動軌跡是c(填軌跡字母代號)．實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)物體所受合外力的方向跟它的速度方向不在(填“在”或“不在”)同一直線上時(shí)，物體做曲線運(yùn)動．解析：磁鐵放在位置A時(shí)，小球受磁場力方向與速度方向在一條直線上，小球沿軌跡b做直線運(yùn)動；磁鐵放在位置B時(shí)，小球沿軌跡c運(yùn)動．當(dāng)物體所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一直線上時(shí)，物體做曲線運(yùn)動．1．物體做曲線運(yùn)動，在其運(yùn)動軌跡上某一點(diǎn)的加速度方向(D)A．為通過該點(diǎn)的曲線的切線方向B．與物體在這一點(diǎn)時(shí)所受的合外力方向垂直C．與物體在這一點(diǎn)的速度方向一致D．與物體在這一點(diǎn)的速度方向的夾角一定不為零解析：加速度的方向就是合外力的方向，由物體做曲線運(yùn)動的條件可知，加速度的方向與速度的方向一定不在同一直線上．2．一個(gè)做勻速直線運(yùn)動的物體突然受到一個(gè)與運(yùn)動方向不在同一直線上的恒力作用時(shí)，物體的運(yùn)動為(B)A．繼續(xù)做直線運(yùn)動B．一定做曲線運(yùn)動C．可能做直線運(yùn)動，也可能做曲線運(yùn)動D．運(yùn)動的形式不能確定解析：當(dāng)合外力的方向與速度的方向不在同一直線上時(shí)，物體的運(yùn)動一定是曲線運(yùn)動．3．(多選)關(guān)于曲線運(yùn)動的條件，以下說法正確的是(BC)A．物體受變力作用才可能做曲線運(yùn)動B．物體受恒力作用也可能做曲線運(yùn)動C．物體所受的合外力為零時(shí)不可能做曲線運(yùn)動D．只要所受的合外力不為零，物體就一定做曲線運(yùn)動解析：物體做曲線運(yùn)動的條件是合外力的方向與速度的方向不在同一直線上，而不管這個(gè)力是恒力還是變力，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)物體所受的合外力為零時(shí)，其加速度一定為零，此時(shí)不可能做曲線運(yùn)動，選項(xiàng)C正確；如果受到的合外力不為零，但合外力的方向與速度的方向在同一直線上，物體將做直線運(yùn)動，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．4．游泳運(yùn)動員以恒定的速率垂直河岸橫渡，當(dāng)水速突然增大時(shí)，對運(yùn)動員橫渡經(jīng)歷的位移、時(shí)間產(chǎn)生的影響是(C)A．位移增加、時(shí)間增加 B．位移增加、時(shí)間縮短C．位移增加、時(shí)間不變 D．位移、時(shí)間均與水速無關(guān)解析：根據(jù)運(yùn)動的獨(dú)立性原理，運(yùn)動員橫渡過河所用的時(shí)間與水速無關(guān)，據(jù)此可以判斷：運(yùn)動員橫渡的時(shí)間不會受水速的影響，即時(shí)間不變；但水速變大時(shí)將導(dǎo)致運(yùn)動員順?biāo)碌奈灰圃龃螅瑥亩鴮?dǎo)致總的位移增大，選項(xiàng)C正確．5．(多選)如圖所示，做勻速直線運(yùn)動的汽車A通過一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B，設(shè)重物和汽車速度的大小分別為vB，vA，則(CD)A．vA＝vB B．vA<vBC．vA>vB D．重物B的速度逐漸增大解析：如圖所示，汽車的實(shí)際運(yùn)動是水平向左的運(yùn)動，它的速度vA可以產(chǎn)生兩個(gè)運(yùn)動效果：一是使繩子伸長；二是使繩子與豎直方向的夾角增大，所以汽車的速度vA應(yīng)有沿繩方向的分速度v0和垂直繩的分速度v1，由運(yùn)動的分解可得v0＝vAcosα；又由于vB＝v0，所以vA>vB，故選項(xiàng)C正確．因?yàn)殡S著汽車向左行駛，α角逐漸減小，所以vB逐漸增大，故選項(xiàng)D正確．eq\o(\s\up7(),\s\do5(學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂,——思想方法系列一))運(yùn)動的合成與分解的兩類典型問題一、小船過河問題[方法解讀]小船過河問題可以基于以下幾點(diǎn)進(jìn)行理解和分析：(1)將船實(shí)際的運(yùn)動看做船隨水流的運(yùn)動和船在靜水中的運(yùn)動的合運(yùn)動．(2)如圖所示，v水為水流速度，v靜水表示船在靜水中的速度，將船的速度v靜水沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，則v水－v靜水cosθ為船實(shí)際上沿水流方向的運(yùn)動速度，v⊥＝v靜水sinθ為船垂直于河岸方向的運(yùn)動速度．兩個(gè)方向的運(yùn)動情況相互獨(dú)立、互不影響．1．過河的最短時(shí)間過河時(shí)間僅由v靜水垂直于河岸的分量v⊥決定，即t＝eq\f(d,v⊥)，與v水無關(guān)．要使過河時(shí)間最短，應(yīng)使垂直河岸方向的速度最大，如圖所示，當(dāng)sinθ＝1，即v靜水垂直于河岸時(shí)，過河所用時(shí)間最短，最短時(shí)間為t＝eq\f(d,v靜水)，與v水無關(guān)．2．過河的最小位移過河位移由實(shí)際運(yùn)動軌跡的方向決定，要使過河位移最小，應(yīng)使合位移(或合速度)與河岸方向的夾角最大．(1)當(dāng)v水<v靜水時(shí)，過河的最小位移即河的寬度．如圖所示，為了使過河位移等于河寬d，這時(shí)船頭應(yīng)指向河的上游，并與河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向與河岸垂直．此時(shí)，v水－v靜水cosθ＝0，過河時(shí)間t＝eq\f(d,v)＝eq\f(d,\r(v\o\al(2,靜水)－v\o\al(2,水))).(2)當(dāng)v水>v靜水時(shí)，不論船的航向如何，總是被水沖向下游．此時(shí)合速度v與河岸方向的夾角α越大，船過河的位移越?。敲矗谑裁礂l件下α角最大呢？如圖所示，以v水的矢尖為圓心，以v靜水的大小為半徑畫圓，當(dāng)合速度與圓相切時(shí)，α角最大．由三角形的相似性，最小位移為s＝eq\f(v水,v靜水)d，過河時(shí)間t＝eq\f(s,v)＝eq\f(v水d,v靜水\r(v\o\al(2,水)－v\o\al(2,靜水))).【例1】小船在200m寬的河中橫渡，水流速度為2m/s，船在靜水中的速度為4m/s.(1)若小船的船頭始終正對對岸，它將在何時(shí)、何處到達(dá)對岸？(2)要使小船到達(dá)正對岸，應(yīng)如何航行？歷時(shí)多長？(3)小船過河的最短時(shí)間為多長？(4)若水流速度是5m/s，船在靜水中的速度是3m/s，則怎樣過河才能使船漂向下游的距離最小？最小距離是多少？[解析](1)小船參與了兩個(gè)分運(yùn)動，即船隨水流的運(yùn)動和船在靜水中的運(yùn)動．因?yàn)榉诌\(yùn)動之間具有獨(dú)立性和等時(shí)性，故小船過河時(shí)間等于垂直河岸的分運(yùn)動的時(shí)間，即t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,4)s＝50s小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50m＝100m，即船將在正對岸下游100m處靠岸．(2)要使小船到達(dá)正對岸，即合速度v應(yīng)垂直于河岸，如圖所示，則cosθ＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，θ＝60°，即船的航向與上游河岸成60°角．過河時(shí)間t＝eq\f(d,v)＝eq\f(200,4sin60°)s＝eq\f(100\r(3),3)s.(3)考慮一般情況，設(shè)船頭與上游河岸成任意角θ，如圖所示．船的過河時(shí)間決定于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sinθ，故小船過河時(shí)間為t＝eq\f(d,v船sinθ)＝eq\f(200,4sinθ)s，當(dāng)θ＝90°，即船頭與河岸垂直時(shí)，過河時(shí)間最短，最短時(shí)間為tmin＝50s.(4)因?yàn)関船<v水，船不可能垂直河岸橫渡，不論航向如何，總被水流沖向下游．如圖所示，設(shè)船頭(v船)與上游河岸成θ角，合速度v與下游河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂向下游的距離x′越小．那么，在什么條件下α角最大呢？以v水的矢尖為圓心，以v船的大小為半徑畫圓，當(dāng)合速度v與圓相切時(shí)，α角最大．cosθ＝eq\f(v船,v水)＝eq\f(3,5)，船頭與上游河岸的夾角θ＝53°又eq\f(x′,d)＝eq\f(v,v船)＝eq\f(\r(v\o\al(2,水)－v\o\al(2,船)),v船)，代入數(shù)據(jù)解得x′＝267m.[答案](1)50s正對岸下游100m處(2)船的航向與上游河岸成60°角eq\f(100\r(3),3)s(3)50s(4)船頭與上游河岸成53°角267m[變式訓(xùn)練1]如圖所示，河寬d＝120m，設(shè)小船在靜水中的速度為v1，河水的流速為v2.小船從A點(diǎn)出發(fā)，在渡河時(shí)，船身保持平行移動．若出發(fā)時(shí)船頭指向河對岸上游的B點(diǎn)，經(jīng)過10min，小船恰好到達(dá)河正對岸的C點(diǎn)；若出發(fā)時(shí)船頭指向河正對岸的C點(diǎn)，經(jīng)過8min，小船到達(dá)C點(diǎn)下游的D點(diǎn)．求：(1)小船在靜水中的速度v1的大??；(2)河水的流速v2的大小；(3)在第二次渡河中小船被沖向下游的距離sCD.解析：(1)小船從A點(diǎn)出發(fā)，若船頭指向河正對岸的C點(diǎn)，則此時(shí)渡河時(shí)間最短，故有v1＝eq\f(d,tmin)＝eq\f(120,60×8)m/s＝0.25m/s.(2)設(shè)AB與河岸上游成α角，由題意可知，此時(shí)恰好到達(dá)河正對岸的C點(diǎn)，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cosα，此時(shí)渡河時(shí)間