信號與系統(tǒng)課件：連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析

連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析2.1沖激函數(shù)及其性質(zhì)2.2系統(tǒng)的沖激響應(yīng)2.3信號的時域分解和卷積積分2.4卷積的基本計算方法2.5卷積的性質(zhì)2.6連續(xù)系統(tǒng)的時域分析習(xí)題2

信號與系統(tǒng)分析的基本任務(wù)是在給定系統(tǒng)和輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析是指信號與系統(tǒng)的整個分析過程都在連續(xù)時間域進行，即所涉及

的函數(shù)自變量均為連續(xù)時間變量t的一種分析方法。這種方法直觀，是學(xué)習(xí)各種變換域分析方法的基礎(chǔ)。

本章首先介紹沖激函數(shù)及其性質(zhì)，沖激響應(yīng)的求解，然后從任意波形信號的分解出發(fā)引出卷積積分，介紹求解零狀態(tài)響應(yīng)的時域卷積分析法，討論信號的卷積積分運算及圖解，卷積的運算性質(zhì)和含有沖激函數(shù)的卷積，以便利用這些運算性質(zhì)來簡化一些卷積的運算。

2.1沖激函數(shù)及其性質(zhì)

2.1.1階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)和沖激函數(shù)是一類較為特殊的函數(shù)，常稱為奇異函數(shù)。它在線性系統(tǒng)分析以及其它許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中占有重要的地位。

1.階躍函數(shù)

單位階躍函數(shù)定義為

其波形如圖2.1－1所示。由式(2.1－1)和圖2.1－1所示的波形可看出，單位階躍函數(shù)在t

<0時恒為零，在t>0時恒為1，在躍變點

t=0處，函數(shù)值未定義。圖2.1－1單位階躍函數(shù)

將單位階躍函數(shù)乘以常數(shù)A

，可構(gòu)成幅值為A

的階躍函數(shù)Aε(t)，表達式為

其波形如圖2.1－2(a)所示。若階躍函數(shù)在t=t0

時發(fā)生階躍，則稱其為延時階躍函數(shù)，可表示為

其波形如圖2.1－2(b)所示。圖2.1－2階躍函數(shù)

2.沖激函數(shù)

單位沖激函數(shù)定義為

和

式(2.1－5)表示單位沖激函數(shù)的面積(或強度)為1。單位沖激函數(shù)的波形如圖2.1－3所示，圖中(1)表示其強度。圖2.1－3單位沖激函數(shù)

單位沖激函數(shù)δ(t)十分抽象，它不同于普通函數(shù)。它除在原點之外，處處為零，并且具有單位面積值。直觀地看，這一函數(shù)可以設(shè)想為一個窄脈沖的極限。比如一個矩形脈沖，寬度為Δ，高度為1/Δ，其面積為1，在極限情況下，當Δ→0時，它的高度無限增大，但面積始終保持為1，如圖2.14(a)所示。圖2.1－4矩形脈沖演變?yōu)闆_激信號

若沖激函數(shù)的強度為常數(shù)A，則可表示為Aδ(t)，其波形如圖2.1－5所示。

若單位沖激函數(shù)在t=t0

處出現(xiàn)，則稱其為延遲的沖激函數(shù)，可表示為

其波形如圖2.1－6所示。圖2.1－5強度為A的沖激函數(shù)圖2.1－6延遲的沖激函數(shù)

沖激函數(shù)代表一些幅值極大而作用時間極短的物理量的數(shù)學(xué)模型。

在理解沖激函數(shù)δ

(t

)時，應(yīng)注意以下兩點:

(1)δ(t)僅在t=0瞬間出現(xiàn)，其幅度為∞

，其余時刻(t≠0)均為零。

(2)

表示沖激函數(shù)與時間軸構(gòu)成的面積，稱為沖激函數(shù)的強度，標示在該信號的旁邊。

2.1.2沖激函數(shù)的性質(zhì)

作為廣義函數(shù)，沖激函數(shù)具有如下常用性質(zhì)。

1.加權(quán)性質(zhì)

若f

(t

)是一個在t=t0

時連續(xù)的普通函數(shù)，則有

證明由于沖激函數(shù)δ(t-t

0)僅在t=t0時其值為∞，其余時刻均為零，所以連續(xù)信號f(t)與沖激函數(shù)δ

(t-t

0

)乘積的結(jié)果，等于一個強度為f

(t

0

)的沖激函數(shù)f(t

0

)δ(t-t

0)，如圖2.1－7所示。

在式(2.1－7)中，如果令t=t0，則有圖2.1－7加權(quán)性質(zhì)證明圖示

2.抽樣性質(zhì)

證明

式(2.1－8)表明：任意連續(xù)函數(shù)f(t)與沖激函數(shù)相乘并從-∞

到∞積分，等于f(t)在沖激函數(shù)出現(xiàn)時刻t=t0時的函數(shù)值f(t

0)。也就是說，將沖激函數(shù)出現(xiàn)時刻t=t0時f(t)的函數(shù)值f(t

0)抽出來了。

在式(2.1－9)中，如果令t0=0，則有

3.奇偶性

單位沖激函數(shù)δ

(t)為偶函數(shù)，即

4.尺度變換性質(zhì)

這里a為常數(shù)，且a≠0。

5.δ(t)與ε(t)的關(guān)系

由沖激函數(shù)的定義，有

即

式(2.1－14)表明:沖激函數(shù)的積分等于階躍函數(shù)。相應(yīng)地，將式(2.1－14)等式兩端微分，有

即單位階躍函數(shù)微分等于沖激函數(shù)。

2.1.3沖激偶及其性質(zhì)

1.沖激偶δ‘

(t)

單位沖激函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)稱為單位二次沖激函數(shù)或沖激偶，表示為

其圖形如圖2.1－8所示。圖2.1－8單位二次沖激函數(shù)或沖激偶

圖2.1－

9沖激偶的演變

從圖2.1－9可看出

2.沖激偶的性質(zhì)

1)加權(quán)性質(zhì)

若函數(shù)

f(t

)和f'(t

)在t=t0

時連續(xù)，則

3)奇函數(shù)性質(zhì)

沖激偶δ'(t)是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，在全時域?qū)ζ浞e分，正、負兩個沖激的面積相互抵消，其積分為零，如式(2.1－18)。

2.2系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，是指系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，激勵為單位沖激信號δ

(t)作用下的響應(yīng)，即單位沖激信號δ(t)作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用h(t)表示。由于沖激響應(yīng)h

(t

)在時域卷積分析法中起著十分重要的作用，因此必須掌握計算它的方法，下面討論其求取方法。

1.給定具體電路求沖激響應(yīng)h(t)

對于簡單電路，直接計算該電路在單位沖激信號δ

(t

)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，即沖激響應(yīng)h

(t

)?，F(xiàn)舉例說明如下。

【例2.2－1】RC并聯(lián)電路如圖2.2－1所示，激勵為電流源iS

(t)，響應(yīng)為電壓uC

(t

)，試求電路的沖激響應(yīng)h

(t)。圖2.2－1例2.2－1用圖

解由于電路是零狀態(tài)，故uC

(0-)=0，當iS

(t

)=δ(t)在t=0時接入電路，根據(jù)KCL和VCL，列出電路的微分方程為

對上式兩邊從t

=0-到t

=0+

取積分，得

因為電容電壓uC

(t

)是有限的，故圖2.2－2RL串聯(lián)電路

這里順便指出，在經(jīng)典的電路理論中，常常強調(diào)電容電壓和電感電流都不能突變，但從上述例子可知，在單位沖激信號激勵下，情況并非如此。這是因為單位沖激電流源或電

壓源是理想化的具有無限瞬時功率的信號源，它們能在瞬間供給足夠的能量，改變系統(tǒng)的儲能狀態(tài)，從而使電容電壓或電感電流發(fā)生突變。

對于較復(fù)雜的任意階電路，可用復(fù)頻域分析法求沖激響應(yīng)h

(t)，在第4章中介紹。

2.給定系統(tǒng)的微分方程求沖激響應(yīng)h(t)

描述一個n階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為

式中，

x

(t

)為輸入信號;y(t)為輸出信號;a0

、a1

、…、an

，

b0

、b1

、…、bm

均為常數(shù)。現(xiàn)改變式(2.2－1)使等號右側(cè)為x(t

)，即

由此可得，對于如式(2.2－2)所示的微分方程，可求解相應(yīng)的齊次方程，代入式(2.2－5)和式(2.2－6)n個初始條件，即可得到在t>0時的沖激響應(yīng)h0(t)，然后根據(jù)系統(tǒng)的線性非時變特性，求得式(2.2－1)所示微分方程的沖激響應(yīng)

然后，根據(jù)系統(tǒng)的線性非時變特性，得

當然，給定系統(tǒng)微分方程求解沖激響應(yīng)h(t

)，也可用復(fù)頻域分析方法，在第4章中介紹。

2.3信號的時域分解和卷積積分

上一節(jié)我們介紹了沖激函數(shù)和沖激響應(yīng)，在此基礎(chǔ)上，本節(jié)討論任意波形的信號將可以分解為連續(xù)的沖激信號之和，進而說明卷積積分的物理意義。

2.3.1信號的時域分解

對于任意波形的信號x

(t)，我們可以用一系列矩形脈沖來近似，如圖2.3－1所示。所有矩形脈沖的寬度為Δ，其高度隨著它在時間軸上的位置而不同，對于在t=nΔ時刻出現(xiàn)的矩形脈沖，其高度為x

(nΔ)，即該時刻的x(t)值。圖2.3－1任意波形信號的分解圖2.3－2門函數(shù)表示

將每一個小的矩形脈沖用門函數(shù)來表示，門函數(shù)的來表示方式如圖2.3－2所示。這樣，原信號x(t

)就可近似地表示為無窮多個矩形脈沖之和，即

顯然，脈沖寬度Δ取得越小，近似越好。當脈沖寬度Δ→0時，式(2.3－1)可表示為

當Δ→0時，

Δ→dτ，

nΔ成為新變量τ

，求和變成對連續(xù)新變量τ

的積分。由于當脈沖寬度Δ→0時，門函數(shù)變?yōu)闆_激函數(shù)(如圖2.1－9(a)、(b)所示)，即有

于是式(2.3－2)便可寫為

式(2.3－3)表明:任意波形的信號x(t)可以分解為無窮多個連續(xù)的沖激信號之和。

在數(shù)學(xué)上，將式(2.3－3)這種積分運算定義為卷積積分，簡稱為卷積。記作

一般而言，兩個函數(shù)f1

(t)與f2

(t)的卷積積分寫為

2.3.2時域卷積分析法

下面研究系統(tǒng)在任意波形的信號x

(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。對于線性非時變系統(tǒng)來說，激勵和響應(yīng)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。若系統(tǒng)在單位沖激信號δ

(t

)作用下引起的零狀態(tài)響應(yīng)為沖激響應(yīng)h(t

)，則有

于是，任意波形信號x

(t

)作用于線性系統(tǒng)引起的零狀態(tài)響應(yīng)為

式(2.3－6)表明:線性非時變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)是激勵信號x(t)與沖激響應(yīng)h(t)的

卷積積分，記作

一旦求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，只要計算任意激勵信號x(t)和與h(t)，的卷積積分，就可求得x(t)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。這種方法使零狀態(tài)響應(yīng)的計算大為簡化，通常稱這種分析方法為時域卷積分析法。

2.4卷積的基本計算方法

卷積積分作為一種數(shù)學(xué)工具，其基本計算方法有兩種，即函數(shù)式計算法(又稱解析法)和圖解法。2.4.1卷積的函數(shù)式計算法如果作卷積運算的兩個信號以函數(shù)式給出，則用函數(shù)式計算卷積較為方便。此方法的關(guān)鍵是在卷積計算過程中確定出積分的上下限和卷積生成函數(shù)的非零值定義域。現(xiàn)舉例說明。

2.4.2卷積的圖解法

卷積的圖解能夠直觀地理解卷積積分的計算過程并加深對其物理意義的理解，而且在確定卷積積分的上下限時，卷積的圖解將是一個極有用的輔助手段。

前面已給出兩個函數(shù)卷積積分的計算式為

由此得卷積積分圖解法的主要步驟如下:

(1)畫出f1

(t)和f2

(t)的波形，將圖中的t軸改換成軸，分別得到f1

(τ)和f2

(τ

)的波形。

(2)將f2

(τ

)的波形以縱軸為軸線反折，得到f2

(-τ

)波形。

(3)將f2

(-τ

)波形沿τ軸平移一個t值。在t<0時，波形向左移；在t>0時，波形向右移。這樣就得到了f2

(t

-τ)的波形。

(4)將f1

(τ)和f2

(t-τ)相乘，得f1

(τ)f2

(t-τ)，然后計算積分值它是f1

(τ)f2

(t-τ)波形與τ軸之間包含的凈面積。

(5)將f2

(t-τ)波形連續(xù)地沿τ軸平移，就得到在任意時刻t

的卷積積分f1

(τ)*f2

(t)。

【例2.4－4】試用圖解法求圖2.4－1所示兩個函數(shù)的卷積。圖2.4－1例2.4－1用圖

【例2.4－5】已知某系統(tǒng)的激勵信號x(t)和沖激響應(yīng)h

(t)的波形如圖2.4－4所示。

試求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)=x(t)*h(t)。圖2.4－4例2.4－5用圖

解①首先改換變量，將圖中x(t)和h(t)的變量

t改換成τ

，如圖2.4－4所示。

②作h(τ)反折和平移，如圖2.4－5(a)、(b)所示。圖2.4－5h(τ)的反折和平移圖2.4－6卷積的求解過程

④將上述結(jié)果整理，得

2.5卷積的性質(zhì)

作為一種數(shù)學(xué)運算，卷積運算具有某些特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)在信號與系統(tǒng)分析中有重要作用。利用這些性質(zhì)可使卷積運算大為簡化。

2.5.1卷積的運算性質(zhì)

1.卷積代數(shù)

通常，代數(shù)中的乘法運算性質(zhì)也適用于卷積運算。

(1)交換律。

證明

(2)分配律。

證明

(3)結(jié)合律。

證明

而

故式(2.5－3)成立。

2.卷積的微分與積分

卷積代數(shù)運算的規(guī)律與普通乘法類似，但卷積的微分或積分運算卻與普通兩函數(shù)相乘的微分或積分運算不同。

設(shè)y

(t

)=f1

(t)*f2

(t

)，則有

(1)卷積的微分性質(zhì)

證明

同理可證

(2)卷積的積分性質(zhì)。

證明

同理可證

2.卷積的微分與積分

卷積代數(shù)運算的規(guī)律與普通乘法類似，但卷積的微分或積分運算卻與普通兩函數(shù)相乘的微分或積分運算不同。

設(shè)y

(t)=f1

(t)*f2

(t

)，則有

(1)卷積的微分性質(zhì)。

證明

同理可證

(2)卷積的積分性質(zhì)。

證明

同理可證

(3)卷積的微積分性質(zhì)。

綜合上述，卷積的微積分性質(zhì)可以進一步推廣，其一般形式可寫成

式中，

i、j或i+j為正整數(shù)時，表示導(dǎo)數(shù)的階數(shù)；為負整數(shù)時，表示重積分的次數(shù)。

2.5.2與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積

1.與沖激函數(shù)δ(t)的卷積

任意函數(shù)f

(t

)與單位沖激函數(shù)δ(t)卷積的結(jié)果仍然是函數(shù)f(t)本身。

式(2.5－9)表明，任意函數(shù)f(t)與一個有時移的單位沖激函數(shù)δ

(t-t0)作卷積，其結(jié)果等于將該函數(shù)f

(t

)移至沖激出現(xiàn)的時刻，而波形不變。這一性質(zhì)稱為沖激函數(shù)的重現(xiàn)性質(zhì)(RelicationProperty)。

2.與沖激偶δ‘(t)的卷積

利用卷積的微分性質(zhì)，得

由此可見，任意函數(shù)f

(t)與沖激偶δ

’(t)的卷積等于f(t)的導(dǎo)數(shù)。

同理有

證明

3.與階躍函數(shù)ε(t)的卷積

利用卷積的積分性質(zhì)，有

證明

式(2.5－12)表明，任意函數(shù)f(t)與階躍函數(shù)ε(t)的卷積等于函數(shù)f(t)的積分。

同理有

證明

即任意函數(shù)f

(t

)與時延階躍函數(shù)ε(t-t0

)作卷積，等于將該函數(shù)時延t0

作積分。

關(guān)于卷積的運算性質(zhì)以及含有沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積在簡化卷積運算方面的應(yīng)用，通過下面具體例子加以說明。

【例2.5－3】已知x(t)和h(t)的波形如圖2.5－1所示，試畫出x(t)*h(t)的波形。圖2.5－1例2.5－3用圖(一)

解根據(jù)沖激函數(shù)的重現(xiàn)性質(zhì)，先將h

(t

)求導(dǎo)得h‘(t)，如圖2.5－2(a)所示。再由式(2.5－4)和式(2.5－9)，可得

由此畫出y’(t

)的波形，如圖2.5－2(b)所示。然后對y‘

(t

)波形進行積分，得到y(tǒng)(t)波形，即x

(t)*h(t)的波形，如圖2.5－2(c)所示。圖2.5－2例2.5－3用圖(二)

【例2.5－4】已知函數(shù)f1

(t)的波形如圖2.5－3(a)所示，函數(shù)f2

(t)=δ(

t)+2

δ

(t

-1)+δ(t

-2)，試畫出f1

(t)*f2

(t)的波形。圖2.5－3例2.5－4用圖

解利用沖激函數(shù)的重現(xiàn)性質(zhì)，有

由此畫出f1

(t)*f2

(t)的波形，如圖2.5－3(b)所示。

【例2.5－5】已知函數(shù)f1

(t)的波形如圖2.5－4所示，設(shè)函數(shù)f2

(t)=δ'(t+1)+δ

'(t-1

)，試畫出y(t)=f1

(t)*f2

(t)的波形。圖2.5－4例2.5－5用圖(一)

解

應(yīng)用任意函數(shù)與沖激偶卷積公式(2.5－11)，有

由此畫出f‘1(t)、f’1(t+1)、f‘1(t-1)和y(t)的波形，如圖2.5－5所示。圖2.5－5例2.5－5用圖(二)

【例2.5－6】設(shè)x(t)和h(t)的波形如圖2.5－6所示，試畫出x(t)*h(t)的波形。圖2.56例2.56用圖(一圖2.5－7例2.5－6用圖(二)

2.6連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

線性非時變系統(tǒng)的全響應(yīng)可分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)是輸入激勵為零時，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)，用yzi(t

)表示;零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零(即系統(tǒng)的初始儲能為零)時，僅由輸入激勵所引起的響應(yīng)，用yzs(t

)表示。這樣，線性非時變系統(tǒng)的全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，即

1.零輸入響應(yīng)yzi

(t)

第1章已介紹，描述線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程，在零輸入條件下，式(2.2－1)所示微分方程等號右端為零，化為齊次方程，即

所以零輸入響應(yīng)對應(yīng)的是齊次微分方程的解。若其特征根均為單根λi

(i=1，

2，…，

n)，則其零輸入響應(yīng)形式為

式中，

Ci為待定系數(shù)，由給定的系統(tǒng)初始狀態(tài)確定。

若特征根含有

p重根，則重根部分對應(yīng)的零輸入響應(yīng)形式為

解之得

故零輸入響應(yīng)

2.零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)

若系統(tǒng)的初始儲能為零，亦即初始狀態(tài)為零，這時式(2.2－1)仍是非齊次方程。若其特征根均為單根λi

(i=1，

2，…，

n)，則其零狀態(tài)響應(yīng)形式為

式中，

Ci為待定系數(shù)。

由式(2.6－5)可見，零狀態(tài)響應(yīng)包含齊次解和特解兩部分。由于輸入激勵是各式各樣的，所以求解非齊次微分方程是較復(fù)雜的。為了解決求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)這一困難，可采用

時域卷積分析法，或復(fù)頻域分析法(第4章介紹)。

【例2.6－2】已知系統(tǒng)的微分方程為

y″(t)+3y‘(t)+2y(t)=x’(t)+3x(t)，輸入激勵x(t)=ε(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

解首先求y″(t)+3y'(t)+2y(t)=x(t)的沖激響應(yīng)h0(t)。其特征方程為

解得特征根λ1=-1，

λ2=-2，則

習(xí)題2

2．1利用沖激函數(shù)的加權(quán)性質(zhì)化簡下列各函數(shù)。

2．2利用沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì)計算下列積分值。

2．3試證明

2．4試求下列各函數(shù)值。

2．5電路如題2－5圖所示，其中iS(t)和uS

(t)為激勵，

i(t)為響應(yīng)，試求該電路的沖激響應(yīng)。

2．6試計算下列卷積。

2．7某線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的激勵x(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)由下式相聯(lián)系

試求:(