蘇教數(shù)學(xué)電子題庫(kù) 第章.3.知能優(yōu)化訓(xùn)練

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．若O是?ABCD的兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列向量組中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是__________．①eq\o（AD,\s\up6（→））與eq\o（AB,\s\up6(→))；②eq\o（DA，\s\up6（→))與eq\o（BC，\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→））與eq\o(DC，\s\up6（→))；④eq\o（OD，\s\up6（→)）與eq\o(OB，\s\up6(→)）.解析：只要是平面上不共線的兩個(gè)向量都可作為基底,eq\o(AD,\s\up6（→））與eq\o（AB,\s\up6(→）)是有公共點(diǎn)的不共線向量，eq\o(CA，\s\up6(→）)與eq\o（DC,\s\up6（→))也是有公共點(diǎn)的不共線向量．答案:①③2．若O是?ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，eq\o（AB,\s\up6（→））＝4e1，eq\o（BC，\s\up6（→))＝6e2，則3e2－2e1＝__________.解析:3e2－2e1＝eq\f（1，2)(6e2－4e1）＝eq\f(1，2)（eq\o（BC，\s\up6(→)）－eq\o(AB,\s\up6(→））),結(jié)合圖形可知，上式＝eq\f(1,2)（Aeq\o(D，\s\up6（→)）－eq\o(AB,\s\up6(→）))＝eq\f(1，2)eq\o（BD,\s\up6（→））＝eq\o(BO，\s\up6（→）)。答案：eq\o(BO,\s\up6（→)）3．已知e1,e2是平面所有向量的一組基底，那么下列一組向量不能作為基底的是__________．①e1和e1＋e2②e1－2e2和e2－2e1③e1－2e2和4e2－2e1④e1＋e2和e1－e2解析：因?yàn)?e1－2e1＝－2(e1－2e2)，所以e1－2e2與4e2－2e1共線．答案：③4．下面三種說法:①一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；③零向量不可以作為基底中的向量．其中正確的說法是__________．解析：平面內(nèi)的一對(duì)向量只要不共線均可作為表示這個(gè)平面內(nèi)所有向量的基底,基底本身也可以用這組基底表示．故①錯(cuò),②對(duì)；由于零向量與平面內(nèi)的任一向量共線，故③正確．答案：②③一、填空題1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1、e2不共線,則a＋b與c＝6e1－2e2的關(guān)系是__________．解析：∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2（a＋b)．∴a＋b與c共線．答案:共線2．設(shè)e1、e2是平面的一組基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2,則e1＋e2＝______a＋______b.解析：由方程組:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝e1＋2e2，，b＝－e1＋e2，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（e1＝\f（1，3）a－\f(2，3)b,e2＝\f(1，3）a＋\f(1,3）b)）。所以e1＋e2＝(eq\f（1，3)a－eq\f（2,3）b)＋（eq\f(1，3)a＋eq\f(1，3）b）＝eq\f(2，3）a＋（－eq\f(1,3）)b。答案：eq\f（2,3）－eq\f(1，3)3．已知eq\o(OA，\s\up6(→））＝a，eq\o(OB,\s\up6(→））＝b,C為線段AB上距A較近的一個(gè)三等分點(diǎn),D為線段CB上距C較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則用a，b表示eq\o(OD,\s\up6(→）)為__________．解析：∵eq\o(OD，\s\up6（→）)＝eq\o（OA，\s\up6(→))＋eq\o（AD,\s\up6(→）)，eq\o(AD，\s\up6(→））＝eq\o(AC，\s\up6（→）)＋eq\o(CD，\s\up6（→））＝eq\f（1，3）eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1，3）eq\o(CB,\s\up6(→））＝eq\f(1,3）eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\f(2，9)eq\o（AB,\s\up6(→)）＝eq\f(5，9）eq\o(AB,\s\up6(→）).∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(5,9）b－eq\f（5，9）a，∴eq\o（OD,\s\up6(→）)＝a＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（5，9）b－\f(5,9）a）)＝eq\f（4,9)a＋eq\f(5，9)b。答案：eq\f（4,9）a＋eq\f(5,9）b4．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2,則a寫成λ1b＋λ2c的形式是__________．解析:由題可設(shè)a＝xb＋yc，即－e1＋3e2＝x（4e1＋2e2）＋y(－3e1＋12e2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝4x－3y,,3＝2x＋12y。))∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－\f（1，18）,,y＝\f(7，27）.)）答案：a＝－eq\f（1,18）b＋eq\f(7，27)c5．已知O、A、B是平面上的三個(gè)點(diǎn),直線AB上有一點(diǎn)C,滿足2eq\o（AC,\s\up6（→))＋eq\o(CB，\s\up6（→)）＝0，若eq\o(OA，\s\up6(→)）＝a，OB＝b，則eq\o(OC,\s\up6(→）)可用a，b表示為________．解析：由2eq\o（AC,\s\up6（→））＋eq\o(CB，\s\up6(→))＝0可知，A為線段CB的中點(diǎn)，則OA＝eq\f（1,2)（eq\o(OC，\s\up6（→))＋eq\o（OB，\s\up6（→)）),eq\o（OC,\s\up6（→))＝2eq\o（OA,\s\up6（→)）－eq\o(OB,\s\up6（→))＝2a－b。答案：2a－b6．設(shè)向量e1、e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則a＝e1＋λe2與向量b＝－e1＋2e2共線的充要條件是λ＝__________。解析:依題意a與b共線，應(yīng)滿足a＝mb（m∈R），即e1＋λe2＝m（－e1＋2e2)，又e1，e2不共線,∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(1＝－m,，λ＝2m，））解得λ＝－2.答案：－27．已知D，E,F分別是△ABC的邊BC，CA,AB上的點(diǎn)，且eq\o（BD，\s\up6（→)）＝eq\o(DC,\s\up6(→）)，eq\o（AE，\s\up6（→))＝2eq\o(EC，\s\up6(→)），eq\o(AF,\s\up6（→)）＝2eq\o(FB,\s\up6（→))，則2eq\o（AD,\s\up6（→)）＋3eq\o(BF，\s\up6(→))＋3eq\o（CE,\s\up6(→）)＝__________.解析:由eq\o(BD，\s\up6(→））＝eq\o（DC,\s\up6（→)），易知eq\o（AD，\s\up6（→）)＝eq\f(1，2）(eq\o（AB，\s\up6（→)）＋eq\o(AC，\s\up6(→)）），所以2eq\o(AD，\s\up6(→）)＝eq\o（AB，\s\up6(→））＋eq\o(AC,\s\up6（→）)，再由eq\o（AE，\s\up6（→））＝2eq\o(EC，\s\up6（→）),eq\o（AF,\s\up6（→))＝2eq\o（FB，\s\up6（→)），可知3eq\o（BF,\s\up6（→)）＝eq\o(BA，\s\up6(→）），3eq\o(CE，\s\up6(→））＝eq\o（CA，\s\up6（→)），所以2eq\o（AD，\s\up6（→)）＋3eq\o(BF,\s\up6（→））＋3eq\o(CE,\s\up6(→））＝0.答案：08．已知λ1＞0，λ2＞0，e1，e2是一組基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，則a與e1__________，a與e2__________(填“共線"或“不共線"）．解析：若a與e1共線，則存在實(shí)數(shù)λ使a＝λe1＝λ1e1＋λ2e2,則e1與e2共線,與e1,e2不共線矛盾．答案：不共線不共線二、解答題9．平行四邊形ABCD中,M為DC的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→））＝b,eq\o（AD，\s\up6（→))＝d,eq\o(AM,\s\up6(→)）＝m，eq\o（AN，\s\up6（→）)＝n。(1)以b，d為基底，表示eq\o（MN,\s\up6(→)）；（2)以m、n為基底，表示eq\o(AB，\s\up6（→））。解：如圖所示．(1)eq\o(MN,\s\up6(→）)＝eq\o（AN，\s\up6(→)）－eq\o(AM，\s\up6(→))＝（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN，\s\up6（→））)－(eq\o(AD,\s\up6(→）)＋eq\o（DM,\s\up6(→））)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（b＋\f（1，2）d））－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d＋\f(1，2）b)）＝eq\f（1,2）b－eq\f（1,2）d.（2）m＝eq\o（AD,\s\up6(→)）＋eq\o(DM，\s\up6（→))＝d＋eq\f(1，2)eq\o(AB，\s\up6(→））,①n＝eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\o(BN，\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\f(1,2）d，所以2n＝2eq\o（AB，\s\up6（→）)＋d，②由①②消去d,得eq\o（AB，\s\up6（→))＝eq\f（4，3）n－eq\f(2，3)m。10．如圖，已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面上任意一點(diǎn),求證：若存在實(shí)數(shù)p，q，r使得peq\o（OA，\s\up6(→))＋qeq\o（OB,\s\up6（→)）＋req\o(OC,\s\up6（→）)＝0，且p＋q＋r＝0，則必有p＝q＝r＝0.證明：由題意可得r＝－（p＋q)．又∵peq\o(OA，\s\up6（→))＋qeq\o(OB,\s\up6(→）)＋req\o(OC，\s\up6(→))＝0，∴peq\o(OA,\s\up6(→))＋qeq\o（OB,\s\up6(→）)－(p＋q）eq\o(OC，\s\up6(→))＝0,∴p(eq\o(OA，\s\up6(→))－OC)－q(eq\o(OC,\s\up6（→)）－eq\o(OB，\s\up6(→)))＝0，即peq\o（CA，\s\up6(→）)－qeq\o(BC，\s\up6（→)）＝0?！鄍eq\o（CA,\s\up6（→））＋qeq\o(CB,\s\up6（→)）＝0eq\a\vs4\al（＝)0·eq\o（CA，\s\up6(→））＋0·eq\o（CB，\s\up6(→)）.由平面向量基本定理可知，其分解是惟一的，∴p＝0，q＝0,∴p＋q＝0,∴r＝0.故p＝q＝r＝0。11．如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，AN＝2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P，求證：eq\o(AP，\s\up6(→)）＝4eq\o（PM,\s\up6(→）).證明:記eq\o（BM,\s\up6(→））＝e1，eq\o(CN,\s\up6（→））＝e2，所以eq\o（AC，\s\up6（→)）＝－3e2，eq\o(CM，\s\up6(→））＝－e1，則eq\o（AM，\s\up6（→）)＝eq\o(AC，\s\up6(→）)＋eq\o（CM，\s\up6（→））＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up6(→)）＝eq\o（BC,\s\up6（→）)＋eq\o（CN，\s\up6（→）)＝2e1＋e2。因?yàn)锳，P,M共線,且B，P，N共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，μ，使eq\o(AP,\s\up6(→））＝λeq\o(AM，\s\up6(→))＝－3λe2－λe1；eq\o（BP,\s\up6(→)）＝μeq\o（BN,\s\up6(→）)＝2μe1＋μe2,所以eq\o（BA,\s\up6（→）)＝eq\o（BP，\s\up6（→）)＋eq\o(PA，\s\up6(→）)＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1＝（2μ＋λ）e1＋（μ＋3λ）e2，又eq\o(BA，\s\up6（→)）＝eq\o