四川省內(nèi)江市高中2023屆高三第三次模擬考試題數(shù)學(xué)（文科）試題（含答案與解析）

內(nèi)江市高中2023屆第三次模擬考試題

數(shù)學(xué)（文科）

1.本試卷包括第I卷（選擇題）和第∏卷（非選擇題）兩部分，共4頁.全卷滿分150分，

考試時間120分鐘.

2.答第1卷時，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈

后，再選涂其它答案標(biāo)號；答第∏卷時，用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡規(guī)定的區(qū)城內(nèi)作

答，字體工整，筆跡清楚；不能答在試題卷上.

3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡收回

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題所給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的，把正確選項的代號填在答題卡的指定位置

I.已知復(fù)數(shù)2z-z=l-3i,其中i是虛數(shù)單位，I是Z的共貌復(fù)數(shù)，則Z=（）

Al+iB.1-iC.-l+iD.-l-i

2.己知全集U=R,M={M4x+3≤θ},N={ΛK)<X≤2},δu(MuN)=()

A.(-0O,0］U(3,+8)B.(—co,3)C?(-Cel,1)U(3,+oo)D.(3+8)

3.空氣質(zhì)量指數(shù)是評估空氣質(zhì)量狀況的一組數(shù)字，空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為2,50)、［50,100)、［100,150)、

［150,200）、［200,300）和［300,500）六檔，分別對應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕度污染”、“中度污染”、

“重度污染”和“嚴重污染”六個等級，如圖是某市4月1日至14.日連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢

圖，則下列說法中正確的是（）

空氣質(zhì)量指數(shù)

Oi23456789?'θl'l121314

A.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越差

B.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)中位數(shù)是214

C.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是5日到7日

D.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)約為189

4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中幾何模型“陽馬”意指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面四棱錐.某

“陽馬”的三視圖如圖所示，則該四棱錐中棱長的最大值為（）

A.√2B.√5C.?∣6D.2

5.函數(shù)/（x）=XCOSX+（SinX）InIXI的部分圖像大致為（）

InY

6.已知函數(shù)/(x)=F-?α和g(x)=——有相同的極大值，則α+h=（)

A.2B.0C.-3D.-1

7.一個人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關(guān)系中，說法正確的是（）

A.事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互對立事件

B.事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”為互斥事件

C.事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互對立事件

D.事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件

8.位于登封市告成鎮(zhèn)的觀星臺相當(dāng)于一個測量日影的圭表.圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來

推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂

直的長尺（稱為“圭”）,當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那

一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.如圖是一個根據(jù)鄭州市的地理位置設(shè)計的圭表的示意

圖，已知鄭州市冬至正午太陽高度角（即/ABC）約為32.5。，夏至正午太陽高度角（即/4）C）約為

79.5°,圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即。8的長）為14米，則表高（即AC的長）約為（）

327

（其中tan32.5°≈-,tan79.5o≈——）

55

夏至正午陽光

冬至正午陽光

A.9.27米B.9.33米C.9.45米D.9.51米

9.已知圓錐的母線長為2,側(cè)面積為2宿，則過頂點的截面面積的最大值等于（）

A.√3B.垃C.3D.2

io.阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積.當(dāng)我們垂直地縮小一個圓時.，

我們得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率乃與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓

22

。：二+與=1（。>力>0）的面積為6缶，兩個焦點分別為大，尸2,點尸為橢圓C的上頂點.直線

a'b^

O

V=丘與橢圓C交于4B兩點,若PAPB的斜率之積為則橢圓C的長軸長為（）

A.3B.6C.2√2D.4√2

11.若函數(shù)f（x）=sin（ox+令（cy>0）在區(qū)間（%,2%）上是單調(diào)函數(shù)，則①的取值可以是（）

124

A.—B.—C.-D.2

555

3。一1

12.若關(guān)于X的不等式InX+α-----------<0有且只有一個整數(shù)解，則正實數(shù)。的取值范圍是（）

X

A.1g,21n2+l（1"

B.—,3In3+1

、2.

C.[21n2+l,31n3+l)D.In2+—,31∏3+1）

第∏卷（非選擇題，共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知IaI=4,且αJ√d+2Z>）,則α?）=.

'y≥0,

14.若x,y滿足約束條件<x-y+120,則Z=Iog2（x+y-l）的最大值為.

2x+y-4≤0,

22

15.設(shè)B分別是雙曲線=-3=l（α>0,b>0））的左、右焦點，。為坐標(biāo)原點，過左焦點士作直

ab

線耳P與圓χ2+y2="切于點E,與雙曲線右支交于點尸，且滿足0E=；（OP+0月），∣OE∣=0,則

雙曲線的方程為.

16.甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為J.假

定每局之間相互獨立且無平局，第二局由上一局負者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下

是等可能的，則甲勝第一局，乙勝第二局的概率為.

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.已知數(shù)列｛0,,｝的前〃項和為S“，且滿足q=2,5n+,=25n+2.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式.

.nan（、

（2）記2=1,求數(shù)列也｝的前〃項和J

（U1）（"2）

18.某廠商調(diào)查甲、乙兩種不同型號電視機在8個賣場的銷售量（單位；臺），并根據(jù)這8個賣場的銷售情

況，得到如圖所示的莖葉圖.為了鼓勵賣場，在同型號電視機的銷售中，該廠商將銷售量高于數(shù)據(jù)平均數(shù)

的賣場命名為該型號電視機的“星級賣場”.

甲乙

480010

7522023

43\2ab

（1）當(dāng)α=l,6=1時，記甲型號電視機的“星級賣場”數(shù)量為加，乙型號電視機的“星級賣場”數(shù)量

為"，比較〃的大小關(guān)系；

（2）在這8個賣場中，隨機選取2個賣場，求這兩個賣場都是甲型號電視機的“星級賣場”的概率；

（3）記乙型號電視機銷售量的方差為S?,根據(jù)莖葉圖推斷ɑ與6分別取何值時，S?達到最小值.（只需

寫出結(jié)論）

19.在-ABC中，ZACB=45，BC=3,過點4作AoIBC,交線段BC于點。（如圖1）,沿4。將

△ABD折起，使N3DC=90（如圖2）,點E、M分別為棱BC、AC的中點.

（1）求證：CD1ME；

(2)在圖2中，當(dāng)三棱錐A-BCD的體積取最大值時，求三棱錐A-Mz)E的體積.

20.若存在實數(shù)A,b,使得函數(shù)/(X)和g(x)對其定義域上的任意實數(shù)X同時滿足：/(x)之依+h且

g(x)<kx+b,則稱直線:/:y="+/?為函數(shù)/(χ)和g(x)的“隔離直線”.已知/(x)=χ2,

g(x)=2elnx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).試問：

(1)函數(shù)/(χ)和g(χ)的圖象是否存在公共點，若存在，求出交點坐標(biāo)，若不存在，說明理由；

(2)函數(shù)/(X)和g(x)是否存在“隔離直線”？若存在，求出此“隔離直線''的方程；若不存在，請說明理

由.

21.已知橢圓C:，+g=l(a>8>0)焦距為2,一條連接橢圓的兩個頂點的直線斜率為冷.

(1)求橢圓。的方程；

(2)過橢圓C右焦點F且不與X軸重合的直線與橢圓C相交于AB兩點，試問X軸上是否存在點P,使

得直線AP,PB斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑.如果多做，則按所做

的第一題計分.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線G向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標(biāo)保持不

變，縱坐標(biāo)縮短為原來的T得到曲線。2，以坐標(biāo)原點。為極點，X軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)

系.曲線G的極坐標(biāo)方程為P=4cosα.

(1)求曲線G的參數(shù)方程；

(2)已知點〃在第一象限，四邊形MNPQ是曲線C2的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形MNPQ周長的最大值，

并求周長最大時點M的坐標(biāo).

23.已知函數(shù)〃x)=|2x—W+-+"(χeR).

(1)若a=1,求證：/(x)≥4；

(2)若對于任意x∈[l,2],都有/(x)≤4,求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題所給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的，把正確選項的代號填在答題卡的指定位置

1.已知復(fù)數(shù)2z-z=l-3i,其中i是虛數(shù)單位，1是Z的共規(guī)復(fù)數(shù)，則z=()

A.l+iB.1-iC.-l+iD.-1-i

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)z=α+歷(α,h∈R),z=a-bi(^a,b≡R),根據(jù)2z-W=l_3i,解出。,力即可.

【詳解】設(shè)z=α+例(α力∈R),z=α-M(a,?∈R),2z-W=2(α+歷)一(以一句)=α+3歷=l-3i,

解得a-?,

h=-l,所以z=l-i，

故選：B

2.己知全集U=R,M={^X2-4Λ+3<0},N={M0<x≤2},M(MuN)=()

A.(-∞,θ]u(3,+∞)B.(→β,3)C.(→0,l)u(3,+∞)D.(3+∞)

【答案】A

【解析】

【分析】化簡集合M，根據(jù)集合的并集、補集運算即可得解.

【詳解】Λf=∣x∣X2-4x+3≤0∣=[1,3],N={x∣0<x≤2},

:.M_N=(O,3],

3u(MDN)=(-∞,θ]u(3,+00),

故選：A

3.空氣質(zhì)量指數(shù)是評估空氣質(zhì)量狀況的一組數(shù)字，空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為[。，50)、[50,100)、口00,150)、

[150,200）＞[200,300）和[300,500）六檔，分別對應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕度污染”、“中度污染”、

“重度污染”和“嚴重污染”六個等級，如圖是某市4月1日至14.日連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢

圖，則下列說法中正確的是（）

八空氣質(zhì)量指數(shù)

?θθ^27?ζ2g26?^^

0i234567891011121314∣Ξ∣*J^

A.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越差

B.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是214

C.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是5日到7日

D.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)約為189

【答案】D

【解析】

【分析】觀察數(shù)據(jù)變化可判斷A項；將14天的空氣質(zhì)量指數(shù)由小到大依次排列，即可得出中位數(shù)，判斷

B項；根據(jù)折線圖及方差的概念可判斷C項；根據(jù)數(shù)據(jù)計算平均數(shù)可判斷D項.

【詳解】對于A選項：從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)逐漸降低，空氣質(zhì)量越來越好，A選項錯誤；

對于B選項：由圖象可知，14天的空氣質(zhì)量指數(shù)由小到大依次為：80,83,138,155,157,165,179,

179+214

214,214,221,243,260,263,275,所以中位數(shù)為---------=196.5,B選項錯誤；

2

對于C選項：方差表示數(shù)據(jù)波動情況，根據(jù)折線圖可知連續(xù)三天中波動最小的是9日到11日，所以方差

最小的是9日到11日，C選項錯誤；

對于D選項：這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)約為

214+275+243+157+80+155+260+83+165+179+138+214+221+263…

--------------------------------------------------------------------------二189,D選項正確;

14

故選：D.

4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中幾何模型“陽馬”意指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.某

“陽馬”的三視圖如圖所示，則該四棱錐中棱長的最大值為（）

俯視圖

A.√2B.√5C.√6D.2

【答案】C

【解析】

【分析】先由三視圖得到幾何體的直觀圖，再分別求得棱長比較下結(jié)論.

【詳解】解：由三視圖得該幾何體如圖所示：

P

f--?--->

BC

由圖知：IPAl=I,IAM=LIAOl=2,IPBI=JIPA=√2>

2222

?PC?=7∣PA∣+∣AC∣=√6,∣PD∣=A∕∣PA∣+∣AZ)∣=√2，

故選：C

5.函數(shù)/(x)=XCOSX+(SinX)InlXl的部分圖像大致為()

A?

【解析】

ITT]TT

【分析】先判斷函數(shù)/(x)的奇偶性排除選項c、D；再由/5=lna>O,即可求解.

【詳解】函數(shù)/(x)=XCOSX+(SinX)InlXI的定義域為{χIX*0},

且f(-x)=-XCoS(T)+[sin(-Λ)]1Π∣-X∣=-ΛCOSX-(sinx)1ΠX=-∕(Λ),

所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，其函數(shù)圖像關(guān)于(0,0)對稱，所以選項c、D錯誤；

,(兀、TtTtππl(wèi)π

又/7=-7c0s7+sin7?ln;=ln37>O,所以選項B錯誤；

\2)222∣2∣2

故選:A.

YInY

6.已知函數(shù)/(x)=-7-α和g(x)=——+b有相同的極大值，則α+b=()

eX

A.2B.0C.-3D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)法求得了(x)和g(尤)的極大值，然后根據(jù)/(x)與g(x)有相同的極大值建立方程求解

即可.

【詳解】/O)=W—4,則/'(x)=W，

ee

令第x)>0,解得x<l,令r(χ)<O,解得x>l,

所以/(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以〃力在X=I處取得極大值/⑴=:一ɑ,

P/、Inx,E、I-Inx

又g(x)=---+b,則g(χ)=—―(

XX

令g'(x)<O,解得x>e,令g'(x)>O,解得O<χ<e,

所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)在％=e處取得極大值g(e)='+8,

e

依據(jù)題意，“X)和g(χ)有相同的極大值，

故/⑴=g(e),所以L=L+b,所以α+1=0.

ee

故選：B.

7.一個人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關(guān)系中，說法正確的是()

A.事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件

B.事件“第一次擊中“與事件"第二次擊中”為互斥事件

C.事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件

D.事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”互斥事件

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，分析各個選項的內(nèi)容即可得到答案.

【詳解】一個人連續(xù)射擊2次，其可能結(jié)果為擊中0次，擊中1次，擊中2次，

其中“至少一次擊中，，包括擊中一次和擊中兩次，

事件“兩次均擊中“包含于事件“至少一次擊中“，故A錯誤；

事件“第一次擊中”包含第一次擊中且第二次沒有擊中，或第一、二次都擊中，

事件“第二次擊中”包含第二次擊中且第一次沒有擊中，或第一、二次都擊中，故B錯誤；

事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中''可以同時發(fā)生，故C錯誤；

事件“恰有一次擊中“與事件”兩次均擊中“為互斥事件，故D正確；

故選：D

8.位于登封市告成鎮(zhèn)的觀星臺相當(dāng)于一個測量日影的圭表.圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來

推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿(稱為“表”)和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂

直的長尺(稱為“圭”).當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那

一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.如圖是一個根據(jù)鄭州市的地理位置設(shè)計的圭表的示意

圖，已知鄭州市冬至正午太陽高度角（即/A5C）約為32.5。，夏至正午太陽高度角（即/4）C）約為

79.5°,圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為14米，則表高（即Ae的長）約為（）

327

（其中tan32.5°≈二，tan79.5o≈~?）

C.9.45米D.9.51米

【答案】C

【解析】

AC,CD—AC

【分析】根據(jù)題意BC=BC-CD=14,進而代入數(shù)據(jù)求解即可.

tanZABCtanNADC

【詳解】解：如圖，ZABC=32.5,ZADC=79.5,DB=14,

ArAC

設(shè)表高AC=〃，則由題知，IanZABC=—,IanZADC=—

BCCD

AC,8二AC

所以Be=

tanNABC'tanNADC

327

因tan32.5°。手tan79.5o≈y,DB=14?

5527189

所以一人——∕ι=14,解得∕z=—*14=—=9.45,

3274020

所以，表高（即AC的長）約為9.45米.

故選：C

9.已知圓錐的母線長為2,側(cè)面積為26兀，則過頂點的截面面積的最大值等于（）

A.√3B.√2C.3D.2

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合圓錐的母線長和側(cè)面積可求得底面圓的周長、半徑，再得到軸截面的頂角，進而得到截面三

角形頂角的取值范圍，故當(dāng)截面為頂角是藝的等腰三角形時面積最大，即得解

2

【詳解】由圓錐的母線長為2,側(cè)面積為2片，假設(shè)底面圓周長為/,因此4x2x∕=2辰，

2

故底面圓周長為2點r，底面圓的半徑為√J?

9

由于軸截面為腰長為2,底邊長為底面圓直徑2出的等腰三角形，因此軸截面的頂角是彳π.故當(dāng)截面為頂

角是巴的等腰三角形時面積最大，此時S=L2?2?sin二=2.

222

故選：D

【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積和截面面積問題，考查了學(xué)生綜合分析，空間想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運

算能力，為中檔題

10.阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積.當(dāng)我們垂直地縮小一個圓時，

我們得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率乃與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓

22

C:5+與=l(a>∕2>0)的面積為6缶，兩個焦點分別為￡，工，點P為橢圓C的上頂點.直線

ab~

Q

y=乙與橢圓C交于4,B兩點，若PARB的斜率之積為則橢圓C的長軸長為()

A.3B.6C.2√2D.4√2

【答案】B

【解析】

序Q

【分析】由題意得到方程組"=6JΣ①和夕=]②，即可解出b,求出長軸長.

【詳解】橢圓的面積S==6JΣ?T，即=6①.

因為點尸為橢圓C的上頂點，所以P(0,b).

22

因為直線y=丘與橢圓C交于A,8兩點，不妨設(shè)AWM,則8(一帆,一〃)且勺+3=1,所以

ab

->2

22

∕77-=Q-—.

因為PAPB的斜率之積為一§,所以七女.土2=一號，把加2="—空！代入整理化簡得：S=S

9m-m9bcr9

②

①②聯(lián)立解得：α=3S=2j∑.

所以橢圓C的長軸長為2α=6.

故選：B

11.若函數(shù)/*）=sin（0x+削（<y>0）在區(qū)間（〃,2%）上是單調(diào)函數(shù)，則。的取值可以是（）

124

A.—B.—C.-D.2

555

【答案】B

【解析】

【分析】令f=<yχ+?,由x∈（τι,2兀）計算得出r∈（加o+?∣,2萬0+71,根據(jù)題意得出

（加υ+q,2加《+[q（0目或（my+q,2加什^卜仁年），可得出關(guān)于0的不等式組，可解得實

數(shù)”的取值范圍，由此可得出結(jié)果.

π

【詳解】令f=8+《，

Xc（乃,2乃），則fe∣%。+工，2萬。+巳），

因函數(shù)y=∕'（x）在（乃,2乃）上單調(diào)，所以工≥萬,

CO

1（I+TtA+y乃）l?

π、

-≥π

π、ω

-≥π

ππ

ωπω+-≥-

即<Aπ/%或?52

?TC（OH-----S—

CTi,3π

522πω+-<—

ω>052

ω>0

3313

解得0<∕≤—或一≤G<一,

201020

2

因此，①的取值可以是二.

故選：B

3。一1

12.若關(guān)于X的不等式Inx+。-——VO有且只有一個整數(shù)解，則正實數(shù)〃的取值范圍是()

X

A.1g,21n2+lB.(g,31n3+l

C.[2in2+l,31n3+l)D.In2+∣,31n3+l)

【答案】A

【解析】

【分析】原不等式可化簡為xlnx+l<30-OV,設(shè)/(x)=xlnx+1,g(x)=3α-以，作出函數(shù)/(χ)的圖

象，由圖象可知函數(shù)g(x)的圖象應(yīng)介于直線AC與直線BC之間(可以為直線8C),進而求得答案.

【詳解】原不等式可化簡為xlnx+l<30-ar,設(shè)/(x)=xlnx+1,g(x)=3α-ox,

由/(x)=xlnx+l得，∕,(%)=lnx+l,令/(χ)=0可得X=1，

e

x∈(θ,J［時，f'(x)<0,Xe(I,+8)時，∕,(x)>0,

易知函數(shù)AX)在(0,，］單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且/(4)=1—L

IeJIe√ee

而函數(shù)g(x)=3α-雙恒過點C(3,0),要使關(guān)于X的不等式InX+α——Ξ-<0有且只有一個整數(shù)解，則

函數(shù)g(x)的圖象應(yīng)介于直線AC與直線8C之間(可以為直線BC),

XA(1,1),B(A21n2+l),

0-1_1,0-(21n2+l)c,C,

k=------=-21n2-l,

3≡T-^2,BC

.,.-2In2-1≤-a<-?

2

.**—<QW2In2+1.

2

故選：A.

第∏卷（非選擇題，共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知∣α∣=4,且a_L（a+2。），則α?b=.

【答案】-8

【解析】

【分析】利用垂直關(guān)系的向量表示，向量數(shù)量積的運算律求解作答.

-1,

【詳解】因為IaI=4,aΛ,（a+2b）,因此a?（α+2匕）=0,即即α?b=-5〃-=-8,

所以α?b=-8?

故答案為：-8

y≥0,

14.若χ,y滿足約束條件<x-y+120,則Z=IOg2（χ+y-I）的最大值為.

2x+y-4≤0,

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)約束條件作出可行域，平移目標(biāo)f=χ+y,求出，的最大值，從而可得Z的最大值.

【詳解】作出可行域，如圖，

設(shè)r=χ+>,由圖可知，，在點A處取到最大值，聯(lián)立

,

'2X+Y-4-Q解得A（L2），所以I=%+〉的最大值為3，由于y=log2%為增函數(shù)，故

Z=IOg2（x+y-l）的最大值為1.

【點睛】本題主要考查線性約束條件下，對數(shù)式的最值問題，先求真數(shù)部分的最值結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

可求.

22

15.設(shè)月，E2分別是雙曲線鼻-親?=l（q>O∕>O））的左、右焦點，。為坐標(biāo)原點，過左焦點耳作直

線EP與圓/+y2=/切于點E,與雙曲線右支交于點尸，且滿足OE=?。尸+。片），IOq=應(yīng)，則

雙曲線的方程為.

22

【答案】二-匕=1

28

【解析】

【分析】作圖，根據(jù)圖中的幾何關(guān)系以及條件求出匕即可.

IOPI=31=C，

又IoKl=C,???LF∣PF?的外接圓是以O(shè)為圓心，|0制=C為半徑的圓，.?.片LPK,

由∣OE∣=√Σ知”=√∑,∕=2,在RrOEFl中，但用=Jo用2_依同2=JC2一2,

22

∣fJP∣=2∣Eξ∣=2√^≡2,∣PF2∣=y∣?FlF2f-?PFtf=√4c-4（c-2）=2√2,

根據(jù)雙曲線的定義有：I尸耳ITP閭=2α,.?.p5E∣=4立,即

2??∕C2-2=4??∕2,C2=10,.^.b1=c2—a2=8，

22

雙曲線的方程為：土一二=1；

28

22

故答案為：三一X=L

28

16.甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為］；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為J.假

定每局之間相互獨立且無平局，第二局由上一局負者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下

是等可能的，則甲勝第一局，乙勝第二局的概率為.

7

[答案】

【解析】

【分析】分析出每局輸匾情況，結(jié)合獨立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】第一局甲勝，第二局乙勝：

若第一局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為：，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為

若第一局乙執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為g,第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為

121Ill7

所以，第一局甲勝，第二局乙勝的概率為P=-χ-χ-+-χ-χ-=-;

23222224

7

故答案為：——?

24

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.已知數(shù)列｛α,,｝的前〃項和為S“，且滿足q=2,5n+l=2S,,+2.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式.

.na,、

⑵記”=西向tt②，求數(shù)列出｝的前〃項和小

【答案】（1）a,,=2"

【解析】

【分析】（1）方法一：由S”之間關(guān)系可證得數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式求得。“；

方法二：由已知關(guān)系式可證得數(shù)列｛S.+2｝為等比數(shù)列，由此可推導(dǎo)求得S.，利用q,S“之間關(guān)系可求得

（2）由（1）可得為，采用裂項相消法可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

方法一：當(dāng)〃=1時，由S,用=2S,,+2得：5,=2Sl+2,β∣]q+%=2q+2,

又4=2,.?.g=4；

當(dāng)力≥2時，％+]=SH+[-Sn=2Sll+2-2S〃_]-2=2an,

又4=2,4=4滿足生=2。],即當(dāng)〃=1時，?！?]=2。〃成立，

???數(shù)列｛4｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，???4=2"（"∈N*）,

方法二：由S,,+∣=2S,,+2得：S,M+2=2(S,+2),又S∣+2=G+2=4,

數(shù)列｛S,,+2｝是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，???S,,+2=4χ2"T=2"+∣,

n+

即Sn=2'-2,

π+l,,

當(dāng)〃22時，all=Sl,-S^=2-2-2'+2=2',

又4=2滿足%=2",；.4“=2"(〃6>｝*).

【小問2詳解】

,,n-2"2,'+'2"

由(1)得：b=-^τγ~τ=~~>

n(n+l)(n+2)〃+2n+1

2221232224232〃2”-12〃+i2〃2"+ι

I-------J----------------∣-???-------1-------=----1.

n324354〃+1nn+2n+?n+2

18.某廠商調(diào)查甲、乙兩種不同型號電視機在8個賣場的銷售量（單位；臺），并根據(jù)這8個賣場的銷售情

況，得到如圖所示的莖葉圖.為了鼓勵賣場，在同型號電視機的銷售中，該廠商將銷售量高于數(shù)據(jù)平均數(shù)

的賣場命名為該型號電視機的“星級賣場”.

甲乙

480010

7522023

43\2ab

（1）當(dāng)a=l,6=1時，記甲型號電視機的“星級賣場”數(shù)量為,乙型號電視機的“星級賣場”數(shù)量

為〃，比較"?，〃的大小關(guān)系；

（2）在這8個賣場中，隨機選取2個賣場，求這兩個賣場都是甲型號電視機的“星級賣場”的概率；

（3）記乙型號電視機銷售量的方差為S?,根據(jù)莖葉圖推斷〃與人分別取何值時，S?達到最小值.（只需

寫出結(jié)論）

【答案】（1）m=n

（2）17

（3）a=b=O

【解析】

【分析】（1）計算甲乙的平均數(shù)比較大小即可；

（2）分析數(shù)據(jù)，列出X的分布列并求出數(shù)學(xué)期望；

（3）根據(jù)方差的性質(zhì)，α=b=0時，離散程度越小，52達到最小值.

【小問1詳解】

10+10+14+18+22+25+27+34

根據(jù)莖葉圖可知甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=20，

8

10+20+22+23+31+32+31+31

=25,

乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為-8-

甲型號電視機的''星級賣場”數(shù)量為m=4,乙型號電視機的“星級賣場”數(shù)量為〃=4,所以機=〃；

【小問2詳解】

由（1）知，甲型號電視機的“星級賣場”數(shù)量為4,設(shè)選取的兩個賣場都是甲型電視機的“星級賣場”設(shè)

為事件M,

設(shè)甲型號電視機的“星級賣場”分別為a,b,c,d,甲型號電視機的非“星級賣場”分別為A,B,C,

D,從這8個賣場中，隨機選取2個賣場，

有AB,AC,AD,Aa,Ab,Ac,Ad,BC,BD,Ba,Bb,Be,Bd,CD,Ca,Cb,Ce,Cd,Da,Db,

De,Dd,ab,ac,ad,be,bd,cd,共計28個

其中滿足條件為“b,ac,ad,be,bd,cd,計6個所以，P（M）=—=一

v72814

【小問3詳解】

方差代表和中心偏離的程度，設(shè)平均數(shù)為嚏，

2222222

ι（10-x）+（20-x）+（22-x）+（23-x）+（31-x）+（32-Λ）+（30+a-x）+（30+b-x^

S-

8

0≤α≤9,0≤b≤9,值越小和中心偏離的程度越小，方差越小,

所以當(dāng)α=ZJ=O時，/達到最小值.

19.在C中，ZACB=45，8C=3,過點力作交線段Be于點。（如圖1）,沿AO將

△A8O折起，使NBZ）C=90（如圖2）,點E、M分別為棱BC、AC的中點.

（2）在圖2中，當(dāng)三棱錐A-BCZ）的體積取最大值時，求三棱錐A-Mf（E的體積.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】(I)由CO,AO,CO證得Col■平面ABD,從而CDJ_A3,又MEVAB,即可得證；

(2)設(shè)Bo=MO<x<3),可證AD,平面BC。，可得匕YQ=IAo?SABS=，(χ3-6Y+9x),利

用導(dǎo)數(shù)法求最值，可知x=3O=l,又6。人平面48,利用等體積法，由匕FoE=VEY.求得答案.

【小問1詳解】

CD±AD,CDLBD,ADBD=D,AD,BZ)U平面48￡),

?CD^平面AB。，ABU平面ABLAB

又?M,E分別為AC、8C的中點，.?.ME"AB,.?.CD_LME.

【小問2詳解】

圖1所示的dABC中，設(shè)BO=X(O<x<3),則8=3—x,

.ADlBC,NACB=45，.?.jlDC為等腰直角三角形，,AD=CO=3—%.

折起后45LOC,ADJ.BD,且BolDC=D,BD、OCu平面BCD,

.?.AD，平面BC。，又N5DC=90，,Ssc。=；x(3—x)，

匕-8Co=；ADS4BS=；XgX(3-x)2=g(χ3-6χ2+9x),x∈(0,3),

令/(x)=J(χ3-6χ2+9x),x∈(0,3),r(x)=；(X-I)(X—3),

當(dāng)O<x<l時，制χ)>0,/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)l<x<3時，∕,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

.?.x=BO=l時，/(x)取最大值，即三棱錐A-BCC的體積最大，

Ar)J_平面BC。，BDU平面BCD,.?.SD±AD,

又BDLDC,ADDC=D,AD，DCU平面4C。，.?.B0,平面AC。，

因為E為線段8C的中點，所以E到平面ACD的距離’80='，

22

SAADM=5S4ACD=3乂5乂2乂2=1，

又^A-MDE=VE-ADM=ZX77^?ADM=T,

326

故三棱錐A-MDE的體積為?.

6

20.若存在實數(shù)k,b,使得函數(shù)/(X)和g(%)對其定義域上的任意實數(shù)X同時滿足：〃x)≥"+6且

g^x)≤kx+bf則稱直線：I:y=Ax+上為函數(shù)/(%)和g(x)的“隔離直線”.已知I(X)=X2,

g(x)=2elnx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).試問：

(1)函數(shù)/(x)和g(x)的圖象是否存在公共點，若存在，求出交點坐標(biāo)，若不存在，說明理由；

(2)函數(shù)/(X)和g(x)是否存在“隔離直線”？若存在，求出此“隔離直線”的方程；若不存在，請說明理

由.

【答案】(1)存在，交點坐標(biāo)為(加,e)；(2)存在，y^2y∣ex-e

【解析】

【分析】(1)構(gòu)造函數(shù)F(X)=/(x)-g(x),求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)在X=G處取得最小值

為0,得到答案.

(2)設(shè)直線y-e=%(x-G),根據(jù)/(x)≥依一%G+e得到％=2&，再證明g(x)≤2&x-e恒成

立，令G(X)=2Gx-e-g(x),求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計算最值得到證明.

詳解】(1)vF(x)=/(x)-^(x)=x2-2elnx(x>0),

???F(X)S3=2(")(X+G),令F(X)=0,得X=G

XX

當(dāng)0<x<五時，F(xiàn)(X)<0,χ>√7時，F(xiàn),(X)>O,

故當(dāng)X=五時，E(X)取到最小值，最小值是0,

從而函數(shù)/(x)和g(x)的圖象在X=五處有公共點，交點坐標(biāo)為(五,e).

(2)由⑴可知，函數(shù)“X)和g(x)的圖象在χ=√;處有公共點，

因此存在f(x)和g(X)的隔離直線，那么該直線過這個公共點,

設(shè)隔離直線的斜率為k,則隔離直線方程為>-e=Z(X-五)，

即y=kx-k>∕e+e>

由/(x)≥kx-k?fe+e(xeR),可得J一米+人五一620在XeR上恒成立，

則△=后~一4人^^+4e=(%—2"T?)≤0>只有％=26，

此時直線方程為：y=28x-e,下面證明g(x)≤2Gx-e恒成立，

令G(X)=2&x—e—g(X)=2?Jex-e-2e?nx,

*=2五3=2口-2e=2五L當(dāng)X

=五時，G(X)=O,

XXX

當(dāng)0<x<正時G'(X)<O,函數(shù)單調(diào)遞減；元>人時，Gr(X)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,

則當(dāng)X=五時，G(X)取到最小值是0,

所以G(X)=2&x-e-g(X)≥0,則g(x)≤2Gx-e當(dāng)x>0時恒成立.

；.函數(shù)/(x)和g(尤)存在唯一的隔