2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)04 最值（范圍）問題答案解析

重難點(diǎn)04最值（范圍）問題

!命題趨勢(shì)

最值問題，在中考里，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生能力

區(qū)分度最重要的地方。在各地中考種都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。

［滿分技巧

I）.在代數(shù)部分最值問題，多出現(xiàn)在函數(shù)部分，無論是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，都需要先求自變量的取值范

圍，再求函數(shù)解析式，根據(jù)實(shí)際問題，求得最值。有關(guān)內(nèi)容在前面的一次函數(shù)、二次函數(shù)中都有諸多體現(xiàn)。

近幾年，利用配方法求最值來解決一些實(shí)際問題，也常常見到。

2）.在幾何最值問題，幾何背景下的最值是考生感覺較難的，往往沒有思路。常見的有：（1）幾何圖形中在

特殊位置下的最值；（2）比較難的線段的最值問題，其依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉

及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差

小于第三邊”等；③借助于圓的知識(shí)；④二次函數(shù)的最值法解決。

3）幾何最值問題中的基本模型舉例

D將軍飲馬模型

7,

圖形

11

將PMN?B

軍

原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系

飲

A,B為定點(diǎn)，/為定直線，A,B為定點(diǎn),/為定直線，

馬

A,8為定點(diǎn)，/為定直線，MN為直線/

特征P為直線I上的一個(gè)動(dòng)P為直線/上的一個(gè)動(dòng)

模

上的一條動(dòng)線段，求AM+BN的最小值

點(diǎn)，求的最小值點(diǎn),求的最大值

型AP+BPIAP-BPl

作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定先平移AM或BN使M,N重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定

轉(zhuǎn)化

直線/的對(duì)稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線/的對(duì)稱點(diǎn)直線/的對(duì)稱點(diǎn)

2）胡不歸模型

在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短。

【模型解讀】一動(dòng)點(diǎn)尸在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為匕，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為匕，且LVV2,A、B

為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使生+生的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）

匕K

1）—+—??lBC+^AC?,記Z=H,即求BC+fc4C的最小值.

匕V1KlV2）V2

2）構(gòu)造射線A短使得SinND4N=A,—=?,CH=以C,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+C”最小值.

AC

3）過B點(diǎn)作BHLAD交MN于點(diǎn)C,交于，點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.

【解題關(guān)鍵】在求形如“以+我至’的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與&照相等的線段，將“必+WTT型問題

轉(zhuǎn)化為“∕?+PC'型.（若A>l,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。

3）阿氏圓模型

【模型解讀】如圖1所示，。。的半徑為r,點(diǎn)A、B都在OO外，P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，已知XkOB,連

接PA、PB,則當(dāng)“PA+&/B”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

如圖2,在線段08上截取OC使OC=kr,則可說明△BPO與△PCO相似，BPk-PB=PC.

故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，

其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)4、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“P4+PC”值最小。如圖3所示：

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：

在前面的“胡不歸”問題中，我們見識(shí)了‘“?∕?+P8”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)尸點(diǎn)軌跡變?yōu)?/p>

圓時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓''問題.

4）瓜豆模型（動(dòng)態(tài)軌跡問題）

【模型解讀】瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。

（初中階段動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型）

【最值原理】

1.動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短“求最值。

D當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡確定時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；

2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡不易確定是直線時(shí)，可通過以下三種方法進(jìn)行確定：

①觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變，

若存在該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的

坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法都合

適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化為其他已知軌跡的線段求值。

2.動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小

值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。

確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓或者圓弧型的方法：1）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變，則點(diǎn)的軌跡是圓或者圓弧。

2）當(dāng)某條邊與該邊所對(duì)的角是定值時(shí)，該角的頂點(diǎn)的軌跡是圓，具體運(yùn)用如下：

①見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形；②見定角，找對(duì)邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形。

5）費(fèi)馬點(diǎn)模型

【模型解讀】結(jié)論：如圖，點(diǎn)M為AABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM,當(dāng)"與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角

為120。時(shí)，MA+MB+MC的值最小。

注意：上述結(jié)論成立的條件是AABC的最大的角要小于120°,若最大的角大于或等于120°,此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就

是最大角的頂點(diǎn)A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120。）

費(fèi)馬點(diǎn)的作法：如圖3,分別以AABC的AB、AC為一邊向外作等邊AABE和等邊AACR連接CE、BF,

設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)。

限時(shí)檢測

限時(shí)檢測1：最新各地模擬試題（60分鐘）

1.（2023?山東淄博??？家荒＃┤鐖D，矩形ABCO中，Λβ=4,4）=2,E為A3的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)

點(diǎn)，P為OF中點(diǎn)，連接P8,則PB的最小值是（）

A.2B.4C.√2D.2√2

【答案】D

【分析】當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在4處，CP1=DP1,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在巴處，EP2=DP2,

當(dāng)點(diǎn)尸在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有。P=FP,由中位線定理可知：PiP//CEPtP=^CF,則當(dāng)

BPl勺鳥時(shí)，M取得最小值，得出BP的最小值為的長，進(jìn)而勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖：當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在R處，CPi=DPt,

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在尸2處，EPi=Dg,:.PM〃CE且耳鳥=gcE,

當(dāng)點(diǎn)尸在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有DP=FP,由中位線定理可知：P,P∕∕CE?iPiP=^CF,

???點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段勺8，..?當(dāng)8尸，耳￡時(shí)，PB取得最小值，

E為AB的中點(diǎn),

.?.CBE、一ADE、BCA為等腰直角三角形，CPt=2,

:.ZADE=ZCDE=NBCE=NDCE=ZCPiB=45°,則NDEC=90°,

o

.-.ZDP2I]=90°,:.Z,DPxP2=45,.?.ZP2PiB=90°,即BqJ_＜鳥，

.?.8P的最小值為期的長，在等腰直角SCA中，CR=BC=2,

，%=2√Σ,.?.P3的最小值是20■.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查J'矩形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，得出

時(shí)?，PB取得最小值是解題的關(guān)鍵.

4

2.（2023?安徽淮北?淮北一中校聯(lián)考一模）如圖，在RtAABC中，ZABC=90o,SinZACB=-,BC=5,

點(diǎn)。是斜邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，將線段8。繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)60。至BE,連接CE,DE,則CE的最小值是（）

K

A.√15B.2√5-√15C.2√5D.√i^5-√5

【答案】B

【分析】過點(diǎn)E作EFj于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作DWLBe于點(diǎn)M,先確定出當(dāng)點(diǎn)C,E,F三點(diǎn)共線時(shí)，CE

最小，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理可得E尸=立BO,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得

2

CD=CB=5,然后解直角三角形可得。M=4,CM=3,從而可得助0=2,利用勾股定理可得5。=2百，

則石尸=岳，最后根據(jù)三角形的面積公式可得CF=2有，由此即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EEJ_B力于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作DWLBC于點(diǎn)”，

則當(dāng)點(diǎn)C,E,尸三點(diǎn)共線時(shí)，CE最小，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：NDBE=60°,BD=BE,

.;BDE是等邊;角形，..?點(diǎn)F是BO的中點(diǎn)，BF=^BD=?E,

:.EF=-JBE2-BF2=-BE=-BD,又.CF-L8。，點(diǎn)尸是8。的中點(diǎn)，BC=5,..CD=CB=S,

4DM44I----------

SinZACfi=-,???T77=s,'dm=^cd=4'；.CMNCD?-DM?=3,

:.BM=BC-CM=2,在RtBDM中,BD=4BM2+DM2=√22+42=2√5>

r-I_11CkBC?DM5×4.rτ

Λ^=^x2√5=√15,S=-BCDM=-BDCF.-,CF=—-=-==2√5,

2BCD22fBD2√y5

.?.CE=CF-EF=2√5-√I5,即CE的最小值為2方-衣，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確找出當(dāng)CE的值最

小時(shí)，點(diǎn)E的位置是解題關(guān)鍵.

3.（2023?山東泰安??？家荒＃┤鐖D，矩形ABc。中，AB=2,BC=3,以A為圓心，1為半徑畫圓A,E是

圓A上一動(dòng)點(diǎn)，尸是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD最小值是（）

（A,_J_____________Q

A.2√5B.2.5

【答案】C

【分析】過點(diǎn)。作關(guān)于宜線BC的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接AF，交Be于點(diǎn)P,交OA于點(diǎn)E,此時(shí)PE+PD最小,

等于A尸-AK,勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接AF,交BC于點(diǎn)P,交CA丁點(diǎn)E,此時(shí)PE+PD

最小，等于AF-AE，

因?yàn)樗倪呅蜛BcD是矩形，AB=2,BC=3,所以AB=CZ)=2,AD=BC=3,

所以￡＞尸=4,NADF=90。，所以4F=+￡＞尸=后不=5,

所以A￡+M=5,所以E尸=5—1=4,所以PE+PZ）的最小值為4,故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱求線段和最小值，熟練掌握矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考一模）如圖，在ΛBC中，Zfi4C=90o,AB=AC=4,P是BC下方的一動(dòng)點(diǎn)，記

ABC,PBC的面積分別記為S,5,.若S,=2S?,則線段AP長的最小值是（）

A.3B.2+2點(diǎn)C.3√2D.y∣2+?

【答案】C

【分析】過點(diǎn)P作直線MN∕z3C,過點(diǎn)A作AO工BC于點(diǎn)。，延長Ar）交MNF點(diǎn)E，山圖可知AE≤AP,

根據(jù)面積關(guān)系求出AE長度即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作直線過點(diǎn)A作AO上BC于點(diǎn)￡>,延長A￡>交MN于點(diǎn)E.

.ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4,BC=4√Σ,AD=2√2,Sabc=^AB-AC=?,,

Si=2S2,Sl,βc=4,點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線AfiV,

.；gx4&xDE=4,解得DE=6，AE=AD+DE=2?∕i+6=3近,

≤APAP的最小值為3亞，故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了最短距離問題、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)，根據(jù)題意添加相應(yīng)輔助

線是解題關(guān)鍵.

5.（2023?四川綿陽?統(tǒng)考二模）如圖，在一ABC中，AC=8,ZA=30o,NB=45。，點(diǎn)P是AC延長線上一

動(dòng)點(diǎn)，PMlBC邊與點(diǎn)M,PNLAB邊與點(diǎn)、N,連接MN,則MN的最小值為（）

A.√2+√6B.1+6C.0+6D.2√Σ+邁

3

【分析】連接BP，證明RM、N、B四點(diǎn)是以BP為直徑的圓上，設(shè)此圓心為。，連接OM、ON,則

∠MC>2V=2ZB=2×45o=90o,由勾股定理，可得MN=√ΣQN=也3P,所以當(dāng)BP取最小值時(shí)，MN值最小，再

2

li,

過點(diǎn)C作CZ）_LAfi于。，求得AB=4λn+4,在RfAfiP∣,>R（llBP=^A5=2√3+2,即可求解.

,/PMIBC,PNlAB,：.ZPMB=ZPNB=90°,

二點(diǎn)P、M,N、8在以BP為直徑的圓匕設(shè)此圓心為0,連接。M、ON,

ZMQV=24=2x45。=90。，由勾股定理，可得MNmoN=aBP,

2

???當(dāng)8。取最小值時(shí)，MN值最小，???當(dāng)BPLAC于0時(shí)，此時(shí)8。值最小，則MN值最小，

過點(diǎn)C作CD_LAB于。，.".ZADC=90o,VAC=8,ZA=30o,；.C￡>=；AC=4,AD=4√3.

VZB=45°,：.NBCD=NB=45。：.BD=CD=4,：.AB=AD+BD=4√3+4.

VBPlAC,：.ZAPB=90°,VZA=30o,ΛBP=-AB=2-j3+2,

2

MN=-^-BP=-^-^2?∣3+2j=?J6+?J2,即MN最小值為J^+J5",故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，垂線段最短，本題綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)定理

和將求MN最小值轉(zhuǎn)化成求8戶最小值是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?安徽馬鞍山?校考一模）ABC為等邊三角形，D、E分別是邊A8、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足ΛD=3E,

M是OE的中點(diǎn)，若Aδ=2,則BM的最小值為（）

BEC

A.也B.-C.?D.1

232

【答案】A

【分析】根據(jù)垂線最短可知當(dāng)_LoE時(shí)最短，根據(jù)AD=BE可知BD=CE,據(jù)此可得知當(dāng)OE是..ABC的

中位線時(shí)BM最短，再由宜角三角形及等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，垂線最短，.?.8W?LnE時(shí)最短，“是。E的中點(diǎn)，

???依題意，ABC是等邊三角形，當(dāng)%>=8E時(shí)，BMYDE.

AB=BC,AD=BE,:.BE=CE,AD=BD,:.DE是ABC的中位線.

ABC為等邊三角形，AB=2,.-.ZABM=30°,8￡>=；AB=1,:.BM=BDcOS30。=昱故選：A.

22

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意判斷事OE是ABC的中位線時(shí)

最短是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?安徽合肥?合肥市第四十五中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，RtaABC中，NACS=90。，4MC=60。，點(diǎn)。

是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將A。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,連接CE,若AC=1,則CE的

長的最小值為（）

I2

A.?B.-C.1D.√2

【答案】A

【分析】在AB上取一點(diǎn)K,使得AK=AC,連接CK,DK，然后證明出VE4C絲VDAK（SAS）,然后根據(jù)

垂線段最短得到當(dāng)。KIBC時(shí)，OK的值最小，最后利用30。角直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】如圖所示，在AB上取一點(diǎn)K,使得月K=AC,連接CK,DK,

?；ZACB=90°,ZBAC=60°,.,.ZEAD=ZBAC=60o,Zfi=30°,ZEAC=ZDAK,

又TAE=AD,AC=AK,,VEACWfMK(SAS),J-CE=DK,

A

K

∣∕CDB

E

，當(dāng)。K18C時(shí)?，E)K的值最小，VAC^AK=?,ZB=30°,NACB=90。，

ΛAB=2ΛC≈2,：.BK=AB-AK=?^ΛDK=?K=?.；.CE的長的最小值為?.故選A

22N

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判斷，垂線段最短，30。角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

8.(2023?浙江寧波??？家荒?如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,4),/的半徑為2,P為X軸

上一動(dòng)點(diǎn)，PB切A于點(diǎn)B,則尸B的最小值為()

A.2B.3C.2√3D.4

【答案】C

【分析】如圖，連接A8,AP,根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得ABL依，要使PB最小，只需”最小，根據(jù)垂線

段最短，當(dāng)APJ軸丁?點(diǎn)P時(shí)，AP最小，進(jìn)而求出產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理，求出尸8即可.

【詳解】如圖，連接AB,AP.

根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得A8_LP8.要使尸B最小，只需4?最小，

根據(jù)垂線段最短，當(dāng)AP_LX軸于點(diǎn)P時(shí)，AP最小，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是(-3,0),AP=A,

在RtABP中，AP=4,AB=2,PB=>JAP2-AB2=2√3.則尸B最小值是2道.故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì).熟練掌握切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，利用垂線段最短，確定點(diǎn)尸的位置，是

解題的關(guān)鍵.

9.(2023?廣西?中考模擬)把二次函數(shù)y=0√+加c+c(a>θ)的圖象作關(guān)于X軸的對(duì)稱變換，所得圖象的

解析式為y=-α(x-l>+40,若(加—l)α+b+c<O,則m的最大值為()

A.-4B.OC.2D.6

【答案】D

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)圖形的變換規(guī)律可得變換后的函數(shù)解析式為V=-//一法-c,再根據(jù)對(duì)稱軸、

與y軸的交點(diǎn)問題可求出b=—2z,c=-3a,然后代入解一元一次不等式即可得.

【詳解】由二次函數(shù)圖形的變換規(guī)律得:把二次函數(shù)y=a?+z7χ+c(α>0)的圖象作關(guān)于X軸的對(duì)稱變換，

所得圖象的解析式為y=-ax2-bx-c則?=-?(%-1)2+4α與y=-ax1-?x-c?H

由對(duì)稱軸得：x=--=↑,解得b=—2。

Ia

當(dāng)x=()時(shí)，由函數(shù)y=-α(x—I)?+4。得y=-。+4。=3。；由函數(shù)y=-aj?-bx-c得丁=-c

則一c=3α,即c=-30——2a?c=—34代入(〃?-l)α+b+c≤O得：(加一l)a—2a-3α≤0

整理得：(m-l)α≤5α?！?.?.∕加-l≤5解得m≤6則m的最大值為6故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(對(duì)稱性、與y軸的交點(diǎn))、一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)二

次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出b、c與a的關(guān)系等式是解題關(guān)鍵.

10.(2022?浙江?中考模擬)已知二次函數(shù)y=x2,當(dāng)α≤r≤h時(shí)機(jī)W)W〃，則下列說法正確的是()

A.當(dāng)〃-〃7=1時(shí)，b-4有最小值B.當(dāng)〃-"7=1時(shí)，8-4有最大值

C.當(dāng)b-α=l時(shí),，〃-機(jī)無最小值D.當(dāng)〃-α=l時(shí)，〃-加有最大值

【答案】B

【分析】①當(dāng)b-〃=1時(shí)，先判斷出四邊形BCDE是矩形，得出BC=DE=O-4=1,CD=BE=m,進(jìn)而得

?AC=n-m9即tan="-/",再判斷出0°WNABCV90。，即可得出〃-Tn的范圍;

②當(dāng)〃-/〃=1時(shí)，同①的方法得出M/=PQ=力-”，HQ=PN=m,進(jìn)而得出MH=〃-m=1,而tanNMHN

=----，再判斷出45。SNMN"V90。，即可得出結(jié)論.

b-a

【詳解】解：①當(dāng)b-a=l時(shí)，如圖1,過點(diǎn)B作BCLAD于C,ΛZBCD=90o,

四邊形BCDE是矩形，.?.BC=DE=b-a=l,CD=BE=m,,AC=AD-CD=n-m,

AC

在RtZiACB中，IanZABC=-----=n-m,

BC

oo

Y點(diǎn)A,B在拋物線y=χ2上，Λ0≤ZABC<90,ΛtanZABC>O,Λn-m>Of

即n-m無最大值，有最小值，最小值為0,故選項(xiàng)C,D都錯(cuò)誤；

②當(dāng)n-m=l時(shí)，如圖2,過點(diǎn)N作NHJ_MQ于H,

同①的方法得，NH=PQ=b-a,HQ=PN=m,ΛMH=MQ-HQ=n-m=l,

MH1

在RlAMHQ中，IanZMNH=------=--------,

NHb-a

點(diǎn)M,N在拋物線y=χ2上，.?.mK),

當(dāng)m=0時(shí)，n=l,，點(diǎn)N(O,O),M(I,I),ΛNH=1,

此時(shí)，NMNH=45°,Λ45o≤ZMNH<90o,ΛtanZMNH≥l,Λ—^―≥l,

b-a

當(dāng)a,b異號(hào)時(shí);且m=0,n=l時(shí)，a,b的差距是最大的情況，此時(shí)b-a=2,

.?.b-a無最小值，有最大值，最大值為2,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查J'二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，確定出NMNH的范圍是解

本題的關(guān)鍵.

11.(2023?四)11巴中?校考一模)如圖,在邊長為3的等邊ABC中，E、尸分別是邊AC、BC的動(dòng)點(diǎn),且AE=CA

連接BE、AF交于點(diǎn)P,連接CP,則Cp的最小值為.

C

E

AB

【答案】6

【分析】由“SAS”可證VABEgVC可得NABE=/C4F,可求NAPB=I20。，過點(diǎn)A,點(diǎn)P,點(diǎn)B作「。,

則點(diǎn)尸在4B上運(yùn)動(dòng)，利用銳角三角函數(shù)可求8,A。的長，即可求解.

【詳解】解：,/ABC是等邊一角形，,AB=AC=BC,∕C45=NACB=60。，

AB=AC

在工ABE和VCAF中，?∕BAC=∕AC8,.?.ABE^CAF(SAS),

AE=CF

：.ZABE=ZCAF,.,.NBPF=NPAB+ZABP=/!CAP+NBAP=60o,.*.ZAPB=120°,

如圖，過點(diǎn)A,點(diǎn)尸，點(diǎn)8作ΘO,連接CO,PO,

；?點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，YAO=OP=OB,ΛZOAP=ZOPA,ZOPB=ZOBP,NoAB=NOBA,

：.ZAOB=360o-ZOAP-AOPA-NOPB-NoBP=120o,.,.NoAB=30o,/.Nc4。=90°,

VAC=BC,OA=OB,.?.CO垂直平分A8,,ZACO=30。，

?cosZACO=-=-,CO=2AO,?*?CO=2√3,,AO=G

CO2

在ACPO中，CP≥CO-OP,，當(dāng)點(diǎn)P在Co上時(shí)，CP有最小值，

二.C尸的最小值=2>∕J-6=G，故答案為：?∣3.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓的有關(guān)知識(shí)，確定

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?四川成都,模擬預(yù)測）已知：如圖，RIzλABC中，NACB=90。,AC=BC=12,圓C半徑為6,P

為斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PM、PN分別與圓C相切于何、N,連接MV交PC于點(diǎn)Q,則AQ的最小值為

【答案】6√2

【分析】過點(diǎn)A作:C的切線AE和AF,連接“，交AC于G,同樣過點(diǎn)8作CC的切線，得出等同于點(diǎn)

G的，點(diǎn)，連接CE,證明CGESj7E4,進(jìn)而得出CGSC=CE?=6?=36,同理可得，CHeB=36,

PQ-PC=CN2=36,從而CQ?PC=CG?AC,進(jìn)而得出一CGQSeP,從而NCQG=N84C=45。，同理可

得，NCQH=NB=45。,從而NGβH=NCQG+NCQH=90。，點(diǎn)。在以GH為直徑的圓。上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)一步

得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作C的切線AE和AF，連接EF,交AC于G,同樣過點(diǎn)8作；C的切線，得

出等同于點(diǎn)G的H點(diǎn)，連接CE,

ΛCElAE,根據(jù)對(duì)稱性可得，EFlAC,，NAEC=NCGE=90。，

ZACE=ZGCE,；._CGES￡EA,/.CG-AC=CE2=62=36,

同理可得，CHcB=36,PQPC=CN2=36,：.CQPC=CGAC,.?.空=絲,

PCAC

?：ZCGT=/PCQ,qCGQSLCAP,：.ZCQG=ZBAC,

?/AB=BC,NACB=90°,：.ZCAB=ZB=45°,：./CQG=ZBAC=45°,

同理可得，NCQH=NB=45。.：.4GQH=NCQG+NCQH=90。,點(diǎn)。在以G"為直徑的圓。上運(yùn)動(dòng),

連接A。交（。于。'，作OALAC于R,?,"CGAC=36,Λ12?CG=36,

?*?CH=CG=3>?,?GH=Λ∕CG2+CH2=3?∣2'，半徑OG=—?

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，確定圓的條

件等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形和輔助圓求解.

13.（2023?山東濟(jì)南?濟(jì)南外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=A,AD=6,點(diǎn)E,F

分別是A。，OC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且￡尸=4,點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則B4+PG的最小

【答案】8

【分析】根據(jù)防=4,點(diǎn)G為即的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出QG=2,可知G點(diǎn)的軌

跡為：交以。為圓心，以2為半徑的圓弧（一部分），作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)4,連接AO,交BC于P,交

以D為圓心，以2為半徑的圓于G,此時(shí)PA+PG的值最小，最小值為A'G的長;根據(jù)勾股定理求得AD=10,

即可求得A注=A。-DG=10-2=8,即問題得解.

【詳解】解：所=4,點(diǎn)G為所的中點(diǎn)，.?.DG=2,

.?.G點(diǎn)的軌跡是以。為圓心，以2為半徑的圓?。ㄒ徊糠郑?，作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)4,連接AO,交BC于

P,當(dāng)G點(diǎn)剛好在直線AT）上時(shí)，此時(shí)R4+PG的值最小，最小值為AG的長；

AB=4,4）=6,二44'=8,；.在吊/14力利用勾股定理有4。=10,

AXS=AD-ZXJ=IO-2=8,,PA+PG的最小值為8,故答案為：8.

AED

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，判斷出G點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵.凡是涉及最短距離的問題，

一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn).

14.(2023?內(nèi)蒙古中考模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(T,m)和3(5,回是拋物線y=Y+法+1上

的兩點(diǎn)，將拋物線y=Y+辰+1的圖象向上平移〃(〃是正整數(shù))個(gè)單位，使平移后的圖象與X軸沒有交

點(diǎn)，則”的最小值為.

【答案】4

【分析】通過A、B兩點(diǎn)得出對(duì)稱軸,再根據(jù)對(duì)稱軸公式算出"由此可得出二次函數(shù)表達(dá)式,從而算出最小值

即可推出n的最小值.

-1+5b-b

【詳解】VA,B的縱坐標(biāo)一樣,.?.A,B是對(duì)稱的兩點(diǎn)對(duì)稱軸X=-------=2,即——=—=2,Λ?=-4.

2Ia2

y=/-4χ+ι=/—4x+4—3=(χ-2)2-3.拋物線頂點(diǎn)(2,-3).滿足題意〃得最小值為4,故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)對(duì)稱軸的性質(zhì)及頂點(diǎn)式的變形,關(guān)鍵在根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì)從題意中判斷出對(duì)稱軸.

15.(2023?四川成都?統(tǒng)考一模)已知矩形ABC。中，AB=2AD=8,點(diǎn)E、F分別是邊"、CO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸

為AD邊上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作與AB平行的直線交AF于點(diǎn)G,連接PE,點(diǎn)M是PE中點(diǎn)，連接MG,則MG的

最小值=?

【答案】乎

【分析】連接AC交PG與點(diǎn)N,連接EN,證明MG=TEN,求EN最小值即可.

【詳解】解：：AB=2AD=8,點(diǎn)E、尸分別是邊AB、CO的中點(diǎn),

ΛCF=FD,AE=4,AC=√42+82=4√5■?sinZBAC=^y,

連接AC交PG與點(diǎn)N,連接EN,VPGHCD,

.NGAGPG

：「ANGACF,APGADF；

CFAFDF

VCF=FD,：.NG=PG：點(diǎn)M是PE中點(diǎn)，ΛMG=?EN,

2

當(dāng)EN1.AC時(shí)，EN最小，MG也最?。籗inNBAC=處=叵,

AE5

【點(diǎn)暗】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和解直角三角形，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，得出MG=JEN,求EN

最小值.

16.（2023?上海金山?統(tǒng)考一模）如圖，AfiC為等腰直角三角形，ZA=90o,AB=6,G為,ASC的重心，E

為線段AB上任意一動(dòng)點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰Rt△（:/）￡（點(diǎn)Z）在直線BC的上方），5為RtE的重心，

設(shè)G、伍兩點(diǎn)的距離為4那么在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中d的取值范圍是.

【答案】o≤j≤√io

【分析】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8量合時(shí)，"=0,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，d的值最大，利用重:心的性質(zhì)以及勾股定理

求得CG=2√^,CG=Ji6,證明ACGQ,C4,推出ACGG2是等腰直角三角形，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，d=0,

當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)A重合時(shí)，"的值最大，如圖，點(diǎn)尸”分別為8C、AC的中點(diǎn),

：一ABC為等腰直角三角形，乙4=90°,AB=6,G為ABC的重心,

2222

.?.AF=BF=FC=^BC=^y∣6+6=3y∕2,.?GlF=∣AF=√2,CG1=√CF+GlF=2√5,

22

同理￡>"=A"="C=；AC=：AB=3,：.G2H=^DH=I,CG2=y∣CH+G2H=√10.

ZBΛC=ZG,CG,=45°,生==立CG2-√10√2AC

,U

BC6近2ZQ-^^TCG1BC'

是等腰宜角三角形，

.?.ΔCG,G2-ΔBCA,ΛZ^CG∣G2

?*-G1G2=CG2=?/lθ,?'?0≤√≤?/lθ,故答案為：0<d<VlO.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，重心的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，

解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

17.（2023?山東東營??？家荒＃┤鐖D，在邊長為4的菱形ABCD中，ZA=60o,M是AO邊上的一點(diǎn)，且

AM=?AD,N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將；AMN沿MN所在直線翻折得到zM'MN,連接AC,則AC長度

4

的最小值是.

【答案】屈+√37

【分析】過點(diǎn)M作MHJ_C。交CO延長線于點(diǎn)H,連接CM,根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，求出

CH,HM,再由勾股定理求出CM的長，再由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)A在以M為圓心，A"為半徑的圓上，從

而得到當(dāng)點(diǎn)A在線段MC上時(shí)，AC長度有最小值，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)M作CZ）交CD延長線于點(diǎn)兒連接CW,菱形ABa）中，AD=CD=4,CD//AB,

VAM=-AD,：.AM=i,MD=3,VCD//AB,：.ZHDM=ZA=60°,

4

13?/T?1

o

ΛZDΛ∕H=30,:.HD=-MD=-,：.HM??,CH=DH=CD=-f

，MC=MH2+CH2=√37，：將AMN沿MN所在直線翻折得到∕?A'MN,

.??AΛ7=A'Λ7=1,，點(diǎn)A，在以例為圓心，A”為半徑的圓上，

二當(dāng)點(diǎn)A在線段MC上時(shí)，AC長度有最小值，.?.A'C長度的最小值=MC-MA="7-1.故答案為：國-1

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，找到當(dāng)點(diǎn)4在MC上，AC的長度最小,

是解題的關(guān)鍵.

18.（2023?山東泰安?新泰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎庑蜛Ba）的邊長為1,NZMB=60。，E為AD上的

動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，S.AE+CF=],設(shè)ΔBE尸的面積為＞,AE=x,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，則Y與X的函數(shù)關(guān)系式

是,

≤x≤l)

【分析】證明^3所是等邊三角形，求出的面積y與X的函數(shù)關(guān)系式，即可得出答案.

【詳解】連接8。，如圖所示:

,/菱形ABCD的邊長為I,ZDAB=60°,二AABD和ABCD都是等邊三角形,

ΛZβt>E=ZBCF=60o,BD=BC,VAE+DE=AD=1,AE+CF=1,ΛDE=CF,

DE=CF

在4BE>E和ABC/中，ZBDf=ZC,；..BDE=BCF(SAS),：.ZDBE=ZCBF,BE=BF,

BD=BC

YZDBC=ZDBF+ACBF=60°,：.ZDBF+ZDBE=60°,：,ΛEBF=60°,

；.△BEF是等邊三角形，；.BE=EF,；.ABEF的面積y=號(hào)BE?,

作BELAZ)于E',則A￡=,A。=',BE'=—,

222

,√3

■：AE=x,.?.EE=^-x,Λ(1_)≡(2^)?=Jl2_J1一O\

=x+yxX+4-<X-<7

^

與

-烏

.??》與X的函數(shù)關(guān)系式為：y=^√-^χ+^(0≤x≤l).故答案為：)，=4X2+≤X<

-44-

【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)、

三角形的面積問題，證明兩個(gè)三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

19.(2022.湖北十堰?統(tǒng)考二模)如圖，已知，正ABC中，AB=↑2,將ΛBC沿AC翻折，得到AWC,

連接80,交AC于。點(diǎn)，E點(diǎn)在OO上，且QE=2QE,尸是BC的中點(diǎn)，尸是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE—PE

的最大值為.

【答案】2√3

【分析】根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，PF-PE最大,利用勾股定理求出此時(shí)?和AE的長即可

解決問題.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱點(diǎn)￡,PE=PE,在上/YE中，PF-PE<FE,

.?.PF-PE<FE,當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，PF-PE最大為AF-AE,

ΛSC為等邊三角形，AB=12,??AB=AC=8C=12,

?「將，ABC沿AC翎折，得到ZxADC,.??AD=8=8C=A8=12,

???四邊形ABa)為菱形，?.8OLAC,，A0=C0=6,?∞=√122-62=6√3-

DE=2OE,ΛOE=^OD=2>∕3,.?.AE=J（2可+6?=46,

產(chǎn)為BC中點(diǎn)，AF±BC,CF=BF=6,?AF=√122-62=6√3-

，P尸一PE的最大值為AF-AE=6√J-4退=26，故答案為：2√J.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱-線段問題，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，明確同側(cè)差最大是解

題的關(guān)鍵.

20.（2022?廣東佛山??？家荒＃┰谶呴L為1的正方形ABCD中，M是邊AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)

點(diǎn)，則√∑PM-PA的最小值為.

【答案】0

【分析】作PQ工AB于〃，可得出PQ=*PA,從而得尸M-PQ的最小值，將J∑PM-PA變形為

√2（PM-P2）,進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】解:如圖，作尸QlAS于",

；四邊形ABC。是正方形，.?.N84C=45o,.?.PQ=變PA,.??AW-PQ的最小值為0,

2

?：6PM-PA=6PM-^PA?=y∕2(PM-PQ),，應(yīng)PM-PA的最小值為0,故答案為：0.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題關(guān)鍵是作輔助線轉(zhuǎn)化線段.

21.（2023?陜西西安?西安市曲江第一中學(xué)?？既＃┤鐖D，等邊,ΛBC中，AB=6,尸為A8上一動(dòng)點(diǎn),

PDYBC,PE±AC,則OE最小值為

【答案】I9

【分析】如圖，連接PC,取CP的中點(diǎn)0,連接0E,0D,過點(diǎn)O作0”，OE于4,首先證明ACDE是

頂角為120。的等腰三角形，當(dāng)OE的值最小時(shí)，