第8講 立體幾何中的證明問題

專題四

立體幾何第8講

立體幾何中的證明問題考向分析備考建議回歸教材高頻考點(diǎn)突破高考回眸限時訓(xùn)練第8講

立體幾何中的證明問題考向分析1.從內(nèi)容上看，主要考查：直線和平面平行與垂直的判定和性質(zhì).2.從題型來看，有選擇題，難度適中，解答題多以直棱柱、三棱錐、四棱錐等幾何體為載體，難度稍大.3.從能力看，一是著重考查空間想象能力，即對空間幾何體的觀察分析和空間想象的能力，要求“四會”：①會識圖.根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；②會畫圖.根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線（面），作出的圖形要直觀、虛實(shí)分明；③會拆圖.對圖形進(jìn)行必要的分解、組合；④會用圖.對圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a(bǔ)術(shù).二是考查推理論證能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想.4.從素養(yǎng)看，主要考查直觀想象，邏揖推理等核心素養(yǎng).第8講

立體幾何中的證明問題備考建議1.熟練掌握直線與平面平行（或垂直）有關(guān)的判定定理，它是判斷線面平行（或垂直）的主要依據(jù)之一，通過直線與直線平行（或垂直）得到直線與平面平行（或垂直），體現(xiàn)了立體幾何的轉(zhuǎn)化與化歸思想.2.熟練掌握直線與平面平行（或垂直）的性質(zhì)定理、平面與平面平行（或垂直）的性質(zhì)定理，其實(shí)質(zhì)是兩條直線平行（或垂直）的判定定理，性質(zhì)定理與判定定理的結(jié)合運(yùn)用是解決平行（或垂直）問題的關(guān)鍵.3.證明平行（或垂直）關(guān)系通常從現(xiàn)有直線中尋找平行（或垂直）關(guān)系，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，同時要注意線線、線面、面面平行（或垂直）轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.第8講

立體幾何中的證明問題回歸教材

【分析】首先將正方體的展開圖還原成正方體，由經(jīng)過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線，進(jìn)行判斷.

【點(diǎn)評】本題考查的是異面直線的判定，將正方體的展開圖還原成正方體，再利用異面直線的判定定理判斷是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

外

中點(diǎn)

垂

【點(diǎn)評】本題考查了四面體這一幾何體，主要從線面垂直這一位置關(guān)系進(jìn)行考查，需要一定的空間想象能力.

【點(diǎn)評】本題主要考查空間直線平面平行位置關(guān)系，考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

【分析】寫出命題，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得線面垂直，根據(jù)線面平行的性質(zhì)得線線垂直，結(jié)合線面垂直關(guān)系證明線線垂直.

【點(diǎn)評】此題考查線面平行的性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)，考查對線面平行、線面垂直、面面垂直性質(zhì)的綜合應(yīng)用.第8講

立體幾何中的證明問題高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一

直線、平面平行的判定和性質(zhì)

【分析】利用三角形中位線證明線線平行，結(jié)合線面平行判定定理，從而得線面平行；

【分析】結(jié)合面面平行判定定理來確定動點(diǎn)位置，并證明面面平行.

【點(diǎn)評】第（1）問考查線面平行判定定理，第（2）問先猜后證或利用面面平行的性質(zhì)定理尋找線線平行.［小結(jié)］一、有關(guān)平行的證明方法線線平行的證明方法：（1）利用平面幾何知識，如：構(gòu)造三角形的中位線，構(gòu)造平行四邊形，利用相似比尋找線線平行；（2）基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行；（3）利用直線與平面平行的性質(zhì)定理尋找線線平行；（4）利用平面與平面平行的性質(zhì)定理尋找線線平行；（5）利用直線與直線垂直的性質(zhì)定理尋找線線平行.

二、注意用好線面平行、面面平行性質(zhì)定理證明線線平行，常常將線面平行轉(zhuǎn)化為該線與過該線的一個平面和已知平面的交線平行.在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時才有直線與交線平行.證明直線與平面平行常利用面面平行的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造過該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往借助于比例線段或平行四邊形.三、線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示四、空間位置平行關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示考點(diǎn)二

直線、平面垂直的判定和性質(zhì)

【分析】要證面面垂直，關(guān)鍵是到其中一個平面內(nèi)找（作）一條直線，再證該直線垂直于另一個平面.

【點(diǎn)評】垂直關(guān)系綜合題的類型及解法：(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.(2)垂直與體積結(jié)合問題，在求體積時，可根據(jù)線面垂直得到表示高的線段，進(jìn)而求得體積.［小結(jié)］一、有關(guān)垂直的證明方法線線垂直的證明方法：（1）證兩相交直線垂直常利用平面幾何知識，如：等腰三角形（等邊三角形）的“三線合一”，勾股定理的逆定理等；（2）證兩相交直線垂直常通過證線面垂直證線線垂直；（3）平移法.

二、注意用好線面垂直、面面垂直性質(zhì)定理證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，證明線面垂直常利用面面垂直的性質(zhì)定理，轉(zhuǎn)化時，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟.三、垂直、平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化四、空間垂直關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示考點(diǎn)三

平行與垂直的綜合問題

【點(diǎn)評】求解垂直與平行結(jié)合的問題時應(yīng)注意：（1）平行、垂直的性質(zhì)及判定定理的綜合應(yīng)用.如果有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.（2）用幾何法求二面角時,關(guān)鍵是可利用線面垂直關(guān)系作出二面角的平面角.考點(diǎn)四

與平行（或垂直）有關(guān)的探究性問題

【點(diǎn)評】與探索性問題有關(guān)的解題策略：(1)求條件探索性問題的主要途徑：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.(2)涉及點(diǎn)的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個，也可以根據(jù)相似知識找點(diǎn).第8講

立體幾何中的證明問題高考回眸

【命題立意】本題考查線線平行，已知二面角求參數(shù)問題，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng),屬于中等題.

【命題立意】本題主要考查了線線、線面和面面垂直的性質(zhì)與判定及二面角的求法，考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中等題.第8講

立體幾何中的證明問題限時訓(xùn)練A組

基礎(chǔ)演練

CA.4

B.3

C.2

D.1

A

B

A

BD

③⑤②⑤