2023年全國甲卷理科高考數(shù)學(xué)試卷附詳解

第第頁2023年全國甲卷理科高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.設(shè)集合,U為整數(shù)集,則（）A. B.C. D.2.若復(fù)數(shù),則（）A.-1 B.0 C.1 D.23.執(zhí)行下面的程序框遇,輸出的（）A.21 B.34 C.55 D.894.向量,且,則（）A. B. C. D.5.已知正項等比數(shù)列中,為前n項和,,則（）A.7 B.9 C.15 D.306.有50人報名足球俱樂部,60人報名乒乓球俱樂部,70人報名足球或乒乓球俱樂部,若已知某人報足球俱樂部,則其報乒乓球俱樂部的概率為（）A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.17.“”是“”的（）A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件8.已知雙曲線的離心率為,其中一條漸近線與圓交于A,B兩點,則（）A. B. C. D.9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù),共服務(wù)星期六、星期天兩天,每天從中任選兩人參加服務(wù),則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）A.120 B.60 C.40 D.3010.已知為函數(shù)向左平移個單位所得函數(shù),則與的交點個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.411.在四棱錐中,底面為正方形,,則的面積為（）A. B. C. D.12.己知橢圓,為兩個焦點,O為原點,P為橢圓上一點,,則（）A. B. C. D.二、填空題13.若為偶函數(shù),則________．14.設(shè)x,y滿足約束條件,設(shè),則z的最大值為____________．15.在正方體中,E,F分別為CD,的中點,則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為____________．16.在中,,,D為BC上一點,AD為的平分線,則_________．三、解答題17.已知數(shù)列中,,設(shè)為前n項和,．（1）求的通項公式;（2）求數(shù)列的前n項和．18.在三棱柱中,,底面ABC,,到平面的距離為1．（1）求證：;（2）若直線與距離為2,求與平面所成角的正弦值．19.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用,將40只小鼠均分為兩組,分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）．（1）設(shè)其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;（2）測得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m,并完成下面2×2列聯(lián)表：對照組實驗組（ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表,能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0102.7063.8416.63520.已知直線與拋物線交于兩點,且．（1）求;（2）設(shè)C的焦點為F,M,N為C上兩點,,求面積的最小值．21.已知（1）若,討論的單調(diào)性;（2）若恒成立,求a的取值范圍．四、選做題22.已知,直線（t為參數(shù)）,為的傾斜角,l與x軸,y軸正半軸交于A,B兩點,．（1）求的值;（2）以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求l的極坐標方程．23.已知．（1）求不等式的解集;（2）若曲線與坐標軸所圍成的圖形的面積為2,求．2023年全國甲卷理科高考數(shù)學(xué)試卷解析一、選擇題1.A解:因為整數(shù)集,所以,=．故選：A．2.C解:因為所以,解得：.故選：C.3.B解：當時,判斷框條件滿足,第一次執(zhí)行循環(huán)體,,;當時,判斷框條件滿足,第二次執(zhí)行循環(huán)體,,;當時,判斷框條件滿足,第三次執(zhí)行循環(huán)體,,;當時,判斷框條件不滿足,跳出循環(huán)體,輸出．故選：B.4.D解:因為,所以即,即,所以.如圖,設(shè)由題知,是等腰直角三角形AB邊上的高所以.故選:D.5.C解:由題知即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.6.A解：報名兩個俱樂部的人數(shù)為記“某人報足球俱樂部”為事件,記“某人報兵乓球俱樂部”為事件則所以.故選:.7.B解:當時,例如但即推不出;當時,即能推出.綜上可知,是成立的必要不充分條件.故選：B.8.D解:由,則解得所以雙曲線的一條漸近線不妨取則圓心到漸近線的距離所以弦長.故選：D.9.B解:不妨記五名志愿者為假設(shè)連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù),再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù),共有種方法.同理：連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù),也各有種方法.所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有種.故選：B.10.C解:因為向左平移個單位所得函數(shù)為,所以而顯然過與兩點.作出與的部分大致圖像如下考慮,即處與的大小關(guān)系當時,,;當時,,;當時,,;所以由圖可知,與的交點個數(shù)為.故選：C.11.C解:連結(jié)交于,連結(jié),則為的中點,如圖因為底面為正方形,,所以,則又,,所以,則又,,所以,則在中,則由余弦定理可得故,則故在中,所以又,所以所以的面積為.故選：C.12.B解:設(shè),所以由,解得：由橢圓方程可知,所以,,解得：即,因此．故選：B．二、填空題13.2解:因為為偶函數(shù),定義域為,所以,即則,故.此時所以又定義域為,故為偶函數(shù).所以.故答案為：2.14.15解:作出可行域,如圖由圖可知,當目標函數(shù)過點時,有最大值.由可得,即所以.故答案為：15.15.12解:不妨設(shè)正方體棱長為2,中點為,取,中點,側(cè)面的中心為,連接,如圖由題意可知,為球心,在正方體中,,即.則球心到的距離為所以球與棱相切,球面與棱只有1個交點.同理,根據(jù)正方體的對稱性知,其余各棱和球面也只有1個交點.所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.故答案為：12.16.解:如圖所示：記方法一：由余弦定理可得,因為,解得：由可得解得：．故答案為：．三、解答題17.1）（2）【小問1詳解】因為當時,,即;當時,,即當時,,所以化簡得：,當時,,即當時都滿足上式,所以．【小問2詳解】因為,所以兩式相減得,即,．18.（1）證明見解析（2）【小問1詳解】如圖底面,面,又,平面,平面ACC1A1,又平面平面平面過作交于,又平面平面,平面平面到平面的距離為1,在中,設(shè),則為直角三角形,且,,,解得..【小問2詳解】過B作,交于D,則為中點由直線與距離為2,所以,,在,延長,使,連接由知四邊形為平行四邊形,平面,又平面則在中,,在中,,又到平面距離也為1所以與平面所成角的正弦值為.19.（1）分布列見解析,（2）（i）;列聯(lián)表見解析,（ii）能【小問1詳解】依題意,的可能取值為則,,所以的分布列為：故.【小問2詳解】（i）依題意,可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起,從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好,所以我們只需要觀察對照組第一排數(shù)據(jù)與實驗組第二排數(shù)據(jù)即可.可得第11位數(shù)據(jù)為,后續(xù)依次為故第20位為,第21位數(shù)據(jù)為所以故列聯(lián)表為：合計對照組61420實驗組14620合計202040（ii）由（i）可得,所以能有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.20.（1）（2）【小問1詳解】設(shè)由可得,,所以所以即,因為,解得：．【小問2詳解】因為,顯然直線的斜率不可能為零設(shè)直線：,由可得,,所以,因為,所以即亦即將代入得,所以,且,解得或．設(shè)點到直線的距離為,所以所以的面積而或,所以當時,的面積．21.（1）答案見解析（2）【小問1詳解】令,則則當當,即.當,即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當,符合題意.若當,所以..所以,使得,即,使得.當,即當單調(diào)遞增.所以當,不合題意.綜上,的取值范圍為.四、選做題22.（1）