2023年四川省宜賓市中考數(shù)學真題試卷附答案

第第頁2023年四川省宜賓市中考數(shù)學真題試卷一、選擇題：本大題共12個小題,每小題4分,共48分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請將正確選項填涂在答題卡對應題目上．1.2的相反數(shù)是（）A.2 B.－2 C. D.2.下列計算正確的是（）A. B.C. D.3.下列圖案中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.4.為積極踐行節(jié)能減排發(fā)展理念,宜賓大力推進“電動宜賓”工程,2022年城區(qū)已建成充電基礎設施接口超過8500個．將8500用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.5.如圖,,且,,則等于（）A. B. C. D.6.“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雞兔各幾何”是《孫子算經(jīng)》卷中著名數(shù)學問題．意思是：雞兔同籠,從上面數(shù),有35個頭;從下面數(shù),有94條腿．問雞兔各有多少只？若設雞有只,兔有只,則所列方程組正確的是（）A. B. C. D.7.如圖,已知點在上,為的中點．若,則等于（）A. B. C. D.8.分式方程的解為（）A.2 B.3 C.4 D.59.《夢溪筆談》是我國古代科技著作,其中它記錄了計算圓弧長度“會圓術”．如圖,是以點O為圓心,為半徑的圓弧,N是的中點,．“會圓術”給出的弧長的近似值計算公式：．當,時,則的值為（）A. B. C. D.10.如圖,邊長為6的正方形中,M為對角線上的一點,連接并延長交于點P．若,則的長為（）A. B. C. D.11.如圖,在平面直角坐標系中,點A,B分別在y,x軸上,軸．點M,N分別在線段,上,,,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過M,N兩點,P為x正半軸上一點,且,的面積為3,則k的值為（）A. B. C. D.12.如圖,和是以點為直角頂點的等腰直角三角形,把以為中心順時針旋轉,點為射線,的交點．若,．以下結論：①;②;③當點在的延長線上時,;④在旋轉過程中,當線段最短時,面積為．其中正確結論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題：本大題共6個小題,每小題4分,共24分,請把答案直接填在答題卡對應題中橫線上．13.在“慶五四·展風采”的演講比賽中,7位同學參加決賽,演講成績依次為：77,80,79,77,80,79,80．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是___________．14.分解因式：x3﹣6x2+9x=___．15.若關于x的方程兩根的倒數(shù)和為1,則m的值為___________．16.若關于x的不等式組所有整數(shù)解的和為,則整數(shù)的值為___________．17.如圖,是正方形邊的中點,是正方形內一點,連接,線段以為中心逆時針旋轉得到線段,連接．若,,則的最小值為___________．18.如圖,拋物線經(jīng)過點,頂點為,且拋物線與軸的交點B在和之間（不含端點）,則下列結論：①當時,;②當?shù)拿娣e為時,;③當為直角三角形時,在內存在唯一點P,使得的值最小,最小值的平方為．其中正確的結論是___________．（填寫所有正確結論的序號）三、解答題：本大題共7個小題,共78分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟19.計算（1）計算：．（2）化簡：．20.已知：如圖,,,．求證：．21.某校舉辦“我勞動,我快樂,我光榮”活動．為了解該校九年級學生周末在家的勞動情況,隨機調查了九年級1班的所有學生在家勞動時間（單位：小時）,并進行了統(tǒng)計和整理繪制如圖所示的不完整統(tǒng)計圖．根據(jù)圖表信息回答以下問題：類別勞動時間ABCDE（1）九年級1班的學生共有___________人,補全條形統(tǒng)計圖;（2）若九年級學生共有800人,請估計周末在家勞動時間在3小時及以上學生人數(shù);（3）已知E類學生中恰好有2名女生3名男生,現(xiàn)從中抽取兩名學生做勞動交流,請用列表或畫樹狀圖的方法,求所抽的兩名學生恰好是一男一女的概率．22.渝昆高速鐵路的建成,將會顯著提升宜賓的交通地位．渝昆高速鐵路宜賓臨港長江公鐵兩用大橋（如圖）,橋面采用國內首創(chuàng)的公鐵平層設計．為測量左橋墩底到橋面的距離,如圖．在橋面上點處,測得到左橋墩的距離米,左橋墩所在塔頂?shù)难鼋?左橋墩底的俯角,求的長度．（結果精確到米．參考數(shù)據(jù)：,）23.如圖,在平面直角坐標系中,等腰直角三角形的直角頂點,頂點A,恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．（1）分別求反比例函數(shù)的表達式和直線所對應的一次函數(shù)的表達式;（2）在x軸上是否存在一點P,使周長的值最?。舸嬖?求出最小值;若不存在,請說明理由．24.如圖,以為直徑的上有兩點,,,過點作直線交的延長線于點,交的延長線于點,過作平分交于點,交于點．（1）求證：是的切線;（2）求證：;（3）如果是的中點,且,求的長．25.如圖,拋物線與x軸交于點,,且經(jīng)過點．（1）求拋物線的表達式;（2）在x軸上方的拋物線上任取一點N,射線,分別與拋物線的對稱軸交于點P,Q,點Q關于x軸的對稱點為,求的面積;（3）點M是y軸上一動點,當最大時,求M的坐標.

2023年四川省宜賓市中考數(shù)學真題試卷答案一,選擇題：本大題共12個小題,每小題4分,共48分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請將正確選項填涂在答題卡對應題目上．1.2的相反數(shù)是（）A.2 B.－2 C. D.【答案】B【解析】【詳解】2的相反數(shù)是-2.故選：B.2.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)整式的加減計算即可．【詳解】A,,不符合題意;B,,符合題意;C,不是同類項,無法計算,不符合題意;D,,不同類項,無法計算,不符合題意;故選：B．【點睛】本題考查了整式的加減,熟練掌握同類項的判定與合并是解題的關鍵．3.下列圖案中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形就叫做軸對稱圖形;中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心,進行逐一判斷即可．【詳解】解：A,是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形,故A選項不符合題意;B,是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形,故B選項不合題意;C,既不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形,故C選項不合題意;D,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,故D選項符合題意．故選D．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形,解題的關鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義.4.為積極踐行節(jié)能減排的發(fā)展理念,宜賓大力推進“電動宜賓”工程,2022年城區(qū)已建成充電基礎設施接口超過8500個．將8500用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時,一般形式為,其中,為整數(shù),比位數(shù)少1位,按要求表示即可．【詳解】解：根據(jù)科學記數(shù)法要求,8500共有4位數(shù),從而用科學記數(shù)法表示為.

故選：C．【點睛】本題考查科學記數(shù)法,按照定義,確定與的值是解決問題的關鍵．5.如圖,,且,,則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可求,再由,即可求解．【詳解】解：.

.

.

.

．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質,三角形外角性質,掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．6.“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雞兔各幾何”是《孫子算經(jīng)》卷中著名數(shù)學問題．意思是：雞兔同籠,從上面數(shù),有35個頭;從下面數(shù),有94條腿．問雞兔各有多少只？若設雞有只,兔有只,則所列方程組正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意,由設雞有只,兔有只,則由等量關系有35個頭和有94條腿列出方程組即可得到答案．【詳解】解：設雞有只,兔有只,則由題意可得.

故選：B．【點睛】本題考查列二元一次方程組解決古代數(shù)學問題,讀懂題意,找準等量關系列方程組是解決問題的關鍵．7.如圖,已知點在上,為的中點．若,則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接,如圖所示,根據(jù)圓周角定理,找到各個角之間的關系即可得到答案．【詳解】解：連接,如圖所示：點在上,為的中點.

.

.

.

根據(jù)圓周角定理可知.

.

故選：A．【點睛】本題考查圓中求角度問題,涉及圓周角定理,找準各個角之間的和差倍分關系是解決問題的關鍵．8.分式方程的解為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分式方程的解法直接求解即可得到答案．【詳解】解：.

方程兩邊同時乘以得到.

.

檢驗：當時,.

是原分式方程的解.

故選：C．【點睛】本題考查分式方程的解法,對于分式方程求解驗根是解決問題的關鍵步驟．9.《夢溪筆談》是我國古代科技著作,其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術”．如圖,是以點O為圓心,為半徑的圓弧,N是的中點,．“會圓術”給出的弧長的近似值計算公式：．當,時,則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接,根據(jù)等邊三角形的性質,垂徑定理,勾股定理,特殊角的三角函數(shù),后代入公式計算即可．【詳解】連接,根據(jù)題意,是以點O為圓心,為半徑的圓弧,N是的中點,.

得.

∴點M,N,O三點共線.

∵,.

∴是等邊三角形.

∴.

∴∴．故選B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質,垂徑定理,勾股定理,特殊角的函數(shù)值,熟練掌握相關知識是解題的關鍵．10.如圖,邊長為6的正方形中,M為對角線上的一點,連接并延長交于點P．若,則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)正方形的性質,三角形全等的判定證出,根據(jù)全等三角形的性質可得,再根據(jù)等腰三角形的性質可得,從而可得,然后利用勾股定理,含30度角的直角三角形的性質求解即可得．【詳解】解：四邊形是邊長為6的正方形.

.

在和中,.

.

.

.

.

.

又.

.

設,則,.

.

解得.

,.

.

故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質,勾股定理,含30度角的直角三角形的性質,等腰三角形的性質等知識點,熟練掌握正方形的性質是解題關鍵．11.如圖,在平面直角坐標系中,點A,B分別在y,x軸上,軸．點M,N分別在線段,上,,,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過M,N兩點,P為x正半軸上一點,且,的面積為3,則k的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過點作軸于點,設點的坐標為,點的坐標為,點的坐標為,則,,,先求出點的坐標為,再根據(jù)可得,然后將點的坐標代入反比例函數(shù)的解析式可得,從而可得的值,由此即可得．【詳解】解：如圖,過點作軸于點.

設點的坐標為,點的坐標為,點的坐標為,則,,.

.

.

.

,解得.

.

.

.

的面積為3.

,即.

整理得：.

將點代入得：.

整理得：.

將代入得：,解得.

則.

故選：B．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何應用,熟練掌握反比例函數(shù)的性質,正確求出點的坐標是解題關鍵．12.如圖,和是以點為直角頂點的等腰直角三角形,把以為中心順時針旋轉,點為射線,的交點．若,．以下結論：①;②;③當點在的延長線上時,;④在旋轉過程中,當線段最短時,的面積為．其中正確結論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】證明即可判斷①,根據(jù)三角形的外角的性質得出②,證明得出,即可判斷③;以為圓心,為半徑畫圓,當在的下方與相切時,的值最小,可得四邊形是正方形,在中,然后根據(jù)三角形的面積公式即可判斷④．【詳解】解：∵和是以點為直角頂點的等腰直角三角形.

∴.

∴.

∴.

∴,,故①正確;設.

∴,∴.

∴,故②正確;當點在的延長線上時,如圖所示∵,.

∴∴∵,．∴,∴∴,故③正確;④如圖所示,以為圓心,為半徑畫圓.

∵,∴當在的下方與相切時,的值最小,∴四邊形是矩形.

又.

∴四邊形是正方形.

∴.

∵.

∴.

在中,∴取得最小值時,∴故④正確.

故選：D．【點睛】本題考查了旋轉的性質,相似三角形的性質,勾股定理,切線的性質,垂線段最短,全等三角形的性質與判定,正方形的性質,熟練掌握以上知識是解題的關鍵．二,填空題：本大題共6個小題,每小題4分,共24分,請把答案直接填在答題卡對應題中橫線上．13.在“慶五四·展風采”的演講比賽中,7位同學參加決賽,演講成績依次為：77,80,79,77,80,79,80．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是___________．【答案】79【解析】【分析】根據(jù)有序數(shù)組中間的一個數(shù)據(jù)或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)計算即可．【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：77,77,79,79,80,80,80.

中間數(shù)據(jù)是79.

故中位數(shù)是79．故答案為：79．【點睛】本題考查了中位數(shù)的定義,熟練掌握定義是解題的關鍵．14.分解因式：x3﹣6x2+9x=___．【答案】x（x﹣3）2【解析】詳解】解：x3﹣6x2+9x=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2故答案為：x（x﹣3）215.若關于x的方程兩根的倒數(shù)和為1,則m的值為___________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求出答案．【詳解】解：設方程的兩個根分別為a,b.

由題意得：,.

∴.

∴,解得：.

經(jīng)檢驗：是分式方程的解.

檢驗：.

∴符合題意.

∴．故答案為：2．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系,掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．16.若關于x的不等式組所有整數(shù)解的和為,則整數(shù)的值為___________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意可求不等式組的解集為,再分情況判斷出的取值范圍,即可求解．【詳解】解：由①得：.

由②得：.

不等式組的解集為：.

所有整數(shù)解的和為.

①整數(shù)解為：,,,.

.

解得：.

為整數(shù).

．②整數(shù)解為：,,,,,,.

.

解得：.

為整數(shù).

．綜上,整數(shù)的值為或故答案為：或．【點睛】本題考查了含參數(shù)的一元一次不等式組的整數(shù)解問題,掌握一元一次不等式組的解法,理解參數(shù)的意義是解題的關鍵．17.如圖,是正方形邊的中點,是正方形內一點,連接,線段以為中心逆時針旋轉得到線段,連接．若,,則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】連接,將以中心,逆時針旋轉,點的對應點為,由的運動軌跡是以為圓心,為半徑的半圓,可得：的運動軌跡是以為圓心,為半徑的半圓,再根據(jù)“圓外一定點到圓上任一點的距離,在圓心,定點,動點,三點共線時定點與動點之間的距離最短”,所以當,,三點共線時,的值最小,可求,從而可求解．【詳解】解,如圖,連接,將以中心,逆時針旋轉,點的對應點為.

的運動軌跡是以為圓心,為半徑的半圓.

的運動軌跡是以為圓心,為半徑的半圓.

如圖,當,,三點共線時,的值最小,四邊形是正方形.

,.

是中點.

.

.

由旋轉得：.

.

.

值最小為．故答案：．【點睛】本題考查了正方形的性質,旋轉的性質,勾股定理,動點產生的線段最小值問題,掌握相關的性質,根據(jù)題意找出動點的運動軌跡是解題的關鍵．18.如圖,拋物線經(jīng)過點,頂點為,且拋物線與軸的交點B在和之間（不含端點）,則下列結論：①當時,;②當?shù)拿娣e為時,;③當為直角三角形時,在內存在唯一點P,使得的值最小,最小值的平方為．其中正確的結論是___________．（填寫所有正確結論的序號）【答案】②③【解析】【分析】根據(jù)條件可求拋物線與x軸的另一交點坐標,結合圖象即可判斷①;設拋物線為,即可求出點M的坐標,根據(jù)割補法求面積,判斷②;分三種情況討論,然后以點O為旋轉中心,將順時針旋轉至,連接,,,得到,判斷③．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點,頂點為.

∴對稱軸.

∴拋物線與x軸的另一交點坐標為.

由圖象可得：當時,;∴①錯,不符合題意;∵拋物線與x軸的另一交點坐標為.

∴設拋物線為.

當時,,當時,.

∴,.

如圖所示,過點M作平行于y軸的直線l,過點A作,過點B作.

∴.

設直線的解析式為.

把,代入得：.

解得：.

∴直線的解析式為.

當是,.

∴.

∴.

∴.

解得：,故②正確;∵點B是拋物線與y軸的交點.

∴當時,.

∴.

∵為直角三角形.

當時.

∴.

∵,,.

∴,整理得：.

解得：或（舍）∴.

當時.

∴.

∴,整理得：解得：或（舍）∴.

當時.

∴.

∴,無解;以點O為旋轉中心,將順時針旋轉至,連接,,,如圖所示.

則,為等邊三角形.

∴,.

∴.

∵為等邊三角形,∴,.

∴.

當時.

∵,當時.

.

∴的值最小,最小值的平方為,故③正確;故答案為：②③．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題,綜合性較強,難度較大,扎實的知識基礎是關鍵．三,解答題：本大題共7個小題,共78分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟19.計算（1）計算：．（2）化簡：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù),零指數(shù)冪,絕對值化簡計算即可;（2）根據(jù)分式化簡運算規(guī)則計算即可．【小問1詳解】解：原式;【小問2詳解】解：原式【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算與分式化簡以及特殊角三角函數(shù),熟記運算法則是關鍵．20.已知：如圖,,,．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質得出,然后證明,證明,根據(jù)全等三角形的性質即可得證．【詳解】證明：∵.

∴.

∵.

∴即在與中.

∴.

∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定,熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．21.某校舉辦“我勞動,我快樂,我光榮”活動．為了解該校九年級學生周末在家的勞動情況,隨機調查了九年級1班的所有學生在家勞動時間（單位：小時）,并進行了統(tǒng)計和整理繪制如圖所示的不完整統(tǒng)計圖．根據(jù)圖表信息回答以下問題：類別勞動時間ABCDE（1）九年級1班學生共有___________人,補全條形統(tǒng)計圖;（2）若九年級學生共有800人,請估計周末在家勞動時間在3小時及以上的學生人數(shù);（3）已知E類學生中恰好有2名女生3名男生,現(xiàn)從中抽取兩名學生做勞動交流,請用列表或畫樹狀圖的方法,求所抽的兩名學生恰好是一男一女的概率．【答案】（1）50,條形統(tǒng)計圖見解析（2）人（3）【解析】【分析】（1）利用C類人數(shù)除以對應的百分比即可得到九年級1班的總人數(shù),再分別求出B和D的人數(shù),補全統(tǒng)計圖即可;（2）用九年級學生總人數(shù)乘以九年級1班周末在家勞動時間在3小時及以上的學生占的比值即可得到答案;（3）根據(jù)題意列出表格,利用滿足要求的情況數(shù)除以總的情況數(shù)即可得到答案．【小問1詳解】解：由題意得到,（人）.

故答案為：50類別B的人數(shù)為（人）,類別D的人數(shù)為（人）.

補全條形統(tǒng)計圖如下：【小問2詳解】由題意得,（人）.

即估計周末在家勞動時間在3小時及以上的學生人數(shù)為人;【小問3詳解】列表如下：女1女2男1男2男3女1女1,女2女1,男1女1,男2女1,男3女2女2,女1女2,男1女2,男2女2,男3男1男1,女1男1,女2男1,男2男1,男3男2男2,女1男2,女2男2,男1男2,男3男3男3,女1男3,女2男3,男1男3,男2由表格可知,共有20種等可能的情況,其中一男一女共有12種.

∴所抽的兩名學生恰好是一男一女的概率是．【點睛】此題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息關聯(lián),用樹狀圖或列表法求概率,樣本估計總體等知識,熟練掌握用樹狀圖或列表法求概率,樣本估計總體是解題的關鍵．22.渝昆高速鐵路的建成,將會顯著提升宜賓的交通地位．渝昆高速鐵路宜賓臨港長江公鐵兩用大橋（如圖）,橋面采用國內首創(chuàng)的公鐵平層設計．為測量左橋墩底到橋面的距離,如圖．在橋面上點處,測得到左橋墩的距離米,左橋墩所在塔頂?shù)难鼋?左橋墩底的俯角,求的長度．（結果精確到米．參考數(shù)據(jù)：,）【答案】的長度米【解析】【分析】上截取,使得,設,在中,,,則,進而即可求解．【詳解】解：如圖所示,上截取,使得.

∴.

∵∴.

設,在中,,∴又∴∴即米【點睛】本題考查了解直角三角形的應用,熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．23.如圖,在平面直角坐標系中,等腰直角三角形的直角頂點,頂點A,恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．（1）分別求反比例函數(shù)的表達式和直線所對應的一次函數(shù)的表達式;（2）在x軸上是否存在一點P,使周長的值最小．若存在,求出最小值;若不存在,請說明理由．【答案】（1）,（2）在x軸上存在一點,使周長的值最小,最小值是．【解析】【分析】（1）過點A作軸于點E,過點B作軸于點D,證明,則,由得到點A的坐標是,由A,恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上得到,解得,得到點A的坐標是,點B的坐標是,進一步用待定系數(shù)法即可得到答案;（2）延長至點,使得,連接交x軸于點P,連接,利用軸對稱的性質得到,,則,由知是定值,此時的周長為最小,利用待定系數(shù)法求出直線的解析式,求出點P的坐標,再求出周長最小值即可．【小問1詳解】解：過點A作軸于點E,過點B作軸于點D.

則.

∵點,.

∴.

∴.

∵是等腰直角三角形.

∴.

∵.

∴.

∴.

∴.

∴.

∴點A的坐標是.

∵A,恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．∴.

解得.

∴點A的坐標是,點B的坐標是.

∴.

∴反比例函數(shù)的解析式是.

設直線所對應的一次函數(shù)的表達式為,把點A和點B的坐標代入得.

,解得,∴直線所對應的一次函數(shù)的表達式為.

【小問2詳解】延長至點,使得,連接交x軸于點P,連接.

∴點A與點關于x軸對稱.

∴,.

∵.

∴的最小值是的長度.

∵,即是定值.

∴此時的周長為最小.

設直線的解析式是.

則.

解得.

∴直線的解析式是.

當時,,解得.

即點P的坐標是.

此時.

綜上可知,在x軸上存在一點,使周長的值最小,最小值是．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質,用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,勾股定理求兩點間距離,軸對稱最短路徑問題,全等三角形的判定和性質等知識,數(shù)形結合和準確計算是解題的關鍵．24.如圖,以為直徑的上有兩點,,,過點作直線交的延長線于點,交的延長線于點,過作平分交于點,交于點．（1）求證：是的切線;（2）求證：;（3）如果是的中點,且,求的長．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出,根據(jù),得出,則可得,根據(jù)已知,得出,即可得證;（2）根據(jù)角平分線的定義得出,又,根據(jù)三角形