黑龍江省哈爾濱市六校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考試題數(shù)學(xué)

2023～2024學(xué)年度上學(xué)期六校高二期末聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列滿足，（），則（）A. B.0 C. D.22.焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.或 B.或C.或 D.或3.若雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.4.阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.5.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.48 B.81 C.93 D.2436.經(jīng)過第一、二、三象限的直線：與圓：相交于，兩點(diǎn)，若，則的最大值是（）A8 B.4 C.2 D.17.已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為與,且,則（）A. B. C. D.8.已知，直線：與：的交點(diǎn)在圓：上，則的最大值是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9已知直線：，則（）A.不過原點(diǎn) B.的橫截距為C.的斜率為 D.與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為310.如圖，四邊形，都是邊長為2的正方形，平面平面，，分別是線段，的中點(diǎn)，則（）A. B.異面直線，所成角為C.點(diǎn)到直線的距離為 D.的面積是11.某高中通過甲、乙兩家餐廳給1920名學(xué)生提供午餐，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)：開學(xué)后第一天有的學(xué)生到甲餐廳就餐，剩余的學(xué)生到乙餐廳就餐，從第二天起，在前一天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生中，次日會(huì)有的學(xué)生繼續(xù)選擇甲餐廳，在前一天選擇乙餐廳就餐的學(xué)生中，次日會(huì)有的學(xué)生選擇甲餐廳．設(shè)開學(xué)后第n天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例為，則（）AB.是等比數(shù)列C.第100天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例約為D.開學(xué)后第一個(gè)星期（7天）中在甲餐廳就過餐的有5750人次12.經(jīng)過拋物線：（）的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，（），的最小值是4，則下列說法正確的是（）A.B.C.若點(diǎn)是線段中點(diǎn)，則直線的方程為D.若，則直線的傾斜角為60°三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14.已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為140，偶數(shù)項(xiàng)之和為120，則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是______.15.在四面體中，，，，，則__________．16.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，，，成等比數(shù)列，保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與（）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，則______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的圓心為，且過點(diǎn)．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與相切于點(diǎn)，求的方程．18.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.如圖，在四棱錐中，與交于點(diǎn)，平面，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.已知是離心率為的橢圓：（）上任意一點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，且的最小值是1.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.已知，分別是雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，，點(diǎn)到的漸近線的距離為3.（1）求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；（2）已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線與相切，若與的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，求證：的面積為定值.2023～2024學(xué)年度上學(xué)期六校高二期末聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列滿足，（），則（）A. B.0 C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推公式可得數(shù)列的周期性即可求解.【詳解】由，可得，，，因此為周期數(shù)列，且周期為3，故，故選：B2.焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)即可求解拋物線方程.【詳解】直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為以及，所以拋物線的焦點(diǎn)為或，當(dāng)焦點(diǎn)為，此時(shí)拋物線方程為，當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，此時(shí)拋物線的方程為，故選：C3.若雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出漸近線方程，得到，從而得到離心率.【詳解】由題意得的漸近線方程為，顯然在上，故，故，即雙曲線的離心率為.故選：A4.阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出橢圓方程，由題意可得，結(jié)合離心率以及的關(guān)系，可得出答案.【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，依題意有，解得，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C．5.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.48 B.81 C.93 D.243【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和先確定公比，再計(jì)算得，從而計(jì)算得的值，即可得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，若，則，得，則，故，則，所以，所以，所以.故選：C.6.經(jīng)過第一、二、三象限的直線：與圓：相交于，兩點(diǎn)，若，則的最大值是（）A.8 B.4 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線經(jīng)過圓心，則可得，再由基本不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A：，即，圓心為，半徑為3，且，則直線經(jīng)過圓心，即，所以，又直線經(jīng)過第一、二、三象限，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是4.故選：B7.已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為與,且,則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得、，即可令，代入計(jì)算即可得.【詳解】因?yàn)閿?shù)列、都是等差數(shù)列,所以,又，，故，，即有,在中，令，得，故.故選：D8.已知，直線：與：的交點(diǎn)在圓：上，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系和所過的定點(diǎn)，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以直線恒過點(diǎn)，，所以直線恒過點(diǎn)，由兩條直線的方程可以判斷直線與直線互相垂直，因此點(diǎn)在以為直徑的圓上，線段中點(diǎn)為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，由已知條件可知點(diǎn)在圓：上，所以圓與圓相交或相切，，因此有，解得：，所以則的最大值是，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過直線方程判斷交點(diǎn)的位置，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線：，則（）A.不過原點(diǎn) B.的橫截距為C.的斜率為 D.與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)直線方程的確定點(diǎn)是否再直線上可判斷A，由橫截距、斜率的概念可判斷B，C，由橫縱截距求解與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積可判斷D.【詳解】已知直線：，對(duì)于A，原點(diǎn)不滿足直線方程，故不過原點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故的橫截距為，故B不正確；對(duì)于C，直線的方程可化為，則的斜率為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，故D不正確.故選：AC.10.如圖，四邊形，都是邊長為2的正方形，平面平面，，分別是線段，的中點(diǎn)，則（）A. B.異面直線，所成角C.點(diǎn)到直線的距離為 D.的面積是【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明線線平行、求異面直線的夾角、點(diǎn)到直線的距離、再根據(jù)空間中三角形面積公式逐一求解判定各選項(xiàng)即可．【詳解】由題可得：，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則,0,，,2,，,0,，,2,，,0,，對(duì)于A，因?yàn)?，分別是線段，的中點(diǎn)，所以,1,，,1,，所以,0,，,0,，又，不共線，所以，故A正確；對(duì)于B，,1,，,,，設(shè)異面直線，所成角為，則，又因?yàn)?，所以，即異面直線，所成角為，故B正確；對(duì)于C，由,,，,0,，得，所以點(diǎn)到直線的距離為，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以到的距離即為到的距離，所以的面積．故D正確．故選：ABD．11.某高中通過甲、乙兩家餐廳給1920名學(xué)生提供午餐，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)：開學(xué)后第一天有的學(xué)生到甲餐廳就餐，剩余的學(xué)生到乙餐廳就餐，從第二天起，在前一天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生中，次日會(huì)有的學(xué)生繼續(xù)選擇甲餐廳，在前一天選擇乙餐廳就餐的學(xué)生中，次日會(huì)有的學(xué)生選擇甲餐廳．設(shè)開學(xué)后第n天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例為，則（）A.B.是等比數(shù)列C.第100天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例約為D.開學(xué)后第一個(gè)星期（7天）中在甲餐廳就過餐的有5750人次【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定的信息求出遞推公式判斷A；變形遞推公式判斷B；求出通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式求項(xiàng)及前7項(xiàng)和判斷CD即可.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，A正確；當(dāng)時(shí)，，又，即，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，B正確；顯然，即，則，C錯(cuò)誤；顯然，又有1920名學(xué)生，所以開學(xué)后第一個(gè)星期（7天）中在甲餐廳就過餐的有人次，D正確．故選：ABD12.經(jīng)過拋物線：（）的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，（），的最小值是4，則下列說法正確的是（）A.B.C.若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為D.若，則直線的傾斜角為60°【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)的最小值求得，由此逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由題焦點(diǎn)，直線的斜率存在且不為零，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，則，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，拋物線方程為，所以，則，故A錯(cuò)誤；又,所以，，所以，故B正確；若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則即，所以直線的方程為，C正確；若，則，即，所以，又，所以，化為，解得，或（舍），又，故，所以,所以直線的斜率為，直線的傾斜角為60°，故D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程即可求解.【詳解】若方程表示雙曲線，顯然，則由可得，故,故答案為：14.已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為140，偶數(shù)項(xiàng)之和為120，則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榈炔顢?shù)列的項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng)之和為140，偶數(shù)項(xiàng)之和為120，所以有，故答案為：15.在四面體中，，，，，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所?又，，所以，所以.又，所以．故答案為：16.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，，，成等比數(shù)列，保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與（）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，則______.【答案】348【解析】【分析】計(jì)算出公差，得到，從而得到，，，……，，，再求和即可.【詳解】設(shè)公差為，由題意得，即，解得，解得或（舍去），故，，則，，，，，，，，，，，，故.故答案為：348四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的圓心為，且過點(diǎn)．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與相切于點(diǎn)，求的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用圓心坐標(biāo)和圓上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用直線與圓的位置關(guān)系求解.【小問1詳解】由題可知，的半徑為,所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】因?yàn)橹本€與相切于點(diǎn)，且,所以，所以，由點(diǎn)斜式得，，整理得，.18.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列可得，再由等比數(shù)列的基本公式計(jì)算可得公比的值，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法直接求數(shù)列的前項(xiàng)和即可.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公差為，則，由，，成等差數(shù)列可得，即，又，所以，即，解得或（舍），所以；【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以.19.如圖，在四棱錐中，與交于點(diǎn)，平面，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理、勾股定理，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】設(shè)，所以，因此，由余弦定理可知，，因?yàn)椋?，因此，于有，因此有，即，而，所以，因此，即，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面；【小?詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，由?）知，，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，即，于是，，設(shè)平面的法向量為，則有，所以直線與平面所成角的正弦值為，即直線與平面所成角的正弦值.20.已知是離心率為的橢圓：（）上任意一點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，且的最小值是1.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由離心率得到，，設(shè)，，表達(dá)出，結(jié)合最小值得到方程，求出，得到橢圓方程；（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率為0時(shí)不合要求，當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)出方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，由弦長公式列出方程，求出直線方程.【小問1詳解】由題意得，，故，又，故，設(shè)，，則，即，，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故，則，橢圓方程為；【小問2詳解】當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率為0時(shí)，，不合要求，當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)為，聯(lián)立得，恒成立，設(shè)，則，故，故，解得，故直線方程為.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）