高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義同余

PAGE數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽班二試講義第4講同余與剩余類班級(jí)姓名一、知識(shí)點(diǎn)金1．同余兩個(gè)整數(shù)除以正整數(shù)，若余數(shù)相同，則稱與關(guān)于模同余，記作，這叫做同余式。2．性質(zhì)以下性質(zhì)均在整數(shù)范圍內(nèi)討論，模為正整數(shù)。（1）若，則當(dāng)時(shí)，；則當(dāng)時(shí)，。（2）若，，且，則。（3）費(fèi)爾馬小定理：為素?cái)?shù)，對(duì)任意正整數(shù)，都有。費(fèi)爾馬小定理的推論：設(shè)為素?cái)?shù)，為正整數(shù)，且，。證明：由于模的余數(shù)各不相同，否則，若有，其中，則，而不整除，所以，這是不可能的，因此模的余數(shù)必然取遍這個(gè)數(shù)，僅可能順序不同。故。又為素?cái)?shù)，則，所以由性質(zhì)（1）得。3．剩余類設(shè)，把全體整數(shù)按對(duì)模的余數(shù)進(jìn)行分類，余數(shù)為的所有整數(shù)歸為一類，記為，稱為模的一個(gè)剩余類。顯然，是一個(gè)以為公差的無窮等差數(shù)集。它有如下性質(zhì)：（1），且；（2）對(duì)任意，有唯一的，使得。（3）對(duì)任意，。4．完全剩余系設(shè)是模的全部剩余類，從每個(gè)任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)組成的一個(gè)數(shù)組稱為模的一個(gè)完全剩余系，簡(jiǎn)稱完系。稱為模的最小非負(fù)完系。二、例題分析例1．（1）求證：是正奇數(shù)時(shí)，能被整除。（2）是自然數(shù)，它不能被整除，求證：與中有且只有一個(gè)數(shù)被整除。例2．；是的兩種不同排列。求證：中至少有兩個(gè)被除所得的余數(shù)相同。例3．設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是整數(shù)，且。已知，其中，而表示不超過的最大整數(shù)，求這種三角形周長(zhǎng)的最小值。三、同步檢測(cè)1．計(jì)算個(gè)的乘積，則其最后三位數(shù)是（）A．B．C．D．2．被除的余數(shù)是。3．求證：為任意整數(shù)。4．求證：5．兩個(gè)數(shù)與的末三位數(shù)字完全相同，試求出正整數(shù)，使得取得最小值。8．偶數(shù)個(gè)人圍著一張圓桌討論，休息后，他們依不同次序重新圍著圓桌坐下。求證：至少有兩個(gè)人，他們之間的人數(shù)在休息前與休息后是相同的。第4講同余與剩余類答案二、例題分析例1．（1）當(dāng)是自然數(shù)時(shí)，，當(dāng)是正奇數(shù)時(shí)，，由于，所以，類似，所以，所以，因?yàn)椋瑑蓛苫ニ?，故?）由是素?cái)?shù)，不能被整除，則。由費(fèi)爾馬小定理，得，即，則，故或但是，不能被整除，所以與中有且只有一個(gè)數(shù)被整除。例2．反證法：假設(shè)被11除的余數(shù)兩兩不同，則這些余數(shù)等于0,1,2，…，10這11個(gè)值，為方便起見，不失一般性，可設(shè)被11除的余數(shù)為0，令，我們用兩種方法計(jì)算被11除的余數(shù)。一方面，這個(gè)余數(shù)等于被11除的余數(shù)，另一方面，數(shù)的任一因子都不能被11整除，數(shù)的因子中要兩次遇到1～10中每個(gè)數(shù)，也就是。矛盾！故中至少有兩個(gè)被除所得的余數(shù)相同。例3．由題意，于是，即①且②因?yàn)?，由①可知，故，所以有。注意到，所以，，同理，可由②推出，故。下面求滿足的正整數(shù)。因?yàn)?，即則所以，代入上式得，所以，所以，所以故，為正整數(shù)，同理可證，為正整數(shù)，所以三角形的三邊分別為由，得，則當(dāng)時(shí)三角形周長(zhǎng)最小，其值為3003三、同步檢測(cè)2．A提示：，顯然，，設(shè)，則，，所以則，所以最后三位數(shù)是。3．提示：因?yàn)槭撬財(cái)?shù)，且，所以，5．令，則都是的因式。于是由費(fèi)爾馬小定理可知，，又兩兩互素，且，所以。6．的質(zhì)因數(shù)分解式為，記因?yàn)橹兴膬缰笖?shù)是，所以又因?yàn)橹兴膬缰笖?shù)是，所以下面證明。先考慮證明當(dāng)時(shí)，。不妨設(shè)，則由是素?cái)?shù)得，因而，所以，且，所以模的余數(shù)兩兩不同，且取遍，從而推得，即又兩兩互素，故，即7．，而，故可取由，知故有，則，所以，因此又，則，即，所以或（不可能）所以，從而，由二項(xiàng)式定理知，由此的最小值為5，于是，又，所以，8．用反證法證明。將每位的號(hào)碼依順時(shí)針記為，每一個(gè)人對(duì)應(yīng)一個(gè)二元有序整數(shù)組。其中為他休息前后的座號(hào)，顯然，對(duì)于全體人員而言，與均跑遍完全剩余系，如果兩個(gè)人休息前后人數(shù)均不相同，則，即。因此，對(duì)于全體人員而言，也跑遍完全剩余系，因此的和而任一完全完全剩余系的和矛盾，得證學(xué)好高中數(shù)學(xué)的方法和技巧包括：掌握基礎(chǔ)知識(shí)。確保熟練掌握基本概念、公式和定理，特別是代數(shù)、幾何、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和積分等重要知識(shí)點(diǎn)。重視預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)。在上課前預(yù)習(xí)教材，梳理知識(shí)點(diǎn)，對(duì)不理解的內(nèi)容做好標(biāo)記；課后及時(shí)復(fù)習(xí)，通過復(fù)習(xí)和整理筆記來加深理解。提高聽課效率。在課堂上緊跟老師思路，積極參與討論，做好筆記，記錄重要的思路和方法。多做練習(xí)題。通過練習(xí)來鞏固和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，可以選擇有代表性的題目進(jìn)行練習(xí)，并嘗試一題多解，培養(yǎng)解決問題的能力。整理和總結(jié)錯(cuò)題。準(zhǔn)備一個(gè)錯(cuò)題本，記錄自己在練習(xí)中遇到的難題和錯(cuò)誤，定期回顧并分析錯(cuò)誤的原因，從而避免在未來的考試和練習(xí)中重復(fù)犯錯(cuò)。學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)工具。學(xué)會(huì)使用計(jì)算器和其他數(shù)學(xué)工具，提高計(jì)算效率；同時(shí)，學(xué)習(xí)畫圖技