高二數(shù)學(xué)講義四點(diǎn)共圓(二)

數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽班二試平面幾何講義第六講四點(diǎn)共圓（二）班級(jí)姓名一、知識(shí)要點(diǎn)：1.以“四點(diǎn)共圓”作為解題手段這種情況不僅題目多，而且結(jié)論變幻莫測(cè)，可大體上歸納為如下幾個(gè)方面.2.平面幾何的核心是利用“四點(diǎn)共圓”和“三角形相似”來做。二、例題精析：例1.正方形ABCD的中心為O，面積為1989㎝2.P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.則PB=__________(1989，全國(guó)初中聯(lián)賽)例2.設(shè)有邊長(zhǎng)為1的正方形，試在這個(gè)正方形的內(nèi)接正三角形中找出面積最大的和一個(gè)面積最小的，并求出這兩個(gè)面積(須證明你的論斷).(1978，全國(guó)高中聯(lián)賽)例3.四邊形ABCD內(nèi)接于圓，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的內(nèi)心依次記為IA，IB，IC，ID.試證：IAIBICID是矩形.(第一屆數(shù)學(xué)奧林匹克國(guó)家集訓(xùn)選拔試題)三、精選習(xí)題：1．在Rt△ABC中，AD為斜邊BC上的高，P是AB上的點(diǎn)，過A點(diǎn)作PC的垂線交過B所作AB的垂線于Q點(diǎn).求證：PD丄QD.2．AD，BE，CF是銳角△ABC的三條高.從A引EF的垂線l1，從B引FD的垂線l2，從C引DE的垂線l3.求證：l1，l2，l3三線共點(diǎn).3．NS是⊙O的直徑，弦AB丄NS于M，P為ANB上異于N的任一點(diǎn)，PS交AB于R，PM的延長(zhǎng)線交⊙O于Q.求證：RS＞MQ.(1991，江蘇省初中競(jìng)賽)四、拓展提高：4．過等腰△ABC底邊BC上一點(diǎn)P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作點(diǎn)P關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)P′.試證：P′點(diǎn)在△ABC外接圓上.4．已知為△ABC垂心，為邊BC中點(diǎn)，過作直線交于、交于延長(zhǎng)交△ABC的外接圓于，求證：四點(diǎn)共圓。高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽班二試平面幾何講義第六講四點(diǎn)共圓（二）例1.分析：答案是PB=42㎝.怎樣得到的呢？連接OA，OB.易知O，P，A，B四點(diǎn)共圓，有∠APB=∠AOB=90°.故PA2+PB2=AB2=1989.由于PA:PB=5:14，可求PB.例2.分析：設(shè)△EFG為正方形ABCD的一個(gè)內(nèi)接正三角形，由于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)至少必落在正方形的三條邊上，所以不妨令F，G兩點(diǎn)在正方形的一組對(duì)邊上.作正△EFG的高EK，易知E，K，G，D四點(diǎn)共圓∠KDE=∠KGE=60°.同理，∠KAE=60°.故△KAD也是一個(gè)正三角形，K必為一個(gè)定點(diǎn).又正三角形面積取決于它的邊長(zhǎng)，當(dāng)KF丄AB時(shí)，邊長(zhǎng)為1，這時(shí)邊長(zhǎng)最小，而面積S=也最小.當(dāng)KF通過B點(diǎn)時(shí)，邊長(zhǎng)為2·，這時(shí)邊長(zhǎng)最大，面積S=2-3也最大.例3.分析：連接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得∠AICB=90°+∠ADB=90°+∠ACB=∠AIDBA，B，ID，IC四點(diǎn)共圓.同理，A，D，IB，IC四點(diǎn)共圓.此時(shí)∠AICID=180°-∠ABID=180°-∠ABC，∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC，∴∠AICID+∠AICIB=360°-(∠ABC+∠ADC)=360°-×180°=270°.故∠IBICID=90°.同樣可證IAIBICID其它三個(gè)內(nèi)角皆為90°.該四邊形必為矩形.1.(提示：證B，Q，E，P和B，D，E，P分別共圓)2.(提示：過B作AB的垂線交l1于K，證：A，B，K，C四點(diǎn)共圓)3．分析：連接NP，NQ，NR，NR的延長(zhǎng)線交⊙O于Q′.連接MQ′，SQ′.易證N，M，R，P四點(diǎn)共圓，從而，∠SNQ′=∠MNR=∠MPR=∠SPQ=∠SNQ.根據(jù)圓的軸對(duì)稱性質(zhì)可知Q與Q′關(guān)于NS成軸對(duì)稱MQ′=MQ.又易證M，S，Q′，R四點(diǎn)共圓，且RS是這個(gè)圓的直徑(∠RMS=90°)，MQ′是一條弦(∠MSQ′＜90°)，故RS＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.4．分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP=NC，故點(diǎn)M是△P′BP的外心，點(diǎn)N是△P′PC的外心.有∠BP′P=∠BMP=∠BAC，∠PP′C=∠PNC=∠BAC.∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.從而，P′點(diǎn)與A，B，C共圓、即P′在△ABC外接圓上.由于P′P平分∠BP′C，顯然還有P′B:P′C=BP:PC.學(xué)好高中數(shù)學(xué)的方法和技巧包括：掌握基礎(chǔ)知識(shí)。確保熟練掌握基本概念、公式和定理，特別是代數(shù)、幾何、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和積分等重要知識(shí)點(diǎn)。重視預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)。在上課前預(yù)習(xí)教材，梳理知識(shí)點(diǎn)，對(duì)不理解的內(nèi)容做好標(biāo)記；課后及時(shí)復(fù)習(xí)，通過復(fù)習(xí)和整理筆記來加深理解。提高聽課效率。在課堂上緊跟老師思路，積極參與討論，做好筆記，記錄重要的思路和方法。多做練習(xí)題。通過練習(xí)來鞏固和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，可以選擇有代表性的題目進(jìn)行練習(xí)，并嘗試一題多解，培養(yǎng)解決問題的能力。整理和總結(jié)錯(cuò)題。準(zhǔn)備一個(gè)錯(cuò)題本，記錄自己在練習(xí)中遇到的難題和錯(cuò)誤，定期回顧并分析錯(cuò)誤的原因，從而避免在未來的考試和練習(xí)中重復(fù)犯錯(cuò)。學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)工具。學(xué)會(huì)使用計(jì)算器和其他數(shù)學(xué)工具，提高計(jì)算