2023-2024學(xué)年周口市川匯區(qū)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年周口市川匯區(qū)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試卷2024.02考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分）1．已知數(shù)列滿足(n≥3)，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（

）A．48 B．49 C．50 D．612．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若實(shí)數(shù)，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．3．已知直線與函數(shù)和的圖象分別交于點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．24．已知，則的大小關(guān)系為（

）A．B．C．D．5．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．6．已知偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的不等式在區(qū)間上有且只有6個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．已知直線與圓相切，則的方程為（

）A． B．C． D．8．已知為拋物線的焦點(diǎn)，、是拋物線上的不同兩點(diǎn)，則下列條件中與“、、三點(diǎn)共線”等價(jià)的是（

）A． B．C． D．二．多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共20分，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分）9．已知拋物線：焦點(diǎn)為，動(dòng)直線與曲線交于兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．若點(diǎn)為，則周長(zhǎng)的最小值為11C．若點(diǎn)為，則的最小值為D．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，作于點(diǎn)，則點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離的最大值為210．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和有最大值，則下列結(jié)論正確的有（

）A．中的最大值為 B．的最大值為C． D．11．已知等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，是與的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 B．C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．12．已知是定義在R上的函數(shù)，且，，則（

）A．的最大值可能為0 B．在上單調(diào)遞減C．的最小值可能為0 D．可能只有兩個(gè)非負(fù)零點(diǎn)第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共20分）13．函數(shù)為在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為14．過點(diǎn)作斜率為的直線，與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為．15．已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．16．直線與圓相交于兩點(diǎn)，且．若，則直線的斜率為．四、解答題（共6小題，共計(jì)70分.第17題10分，第1822題，每題12分）17．已知函數(shù)，．(1)若過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有一條，求的值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，，，，平面平面ABCD，且，E為BC的中點(diǎn).(1)證明：平面平面PBD.(2)若四棱錐的體積為，求二面角的余弦值.19．設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，且，，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)若，數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出這三項(xiàng)，若不存在說(shuō)明理由．(3)若是遞增數(shù)列，求的取值范圍．20．已知函數(shù)，．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．21．已知直線和圓．(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系；若相交，求直線被圓截得的弦長(zhǎng)；(2)求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．22．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．1．D【解析】由數(shù)列的遞推式，可求出數(shù)列的前10項(xiàng)，再計(jì)算可得所求和．【詳解】由，，當(dāng)時(shí)，，可得，，，，，，，，則．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，以及數(shù)列的求和，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．C【分析】令，由條件可得在上單調(diào)遞增，然后令，利用導(dǎo)數(shù)可得，即，然后可得，即可選出答案.【詳解】令，則因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞減，令，則所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增所以，即，所以，即，即故選：C3．B【分析】若，，有且，結(jié)合，并構(gòu)造中間函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求最值即可.【詳解】，，則且，∴，而且，令，，則，有，∴上，單調(diào)遞減；上，單調(diào)遞增；∴.故選：B4．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)得出單調(diào)性，從而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案.【詳解】∵，構(gòu)造函數(shù)，，令，則，∴在上單減，∴，故，所以在上單減，∴，∵，構(gòu)造函數(shù)，，令，則，∴在上單減，∴，故，所以在上單減，∴，故.故選：D.5．C【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，所以.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.6．D【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)得出圖像關(guān)于軸對(duì)稱從而在上有3個(gè)整數(shù)解，計(jì)算的值得出，再根據(jù)3個(gè)整數(shù)解分別為列出不等式組求解即可.【詳解】由偶函數(shù)可知，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，.若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有且只有6個(gè)整數(shù)解，那么關(guān)于的不等式在上有3個(gè)整數(shù)解,當(dāng)時(shí),,由,得,由,得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因?yàn)?,所以當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),在上有4個(gè)整數(shù)解,不符合題意,所以,由可得或,顯然在上無(wú)整數(shù)解,故而在上有3個(gè)整數(shù)解,分別為,所以,解得.故選:D7．C【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求得相切時(shí)的斜率.【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.依題意可得圓心到的距離，解得，又，所以，所以的方程為.故選：C.8．B【分析】設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，將韋達(dá)定理逐一代入各選項(xiàng)中的等式，求出的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，若、、三點(diǎn)共線，則.對(duì)于A選項(xiàng)，，解得；對(duì)于B選項(xiàng)，，解得；對(duì)于C選項(xiàng)，，整理得，即，解得；對(duì)于D選項(xiàng)，，整理得，解得或.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查焦點(diǎn)弦性質(zhì)相關(guān)的判斷，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中等題.9．BC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，將拋物線方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷出結(jié)果的正誤；對(duì)于選項(xiàng)B，利用拋物線的定義，將周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成，從而判斷出結(jié)果的正誤；對(duì)于選項(xiàng)C，直接求出，進(jìn)而可求出的最小值，從而判斷出結(jié)果正確；對(duì)于選項(xiàng)D，直接求出的坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離，從而判斷出結(jié)果的正誤.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)閽佄锞€，即，所以準(zhǔn)線方程為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，如圖，過作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則周長(zhǎng)，易知，當(dāng)在處時(shí)取到等號(hào)，又，，所以周長(zhǎng)的最小值為11，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，易知，設(shè)過且與動(dòng)直線垂直的直線方程為，由，解得，所以點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC.10．BCD【分析】根據(jù)題意，判斷的正負(fù)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和有最大值，故可得其公差，又，則，且；對(duì)A：因?yàn)閿?shù)列的公差，故的最大值為，則A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)閿?shù)列的公差，且，故的最大值為，則B正確；對(duì)C：因?yàn)?，故C正確；對(duì)D：因?yàn)?，故D正確；故選：BCD.11．ABD【分析】對(duì)于AD，利用等比數(shù)列的基本量法求得公比和，從而求得，由此得以判斷；對(duì)于C，利用等比數(shù)列的定義判斷即可；對(duì)于D，利用分組求和法求得，再利用作差法即可判斷．【詳解】由于等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，所以，整理得，所以數(shù)列的公比；由于是與的等差中項(xiàng)，故，整理得，解得.故，故A正確；所以，故B正確；由于數(shù)列滿足，所以當(dāng)時(shí)，不為常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；，又，所以，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題選項(xiàng)D的解決關(guān)鍵是利用分組求和法求得，再利用作差法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)證得，計(jì)算量大，需要多加練習(xí)熟悉.12．ACD【分析】通過或?qū)x項(xiàng)進(jìn)行分析，結(jié)合函數(shù)的最值、單調(diào)性、零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)確定正確答案.【詳解】因?yàn)?，，所以的解析式可能為（最小值為），也可能為（最大值為），所以A，C都正確.若，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以B錯(cuò)誤.若，則，則，令，的導(dǎo)函數(shù)，所以單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以存在唯一的，使得，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.因?yàn)?，，所以可能只有兩個(gè)非負(fù)零點(diǎn)，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)一次求導(dǎo)無(wú)法求得函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可利用二次求導(dǎo)的方法來(lái)進(jìn)行求解，求解過程中要注意導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.13．【分析】由函數(shù)為在定義域內(nèi)為增函數(shù)，得出,令，再構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為,計(jì)算即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】∵函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，∴對(duì)于任意的恒成立，即對(duì)于任意的恒成立，即，令，則，解，得,單調(diào)遞增；解，得,單調(diào)遞減；因此當(dāng)時(shí)，取得最小值，∴，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:.14．【分析】由題意，根據(jù)點(diǎn)差法，可得答案.【詳解】設(shè)利用點(diǎn)差法得，，因?yàn)?，所以M為AB的中點(diǎn)，，又直線的斜率為，所以故答案為：15．【分析】根據(jù)方程為雙曲線，可得，解不等式即可得答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故答案為：16．【分析】設(shè)直線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)求得圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出等式，即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，直線l與圓相交于兩點(diǎn)，且，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線即y軸，顯然與圓相切，不符合題意;故直線斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，又弦長(zhǎng),所以圓心到直線的距離為,所以，解得，故答案為：.17．(1)或(2)【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的斜率公式可得出，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的值；（2）由參變量分離法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：設(shè)切點(diǎn)，則由，可得，所以，切線斜率為，即，化簡(jiǎn)得：，依題意，解得或.綜上，當(dāng)或.時(shí)，過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有一條．（2）解：依題意，由，由可得，設(shè)，則，設(shè)，易知，即在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在定理知，存在唯一的，使得，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即是函數(shù)極小值點(diǎn)，且有，由可得，因?yàn)椋瑒t對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，則，則，由可得，所以，，可得，所以，，即，綜上，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.18．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合面面垂直的判定定理進(jìn)行計(jì)算證明即可；（2）根據(jù)四棱錐的體積公式，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別為x，y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.因?yàn)?，E為BC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD且交于BC，所以平面ABCD，令.（1）證明：因?yàn)椋?，，所以，，所以?因?yàn)?，平面PAE，所以平面PAE.因?yàn)槠矫鍼BD，所以平面平面PAE；（2）因?yàn)?，所以，?設(shè)平面PAD的法向量為，則令，得.取平面PAE的法向量為.因?yàn)椋叶娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為.19．(1)證明見解析(2)存在，成等差數(shù)列(3)【分析】（1）由，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得結(jié)果；（2）利用（1）可得，進(jìn)而得到，若中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，則必有，解出即可；（3）如果成立，可得，對(duì)分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，即可得出的取值范圍．【詳解】（1）由可得，所以，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，若中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，則必有，即整理可得，解得，即成等差數(shù)列；（3）因?yàn)槭沁f增數(shù)列，則成立，即對(duì)任意自然數(shù)均成立．化簡(jiǎn)得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)槭沁f減數(shù)列，所以，即；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，即；故的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：這道題的第（3）問的關(guān)鍵主要是分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，然后各自求最值得到范圍20．(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得答案；（2）在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理求得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則．又，所以曲線在處的切線方程為，即．（2）在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令函數(shù)，，則．令函數(shù)，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減．故當(dāng)時(shí)，，從而在上恒成立，則在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，取，則，，所以存在，使得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以零點(diǎn)是唯一的，即在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).故a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答第二問的關(guān)鍵在于函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及x的取值范圍，可以采用參變分離，構(gòu)造函數(shù)的方法，根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).21．(1)相交，截得的弦長(zhǎng)為2.(2)或.【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式以及直線與圓的位置關(guān)系求解；（2）利用直線與圓相切與點(diǎn)到直線的距離公式的關(guān)系求解.【詳解】（1）由圓可得，圓心,半徑，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.（2）若過點(diǎn)的直線斜率不出在，則方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，滿足題意；若過點(diǎn)且與圓相切的直線斜率存在，則設(shè)切線方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，所以切線方程為，即，綜上，過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.22．(1)