2023學年完整公開課版弧弦圓心角

2413弧、弦、圓心角的關系圓的性質圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對稱軸。圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。圓還具有旋轉不變性，即圓繞圓心旋轉任意一個角度α，都能與原來的圖形重合?！馩·圓心角：我們把頂點在圓心的角叫做圓心角OBA一、概念1、判別下列各圖中的角是不是圓心角，并說明理由。①②③④如圖，將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉到∠A’OB’的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系？為什么？根據(jù)旋轉的性質，將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉到∠A′OB′的位置時，顯然∠AOB＝∠A′OB′，半徑OA與OA′重合，OB與OB′重合．而同圓的半徑相等，OA=OA′，OB=OB′，從而點A與A′重合，B與B′重合．·OAB·OABA′B′A′B′二、探究因此，弧AB與弧A1B1重合，AB與A′B′重合．⌒AB⌒A1B1=思考定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？1判斷下列說法是否正確：（1）相等的圓心角所對的弧相等。（）（2）相等的弧所對的弦相等。（）（3）相等的弦所對的弧相等。（）×√×小試身手如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦．（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．（2）如果，那么____________，_____________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE與OF相等嗎？為什么？·CABDEFOAB=CDAB=CD四、練習

答：OE﹦OF證明：∵OE⊥ABOF⊥CD

∵AB﹦CD∴AE﹦CF∵OA﹦OC∴RT△AOE≌RT△COF∴OE﹦OF在圓心角、弧、弦、弦心距這四組量中，有一組量相等，其余各組也相等。知一推三證明：∴AB=AC．又∠ACB=60°，∴AB=BC=CA∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC·ABCO五、例題∵例1如圖，在⊙O中，,∠ACB=60°,求證∠AOB=∠BOC=∠AOC如圖，AB是⊙O的直徑，∠COD=35°，求∠AOE的度數(shù)．·AOBCDE解：六、練習∵七、思考1如圖，已知AB、CD為⊙O的兩條弦，AD=BC,求證AB=CD⌒⌒2如圖，已知OA、OB是⊙O的半徑，點C為AB的中點，M、N分別為OA、OB的中點，求證：MC=NC⌒提示：證MOCNOC3如圖，BC為⊙O的直徑，OA是⊙O的半徑，弦BE∥OA,求證：AC=AE⌒⌒OABCD

如圖，AC與BD為⊙O的兩條互相垂直的直徑.求證：AB=BC=CD=DA;AB=BC=CD=DA.⌒⌒⌒⌒∴

AB=BC=CD=DA

⌒⌒⌒⌒證明:∵AC與BD為⊙O的兩條互相垂直的直徑,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90oAB=BC=CD=DA(圓心角定理)知識延伸

4已知：如圖，∠AOB=90°，D、C將AB三等分，弦AB與半徑OD、OC交于點F、E求證：AE=DC=BF．⌒1、三個元素：圓心角、弦、弧、歸納：2、三個相等關系：OαABA1B1α1圓心角相等2弧相等3弦相等知一得二弦心距、知一推三例1、如圖，等邊三角形ABC內接于⊙O,連結OA,OB,OC．ＯＣＢＡ⑴∠AOB、∠COB、∠AOC分別為多少度？ＤＰ⑵延長AO，分別交BC于點P，BC于點D,連結BD,CD.判斷三角形ＯＢＤ是哪一種特殊三角形？⑶判斷四邊形BDCO是哪一種特殊四邊形，并說明理由。⑷若⊙O的半徑為r,求等邊三角形ABC的邊長？⑸若等邊三角形ABC的邊長a,求⊙O的半徑為多少？當a=時求圓的半徑?如圖，已知點O是∠EPF的平分線上一點，P點在圓外，以O為圓心的圓與∠EPF的兩邊分別相交于A、B和C、D。求證：AB=CDMNPABECDFO做一做.PBEDFOACP點在圓上，PB=PD嗎？變式練習：PBEMNDFOMNP點在圓內，AB=CD嗎？3、已知:如圖,A,B,C,D是⊙O上的點，∠1=∠2。求證：AC=BD隨堂訓練3．如圖，公路MN和公路，假設拖拉機行駛時，周圍100m內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿/h，那么學校受影響的時間為多少秒？OABCD

如圖，AC與BD為⊙O的兩條互相垂直的直徑.求證：AB=BC=CD=DA;AB=BC=CD=DA.⌒⌒⌒⌒∴

AB=BC=CD=DA

⌒⌒⌒⌒證明:∵AC與BD為⊙O的兩條互相垂直的直徑,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90oAB=BC=CD=DA(圓心角定理)知識延伸2四邊形ACBD有可能為正方形嗎？若有可能,當AB、CD有何位置關系時，四邊形ACBD為正方形？為什么？例2、如圖,AB、CD是⊙O的兩條直徑。1順次連結點A、C、B、D，所得的四邊形是什么特殊四邊形？為什么？3如果要把直徑為30cm的圓柱形原木鋸成一根橫截面為正方形的木材，并使截面盡可能地大，應怎樣鋸？最大橫截面面積是多少？ＯＤＣＢＡ4如果這根原木長15m，問鋸出地木材地體積為多少立方米（樹皮等損耗略去不計）？思考如圖，∠AOB=2∠COD，則AB=2CD嗎？⌒AB=2CD嗎？⌒想一想：點A是半圓上的三等分點,B是弧NA的中點,N上一動點⊙O的半徑為1,問N上什么位置時,APBP的值最小并求出APBP的最小值NMBPAO船能過拱橋嗎解:如圖,