平行四邊形的判定-省賽一等獎(jiǎng)

下面圖片中，哪些是平行四邊形？你是怎樣判斷的？回顧舊知新課導(dǎo)入平行四邊形的主要特征1．邊：a．平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行．b．平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等．2．角：平行四邊形兩組對(duì)角分別相等．3．對(duì)角線：平行四邊形對(duì)角線互相平分怎樣證明對(duì)邊相等或?qū)蔷€相等或?qū)蔷€互相平分的四邊形是不是平行四邊形？1812平行四邊形的判定【知識(shí)與能力】系統(tǒng)掌握平行四邊形的判定定理；靈活運(yùn)用判定定理進(jìn)行有關(guān)判斷和說理敘述．【過程與方法】通過平行四邊形判定定理的歸納與說理，培養(yǎng)的歸納推理能力，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性；通過嘗試練習(xí)和變式嘗試，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力．【情感態(tài)度與價(jià)值觀】通過平行四邊形判定方法的靈活運(yùn)用，培養(yǎng)主動(dòng)探索的精神及創(chuàng)新意識(shí)；通過一題多變與一題多解，引發(fā)求異創(chuàng)新的欲望．

教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：平行四邊形的判定方法及應(yīng)用．難點(diǎn)：平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理的靈活應(yīng)用．教學(xué)重難點(diǎn)張師傅手中有一些木條，他想通過適當(dāng)?shù)臏y量、割剪，釘制一個(gè)平行四邊形框架，你能幫他想出一些辦法來嗎？并說明理由．●●●●ACBDAB＝CDAD＝BC探究證明：連接AC．∵AB=CD，AD=BC，AC＝AC∴△ACD≌△CAD（SSS）∴∠CAB＝∠DCA∴AB∥CD同理，∠CAD＝∠ACB∴AD∥BC∴四邊形ABCD為平行四邊形．上述問題可歸結(jié)為：已知：在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC．求證：四邊形ABCD為平行四邊形．ACBD將兩根木條AC，BD的中點(diǎn)重疊，并用釘子固定，再用一根橡皮筋繞端點(diǎn)A，B，C，D圍成一個(gè)四邊形ABCD．想一想，△AOB≌△COD嗎？四邊形ABCD的對(duì)邊之間有什么關(guān)系？你得到什么結(jié)論？ACBOD探究∵△AOB≌△COD∴∠BAC＝∠ACD∴AB∥CD∴∠CAD＝∠ACB∴AD∥BC同理，△BOC≌△AOD∴四邊形ABCD是平行四邊形．結(jié)論：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形ACBOD平行四邊形判定方法1兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．平行四邊形判定方法2對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．知識(shí)要點(diǎn)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AB＝DC，∠D＝∠B．∵E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，∴BE＝DF∴△ADF≌△CBE∴AF＝CE又∵AE＝CF∴四邊形AECF是平行四邊形．AFEDCB

【例1】已知:ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，求證:四邊形AECF是平行四邊形．DFECBAO

如下圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O，EF過點(diǎn)O與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．連接AF，EC．求證:四邊形AECF是平行四邊形．小練習(xí)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴OA＝OC，AD∥BC,∴∠AEF＝∠CFE又∵∠AOE＝∠COF∴△AOE≌△COF∴OE＝OF∴四邊形AECF是平行四邊形ODABCEF∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO=CO，BO=DO∵AE=CF∴AO－AE=CO－CF∴EO=FO又BO=DO∴四邊形BFDE是平行四邊形證明：連接對(duì)角線BD，交AC于點(diǎn)O【例2】已知：E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．還有其他證明方法嗎？AE=CF∠EAD=∠FCBAD=BCDABCEF證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC且AD=BC∴∠EAD=∠FCB在△AED和△CFB中∴△AED≌△CFBSAS∴DE=BF同理可證：BE=DF四邊形BFDE是平行四邊形．已知：E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)滿足什么條件時(shí)，四邊形BFDE是平行四邊形？DABCEFO已知：如圖，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求證：（1）∠ABC=∠B′，∠CAB=∠A′，∠BCA＝∠C′；（2）△ABC的頂點(diǎn)分別是△B′C′A′各邊的中點(diǎn)．小練習(xí)ACBA′C′B′證明：（1）∵A′B′∥BA，C′B′∥BC，∴四邊形ABCB′是平行四邊形．∴∠ABC＝∠B′（平行四邊形的對(duì)角相等）．同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．（2）由（1）證得四邊形ABCB′是平行四邊形．同理，四邊形ABA′C是平行四邊形．∴AB＝B′C，AB＝A′C（平行四邊形的對(duì)邊相等）．∴B′C＝A′C．同理B′A＝C′A，A′B＝C′B．∴△ABC的頂點(diǎn)A、B、C分別是△B′C′A′的邊B′C′、C′A′、A′B′的中點(diǎn)．小明用手中六個(gè)全等的正三角形做拼圖游戲時(shí)，拼成一個(gè)六邊形．你能在圖中找出所有的平行四邊形嗎？并說說你的理由．做一做ABCDOFE解：有6個(gè)平行四邊形，分別是：ABOF，ABCO，BCDO，CDEO，DEFO，EFAO．理由是：因?yàn)檎鰽BO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根據(jù)“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，可知四邊形ABCD是平行四邊形．其它五個(gè)同理．探究取兩根等長的木條AB、CD，將它們平行放置，再用兩根木條BC、AD加固，得到的四邊形ABCD是平行四邊形嗎？在一方格紙上，畫一個(gè)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形．步驟1：畫一線段AD．步驟2：平移線段AD到BC．根據(jù)平移的特征，AD、BC有怎樣的關(guān)系？連結(jié)AB、DC，得到四邊形ABCD，它是一組對(duì)邊平行且相等的四邊形CBDA探究證明：連接AC∵AD∥BC∴∠DAC=∠ACB又∵AD=BC，AC=AC，∴ΔABC≌ΔCDA∴∠BAC=∠ACD∴AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形ABCD已知：在四邊形ABCD中，ADBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．平行且相等你還有其他證法嗎？探究在ABCD中，E、G是AD的三等分點(diǎn)，F(xiàn)、H是BC的三等分點(diǎn)，則圖中的平行四邊形有______個(gè)

搶答ABCDEFGH6已知：如圖，ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，求證：BE=DF．小練習(xí)ABCDEF證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，AD=BC．∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴DE∥BF，且DE=AE，BF=FC．∴DE=BF．∴四邊形BEDF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形平行四邊形）．∴BE=DF．ABCDEF一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形平行四邊形的判定定理3:符號(hào)語言：∵ABCD∴四邊形ABCD是平行四邊形．ABCD知識(shí)要點(diǎn)【例3】已知：如圖，ABCD中，E、F分別是AC上兩點(diǎn)，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．┓┓ＡＢＣＤEF證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，且AB∥CD．∴∠BAE=∠DCF．∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴BE=DF．∴四邊形BEDF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形平行四邊形）．探究已知：四邊形ABCD，∠A=∠C，∠B=∠D求證：四邊形ABCD是平行四邊形．ABCD證明：∴四邊形ABCD是平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形同理可證AB∥CD又∵∠A∠B∠C∠D=360°∴2∠A2∠B=360°∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）即∠A∠B=180°∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．平行四邊形的判定定理4:符號(hào)語言：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形．知識(shí)要點(diǎn)ABCD已知：如圖，AC∥ED，點(diǎn)B在AC上，且AB=ED=BC，找出圖中的平行四邊形，并說明理由．四邊形ABDE和四邊形BCDE是平行四邊形理由:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形平行四邊形．ABCED小練習(xí)已知：如圖，在ABCD中，AE、CF分別是∠DAB、∠BCD的平分線．求證：四邊形AFCE是平行四邊形．提示：利用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形平行四邊形”．ABCFDE小練習(xí)【例4】：如圖，點(diǎn)D、E、分別為△ABC邊AB、AC的中點(diǎn)，求證：DE∥BC且DE=BC．ABCDE方法1：如圖（1），延長DE到F，使EF=DE，連接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四邊形BCFD是平行四邊形．所以DF∥BC，DF=BC，因?yàn)镈E=DF，所以DE∥BC且DE=BC．ABCDEF方法2：如圖（2），延長DE到F，使EF=DE，連接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四邊形ADCF是平行四邊形．所以AD∥FC，且AD=FC．因?yàn)锳D=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四邊形ADCF是平行四邊形．所以DF∥BC，且DF=BC，因?yàn)镈E=DF，所以DE∥BC且DE=BC．ABCDEF三角形的中位線連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．知識(shí)要點(diǎn)答:1一個(gè)三角形的中位線共有三條；2三角形的中位線與中線的區(qū)別主要是線段的端點(diǎn)不同．中位線是中點(diǎn)與中點(diǎn)的連線；中線是頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線．（1）一個(gè)三角形的中位線共有幾條？（2）三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？三角形的中位線與第三邊有怎樣的關(guān)系？答：三角形的中位線與第三邊的關(guān)系：三角形的中位線平行與第三邊，且等于第三邊的一半．三角形中位線的性質(zhì)三角形的中位線平行與第三邊，且等于第三邊的一半．知識(shí)要點(diǎn)利用這一定理，你能證明出在前面思考題中分割出來的四個(gè)小三角形全等嗎？并說明理由探究ABFCEDABC做一做現(xiàn)有一塊等腰直角三角形鐵板，要求切割一次焊接成一個(gè)含有45°角的平行四邊形不能有余料，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，并說明該方案正確的理由．CABFEDDCABEABCFDE如圖，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)C，連結(jié)AC和BC，并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M、N，如果測得MN=20m，那么A、B兩點(diǎn)的距離是____m，理由是_______________________．40中位線等于第三邊的一半．

搶答如圖，△ABC中，D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，（1）若EF=5cm，則AB=____cm；若BC=9cm，則DE=_______cm；（2）中線AF與DE中位線有什么特殊的關(guān)系？證明你的猜想．1045

搶答ABDECF三角形的周長為18cm，它的三條中位線圍成的三角形的周長是多少為什么小練習(xí)ABCDEF答：9cm;因?yàn)槿切蔚闹形痪€平行與第三邊，且等于第三邊的一半．已知：在ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，M，N在CB，AD的延長線上，且BM=DN．求證：EM=FN．EMDNFCAB小練習(xí)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AN∥BC且AN∥BC．∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)∴DE＝BF,∵BM=DN∴EN＝MF∴四邊開有EMFD為平行四邊形∴EM=FNEMDNFCAB1已知：如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．小練習(xí)AEBFHDCG證明：連結(jié)AC，△DAG中，∵AH=HD，CG=GD，∴HG∥AC，HG=AC（三角形中位線性質(zhì)）．同理EF∥AC，EF=AC．∴HG∥EF，且HG=EF．∴四邊形EFGH是平行四邊形．結(jié)論：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形．AEBFHDCG平行四邊形的判定方法從邊來判定兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形從角來判定兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形從對(duì)角線來判定兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形課堂小結(jié)1．下列四邊形哪些是平行四邊形為什么？ADCB110°70°110°ABCD120°60°5㎝5㎝ABCDO5㎝5㎝4㎝4㎝BADC4.8㎝4.8㎝7.6㎝隨堂練習(xí)2．根據(jù)下列條件，不能判定一個(gè)四邊形為平行四邊形的是A．兩組對(duì)邊分別相等B．兩條對(duì)角線互相平分C．兩條對(duì)角線相等D．兩組對(duì)邊分別平行C3．如圖四邊形ABCD中，AB//CD，只需添加一個(gè)條件，能使四邊形ABCD是平行四邊形，現(xiàn)有條件:①AB=CD，②BC=AD，③AD//BC，④∠ABC=∠ADC，這些條件中，滿足要求的有A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)ACBD