2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 5-4 平面向量的綜合應(yīng)用 學(xué)案

第四節(jié)平面向量的綜合應(yīng)用

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一向量與平面幾何

例1(1)在平行四邊形ABC。中，M、N分別在BC、C。上，且滿足BC=3MC,DC=

4NC,若4B=4,AZ)=3,則WN的形狀是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.等腰三角形

(2)[2023?遼寧沈陽模擬]如圖，在直角梯形ABC。中，AD//BC,ABYBC,AD=I,BC

=2,尸是線段AB上的動點(diǎn)，則畫+4而I的最小值為()

A.3√5B.6

C.2√5D.4

題后師說

平面幾何問題的向量解法

鞏固訓(xùn)練1

(1)如圖，在等腰梯形ABC。中，AB=BC=2,CZ)=3,BC=4BE,則口?玩=()

15

4

65

16

(2)若aABC是邊長為2的等邊三角形，AD為BC邊上的中線，M為AD的中點(diǎn)，則

MA?(MB+前)的值為.

題型二向量與三角函數(shù)

例2設(shè)向量Q=(COSX,sinx),ft=(√3sinx,sinx).

(1)?a∕∕b,求COS2x的值;

(2)設(shè)函數(shù)/X)=S-α)?α,x∈[-π,π],求凡V)的零點(diǎn).

題后師說

向量與三角函數(shù)綜合問題的解法

解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題的關(guān)鍵：準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡已知條件,

將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題解決.

鞏固訓(xùn)練2

已知α=(sin2x,cos?,?=(√3,2),y(x)="0一1+機(jī)的最大值為2.

(1)求函數(shù)兀V)的最小正周期及m的值；

(2)若x∈[θ,=],求出當(dāng)X取何值時函數(shù)犬》)取得最小值并求出最小值？

題型三向量與解三角形

例3[2023?河北秦皇島模擬]已知4,6,C為AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊，向量Ml

=(a~h,c-a),∕ι=(sinB,sinA+sinC),且，"-L〃.

⑴求角C；

(2)若sinB<sinC,?=4,。為BC的中點(diǎn)，AD=√13,求AABC的面積.

題后師說

向量與解三角形綜合問題的解題策略

鞏固訓(xùn)練3

[2023?廣東廣州模擬]在AABC中,內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,且滿足b

cos----=asinB.

2

⑴求A；

(2)若α=W,BA?AC=3,AQ是aABC的中線，求AQ的長.

專題突破?平面向量與三角形的“四心”

微專題1平面向量與三角形的重心

(1)三角形的重心：三角形的三條中線的交點(diǎn).

(2)0是aABC的重心=UX+0B+OC=O.

例1已知。是AABC所在平面上的一點(diǎn)，若用=*PX+而+眈)(其中P為平面上任

意一點(diǎn))，則點(diǎn)O是aABC的()

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

微專題2平面向量與三角形的垂心

(1)三角形的垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn).

(2)0是AABC的垂心=包?OB=OB?OC=OC?OA^

例2己知點(diǎn)。為44BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且玄2+反2=而2+玄2=玩2+靠2,則點(diǎn)

O一定為AABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

微專題3平面向量與三角形的外心

（1）三角形的外心：三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（三角形外接圓的圓心）.

⑵。是AABC的外心=IuXI=Iδ?=∣δδ∣（或殖2=而2=前2）.

例3已知點(diǎn)。是AABC所在平面上的一點(diǎn).若（就+而）?融=（而+前）?前=（充+

OA）?CA=O,則點(diǎn)。是448C的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

微專題4平面向量與三角形的內(nèi)心

（1）三角形的內(nèi)心：三角形的三個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)（三角形內(nèi)切圓的圓心）.

（2）0??ABC的內(nèi)心=市,（∣?-?）=θ≡,瑞-]?）=θe,（?-?>=0?

例4。是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：OP=OA+

聯(lián)擺j+俱），7∈[0,+∞）,則P的軌跡一定通過aABC的（）

IABlIACl

A.內(nèi)心B.垂心C.重心D.外心

第四節(jié)平面向量的綜合應(yīng)用

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：(1)：京?麗=(而+而)?(流+K)=(而+三通)?(工而一三通)

434

=W而F—巨IABI2=工義9—三X16=0.

316316

J.AN1MN,

.?.△AMN是直角三角形.

故選C.

(2)

如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a,8P=x(0≤x≤α),

因為Ao=1,BC=2,

所以P(0,X),C(2,0),0(1,a),

所以定=(2,-X),PD=(1,a-χ),4PD=(4,4a-Ax),

所以同+4而=(6,4a~5x),

所以I元+4而I=J36+(4a—5x)226,

所以當(dāng)4n-5x=0,即X=%時，瓦+4而I的最小值為6.

故選B.

答案：(I)C(2)B

鞏固訓(xùn)練1解析：(1)

以C。的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示:

依題意可得。(一aO).cξ,O),A(-l,亨),E備嚕,

所以示=(一|,苧)，尻=烯，?),

故以?而=-9χ2+叵X型=—竺.

28284

故選B.

(2)

已知aA8C是邊長為2的等邊三角形，A。為BC邊上的中線，M為的中點(diǎn)，

則AΛ∕=Λ∕D=當(dāng)，AM=MD,

又而+前=2麗，

則兩?(MB+MC)=-2MA2≈-2×(γ)2--∣.

答案：(I)B(2)-|

例2解析：(1)由?！?，得COSXSinx—√5sin2χ=0,所以SinX=O或CoSX=√5sinx,

若sinx=0,則cos2x=12sin"'x--1.

若cosx=√3sinx,又sin2x÷cos2x=1,貝Usin2x=-,cos2x=1—2sin2工=二綜上，cosIx

42

的值為1或點(diǎn)

(2)fix)=ba-a1=√3sinxcosx÷sin2χ-1=—sin2x÷1-c°s2x-1=sin(2χ--)~-.

2262

令人X)=O,得Sin(Zr-J)=;,又x∈[-mπ],知2χ-J∈[-岑，拳],

6Z6L6oJ

則2x—三=一生，一C,Δ,空，所以X=—四，-Ξ,二Ξ,

666666262

鞏固訓(xùn)練2解析：(1次0=V5sin2X÷2COS2Λ-1+//i=V3si∏2x÷cos2x+m

=2(γsin2x÷∣cos2x)+∕∏=2(cos?n2%÷sin%os2x)+m

=2sin(2x+-)÷∕w,

6

?T2π2π

??τ=^=3=π,

加X)的最大值為2X1+加=2,

解得m=0.

⑵由⑴得∕x)=2sin(2x+?,

6

7π'

?.?χ∈[θ,=,.?.2x+三∈E,

6L6

.?.當(dāng)2x+T=?時，即W時,,X)min=2X(T)=T.

例3解析：(1)因為帆_L〃，所以(〃-b)XsinB+(sinA+sinC)(c—a)=0,

由正弦定理得(。一b)X8=3+c)(α-c?).

即a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cosC=a+b~C=~

2ab2

因為O<CV71,所以C=g.

(2)在三角形A。C中，AD1=AC1+CD1-2ACCDcosZACD,

即13=16+CΩ2-4CO,解得CZ)=I或CO=3,即α=2或α=6,

因為sinB<sinC9故B<C,

因為C=今所以A>C>8,故a>c>b,所以。=6,

所以5AABC=TdbsinC=^X6X4X-^=6A/3.

鞏固訓(xùn)練3解析：(1)CoS等=CoSw-今=SinT，

A

:b-=aB,

?sin2sin

由正弦定理得SinBSinT=SinASin3,

Δ

VsinB≠0,Λsin-=sinA,

2

Λsing=2Sin?eos?,VA∈(O,π),^∈(0,∣),

Λsin-≠0,

2

ΛA=-.

3

(2):麗?AC=3,

Λhecos(π—A)=39得bc=6,

由余弦定理得b2+c2=a2+2bcCoSA=I3,

AD=i(AB+AC),

Λ∣W=1(AB+AC)2=-(c2+h2+2hccosA)=[

444

Λ∣AD∣=^,

即AD的長為

專題突破?平面向量與三角形的“四心”

例1解析：由已知得

3P0=0A-OP+OB-OP+OC-OP,

所以3雨+3和=殖+而+玩，

即鼐+而+前=0,

所以點(diǎn)O是AABC的重心.

故選C.

答案：C

例2解析：因為殖2+近』而2+瓦2,

所以就2-OB2=CA2-BC2,

所以（嬴一