注冊巖土基礎-概率與數(shù)理統(tǒng)計

第八講

概率與數(shù)理統(tǒng)計

一、內容提要：

本講主要是講解隨機事件與概率，古典概率，一維隨機變量的分布和數(shù)字特征，數(shù)理統(tǒng)計的基本概念，參數(shù)估計，假設檢驗，方差分析，回歸分析。二、本講的重點是：

隨機事件的關系，二項概率公式，條件概率，分布函數(shù)的性質，連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)、分布函數(shù)，正態(tài)分布，常用隨機變量的分布和數(shù)字特征。本講的難點是：數(shù)理統(tǒng)計方面的參數(shù)估計，假設檢驗，方差分析，回歸分析。

三、內容講解：1、

隨機事件與概率：（1)隨機事件的關系與運算：包含：若事件A發(fā)生，一定導致事件B發(fā)生，那么稱事件B包含事件A，記作AB;相等：若兩事件A與B相互相互包含，即AB且BA，那么稱事件A與B相等，記作A=B和事件：稱“事件A與事件B中至少有一個發(fā)生”的事件為A與B的和事件，記為A∪B積事件：稱“事件A與事件B同時發(fā)生”的事件為A與B的積事件，記為A∩B簡記為AB互不相容：若事件A與事件B不能同時發(fā)生，則稱A與B互不相容，記作AB=差事件：稱“事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生”的事件為A與B的差，記作A-B對立事件：若事件A與B滿足A∪B=

(

為必然事件)，同時AB=，稱A與B是對立的，記B=交換律：對任意兩事件A和B有A∪B=B∪A，AB=BA，結合律：對任意事件A、B、C有A∪（B∪C）=（A∪B）∪C，A∩（B∩C）=（A∩B）∩C分配律：對任意事件A、B、C有A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C），A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

(2)概率的公理化定義：設試驗的樣本空間為，隨機事件A為的子集，P（A）為實值函數(shù)，若滿足下列三條公理：公理1、對于任一隨機事件A，有0≤P（A）≤1，公理2、P（）=1，P（）=0公理3、對于一系列互不相容的事件A1，A2，…An…有P（A1+A2+…）=P（A1）+P（A2）+…則稱函數(shù)P（A）為隨機事件的概率。概率的性質：（i）P（）=1-P（A）（ii）(ii)當AB時，有P（B-A）=P（B）-P（A）（iii）當A1，A2，…An互不相容時，有P（A1+A2+…）=P（A1）+P（A2）+…P（An）（iv）P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

(2)條件概率與相互獨立性：條件概率：如果A、B是隨機試驗的兩個事件，且P（B）>0，則稱事件B發(fā)生的條件下事件A的概率為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記作P（A|B）條件概率可以通過下列公式計算：（P（B）>0）乘法定理：兩事件的積事件的概率等于其中一事件的概率與另一事件在前一事件出現(xiàn)下的條件概率的乘積：

P（AB）=P（A）P（B|A）（P（A）>0）P（AB）=P（B）P（A|B）（P（B）>0）

全概率公式：設事件A1，A2，…An兩兩相斥，且事件B為事件A1+A2+…+An的子事件，A1+A2+…+An=，且P（Ai）>0，則對任一事件B有P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+…+P（An）P（B|An）這個公式稱為全概率公式，貝葉斯公式

事件的相互獨立性：若P（AB）=P（A）P（B），則稱A、B相互獨立。當P（A）、P（B）都不為零時，從事件A、B相互獨立能推得（B|A）=P（B）或P（A|B）=P（A）定理：若四對事件A、B；A、；、B；、中有一對相互獨立，則另外三對也是相互獨立的。

（4）重復獨立試驗、二項概率公式：重復獨立試驗：做幾個試驗，它們是完全同樣一個試驗的重復，且它們是相互獨立的，即相應于每一次試驗的隨機事件的概率都不依賴于其它各次試驗的結果，稱這類試驗是重復獨立試驗。二項概率公式：設每個試驗中事件A出現(xiàn)的概率為p，則n次重復獨立試驗中事件A恰好出現(xiàn)k次的概率

(k=0,1,2,…,n)此公式稱為二項概率公式。例1、

某人投籃，每次命中率為0.7，至少命中4次的概率是多少？

解：利用二項公式得：因為有“至少”二字，所以k可為4或5所以至少命中4次的概率為：0.36+0.17=0.53例1、有三批同一規(guī)格的產(chǎn)品存放在一起，各批產(chǎn)品分別占存時的40%、35%、25%，而次品率分別為2%、1%、3%，若從這堆存品中隨機地抽取一個產(chǎn)品，則它是次品的概率為多少。解：利用全概率公式得：P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=0.4×0.02+0.35×0.01+0.25×0.03=0.019例2、兩個小組生產(chǎn)同樣的零件，第一組的廢品率為2%，第二組產(chǎn)品為第一組的2倍，而廢品率為3%，若兩組生產(chǎn)的零件放在一起，從中任選一件，經(jīng)檢查是廢品，則這件廢品是第一組生產(chǎn)的概率為多少。解：由全概率公式可得：2、古典概型：具備下面兩個特點的隨機試驗的數(shù)學模型稱為古典概型：（1）可能的試驗結果的個數(shù)是有限的，記為n個；（2）兩兩互斥的諸基本事件出現(xiàn)的可能性相等。這時，稱所討論的問題是古典概型。對于滿足古典概型下的隨機事件A的概率可用下式計算：p(A)=m/n,其中m為隨機事件A所所包含的試驗結果的個數(shù)。例4、從一批由90件正品、3件次品組成的產(chǎn)品中，任取一件產(chǎn)品，求取得正品的概率。解：

3、

一維隨機變量的分布和數(shù)字特征：

一維隨機變量的概念：一個變量依試驗結果的改變而取不同的實數(shù)值，而試驗的結果具有隨機性，因此這個變量的取值也具有隨機性，稱這個變量為一維隨機變量，記為X。3.1隨機變量的分布函數(shù)：定義：隨機變量X取值不大于實數(shù)x的概率p（X≤x）叫做隨機變量X的分布函數(shù)，記作F(x)=p（X≤x）性質：分布函數(shù)具有以下的性質：

（1）

3.2離散型隨機變量及其分布：

有一類隨機變量，它所有可能取的值是有限個或可數(shù)多個數(shù)值，這樣的隨機變量稱為離散型隨機變量，它的分布稱為離散型分布。其分布可用下列表格給出：

Xx1x2…xi…概率p1p2…pi…

3.4隨機變量函數(shù)的分布：

3.5隨機變量的數(shù)學期望、隨機變量的方差：離散型隨機變量的數(shù)學期望定義：

連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的定義：

隨機變量的方差定義：D（X）=E(X-E(X))2

隨機變量的期望、方差的性質：（1）E（k）=k,D(k)=0，其中k為常數(shù)；（2）E(kX)=k(X),D(kX)=k2D(X),其中k為常數(shù)(3)E(X+k)=E（X）+k,D(X+k)=D(X)其中k為常（4）當ξη相互獨立時，E（ξ±η）=E（ξ）±E（η），D（ξ±η）=D(ξ)+D（η）3.6常用隨機變量的分布和數(shù)字特征：

例5、列函數(shù)中哪個不是隨機變量的分布函數(shù)（C）

例6、設函數(shù)F1（x）與F2（x）分別是隨機變量x1與x2的分布函數(shù)，為使F(x)=aF1（x）-bF2（x）為某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)中應?。ˋ

）

例7

連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)一定滿足（C）

例8、記正態(tài)分布N(a,σ2)的分布函數(shù)為Fa,σ(x),其X~N（-1，4），則下列計算正確的是（D）

例9、

已知隨機變量X服從二項分布，且E（x）=2.4，D(x)=1.44，則二項分布的參數(shù)為多少解：E（x）=np=2.4,D(x)=np(1-p)=1.44，可解得n=6,p=0.44、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念：總體：在統(tǒng)計中，將研究、考察對象的全體稱為總體。也特指某個指標X，X具有隨機性，因此研究總體也轉化為研究X的分布。樣本：從總體中抽取的一部分個體叫做樣本，樣本中所所包含的個體的數(shù)量叫做樣本容量。一般我們抽取的樣本滿足下面二個條件：（1）樣本中的個體相互獨立，（2）樣本中個體的分布同總體的分布。統(tǒng)計量：不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量。例如：從均值為μ方差為σ2的總體中抽得一個樣本量為n的樣本X1，X2，…Xn其中μ、σ2未知，那么X1+X2，max{X1，X2，…Xn}是統(tǒng)計量，而X1+X2-2μ、（X1-μ）/σ都不是統(tǒng)計量。

例10、

總體X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，X1，X2，…Xn是從中抽取的樣本，試求

5、參數(shù)估計、假設檢驗：5.1參數(shù)估計：設總體X服從f(x,θ)的分布，其中θ為未知參數(shù)，X1，X2，…Xn是從總體X中抽取的樣本，用樣本的函數(shù)即統(tǒng)計量去估計未知參數(shù)，這就是參數(shù)估計。參數(shù)估計有兩種形式：點估計和區(qū)間估計。點估計：若取樣本的某個函數(shù)作為未知參數(shù)估計量，則稱為θ的點估計量，稱為θ的點估計值。求點估計常用的方法為矩法估計：即總體均值E（X）用樣本均值來估計，總體方差

區(qū)間估計：

例11、設一個物體的重量μ未知，為估計其重量，可以用天平去稱，所得稱重與實際值間是有誤差的，因此所得的稱重是一個隨機變量，通常服從正態(tài)分布，如果已知稱量的誤差的標準差為0.1克，為使μ的95%的置信區(qū)間的長度不超過0.1，那么至少應該稱多少次？解：這是求樣本容量的問題。在標準差已知時，μ的95%的置信區(qū)間為：

5.2假設檢驗：假設檢驗的基本步驟：

（1）、建立假設（2）、選擇檢驗統(tǒng)計量，給出拒絕的形式（3）、給出顯著性水平α，常取α為0.05（4）、定出臨界值c，寫出拒絕域W，作出判斷。正態(tài)總體中均值μ的假設檢驗：H0：μ=μ0，H0：μ≠μ0

例12、某電工器材廠行產(chǎn)一種云母帶，其厚度在正常生產(chǎn)下服從